2021年北京市东城区高考数学综合练习试卷（一模）.docx

1、第 1页（共 20页） 2021 年北京市东城区高考数学综合练习试卷（一模）年北京市东城区高考数学综合练习试卷（一模） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 （4 分）已知集合 | 12Axx ， |1Bx x，那么(AB ) A( 1,2)B( 1,1)C(,2)D(,1) 2 （4 分）在复平面内，复数(12 ) i i对应的点位于() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3 （4 分）某中学高一、高二和高三各年级人数见表采用

2、分层抽样的方法调查学生的健康 状况，在抽取的样本中，高二年级有 20 人，那么该样本中高三年级的人数为() 年级人数 高一550 高二500 高三450 合计1500 A18B22C40D60 4 （4 分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为() A 9 2 B9C 27 2 D27 5（4 分） 已知圆 22 1xy截直线(1)(0)yk xk所得弦的长度为 1， 那么k的值为() A 1 2 B 3 3 C1D3 第 2页（共 20页） 6 （4 分）已知函数 21,02 ( ) 6,2 x x f x x x ，那么不等式( )f xx的解集为() A(0，1B(0，2C1，4D

3、1，6 7 （4 分） “| |xy”是“lnxlny”成立的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 8 （4 分）宽与长的比为 51 0.618 2 的矩形叫做黄金矩形它广泛的出现在艺术、建筑、 人体和自然界中， 令人赏心悦目 在黄金矩形ABCD中，51BC ，ABBC， 那么AB AC 的值为() A51B51C4D2 52 9 （4 分） 已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点F与抛物线 2 2: 2(0)Cypx p的焦点 重合，P为椭圆 1 C与抛物线 2 C的公共点，且PFx轴，那么椭圆 1 C的离心率为() A

4、21B 3 3 C 2 2 D31 10 （4 分）如图，将线段AB，CD用一条连续不间断的曲线( )yf x连接在一起，需满足 要求：曲线( )yf x经过点B，C，并且在点B，C处的切线分别为直线AB，CD，那么 下列说法正确的是() A存在曲线 32 25( ,)yaxbxxa bR满足要求 B存在曲线 sincos ( 2 axbx yc a ，b，)cR满足要求 C若曲线 1( ) yf x和 2( ) yfx满足要求，则对任意满足要求的曲线( )yg x，存在实数 ，使得 12 ( )( )( )g xf xfx D若曲线 1( ) yf x和 2( ) yfx满足要求，则对任意实

5、数，当1时，曲线 12 ( )( )yf xfx满足要求 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 第 3页（共 20页） 11 （5 分）在 5 (1)x的展开式中， 2 x的系数为 （用数字作答） 12 （5 分）已知双曲线 2 2 :1 y C x m 经过点( 2，2)，那么m的值为，C的渐近线方 程为 13 （5 分）已知 n a为等比数列， 1 1a ， 4 1 8 a ，那么 n a的公比为，数列 1 n a 的前 5 项和为 14 （5 分）已知函数( )sin(2)(0f xAxA，|) 2 ，其中x和( )f x部分对应值如表

6、所 示： x 4 0 12 4 3 ( )f x 22 3222 3 那么A 15 （5 分）设A是非空数集，若对任意x，yA，都有xyA，xyA，则称A具有性 质P给出以下命题： 若A具有性质P，则A可以是有限集； 若 1 A， 2 A具有性质P，且 12 AA ，则 12 AA 具有性质P； 若 1 A， 2 A具有性质P，则 12 AA 具有性质P； 若A具有性质P，且AR，则 RA 不具有性质P 其中所有真命题的序号是 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16（13分） 如图，

7、在长方体 1111 ABCDABC D中， 四边形 11 BCC B是边长为1的正方形，2AB ， M，N分别为AD， 11 A B的中点 （）求证： 1/ / MA平面ANC； （）求直线CN与平面 1 D AC所成角的正弦值 第 4页（共 20页） 17 （13 分）在ABC中， 1 cos 7 C ，8c ，再从条件、条件这两个条件中选择一个 作为已知，求： （）b的值； （）角A的大小和ABC的面积 条件：7a ； 条件： 11 cos 14 B 18 （14 分）小明同学两次测试成绩（满分 100 分）如表所示： 语文数学英语物理化学生物 第一次879291928593 第二次829

8、495889487 （）从小明同学第一次测试的科目中随机抽取 1 科，求该科成绩大于 90 分的概率； （）从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取 1 科，记X为抽取的 2 科 中成绩大于 90 分的科目数量，求X的分布列和数学期望()E X； （）现有另一名同学两次测试成绩（满分 100 分）及相关统计信息如表所示： 语文数学英语物理化学生物6 科 成绩均值 6 科 成绩方差 第一次 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 1 x 1 D 第二次 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 2 x 2 D 将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这 6 科总评成绩

9、的方差为 3. D有一种观点 认为：若 12 xx， 12 DD，则 132 DDD你认为这种观点是否正确？（只写“正确”或 “不正确”) 19 （15 分）已知函数 322 ( )1f xxaxa x，其中0a （）当1a 时，求( )f x的单调区间； （）若曲线( )yf x在点( a，()fa处的切线与y轴的交点为(0,)m，求 1 m a 的最小 值 20 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点( 2,0)D ，且焦距为2 3 （）求椭圆C的方程； 第 5页（共 20页） （）过点( 4,0)A 的直线l（不与x轴重合）与椭圆C交于P，Q两点，点T与点

10、Q关于x 轴对称，直线TP与x轴交于点H是否存在常数，使得| |(|)ADDHADDH成 立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由 21 （15 分）设(2)n n为正整数，若 1 (x， 2 x，) n x满足： 0 i x ，1，1n ，1i ，2，n； 对于1 ij n，均有 ij xx； 则称a具有性质( )E n 对于 1 (ax， 2 x，) n x和 1 (y， 2 y，) n y， 定义集合( ,) | ii Tt txy ，1i ， 2，n （） 设(0a ， 1，2)， 若 1 (y， 2 y， 3) y具有性质E（3） ， 写出一个及相应的( ,)T a； （）设和具有性

11、质E（6） ，那么( ,)T 是否可能为0，1，2，3，4，5，若可能， 写出一组和，若不可能，说明理由； （）设和具有性质( )E n，对于给定的，求证：满足( ,)0T ，1，1n 的 有偶数个 第 6页（共 20页） 2021 年北京市东城区高考数学综合练习试卷（一模）年北京市东城区高考数学综合练习试卷（一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 （4 分）已知集合 | 12Axx ， |1

12、Bx x，那么(AB ) A( 1,2)B( 1,1)C(,2)D(,1) 【解答】解：根据题意，集合 | 12( 1,2)Axx ， |1(,1)Bx x ， 则(,2)AB ， 故选：C 2 （4 分）在复平面内，复数(12 ) i i对应的点位于() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【解答】解：复数(12 )2i ii ，对应的点的坐标为( 2,1)， 故复数(12 ) i i对应的点位于第二象限 故选：B 3 （4 分）某中学高一、高二和高三各年级人数见表采用分层抽样的方法调查学生的健康 状况，在抽取的样本中，高二年级有 20 人，那么该样本中高三年级的人数为() 年级人数

13、高一550 高二500 高三450 合计1500 A18B22C40D60 【解答】解：因为高二年级与高三年级的比例为 50010 4509 ， 由于分层抽样是按比例抽取，故抽取的比例为 10 9 ， 因为高二年级有 20 人，所以高三年级为 9 2018 10 人 故选：A 4 （4 分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为() 第 7页（共 20页） A 9 2 B9C 27 2 D27 【解答】解：由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面， 画出四棱锥的直观图，如图所示： 则该四棱锥的体积为 2 11 339 33 ABCD VSPA 正方形 故选：B 5（4 分） 已

14、知圆 22 1xy截直线(1)(0)yk xk所得弦的长度为 1， 那么k的值为() A 1 2 B 3 3 C1D3 【解答】解：圆心(0,0)到直线的距离为 2 1 1 d k ， 由弦长公式知， 2 12 1d， 2 2 1 141() 1k ， 解得 3 3 k ， 0k ， 3 3 k 第 8页（共 20页） 故选：B 6 （4 分）已知函数 21,02 ( ) 6,2 x x f x x x ，那么不等式( )f xx的解集为() A(0，1B(0，2C1，4D1，6 【解答】解：分别画出( )yf x与yx的图象，如图所示： 由图象可得，不等式( )f xx的解集为1，4 故选：

15、C 7 （4 分） “| |xy”是“lnxlny”成立的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【解答】解：由| |xy推不出lnxlny， 由0| |lnxlnyxyxy， 故“| |xy”是“lnxlny”成立的必要不充分条件， 故选：B 8 （4 分）宽与长的比为 51 0.618 2 的矩形叫做黄金矩形它广泛的出现在艺术、建筑、 人体和自然界中， 令人赏心悦目 在黄金矩形ABCD中，51BC ，ABBC， 那么AB AC 的值为() A51B51C4D2 52 【解答】解：由黄金矩形的定义，可得2AB ，51BC ， 在矩形ABCD中， 22

16、 cos 462 5102 5 AB CAB AC ， 第 9页（共 20页） 则 2 | | cos2102 54 102 5 AB ACABACCAB ， 故选：C 9 （4 分） 已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点F与抛物线 2 2: 2(0)Cypx p的焦点 重合，P为椭圆 1 C与抛物线 2 C的公共点，且PFx轴，那么椭圆 1 C的离心率为() A21B 3 3 C 2 2 D31 【解答】解：由题意知，( 2 p F，0)， 2 222 () 24 pp ab， PFx轴， 把 2 p x 代入 2 2ypx得，yp ， 不妨取点P在第一象限，则

17、( 2 p P，)p， 将其代入椭圆 1 C的方程，有 22 22 1 4 pp ab ， 由解得 22 12 2 ab ， 离心率 2 2 2 1121 12 b e a 故选：A 10 （4 分）如图，将线段AB，CD用一条连续不间断的曲线( )yf x连接在一起，需满足 要求：曲线( )yf x经过点B，C，并且在点B，C处的切线分别为直线AB，CD，那么 下列说法正确的是() A存在曲线 32 25( ,)yaxbxxa bR满足要求 B存在曲线 sincos ( 2 axbx yc a ，b，)cR满足要求 C若曲线 1( ) yf x和 2( ) yfx满足要求，则对任意满足要求的

18、曲线( )yg x，存在实数 ，使得 12 ( )( )( )g xf xfx 第 10页（共 20页） D若曲线 1( ) yf x和 2( ) yfx满足要求，则对任意实数，当1时，曲线 12 ( )( )yf xfx满足要求 【解答】解：由图象可知(0,4)A，(1,3)B，(2,1)C，(4,0)D， 所以直线AB的方程为4yx ，直线CD的方程为 1 2 2 yx ， 所以( )yf x需满足f（1）3， f （1）1 ，f（2）1， f （2） 1 2 ， 对于A，由f（1）3，f（2）1可知，0ab，所以25yx ，故点B，C处的 切线不符合，故选项A错误； 对于B，三角函数可以

19、用振幅进行判断，若成立，由于2 sincos2axbx，所以c必为 2， 因为 sincos 2 axbx y 的振幅至多为 1， 所以sincos2ab，sin2cos22ab ， 所以 1 2 2 ak ， 2 3 22 2 ak ， 3 2bk， 4 2(21)bk， i kZ，1i ，2， 3，4， 显然与矛盾，与矛盾，故选项B错误； 对于C，当0，1时， 1( ) yf x和 2( ) yfx的次数低于( )g x，故选项C错误； 对于D，因为 i f（1）3， i f（2）1， i f （1）1 ， i f （2） 1 2 ，1i ，2， 所以对于 12 ( )( )( )g xf

20、 xfx， g（1） 1 f（1） 2 f（2）3()3， g（2） 1 f（2） 2 f（2）1， 12 ( )( )( )g xfxfx ， 所以 g （1） 1 f （1） 2 f （1）()1 ， g （2） 1 f （2） 2 f （2） 11 () 22 ，故选项D正确 故选：D 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5 分）在 5 (1)x的展开式中， 2 x的系数为5 （用数字作答） 【解答】解：展开式的通项公式为 2 155 ()( 1) r rrrr r TCxCx ， 令2 2 r ，则4r ， 第 11页（共

21、20页） 所以 2 x项的系数为 4 5 5C ， 故答案为：5 12 （5 分）已知双曲线 2 2 :1 y C x m 经过点( 2，2)，那么m的值为4，C的渐近线 方程为 【解答】解：双曲线 2 2 :1 y C x m 经过点( 2，2)， 可得 4 21 m ，解得4m ， 双曲线方程为： 2 2 1 4 y x ， 所以它的渐近线方程为：2yx 故答案为：4；2yx 13 （5 分）已知 n a为等比数列， 1 1a ， 4 1 8 a ，那么 n a的公比为 1 2 ，数列 1 n a 的 前 5 项和为 【解答】解：根据题意，设 n a的公比为q， 若 1 1a ， 4 1

22、8 a ，则 34 1 1 8 a q a ，则 1 2 q ， 则数列 1 n a 是首项 1 1 1 a ，公比为 1 2 q 的等比数列， 则数列 1 n a 的前 5 项和为 5 1 (12 ) 31 12 ， 故答案为： 1 2 ，31 14 （5 分）已知函数( )sin(2)(0f xAxA，|) 2 ，其中x和( )f x部分对应值如表所 示： x 4 0 12 4 3 ( )f x 22 3222 3 那么A 4 【解答】解：由题意得(0)sin2 3fA ，()cos2 4 fA ， 所以 222 (sincos)16A， 因为0A ， 第 12页（共 20页） 所以4A

23、故答案为：4 15 （5 分）设A是非空数集，若对任意x，yA，都有xyA，xyA，则称A具有性 质P给出以下命题： 若A具有性质P，则A可以是有限集； 若 1 A， 2 A具有性质P，且 12 AA ，则 12 AA 具有性质P； 若 1 A， 2 A具有性质P，则 12 AA 具有性质P； 若A具有性质P，且AR，则 RA 不具有性质P 其中所有真命题的序号是 【解答】解：若A具有性质P，可令0A ，显然A满足性质P，且A为有限集，故 正确； 12 AA ，若 1 A， 2 A的交集中若有一个x存在， 则就会有与之相关的其它数值存在，因为 1 A， 2 A具有性质P，所以正确； 若 1 A

24、 所有偶数， 2 A 所有自然数， 显然 1 A， 2 A具有性质P，则元素2，1 在集合 12 AA 中， 211 ，显然 12 1AA ，所以 12 AA 不具有性质P，故错误； 假设 RA 具有性质P，即对x， R yA，都有 R xyA， R xyA， 当A 所有偶数时，则 1，3 RA ，134 RA ，故假设不成立， 即 RA 不具有性质P，故正确 故答案为： 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16（13分） 如图， 在长方体 1111 ABCDABC D中， 四边形 11

25、 BCC B是边长为1的正方形，2AB ， M，N分别为AD， 11 A B的中点 （）求证： 1/ / MA平面ANC； （）求直线CN与平面 1 D AC所成角的正弦值 第 13页（共 20页） 【解答】 （）证明：取AC的中点O，连结OM，ON， 因为M是AD的中点，所以/ /OMCD， 1 2 OMCD， 在长方体 1111 ABCDABC D中，因为N是 11 A B的中点， 所以 1/ / NACD， 1 1 2 NACD， 所以 1/ / NAOM且 1 NAOM， 所以四边形 1 NOMA是平行四边形，所以 1/ / MAON， 又因为 1 MA 平面ANC，ON 平面ANC，

26、 所以 1/ / MA平面ANC； （）解：在长方体 1111 ABCDABC D中，以点B为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所 示， 则(1C，0，0)，(0A，2，0)， 1(1 D，2，1)，(0N，1，1)， 所以 1 ( 1,1,1),( 1,2,0),(0,2,1)CNCACD ， 设平面 1 D AC的法向量为( , , )nx y z ， 则有 1 0 0 n CA n CD ，即 20 20 xy yz ， 令1y ，则2x ，2z ，故(2,1, 2)n ， 所以 |33 |cos,| 3|33 CN n CN n CNn ， 故直线CN与平面 1 D AC所成角的正弦值为

27、 3 3 第 14页（共 20页） 17 （13 分）在ABC中， 1 cos 7 C ，8c ，再从条件、条件这两个条件中选择一个 作为已知，求： （）b的值； （）角A的大小和ABC的面积 条件：7a ； 条件： 11 cos 14 B 【解答】解：选条件： （）7a 时， 1 cos 7 C ，8c ， 利用 222 2coscababC， 整理得 2 2150bb，解得5b 或3（负值舍去） ， 故：5b （）由于 1 cos 7 C ，0C， 所以 2 4 3 sin1cos 7 CC， 利用正弦定理 sinsin ac AC ，所以 78 sin4 3 7 A ，解得 3 sin

28、2 A ， 由于ca，所以 3 A ， 则 1 sin10 3 2 ABC SabC 选条件时， （） 11 cos 14 B ，所以 2 5 3 sin1cos 14 BB， 1 cos 7 C ，所以 2 4 3 sin1cos 7 CC， 第 15页（共 20页） 由正弦定理 sinsin bc BC ，整理得 8 5 34 3 147 b ，解得5b ， （） 11 cos 14 B ，所以 2 5 3 sin1cos 14 BB， 1 cos 7 C ，所以 2 4 3 sin1cos 7 CC， 所以 1115 34 31 coscos() 1471472 ABC ， 由于(0,

29、)A， 所以 3 A 所以 113 sin5 810 3 222 ABC SbcA 18 （14 分）小明同学两次测试成绩（满分 100 分）如表所示： 语文数学英语物理化学生物 第一次879291928593 第二次829495889487 （）从小明同学第一次测试的科目中随机抽取 1 科，求该科成绩大于 90 分的概率； （）从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取 1 科，记X为抽取的 2 科 中成绩大于 90 分的科目数量，求X的分布列和数学期望()E X； （）现有另一名同学两次测试成绩（满分 100 分）及相关统计信息如表所示： 语文数学英语物理化学生物6 科 成绩均值

30、6 科 成绩方差 第一次 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 1 x 1 D 第二次 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 2 x 2 D 将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这 6 科总评成绩的方差为 3. D有一种观点 认为：若 12 xx， 12 DD，则 132 DDD你认为这种观点是否正确？（只写“正确”或 “不正确”) 【解答】解： （）设事件“从小明同学第一次测试的科目中随机抽取 1 科，该科成绩大于 90 分”为事件A， 根据表中的数据，在小明同学第一次测试的 6 科中，由 4 科成绩大于 90 分， 所以P（A） 42 63 ； 第 16页（共

31、20页） （）X的所有可能取值为 0，1，2， 所以 11 23 11 66 1 (0) 6 C C P X C C ， 1111 4323 11 66 1 (1) 2 C CC C P X C C ， 11 43 11 66 1 (2) 3 C C P X C C ， 所以X的分布列为： X012 P 1 6 1 2 1 3 故X的数学期望为 1117 ()012 6236 E X ； （）不正确 19 （15 分）已知函数 322 ( )1f xxaxa x，其中0a （）当1a 时，求( )f x的单调区间； （）若曲线( )yf x在点( a，()fa处的切线与y轴的交点为(0,)m，

32、求 1 m a 的最小 值 【解答】解： （）当1a 时， 32 ( )1f xxxx， 2 ( )321(31)(1)fxxxxx ， 令( )0fx，可得 1 3 x 或1x ，令( )0fx，可得 1 1 3 x， 所以( )f x的单调递增区间为 1 (,) 3 ，(1,)，单调递减区间为 1 ( 3 ，1) （） 22 ( )32fxxaxa， 2222 ()324faaaaa ， 3333 ()11faaaaa ， 所以曲线( )yf x在点( a，()fa处的切线方程为 32 (1)4()yaaxa ， 即 23 431ya xa，令0 x ，可得 3 31ma， 所以 3 11

33、 31ma aa ， 令g（a） 3 1 31a a ，0a ，则g（a） 4 2 22 191 9 a a aa ， 第 17页（共 20页） 令g（a）0，可得 3 3 a ，令g（a）0，可得 3 0 3 a， 所以g（a）在 3 (0,) 3 上 单调递减，在 3 ( 3 ，)上单调递增， 所以g（a） 34 3 ()1 33 min g， 即 1 m a 的最小值为 4 3 1 3 20 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点( 2,0)D ，且焦距为2 3 （）求椭圆C的方程； （）过点( 4,0)A 的直线l（不与x轴重合）与椭圆C交于P，Q两点，

34、点T与点Q关于x 轴对称，直线TP与x轴交于点H是否存在常数，使得| |(|)ADDHADDH成 立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由 【解答】解： （）由题意可得 222 22 3 2 c a abc ， 解得 2 4a ， 2 1b ， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y （）设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y， 因为点T与点Q关于x轴对称， 所以 2 (T x， 2) y， 所以直线PT的斜率为 12 1 12 yy k xx ， 直线PT的方程为 12 11 12 () yy yyxx xx ， 令0y ，解得 2112 12 N x yx y x y

35、y ， 所以 2112 12 |2 x yx y DH yy ， 因为| 2AD ， “存在常数，使得| |(|)ADDHADDH成立“等价于 “存在常数，使得 21122112 1212 2(2)(22) x yx yx yx y yyyy 成立” ， 即 21122112 1212 2(2)(22) x yx yx yx y yyyy 成立， 化简的 2112122112 2(22)()x yx yyyx yx y ， 第 18页（共 20页） 设直线l方程为(4)yk x，0k ， 即“存在常数，使得 12121212 26()162()x xxxx xxx 成立” ， 由 22 (4)

36、 44 yk x xy ，得 2222 (14)326440kxk xk， 2222 (32)4(14)(644)0kkk，解得 2 1 12 k ， 所以 2 12 2 32 14 k xx k ， 2 12 2 644 14 k x x k ， 所以 22 1212 222 8(161)6328 26()1616 141414 kk x xxx kkk ， 22 1212 222 644644 2() 141414 kk x xxx kkk ， 所以 22 84 () 1414kk 成立，只需2， 所以存在常数，使得| |(|)ADDHADDH成立，2 21 （15 分）设(2)n n为正

37、整数，若 1 (x， 2 x，) n x满足： 0 i x ，1，1n ，1i ，2，n； 对于1 ij n，均有 ij xx； 则称a具有性质( )E n 对于 1 (ax， 2 x，) n x和 1 (y， 2 y，) n y， 定义集合( ,) | ii Tt txy ，1i ， 2，n （） 设(0a ， 1，2)， 若 1 (y， 2 y， 3) y具有性质E（3） ， 写出一个及相应的( ,)T a； （）设和具有性质E（6） ，那么( ,)T 是否可能为0，1，2，3，4，5，若可能， 写出一组和，若不可能，说明理由； （）设和具有性质( )E n，对于给定的，求证：满足( ,)

38、0T ，1，1n 的 有偶数个 【解答】解： （1）根据题意，令(0，1，2)，即 1 0y ， 2 1y ， 3 2y ， 则根据题意可得，|0(1 ii txyi，2，3)|，则相应的一个( ,)0T ； 若(0，2，1)，即 1 0y ， 2 2y ， 3 1y ， 则根据题意可得， 0,1 | 1,2,3 ii i txy i ，则相应的一个( ,)0T ，1； 若(1，0，2)，即 1 1y ， 2 0y ， 3 2y ， 第 19页（共 20页） 则根据题意可得， 1,1,2 | 0,3 ii i txy i ，则相应的一个( ,)0T ，1； 若(1，2，0)，即 1 1y ，

39、2 2y ， 3 0y ， 则根据题意可得， 1,1,2 | 2,3 ii i txy i ，则相应的一个( ,)1T ，2； 同理可得，若(2，0，1)，则相应的一个( ,)1T ，2； 若(2，1，0)，则相应的一个( ,)0T ，2； （2） 假设存在 1 (x，2x，6)x， 和 1 (y， 2 y， 6) y均具有性质6E， 且( ,)0T ， 1，2，3，4，5， 则 5 1 012345|15 ii i xy ，因为| ii xy与 ii xy同奇同偶， 所以 5 1 | ii i xy 与 5 1 () ii i xy 同奇同偶 而本题中由（1）中结论可知， 5 1 |15 i

40、i i xy ， 5 1 ()0 ii i xy ，可见奇偶不同，这与上述 结论相矛盾， 因此假设不成立 综上可得，不存在具有性质6E的，满足( ,)0T ，1，2，3，4，5 （3）证明：不妨设 1 (x， 2 x，) n x， 1 (y， 2 y，) n y构成一个对应数表:A 交换数表中两行数据，可得对应数表:B 调整数表中各列的顺序，并假设调整后的第一行数据为 1 x， 2 x， n x，设调整后的数 据第二行为 1 z， 2 z， n z， 令 1 (z， 2 z，) n z，则具有性质( )E n，且( , )0T ，1，2，1n ， 假设 1 (y， 2 y，) n y，与 1

41、(z， 2 z，) n z相同，则 11 yz， 22 yz， nn yz， 第 20页（共 20页） 不妨设 ii xy， 1 (1) k xyk，则有 1k zx，故 11 | | kk xzyx， ( ,)0T ，1，2，3，1n ， 11 | |(2 ii xyxyi，3，4，)n， 11k yzx， 11 | |(1) kk xyxyk， 显然地，结论，前后矛盾， 故对于具有性质( )E n的 1 (x， 2 x，) n x， 若 1 (y， 2 y，) n y具有性质( )E n， 且( , )0T ，1，2，1n ， 则存在一个具有性质( )E n的 1 (z， 2 z，) n z， 使得( , )0T ， 1， 2，1n ， 且 1 (y， 2 y，) n y与 1 (z， 2 z，) n z不同 并且由的构造过程可以知道，当 1 (x， 2 x，) n x， 1 (y， 2 y，) n y确定 时， 1 (z， 2 z，) n z唯一确定 同样地，由，也仅能构造出 综上，命题得证