1、第 1页（共 16页） 2021 年吉林省长春市高考数学质量监测试卷（文科年吉林省长春市高考数学质量监测试卷（文科） （三）（三） 一一、选择题选择题：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合 题目要求的题目要求的. 1 （5 分）已知集合0A ，1，2，4， |2nBx x，nA，则(AB ) A1，2B1，4C2，4D1，2，4 2 （5 分）复数(12 )(ii i是虚数单位）的虚部是() A2iBiC2D1 3 （5 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且 2 2 n Snn，则 4 a的
2、值为() A7B13C28D36 4 （5 分）下列函数中，周期为，且在区间( 2 ，)单调递增的是() A|sin|yxBtan2yxCcos2yxDsin2yx 5 （5 分）已知向量a ，b 满足| 1a ，| 2b ，1a b ，则|2| (ab ) A2B2 2C2 3D2 5 6 （5 分）设a，b为两条直线，为两个平面，则下列说法正确的是() A若/ /a，b，则/ /abB若/ /ab，/ /a，则/ /b C若a，/ /a，则D若a，ab，则/ /b 7 （5 分）曲线( )f xxlnx在xe处的切线方程为() AyxByxeC2yxeD2yxe 8 （5 分）如图是某多面
3、体的三视图，其俯视图为等腰直角三角形，则该多面体各面中，最 大面的面积为() A 5 2 B 6 2 C2D2 9 （5 分）某同学掷骰子 5 次，并记录了每次骰子出现的点数，得出平均数为 2，方差为 2.4 第 2页（共 16页） 的统计结果，则下列点数中一定不出现的是() A1B2C5D6 10 （5 分）已知直线:240l axby被圆 22 :5C xy截得弦长为 2，则ab的最大值为( ) A5B2C3D1 11 （5 分）已知函数 |21|,2 ( ) 3 ,2 1 x x f x x x ，若方程( )f xk有且仅有两个不等实根，则实 数k的取值范围是() A13kB13k C
4、03kD3k 12 （5 分）第 24 届冬季奥林匹克运动会，将在 2022 年 02 月 04 日在中华人民共和国北京 市和张家口市联合举行 这是中国历史上第一次举办冬季奥运会， 北京成为奥运史上第一个 举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市同时中国也成为第一个实现奥运 “全满贯” （先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家根据规划，国 家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图 如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一 端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD（如图） ，且两切线斜率之积等于 9
5、16 ，则椭圆的 离心率为() A 3 4 B 7 4 C 9 16 D 3 2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13 （5 分）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点(2, 1)在终 边上，则cos2 14 （5 分）根据事实 2 1 1； 2 132； 2 1353； 2 13574；，写出一个含有 第 3页（共 16页） 量词的全称命题： 15 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F作渐近线 的垂线，垂足为P，O为坐标原点，且 2 1 tan 3
6、PF O，则双曲线的离心率为 16（5 分）ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 2 sinsin()2 3 sinsin 2 B aCACcA， 则角B的值为；若6ac，ABC的面积为2 3，则边长b的值为 三三、解答题解答题：共共 70 分分，解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 2223 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知数列 n a是各项均为正数的等比数列，
7、其前n项和为 n S，满足 33 7Sa， 1 1 2 a （）求数列 n a的通项公式； （）设 2 log nnn baa，求数列 n b前n项和为 n T 18 （12 分）近年来我国电子商务行业迎来篷勃发展的新机遇，2016 年双 11 期间，某购物 平台的销售业绩高达一千多亿人民币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品 和服务的评价体系现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商 品的好评率为 0.6，对服务的好评率为 0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次 （）请完成如下列联表； 对服务好评对服务不满意合计 对 商品 好评 对商品不满意 合计
8、 （）是否可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ （）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这 200 次交易中取出 5 次交易，并从中 选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率 2 ()P Kk 0.150.100.050.0250.0100.0050.001 第 4页（共 16页） k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中)nabcd 19 （12 分）如图，三棱锥PABC的底面ABC和侧面PAB都是边长为 4 的等边三角形， 且平面PA
9、B 平面ABC，点E为线段PA中点，O为AB中点，点F为AB上的动点 （）若/ /PO平面CEF，求线段AF的长； （）在（）条件下，求三棱锥EACF与四棱锥CBPEF的体积之比 20 （12 分）设函数( ) x e f x x ， 1 ( )g xlnx x （）求( )f x的单调区间； （）设函数( )( )( )F xf xag x是增函数，求实数a的值 21 （12 分）已知椭圆 22 2 :1(2) 2 xy Ca a 的右焦点为F，A、B分别为椭圆的左顶点和 上顶点，ABF的面积为21 （）求椭圆C的标准方程； （）过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线AP、AQ分别与直线
10、2 2x 交于 点M、N证明：FMFN （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1 C的方程为 2 4 ( 4 xt t yt 为参数） ， 曲线 2 C的极坐标方程为cossin2， 曲线 1 C与 2 C相 交于A，B两点 （）求曲线 1 C的普通方程及曲线 2 C的直角坐标方程； （）求点(1, 1)M到A，B两点的距
11、离之和 选修选修 4-5 不等式选讲不等式选讲 第 5页（共 16页） 23 （）求|21|23| 4xx的解集M； （）在（）条件下，设a，b，cM，证明：(2)a b，(2)b c，(2) c a不能都大于 1 第 6页（共 16页） 2021 年吉林省长春市高考数学质量监测试卷（文科年吉林省长春市高考数学质量监测试卷（文科） （三）（三） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合 题目要求的题目要求的. 1 （5 分）已知集合0A ，1，2
12、，4， |2nBx x，nA，则(AB ) A1，2B1，4C2，4D1，2，4 【解答】解：0A ，1，2，4，1B ，2，4，16， 1AB ，2，4 故选：D 2 （5 分）复数(12 )(ii i是虚数单位）的虚部是() A2iBiC2D1 【解答】解：(12 )2iii ， 复数(12 ) ii的虚部是 1 故选：D 3 （5 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且 2 2 n Snn，则 4 a的值为() A7B13C28D36 【解答】解：因为 2 2 n Snn， 所以 443 281513aSS 故选：B 4 （5 分）下列函数中，周期为，且在区间( 2 ，)单调递增的
13、是() A|sin|yxBtan2yxCcos2yxDsin2yx 【解答】解：由周期是，排除B， 又由于|sin|yx在区间(, ) 2 单调递减函数，排除A； sin2yx在区间(, ) 2 不是单调函数，排除D 只有cos2yx满足题意 故选：C 5 （5 分）已知向量a ，b 满足| 1a ，| 2b ，1a b ，则|2| (ab ) 第 7页（共 16页） A2B2 2C2 3D2 5 【解答】解：向量a ，b 满足| 1a ，| 2b ，1a b ， 则 222 |2|4412|2| 2 3ababa bab 故选：C 6 （5 分）设a，b为两条直线，为两个平面，则下列说法正确
14、的是() A若/ /a，b，则/ /abB若/ /ab，/ /a，则/ /b C若a，/ /a，则D若a，ab，则/ /b 【解答】解：对于:/ /A a，b，则/ /ab，a与b可能异面； 对于:/ /B ab，/ /a，则/ /b，b可能在面内； 对于C，a，/ /a，则，满足直线与平面垂直的性质，所以C正确； 对于:D a，ab，则/ /b，b可能在面内 故选：C 7 （5 分）曲线( )f xxlnx在xe处的切线方程为() AyxByxeC2yxeD2yxe 【解答】解：求导函数( )1fxlnx，f （e）12lne f（e）elnee 曲线( )f xxlnx在xe处的切线方程为
15、2()yexe，即2yxe 故选：D 8 （5 分）如图是某多面体的三视图，其俯视图为等腰直角三角形，则该多面体各面中，最 大面的面积为() A 5 2 B 6 2 C2D2 【解答】解：几何体直观图如图，四个面的面积分别为 26 1,1, 22 ， 故最大面积为 6 2 第 8页（共 16页） 故选：B 9 （5 分）某同学掷骰子 5 次，并记录了每次骰子出现的点数，得出平均数为 2，方差为 2.4 的统计结果，则下列点数中一定不出现的是() A1B2C5D6 【解答】解：若出现点数 6，则 2 (62) 3.2 5 ，根据方差的计算公式可知，方差大于 2.4， 若出现点数 1， 2， 5
16、时， 则分别有 2 (12) 1.82.4 5 ， 2 (22) 02.4 5 ， 2 (52) 0.22.4 5 ， 故均可以 所以一定不出现的是点数 6 故选：D 10 （5 分）已知直线:240l axby被圆 22 :5C xy截得弦长为 2，则ab的最大值为( ) A5B2C3D1 【解答】解：根据题意，圆 22 :5C xy的圆心为(0,0)，半径5r ， 若直线:240l axby被圆 22 :5C xy截得弦长为 2， 则C到直线l的距离512d ， 又由直线:240l axby，则有 22 4 2 4 d ab ，变形可得 22 44ab， 又由 22 444abab，变形可
17、得1ab，当且仅当2ab时取等号， 故ab的最大值为 1， 故选：D 11 （5 分）已知函数 |21|,2 ( ) 3 ,2 1 x x f x x x ，若方程( )f xk有且仅有两个不等实根，则实 数k的取值范围是() A13kB13k C03kD3k 【解答】解：由题意画出函数图象如图， 第 9页（共 16页） 由图可知，要使方程( )f xk有两个不等的实根， 则实数k的取值范围是1，3) 故选：B 12 （5 分）第 24 届冬季奥林匹克运动会，将在 2022 年 02 月 04 日在中华人民共和国北京 市和张家口市联合举行 这是中国历史上第一次举办冬季奥运会， 北京成为奥运史上
18、第一个 举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市同时中国也成为第一个实现奥运 “全满贯” （先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家根据规划，国 家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图 如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一 端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD（如图） ，且两切线斜率之积等于 9 16 ，则椭圆的 离心率为() A 3 4 B 7 4 C 9 16 D 3 2 【解答】解：设内层椭圆方程为 22 22 1 xy ab ，因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆， 可设成， 22
19、22 1(1) ()() xy m mamb ， 设切线的方程为 1( )yk xma， 与 22 22 1 xy ab 联立得， 22223224222 111 ()20ba kxma k xm a ka b， 由0，则 2 2 1 22 1 (1) b k am ，同理 2 22 2 2 (1) b km a ， 所以 4 222 12 4 9 () 16 b k k a ，因此 7 4 e 故选：B 第 10页（共 16页） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13 （5 分）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点(2, 1)
20、在终 边上，则cos2 3 5 【解答】解：角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点(2, 1)在终边上， 则 22 5 cos 541 ， 2 3 cos22cos1 5 ， 故答案为： 3 5 14 （5 分）根据事实 2 1 1； 2 132； 2 1353； 2 13574；，写出一个含有 量词的全称命题： * nN ， 2 135(21)nn 【解答】解： * nN ， 2 135(21)nn 答案不唯一，合情合理即可 15 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F作渐近线 的垂线，垂足为P，O为坐
21、标原点，且 2 1 tan 3 PF O，则双曲线的离心率为10 【解答】解：焦点到渐近线的距离为b，则 2 1 tan 3 a PF O b ，所以 2 1( )10 b e a 故答案为：10 16（5 分）ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 2 sinsin()2 3 sinsin 2 B aCACcA， 则角B的值为 3 ；若6ac，ABC的面积为2 3，则边长b的值为 【解答】解：因为 2 sinsin()2 3 sinsin 2 B aCACcA， 所以sinsinsin()3sinsin (1cos )ACACCAB， 因为sinsin0AC ， 则sin3(1cos
22、)BB， 所以sin3cos3BB， 即 3 sin() 323 BB ， 因为 13 sin2 3 24 ABC SacBac ， 第 11页（共 16页） 所以8ac ， 由余弦定理得 2222 2cos()3362412bacacBacac， 故2 3b 故答案为： 3 ，2 3 三三、解答题解答题：共共 70 分分，解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 2223 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60
23、 分分. 17 （12 分）已知数列 n a是各项均为正数的等比数列，其前n项和为 n S，满足 33 7Sa， 1 1 2 a （）求数列 n a的通项公式； （）设 2 log nnn baa，求数列 n b前n项和为 n T 【解答】解： （）设公比为q，0q ， 由 33 7Sa， 1 1 2 a ，可得 1233 7aaaa， 即有 22 17qqq，解得 1 2 q ， 所以 1 ( ) 2 n n a ； （）由（）可得 2 1 log( ) 2 n nnn baan， 所以 11 (1) 111 22 (1)1( )(1) 1 222 1 2 n n n Tn nn n 18
24、（12 分）近年来我国电子商务行业迎来篷勃发展的新机遇，2016 年双 11 期间，某购物 平台的销售业绩高达一千多亿人民币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品 和服务的评价体系现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商 品的好评率为 0.6，对服务的好评率为 0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次 （）请完成如下列联表； 对服务好评对服务不满意合计 对 商品 好评 第 12页（共 16页） 对商品不满意 合计 （）是否可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ （）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这 200 次交
25、易中取出 5 次交易，并从中 选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率 2 ()P Kk 0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中)nabcd 【解答】解： （）由题意可得关于商品和服务评价的22列联表： 对服务好评对服务不满意合计 对商品好评8040120 对商品不满意701080 合计15050200 （4 分） （）根据表中数据，计算 2 2 200(80 104070) 11.11110.828 150
26、50 120 80 K ， 故可以认为在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，商品好评与服务好评有关；（8 分） （）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这 200 次交易中取出 5 次交易， 则好评的交易次数为 3 次，不满意的次数为 2 次，令好评的交易为A，B，C，不满意的 交易为a，b， 从 5 次交易中，取出 2 次的所有取法为 ( , )A B，( ,)A C，( , )A a，( , )A b，( ,)B C，( , )B a，( , )B b， ( , )C a，( , )C b，( , )a b，共计 10 种情况， 其中只有一次好评的情况是 ( , )A a，( , )A
27、 b，( , )B a，( , )B b，( , )C a，( , )C b，共计 6 种， 因此，只有一次好评的概率为 63 105 P （12 分） 19 （12 分）如图，三棱锥PABC的底面ABC和侧面PAB都是边长为 4 的等边三角形， 且平面PAB 平面ABC，点E为线段PA中点，O为AB中点，点F为AB上的动点 第 13页（共 16页） （）若/ /PO平面CEF，求线段AF的长； （）在（）条件下，求三棱锥EACF与四棱锥CBPEF的体积之比 【解答】解： （）因为/ /PO平面CEF，PO 平面APB，平面CEF平面APBEF 所以/ /POEF，即F为AB的四等分点，即1A
28、F ； （）在（）条件下， 1 1 3 1 7 3 AEFCAEF EACFCAEFAEF C BPEFC BPEFBPEF BPEFCABP Sh VVS VVS Sh 三棱锥EACF与四棱锥CBPEF的体积之比为 1 7 20 （12 分）设函数( ) x e f x x ， 1 ( )g xlnx x （）求( )f x的单调区间； （）设函数( )( )( )F xf xag x是增函数，求实数a的值 【解答】解： （）( )f x的定义域为(，0)(0，)， 2 (1) ( ) x ex fx x ，解( )0fx得1x ，解( )0fx得1x 且0 x ， 故( )f x的单调增区
29、间为(1,)，单调递减区间为(,0)，(0,1)； （） 1 ( )() x e F xa lnx xx ，定义域为(0,)， 2 ()(1) ( ) x ea x F x x ， 若( )F x为增函数，则( ) 0F x对任意0 x 恒成立， 若1a，则0 x ea故( )F x在(0,1)单调递减，在(1,)单调递增，不符合题意， 若1ae，则( )F x在(0,)lna单调递增， 在(,1)lna单调递减，在(1,)单调递增，不符题意， 若ae，则( )F x在(0,1)单调递增， 在(1,)lna单调递减，在(,)lna 单调递增，不符题意， 当ae时，1lna ，此时( ) 0F
30、x恒成立；故符合题意； 综上所述，ae为所求 第 14页（共 16页） 21 （12 分）已知椭圆 22 2 :1(2) 2 xy Ca a 的右焦点为F，A、B分别为椭圆的左顶点和 上顶点，ABF的面积为21 （）求椭圆C的标准方程； （）过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线AP、AQ分别与直线2 2x 交于 点M、N证明：FMFN 【解答】 （1）解： 2 11 ()(2)221 22 ABF Sacbaa ， 解得2a ，即椭圆C的标准方程为 22 1 42 xy (11)证明：已知点( 2,0)A ，设直线PQ的方程为2xty， 点 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2
31、) y直线AP的方程为 1 1 (2) 2 y yx x ， 直线AQ的方程为 2 2 (2) 2 y yx x ，将2 2x 代入直线AP、AQ方程， 可得(2 2M， 1 1 (2 22) ) 2 y x ，(2 2N， 2 2 (2 22) ) 2 y x 已知右焦点F的坐标为( 2,0)， 则 212 12 (2 22)(2 22) (2 22)()() 22 yy FM FN xx 12 12 (2 22)(2 22) 2 22 yy xx 12 12 (2 22)(2 22) 2 2222 yy t yty 2 12 12 (2 22) 2 (22) (22) y y tyty 2
32、 12 22 1212 (2 22) 2 ( 22) ()( 22) y y t y yt yy ， 联立椭圆 22 1 42 xy 和直线PQ的方程2xty，可得 22 (2)240tyy， 化简得 22 (2)2 220tyty，即 1212 22 2 22 , 22 t yyy y tt ， 代入上式化简得 第 15页（共 16页） 22 12 22222 1212 (2 22)(2 22) ( 2) 220 ( 22) ()( 22)( 2)( 22) ( 2 2 )( 22) (2) y y FM FN t y yt yytttt ， 因此FMFN （二）选考题：共（二）选考题：共
33、10 分，请考生在分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1 C的方程为 2 4 ( 4 xt t yt 为参数） ， 曲线 2 C的极坐标方程为cossin2， 曲线 1 C与 2 C相 交于A，B两点 （）求曲线 1 C的普通方程及曲线 2 C的直角坐标方程； （）求点(1, 1)M到A，B两点的距离之和 【解答】解： （）由 2 4 ( 4 xt t yt 为参数） ，
34、消去参数t，可得曲线 1 C的普通方程 2 4yx， 由cossin2， 结合cosx，siny， 可得曲线 2 C的直角坐标方程2xy； （）曲线 2 C的参数方程为 2 1 2 ( 2 1 2 xt t yt 为参数） ， 将其代入到曲线 1 C的普通方程 2 4yx中，有 2 1 3 230 2 tt， 设 1 t， 2 t分别为A，B两点对应的参数，有 121 2 6 2,6ttt t ， 由直线参数的几何意义，(1, 1)M到A，B两点的距离之和为： 2 12121 2 |()4724( 6)4 6ttttt t 选修选修 4-5 不等式选讲不等式选讲 23 （）求|21|23| 4
35、xx的解集M； （）在（）条件下，设a，b，cM，证明：(2)a b，(2)b c，(2) c a不能都大于 1 【解答】解： （）原不等式等价于 1 2 12324 x xx ，解得 1 0 2 x ， 第 16页（共 16页） 或 13 22 21324 x xx ，解得 13 22 x， 或 3 2 21234 x xx ，解得 3 2 2 x ， 综上，原不等式解集为 |02Mxx （）由( ) I知0a，b，2c ， 由基本不等式，0(2)1a a，0(2)1b b，0(2)1c c， 所以0(2) (2) (2)1a ab bc c， 假设(2)a b，(2)b c，(2) c a都大于 1， 有(2) (2) (2)1a bb cc a， 这与0(2) (2) (2)1a ab bc c矛盾， 所以(2)a b，(2)b c，(2) c a不能都大于 1
