1、第 1页（共 21页） 2021 年河南省商丘市、新乡市部分高中高考数学联考试卷（文年河南省商丘市、新乡市部分高中高考数学联考试卷（文 科科） （3 月份）月份） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 2 |4Mx x， 3N ，1，1，2，3，则(MN ) A 1，1，2B 1，2，3C 2，1，1，2D 1，1 2 （5 分）已知复数z满足(2)|43 |(i zii为虚数单位） ，则(z )
2、 A2iB2iC12iD12i 3 （5 分）已知 1 tan 2 ，则tan24tan()( 4 ) A1B2C1D0 4 （5 分）命题： 若236 ab ，则 11 1 ab ； 若2336 ab ，则 111 2ab ； 若23216 ab ，则 111 3ab 类比命题，可得命题“若( ab mnt m，n均为于 1 的整数） ，则 111 abk ”其 中(t ) A k m nB k mnCkmnD()kmn 5 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) 3 xy Cb bb 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，P为椭圆C的上 顶点，若 12 3 FPF ，则(b ) A5B
3、4C3D2 6 （5 分）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类螺旋线这 个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷” 小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用 以下方法画出了如图所示的螺旋线具体作法是：先作边长为 1 的正三角形ABC，分别记 射线AC，BA，CB为 1 l， 2 l， 3 l，以C为圆心、CB为半径作劣弧 1 BC交 1 l于点 1 C；以A 为圆心、 1 AC为半径作劣弧 11 C A交 2 l于点 1 A；以B为圆心、 1 BA为半径作劣弧 11 AB交 3 l于 第 2页（共 21页） 点 1 B， 依此规律作下去， 就得到了一系列圆弧形成的螺旋线 记
4、劣弧 1 BC的长， 劣弧 11 C A 的长，劣弧 11 AB的长，依次为 1 a， 2 a， 3 a，则 129 (aaa) A30B45C60D65 7 （5 分）已知ABC是边长为 4 的等边三角形，D为BC的中点，E点在边AC上，设AD 与BE交于点P，则(BP BC ) A4B6C8D10 8 （5 分）古代人家修建大门时，贴近门墙放置两个石墩，称为门墩，亦称门枕石门墩的 作用是固定门框，防止大门前后晃动，另外门墩一般雕刻有传统的吉祥图案，起到装饰作 用如图，粗实线画出的是某门墩的三视图（其中网格纸的小正方形的边长为2)dm，则该 门墩的体积为() A 3 8 (48) 3 dm
5、B 3 16 (48) 3 dm C 3 32(32)8 3 dm D 3 32(32)16 3 dm 9 （5 分）设函数( )f x为定义在R上的偶函数，当0 x 时，( )()f xlnx，若 1.1 (2 )af， 0.4 (5)bf，(5)cf ln，则a，b，c的大小关系是() AabcBcbaCbcaDcab 第 3页（共 21页） 10 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F作E的 一条渐近线的垂线，垂足为T，交E的左支于点P若T恰好为线段 2 PF的中点，则E的离 心率为() A2B3C2D5 1
6、1（5 分） 在平面直角坐标系xOy中， 已知点P在直线4xy上， 过点P作圆 22 :4O xy 的两条切线，切点分别为A，B，则O到直线AB距离的最大值为() A1B2C3D2 12 （5 分）已知函数( )cos()(*) 3 f xxN ，若函数( )f x图象的相邻两对称轴之间的 距离至少为 4 ，且在区间 3 ( ,) 2 上存在最大值，则的取值个数为() A4B3C2D1 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分） 如图是某高速公路测速点在 2021 年 2 月 1 日8:00到18:00时测得的过往车辆
7、的 速度（单位：/ )km h的频率分布直方图，则该频率分布直方图中m ，此图可得在该 段时间内过往车辆的平均速度约为/km h 14 （5 分）设 n S为等比数列 n a的前n项和，且 25 80aa， 2 5 m SS，则m的值是 15 （5 分）已知函数 27 (0)yx x 图象的一条切线 1 l与直线 2:3 40lxy垂直，则 1 l的方程 为 16 （5 分）已知在正四面体ABCD中，点E在棱AC上，F为棱AD的中点若BEEF的 最小值为42，则该四面体外接球的表面积是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说眀、证
8、明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答。 （一一）必考题必考题： 共共 60 分。分。 第 4页（共 21页） 17 （12 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且22 cosacbC （1）求角B的大小； （2）设D为边AC上一点，ABDCBD ，1BD ，求ABC面积的最小值 18 （12 分）叶女士在某购物商场的消费金额达到了“贵宾级”水平，春节期间，商场决定 对“贵宾级”顾客给予每人一次抽奖机会，按照抽取奖券的价值选取商品，商场中可供选
9、取 的有A，B，C，D，E，F六种商品其中商品A，B每件价值 3000 元、商品C，D每 件价值 2000 元、商品E，F每件价值 1000 元叶女士抽取到一张价值 4000 元的奖券 （1）若她从这六种商品中任选三件，每种商品选一件，求她选取的商品价值恰好为其奖券 价值的概率； （2） 若她从六种商品中任意选取每种商品可以选取多件， 选取的商品总价值为其奖券价值， 求她选取的商品件数不超过三件的概率 19 （ 12 分 ） 在 四 棱 锥PABCD中 ，PA 平 面ABCD，22ACABAD， 90ADCABC （1）证明：平面PBD 平面PAC； （2）若F是PC的中点，求证：/ /BF平
10、面PAD 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)E ypx p的焦点为F，设 0 (G x，2)为抛物线E上一点， | 2GF （1）求抛物线E的方程； （2）不与坐标轴垂直的直线与抛物线E交于A，B两点，与x轴交于点P，线段AB的垂 直平分线与x轴交于Q点，若| 2|ABPQ，求点P的坐标 第 5页（共 21页） 21 （12 分）已知函数( )()()f xxa lnxx aR （1）当0a 时，是否存在唯一的 0 (0,)x ，使得 0 ()1f x ？并说明理由 （2）讨论( )f x的极值点的个数 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23
11、 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做两题中任选一题作答。如果多做，则按所做 的第一题计分。的第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为40 xy，曲线C的参数方程为 cos ( 2sin xt t yt 为参数） 以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线l和曲线C的极坐标方程； （2） 设射线(0,02 ) 与直线l和曲线C分别交于点M，N， 求 22 41 |OMON 的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|1|f xxx （1）求不等式( )6f
12、xx 的解集； （2）记( )f x的最小值为m，正实数a，b满足abm，证明： 11 1 m ambmm 第 6页（共 21页） 2021 年河南省商丘市、新乡市部分高中高考数学联考试卷（文年河南省商丘市、新乡市部分高中高考数学联考试卷（文 科科） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 2 |4Mx x， 3N ，1，1，2，3，则(MN
13、 ) A 1，1，2B 1，2，3C 2，1，1，2D 1，1 【解答】解： | 22Mxx ， 3N ，1，1，2，3， 1MN ，1，2 故选：A 2 （5 分）已知复数z满足(2)|43 |(i zii为虚数单位） ，则(z ) A2iB2iC12iD12i 【解答】解：由 22 (2)|43 |4( 3)5i zi ， 得 22 55(2)5(2) 2 2(2)(2)21 ii zi iii ， 故选：B 3 （5 分）已知 1 tan 2 ，则tan24tan()( 4 ) A1B2C1D0 【解答】解： 1 tan 2 ， 2 tantan 2tan 4 tan24tan()4 4
14、1 1tantan 4 tan 11 2()1 44 22 40 11 33 11 1 42 故选：D 4 （5 分）命题： 若236 ab ，则 11 1 ab ； 第 7页（共 21页） 若2336 ab ，则 111 2ab ； 若23216 ab ，则 111 3ab 类比命题，可得命题“若( ab mnt m，n均为于 1 的整数） ，则 111 abk ”其 中(t ) A k m nB k mnCkmnD()kmn 【解答】解：对于， 1 6(23)，对于： 2 36(2 3)， 对于： 3 216(2 3)， 类比，可得()ktmn， 故选：D 5 （5 分）已知椭圆 22 2
15、2 :1(0) 3 xy Cb bb 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，P为椭圆C的上 顶点，若 12 3 FPF ，则(b ) A5B4C3D2 【解答】解：由椭圆的方程可得： 22 33cbb 由 12 3 FPF ，则 2 6 F PO ， 所以 2 3 tan 3 c F PO b ， 所以可得3b ， 故选：C 6 （5 分）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类螺旋线这 个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷” 小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用 以下方法画出了如图所示的螺旋线具体作法是：先作边长为 1 的正三角形ABC，分别记 射线AC，BA，CB为
16、 1 l， 2 l， 3 l，以C为圆心、CB为半径作劣弧 1 BC交 1 l于点 1 C；以A 为圆心、 1 AC为半径作劣弧 11 C A交 2 l于点 1 A；以B为圆心、 1 BA为半径作劣弧 11 AB交 3 l于 点 1 B， 依此规律作下去， 就得到了一系列圆弧形成的螺旋线 记劣弧 1 BC的长， 劣弧 11 C A 的长，劣弧 11 AB的长，依次为 1 a， 2 a， 3 a，则 129 (aaa) 第 8页（共 21页） A30B45C60D65 【解答】解：由题意可知，第n个劣弧的半径为n，圆心角为 2 3 ， 所以第n个劣弧的弧长 22 33 n n an ， 所以 1
17、29 229 10 (129)30 332 aaa 故选：A 7 （5 分）已知ABC是边长为 4 的等边三角形，D为BC的中点，E点在边AC上，设AD 与BE交于点P，则(BP BC ) A4B6C8D10 【解答】解：因为ABC是边长为 4 的等边三角形，D为BC的中点， 所以ADBC， 由数量积的几何意义可知|cos| 248BP BCBP BCPBCBD BC 故选：C 8 （5 分）古代人家修建大门时，贴近门墙放置两个石墩，称为门墩，亦称门枕石门墩的 作用是固定门框，防止大门前后晃动，另外门墩一般雕刻有传统的吉祥图案，起到装饰作 第 9页（共 21页） 用如图，粗实线画出的是某门墩的
18、三视图（其中网格纸的小正方形的边长为2)dm，则该 门墩的体积为() A 3 8 (48) 3 dm B 3 16 (48) 3 dm C 3 32(32)8 3 dm D 3 32(32)16 3 dm 【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由 1 4 球和一个棱台组成的组 合体； 所以 3 1418 224424448 4323 V ， 故选：A 9 （5 分）设函数( )f x为定义在R上的偶函数，当0 x 时，( )()f xlnx，若 1.1 (2 )af， 0.4 (5)bf，(5)cf ln，则a，b，c的大小关系是() AabcBcbaCbcaDcab 【解答】
19、解：因为0 x 时，( )()f xlnx， 所以0 x 时，0 x ， 所以()( )fxlnxf x， 因为0 x 时，( )f xlnx单调递增， 因为51lnlne， 0.4 51， 则bc， 因为 114 101.10.411410 1010 2525253.27681， 故 1.10.4 25， 故ab 第 10页（共 21页） 综上abc 故选：B 10 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F作E的 一条渐近线的垂线，垂足为T，交E的左支于点P若T恰好为线段 2 PF的中点，则E的离 心率为() A2
20、B3C2D5 【解答】解：设 2( ,0) F c，E的一条渐近线的方程为 b yx a ， 过 2 F与E的一条渐近线垂直的直线 2 PF的方程为() a yxc b ， 联立可得垂足 2 (aT c ，) ab c ， 由T恰好为线段 2 PF的中点，可得 2 2 ( a Pc c ， 2 ) ab c ， 将P的坐标代入双曲线的方程可得， 222 2 2 24 ()1 aca acc ， 由 c e a ，可得 2 2 24 ()1e ee ， 解得5e ， 故选：D 11（5 分） 在平面直角坐标系xOy中， 已知点P在直线4xy上， 过点P作圆 22 :4O xy 的两条切线，切点分
21、别为A，B，则O到直线AB距离的最大值为() A1B2C3D2 【解答】解：根据题意，设( , )P m n为直线:4l xy上的一点，则4mn， 过点P作圆 22 :4O xy的切线，切点分别为A、B，则有OAPA，OBPB， 则点A、B在以OP为直径的圆上， 以OP为直径的圆的圆心为( 2 m ，) 2 n ，半径 22 1 | 22 mn rOP ， 则其方程为 22 22 ()() 224 mnmn xy ，变形可得 22 0 xymxny， 联立 22 22 4 0 xy xymxny ，可得：40mxny， 第 11页（共 21页） 又由4mn，则有(4)40mxm y，变形可得(
22、)440m xyy， 则有 0 440 xy y ，解可得1xy，故直线AB恒过定点(1,1)，设(1,1)M， 到OMAB时，O到直线AB的距离最大，其最大值为|1 12OM ， 故选：B 12 （5 分）已知函数( )cos()(*) 3 f xxN ，若函数( )f x图象的相邻两对称轴之间的 距离至少为 4 ，且在区间 3 ( ,) 2 上存在最大值，则的取值个数为() A4B3C2D1 【解答】解：对于函数( )cos()(*) 3 f xxN ， 若函数( )f x图象的相邻两对称轴之间的距离至少为 12 24 ，4 在区间 3 ( ,) 2 上存在最大值， 当4时，4( 3 x
23、4 3 ，6) 3 ，满足条件； 当3时，3( 3 x 3 ， 9 ) 23 ，满足条件； 当2时，2( 3 x 2 3 ，3) 3 ，不满足条件； 当1时，( 3 x 3 ， 3 ) 23 ，不满足条件， 则的取值个数为 2， 故选：C 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分） 如图是某高速公路测速点在 2021 年 2 月 1 日8:00到18:00时测得的过往车辆的 第 12页（共 21页） 速度（单位：/ )km h的频率分布直方图，则该频率分布直方图中m 0.04，此图可得在 该段时间内过往车辆的平均速度约
24、为/km h 【解答】 解： 根据频率分布直方图的特点可知，(0.010.030.02) 101m， 解得0.04m ； 各组的频率自左向右依次为 0.1，0.3，0.4，0.2， 故平均速度约为850.1950.31050.41150.2102(/ )km h 故答案为：0.04；102 14 （5 分）设 n S为等比数列 n a的前n项和，且 25 80aa， 2 5 m SS，则m的值是 4 【解答】解：设等比数列 n a的公比为q， 由 25 80aa可得： 35 2 8 a q a ，解得：2q ， 2 5 m SS， 2 11 (12 )(12 ) 5 1212 m aa ，即1
25、215 m ，解得：4m ， 故答案为：4 15 （5 分）已知函数 27 (0)yx x 图象的一条切线 1 l与直线 2:3 40lxy垂直，则 1 l的方程 为43360 xy 【解答】解：函数 27 (0)yx x 的导数为 2 27 y x ， 设切点为( , )m n，可得切线的斜率为 2 27 m ， 又切线 1 l与直线 2:3 40lxy垂直， 可得 2 274 3m ，解得 9 2 m ， 则 27 6n m ， 所以切线 1 l的方程为 49 6() 32 yx ， 即为43360 xy 第 13页（共 21页） 故答案为：43360 xy 16 （5 分）已知在正四面体
26、ABCD中，点E在棱AC上，F为棱AD的中点若BEEF的 最小值为42，则该四面体外接球的表面积是36 【解答】解：将三角形ABC与三角形ACD展成平面，BEEF的最小值，即为BF两点之 间连线的距离， 则42BF ， 设2ABa，则120BAD，由余弦定理 22 4421 222 aa aa ，解得6a ， 则正四面体棱长为2 6，因为正四面体的外接球半径是棱长的 6 4 倍， （正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球， 正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：2； 对角线长为：2 3，面对角线长度为2， 棱长为x的正四面体的外接球半径为 6 ) 4 x 所以，设外接球半径为R，
27、则 6 2 63 4 R ， 则表面积 2 44936SR 故答案为：36 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答。 （一一）必考题必考题： 共共 60 分。分。 17 （12 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且22 cosacbC （1）求角B的大小； （2）设D为边AC上一点，ABDCBD ，1BD ，求ABC面积的最小值 第 1
28、4页（共 21页） 【解答】解： （1）由正弦定理知， sinsinsin abc ABC ， 22 cosacbC， 2sinsin2sincosACBC， 又sinsin()sincoscossinABCBCBC， 2cossinsin0BCC， sin0C ， 1 cos 2 B ， (0, )B， 2 3 B （2）由（1）知， 2 3 B ， 3 ABDCBD ， 在ABD中，由余弦定理知， 22222 1 2cos1211 2 ADABBDAB BDABDcccc ， 在BCD中，由余弦定理知， 22222 1 2cos1211 2 CDBCBDBC BDCBDaaaa ， 由角分
29、线定理知， ADABc CDBCa ， 22 22 1 1 ccc aaa ，化简得()()0ac acac， 当0ac，即ac时，ABC为等腰三角形，其面积为定值； 当0acac时，有2acacac ，4ac，当且仅当2ac时，等号成立， ABC的面积 112 sin4sin3 223 SacB ， ABC面积的最小值为3 18 （12 分）叶女士在某购物商场的消费金额达到了“贵宾级”水平，春节期间，商场决定 对“贵宾级”顾客给予每人一次抽奖机会，按照抽取奖券的价值选取商品，商场中可供选取 的有A，B，C，D，E，F六种商品其中商品A，B每件价值 3000 元、商品C，D每 件价值 2000
30、 元、商品E，F每件价值 1000 元叶女士抽取到一张价值 4000 元的奖券 第 15页（共 21页） （1）若她从这六种商品中任选三件，每种商品选一件，求她选取的商品价值恰好为其奖券 价值的概率； （2） 若她从六种商品中任意选取每种商品可以选取多件， 选取的商品总价值为其奖券价值， 求她选取的商品件数不超过三件的概率 【解答】解： （1）解法一：她从这六种商品中任选三件，每种商品选一件， 基本事件总数 3 6 20nC， 她选取的商品价值恰好为其奖券价值指C或D种商品中选一件，E、F种商品中各选一件， 不同的选法有 12 22 2mC C， 她选取的商品价值恰好为其奖券价值的概率 21
31、2010 m P n 解法二：含商品A时，B，C，D，E，F中再选 2 件，基本事件有： ABC，ABD，ABE，ABF，ACD，ACE，ACF，ADE，ADF，AEF，共 10 个， 不含商品A时，从B，C，D，E，F中选 3 件，含有B时，再从C，D，E，F中选 2 件， 基本事件有：BCD，BCE，BCF，BDE，BDF，BEF，共 6 个， 不含B时，从C，D，E，F中选 3 件，基本事件有： CDE，CDF，CEF，DEF，共 4 个， 基本事件总数为106420n ， 其中总价值 4000 元的事件有：CEF，DEF，共 2 个， 她选取的商品价值恰好为其奖券价值的概率 21 20
32、10 P （2）价值 4000 元的基本事件： 选取 2 件时：A，B选一，即AE，AF，BE，BF，共 4 个， 从C，D中选，有CC，CD，DD，共 3 个， 选取 3 件时，C，D选 1，E，F选 2，即CEE，CEF，CFF，DEF，DEE，DFF， 共 6 个， 选 4 件时，只能在E，F中选，即EEEE，EEEF，EEFF，EFFF，FFFF，共 5 个， 基本事件总数 1 436518n ， 其中不超过 3 件的基本事件个数 1 43613m ， 她选取的商品件数不超过三件的概率为 1 1 13 18 m P n 第 16页（共 21页） 19 （ 12 分 ） 在 四 棱 锥P
33、ABCD中 ，PA 平 面ABCD，22ACABAD， 90ADCABC （1）证明：平面PBD 平面PAC； （2）若F是PC的中点，求证：/ /BF平面PAD 【解答】证明： （1）PA 平面ABCD，BD 平面ABCD， PABD， ACAC，ABAD，90ADCABC ， Rt ABCRt ADC，可得BCDC， 则ACBD， 又PAACA ，PA、AC 平面PAC，BD平面PAC， 而BD 平面PBD，平面PBD 平面PAC； （2）设线段AC的中点为O，连接OB，OF， 则/ /OFPA，而PA平面PAD，OF 平面PAD， / /OF平面PAD 90ABC， 1 2 BOACAD
34、， 同理 1 2 DOACAB，又ABAD， 四边形ABOD是平行四边形，/ /BOAD， 而AD 平面PAD，BO 平面PAD， / /BO平面PAD 又OBOFO ，OB，OF 平面OBF，面/ /OBF面PAD， 又BF 面OBF，/ /BF面PAD 第 17页（共 21页） 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)E ypx p的焦点为F，设 0 (G x，2)为抛物线E上一点， | 2GF （1）求抛物线E的方程； （2）不与坐标轴垂直的直线与抛物线E交于A，B两点，与x轴交于点P，线段AB的垂 直平分线与x轴交于Q点，若| 2|ABPQ，求点P的坐标 【解答】解： （1）点G在
35、抛物线E上， 0 42px， 又| 2GF ， 0 2 2 p x ， 联立可得2p ， 故抛物线E的方程为 2 4yx； （2）设( ,0)P n，直线AB的方程为xtyn， 代入 2 4yx并整理，得 2 440ytyn 由题意得， 2 16160tn，即 2 0tn， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 12 4yyt， 12 4y yn ， 2222 1212 |1()41(4 )4( 4 )ABtyyy yttn 22 4 (1)()tnt 设AB的中点为 0 (R x， 0) y，则 12 0 2 2 yy yt ， 00 xtyn， 第 18页（共 21
36、页） 即 2 (2Rtn，2 ) t， 直线RQ的方程为 2 2(2)ytt xtn ， 令0y ，得 2 22xtn， 2 (22Qtn，0)， 222 | |22| 2|1| 2(1)PQtnntt， 由| 2|ABPQ，得 222 4 (1)()22(1)tntt，解得1n ， 适合 2 16160tn 故P点坐标为(1,0) 21 （12 分）已知函数( )()()f xxa lnxx aR （1）当0a 时，是否存在唯一的 0 (0,)x ，使得 0 ()1f x ？并说明理由 （2）讨论( )f x的极值点的个数 【解答】解：( )f x的定义域为(0,)， （1）当0a 时，(
37、)f xxInxx，( )0fx， 当01x时，( )0fx；当1x 时，( )0fx ( )f x在(0,1)上为减函数，在(1,)上为增函数， 1x是( )f x的极小值点，也是( )f x的最小值点，且( )minf xf（1）1 故存在唯一的 0 1x ，使得 0 ()1f x （2） 1 ( )()1 axInx fxxaInx xx 令( )h xaxInx，则( )1h xInx， 当 1 0 x e 时，( )0h x，当 1 x e 时，( )0h x， 函数( )h x在 1 (0, ) e 上单调递减，在 1 (e，)， 11 ( )( ) min h xha ee 当
38、1 a e 时，( )0 min h x， 对(0,)x ，( )( )0 min h xh x， 对(0,)x ，( ) 0fx，函数( )f x在(0,)上单调递增， ( )f x无极值点 当 1 a e 时， 1 ( )0 min h xa e ， 第 19页（共 21页） 若0a， 1 (0, )x e 时，0 xInx ，对 1 (0, )x e ，( )0h x 1111 ()(1)(1)0 aaaa h eaeaaee ， 1 0 (xe， 1)a e ，使得 0 ()0h x， 当 0 (0,)xx时，( )0h x ，当 0 (xx，)时，( )0h x ， 在 0 (0,)
39、x上，( )0fx，在 0 (x，)上，( )0fx， ( )f x在 0 (0,)x上单调递减，在 0 (x，)上单调递增， 当0a时，( )f x有一个极小值点，无极大值点 若 1 0a e 时，在 1 (0, ) e 上，因0 x 时，0 xInx ， 1 ( )(h xa e ，)a，在 1 (e，)上， ()(1)0 aaaa h eae Ineae，且( )h x在 1 (e，)上单调递增， 1 ( )(h xa e ，)， ( )fx 在 1 (0, ) e ， 1 (e，)上各有一个零点 1 x， 2 x列表如下： 当 1 0a e 时，( )f x有两个极值点 综上： 当0a
40、时， 函数( )f x有一个极值点； 当 1 0a e 时， 函数( )f x有两个极值点； 当 1 a e 时，函数( )f x无极值点 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做两题中任选一题作答。如果多做，则按所做 的第一题计分。的第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为40 xy，曲线C的参数方程为 cos ( 2sin xt t yt 为参数） 以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线l和曲线C的极坐标方
41、程； （2） 设射线(0,02 ) 与直线l和曲线C分别交于点M，N， 求 22 41 |OMON 的最小值 第 20页（共 21页） 【解答】解： （1）由cosx，siny， 222 xy， 可得直线l的极坐标方程为cossin40，即有 4 cossin ； 曲线C的参数方程为 cos ( 2sin xt t yt 为参数） ， 可得 2 222 sincos1 2 y ttx， 则 2222 1 cossin1 2 ， 即为 2 222 22 21cossincos ； （2）设 1 (M，)， 2 (N，)，其中 3 0 4 或 7 2 4 ， 则 22 22 41(cossin)1
42、 |42 cos OMON 12sincos3cos2sin2cos22 11sin(2) 44444 ， 由sin(2)1 4 即 5 8 或 13 8 时， 22 41 |OMON 取得最小值 2 1 4 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|1|f xxx （1）求不等式( )6f xx 的解集； （2）记( )f x的最小值为m，正实数a，b满足abm，证明： 11 1 m ambmm 【解答】解： （1）|1|1|6xxx等价为 1 1 16 x xx x 或 11 1 16 x xx x 或 1 116 x xxx ， 解得21x 或11x 或16x ， 所以原不等式的解集为 2，6； （2）证明：由( ) |1|1|1 1| 2f xxxxx ，当11x 时，取得等号， 所以2m ，即有2ab，a，0b ， 则 11111 (22)() 22622 ab abab 12212 (1 1)(22) 62263 ba ab ， 第 21页（共 21页） 当且仅当22ab，即1ab时，取得等号 所以 11 1 m ambmm
