1、第 1页（共 20页） 2021 年宁夏吴忠市高考数学模拟试卷（理科年宁夏吴忠市高考数学模拟试卷（理科） （4 月份）月份） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 2 |20Ax xx， |04Bxx ，则()( RA B ) A |04xx B |02xx C |2x xD |4x x 2 （5 分）已知i为虚数单位，aR，若复数 2i ai 为纯虚数，则(a ) A 1 2 B 1 2 C2D2 3 （5
2、 分）已知命题:pxR ，cos1x，则p为() AxR ，cos1xBxR ，cos1x CxR ，cos1x DxR ，cos1x 4 （5 分） 8 1 ()x x 展开式中 5 x的系数是() A20B28C16D8 5 （5 分）如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若 ( ,)DEABADR ，则等于() A1B1C 1 2 D 1 2 6 （5 分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的体积为 64，则这个球 的表面积为() A40B42C36D48 7 （5 分）执行下面的程序框图，若输出的m的值为3，则输入a的值为() 第 2页（共 2
3、0页） A 45 16 B 93 32 C 5 8 D3 8 （5 分）复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织 研制、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车2019 年 12 月 30 日， 400CRBFC智能复兴号动车组在京张高铁实现时速350km自动驾驶，不仅速度比普通列 车快，而且车内噪声更小我们用声强I（单位： 2 /)Wm表示声音在传播途径中每平方米 上的声能流密度，声强级L（单位：)dB与声强I的函数关系式为10()Llg aI，已知 132 10/IWm时，10LdB若要将某列车的声强级降低30dB，则该列车的声强应变为原 声强的()
4、 A 5 10倍B 4 10倍C 3 10倍D 2 10倍 9 （5 分）已知实数x，y满足约束条件 4 0 24 0 0 xy xy xy ，则 1 y z x 的最小值为() A 4 3 B 4 5 C2D3 10 （5 分）已知正项等比数列 n a满足 202120202019 2aaa，若存在两项 p a， r a，使得 2 2 pr a aa，则 14 pr 的最小值为() A2B3C 3 2 D 9 4 11 （5 分）已知 1 l， 2 l是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Tab ab 的两条渐近线，直线l经过T的右 第 3页（共 20页） 焦点F，且 1 / /ll，
5、l交T于点M，交 2 l于点Q，若 |1 2 , |2 3 FM FQ ，则双曲线T离心率e的 取值范围为() A2，3B 2, 3C 3,2D 2,3 12 （5 分）已知函数( ) | lnx f x x ，若(),( ),(2 ) 77 e afbfcfe ，其中2.718e ，则a， b，c的大小关系是() AabcBcbaCbacDcab 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知等差数列 n a中， 2 6a ， 5 15a ，若 2nn ba，则数列 n b的前 5 项和等 于 14 （5 分）甲、乙两
6、名运动员进行乒乓球比赛，比赛采取 5 局 3 胜制，已知每局比赛甲胜 的概率为 2 3 ，乙胜的概率为 1 3 ，且各局比赛结果互不影响若第一局乙胜，则本次比赛甲胜 的概率为 15 （5 分）过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点F作斜率为 1 2 的直线l，与该抛物线交于A，B 两点，若OAB的面积等于2 5(O为坐标原点） ，则p 16 （5 分）已知函数( )f x和(2)f x 都是定义在R上的偶函数当0 x，2时，( )4xf x ， 则 2021 () 2 f 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、明过程或演算步骤。第解答应写出文字说明、明过程或演算步骤。第
7、 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题：共共 60 分分 1 模学试卷模学试卷 17 （12 分）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且13c ，4ab， sinsin 2 AB bcB ，求： （1）C的值； （2）ABC的面积S 18 （12 分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长等于 2 的正方形，且平 面PDC 平面ABCD，PDPC，若四棱锥PABCD的高等于 1 （1）求证：平面APD 平面BPC； 第
8、4页（共 20页） （2）求二面角APBC的余弦值 19 （12 分）为了有针对性的指导学生锻炼身体，某学校对初一年级学生身体素质进行了综 合评估，把学生的身体素质按优劣分为“优、良、合格、差”四个等级同时，级部为了进 一步了解导致身体素质出现差别的原因， 特随机调查了 100 名学生每天锻炼身体的时间， 整 理数据得到如表（单位：人）: 锻炼时间 （分钟） 身体素质 等级 0，30(30，60 (60，90 优21625 良51012 合格6780 差720 （1）随机抽取该年级一位学生，估计他的身体素质为“优、良、合格、差”的概率； （2）求该年级学生每天锻炼时间的平均值（同一组中的数据用
9、该组区间的中点值为代表） ； （3）若某学生身体素质为优或良，则称该学生“身体条件好” ；若某学生身体素质为合格或 差，则称该学生“身体条件一般” 根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联表， 判断是否有95%的把握认为学生身体素质好不好与他每天锻炼的时间长短有关？ 时间60 分钟 时间60 分钟 身体条件 好 身体条件 一般 第 5页（共 20页） 附：参考数据： 2 0 ()P Kk 0.0500.0100.001 0 k3.8416.63510.828 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd 20 （12 分）设中心在原
10、点，焦点在x轴上的椭圆E过点 3 (1,) 2 ，且离心率为 3 2 ，F为E 的右焦点，P为E上一点，PFx轴，F的半径为PF （1）求E和F的方程； （2）若直线:(3)(0)l yk xk与F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A， C在第一象限，是否存在k使| |ACBD？若存在，求l的方程：若不存在，说明理由 21 （12 分）已知函数 22 111 ( )(3)3, ( )(4)4 22 a f xxaxalnx g xxaxalnx x （1）当2a 时，求函数( )f x的极值； （2）当0a 时，若在1，(2.718)e e 上存在一点 0 x，使得 00 ()()f x
11、g x成立，求实数a 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知极坐标系中，曲线C的极坐标方程是2cos2sin以极点为坐标原 点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 1cos ( 1sin xt t yt 为参 数） （1）求曲线C的直角坐标方程和 2 3 时直线l的普通方程； （2）设点P的坐标为(1,1)，直线l交曲线C于A，B两点，求|PAPB的
12、取值范围 选修选修 4-5 不等式选讲不等式选讲 23已知函数( ) |2| 2|3|f xxx （1）解不等式( ) 2f x ； （2）若函数( )f x图象的最高点为( , )m n，且正实数a，b满足abmn，求 22 ab ba 的 最小值 第 6页（共 20页） 2021 年宁夏吴忠市高考数学模拟试卷（理科年宁夏吴忠市高考数学模拟试卷（理科） （4 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的
13、项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 2 |20Ax xx， |04Bxx ，则()( RA B ) A |04xx B |02xx C |2x xD |4x x 【解答】解：集合 2 |20 |1Ax xxx x 或2x ， | 12 R C Axx ， |04Bxx， () |02 RA Bxx 故选：B 2 （5 分）已知i为虚数单位，aR，若复数 2i ai 为纯虚数，则(a ) A 1 2 B 1 2 C2D2 【解答】解：因为 2 2(2)()(21)(2) ()()1 ii aiaai aiai aia 为纯虚数， 所以 2 21 0 1 a a 且 2 2 0 1 a a
14、， 解得 1 2 a 故选：B 3 （5 分）已知命题:pxR ，cos1x，则p为() AxR ，cos1xBxR ，cos1x CxR ，cos1x DxR ，cos1x 【解答】解：命题是特称命题， 则命题的否定是xR ，cos1x ， 故选：C 4 （5 分） 8 1 ()x x 展开式中 5 x的系数是() A20B28C16D8 【解答】解：展开式的通项公式为 3 8 8 2 188 1 ()( 1) r rrrrr r TC xCx x ， 第 7页（共 20页） 令 3 85 2 r，解得2r ， 所以展开式中含 5 x项的系数为 2 8 28C ， 故选：B 5 （5 分）如
15、图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若 ( ,)DEABADR ，则等于() A1B1C 1 2 D 1 2 【解答】解： 1113 () 4444 DEDAAEADACADABADABAD ， DEABAD ， 1 4 ， 3 4 ， 1 2 ， 故选：D 6 （5 分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的体积为 64，则这个球 的表面积为() A40B42C36D48 【解答】解：设正方体的棱长为a，由题意可知 3 64a ，解得4a ，外接球的直径为： 234 3Ra， 2 448SR 故选：D 7 （5 分）执行下面的程序框图，若输出的m的值为
16、3，则输入a的值为() 第 8页（共 20页） A 45 16 B 93 32 C 5 8 D3 【解答】解：第一次执行循环体后，2349mma，满足3i，12ii ； 第二次执行循环体后，23821mma，满足3i，13ii ； 第三次执行循环体后，231645mma，满足3i，14ii ； 第四次执行循环体后，233293mma，不满足3i； 输出结果为3293a ，由题意可得32933a ， 45 16 a 故选：A 8 （5 分）复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织 研制、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车2019 年 12 月 30
17、日， 400CRBFC智能复兴号动车组在京张高铁实现时速350km自动驾驶，不仅速度比普通列 车快，而且车内噪声更小我们用声强I（单位： 2 /)Wm表示声音在传播途径中每平方米 上的声能流密度，声强级L（单位：)dB与声强I的函数关系式为10()Llg aI，已知 132 10/IWm时，10LdB若要将某列车的声强级降低30dB，则该列车的声强应变为原 声强的() A 5 10倍B 4 10倍C 3 10倍D 2 10倍 【解答】解：已知 132 10/IWm时，10LdB，所以 13 1010(10 )lg a， 解得： 12 10a ， 第 9页（共 20页） 12 10(10)10(
18、 12)LlgIlgI ， 设列车原来的声强级为 1 L，声强为 1 I，该列车的声强级降低30dB后的声强级为 2 L，声强为 2 I， 则 1 121212 2 10( 12)10( 12)10()1030 I LLlgIlgIlgIlgIlg I ， 所以 1 2 3 I lg I ，解得： 31 2 10 I I ， 即 32 1 10 I I ， 即该列车的声强应变为原声强的 3 10倍 故选：C 9 （5 分）已知实数x，y满足约束条件 4 0 24 0 0 xy xy xy ，则 1 y z x 的最小值为() A 4 3 B 4 5 C2D3 【解答】解：由约束条件作出可行域如
19、图， 联立 40 240 xy xy ，解得 8 4 ( , ) 3 3 A， 1 y z x 的几何意义为可行域内的动点与定点P连线的斜率， 由图可知， 4 0 4 3 8 5 1 3 PA k ， 可知 1 y z x 的最小值为 4 5 故选：B 第 10页（共 20页） 10 （5 分）已知正项等比数列 n a满足 202120202019 2aaa，若存在两项 p a， r a，使得 2 2 pr a aa，则 14 pr 的最小值为() A2B3C 3 2 D 9 4 【解答】解：设正项等比数列 n a的公比为(0)q q ， 由 202120202019 2aaa可得： 2 20
20、1920192019 2aqaqa，即 2 2qq，解得：2q 或1q （舍 )， 又由 2 2 pr a aa可得： 11 111 2 pr a qa qa q ， 2 216 p r ，即6pr， 141 141413 ()()(5)(52 4) 6662 rp pr prprpr ， 当且仅当 4 6 rp pr pr 即 4 2 r p 时 取“， 14 pr 的最小值为 3 2 ， 故选：C 11 （5 分）已知 1 l， 2 l是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Tab ab 的两条渐近线，直线l经过T的右 焦点F，且 1 / /ll，l交T于点M，交 2 l于点Q，若 |
21、1 2 , |2 3 FM FQ ，则双曲线T离心率e的 取值范围为() A2，3B 2, 3C 3,2D 2,3 【解答】解：双曲线的渐近线方程为： b yx a ， 直线l经过T的右焦点F，且 1 / /ll，由() b yxc a 与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Tab ab 联立， 得 22 2 M ca x c ， () b yxc a 与 2 l的方程联立可解得 2 Q c x ， 所以 22 2 |11 2 2 1 , |2 3 2 FM FQ ca c xxFM c c FQxxe c ， 得 2 2e ，3， 第 11页（共 20页） 所以 2e，3， 故选：B
22、12 （5 分）已知函数( ) | lnx f x x ，若(),( ),(2 ) 77 e afbfcfe ，其中2.718e ，则a， b，c的大小关系是() AabcBcbaCbacDcab 【解答】解：函数( )f x的定义域是(0,)， 当(0,1)x时，( ) lnx f x x ， 2 1 ( ) lnx fx x ， (0,1)x，( )0fx ，( )yf x在(0,1)单调递减， 01 77 e ，( )() 77 e ff ，即ab，且 1 ()( )2 241 72 afflnln ， (1,)x时，( ) lnx f x x ， 2 21 (2 )1 22 ln el
23、ne cfe eee ， ac ，bac， 故选：C 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知等差数列 n a中， 2 6a ， 5 15a ，若 2nn ba，则数列 n b的前 5 项和等 于90 【解答】解：设 n a的公差为d，首项为 1 a，由题意得 1 1 6 415 ad ad ，解得 1 3 3 a d ； 3 n an， 2 6 nn ban，且 1 6b ，公差为 6， 5 54 56690 2 S 故答案为：90 14 （5 分）甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，比赛采取 5 局 3 胜制，已知
24、每局比赛甲胜 的概率为 2 3 ，乙胜的概率为 1 3 ，且各局比赛结果互不影响若第一局乙胜，则本次比赛甲胜 的概率为 16 27 【解答】解：甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，比赛采取 5 局 3 胜制， 第 12页（共 20页） 每局比赛甲胜的概率为 2 3 ，乙胜的概率为 1 3 ，且各局比赛结果互不影响 第一局乙胜，则本次比赛甲胜的情况有两种： 第二局至第四局甲连胜 3 局，概率为 3 1 28 ( ) 327 P ， 第二局至第四局甲 2 胜 1 负，第五局甲胜，概率为 13 23 228 (1)( ) 3327 PC， 本次比赛甲胜的概率为： 12 8816 272727 PPP 故
25、答案为： 16 27 15 （5 分）过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点F作斜率为 1 2 的直线l，与该抛物线交于A，B 两点，若OAB的面积等于2 5(O为坐标原点） ，则p 2 【解答】解：由题意可知抛物线的焦点坐标( 2 p F，0)， 从而直线l的方程为：2 2 p xy，代入抛物线方程可得 22 40ypyp， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 12 4yyp， 2 12 y yp ，OAB的面积等于2 5， 即 2 121212 1 |()42 5 224 pp yyyyy y， 可得 22 1642 5 4 p pp，解得2p 故答案为：2 16
26、 （5 分）已知函数( )f x和(2)f x 都是定义在R上的偶函数当0 x，2时，( )4xf x ， 则 2021 () 2 f 8 【解答】解：根据题意，(2)f x 是定义在R上的偶函数，则有(2)(2)f xfx，变形可 得()(4)fxfx， 又由( )f x为偶函数，则()( )fxf x， 即(4)( )f xf x，即函数( )f x是周期为 4 的周期函数， 则 3 2 20212021333 ()()(4253)()( )48 22222 fffff， 故答案为：8 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、明过程或演算步骤。第解答应写出文字说明、明
27、过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题：共共 60 分分 1 模学试卷模学试卷 第 13页（共 20页） 17 （12 分）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且13c ，4ab， sinsin 2 AB bcB ，求： （1）C的值； （2）ABC的面积S 【解答】解： （1）由正弦定理知， sinsin bc BC ， sinsin 2 AB bcB ， sinsinsinsin 2 C BCB ，即sinco
28、s2sincossin 222 CCC BB， sin0B ，cossin 2 C C， (0, )C，(0,) 22 C ，cos2sincos 222 CCC ， 1 sin 22 C ， 26 C ，即 3 C （2）由余弦定理知， 222 2coscababC， 2222 ( 13)2cos()3 3 abababab ， 4ab，13163ab，即1ab ， ABC的面积 113 sin1 sin 2234 SabC 18 （12 分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长等于 2 的正方形，且平 面PDC 平面ABCD，PDPC，若四棱锥PABCD的高等于 1 （1）求
29、证：平面APD 平面BPC； （2）求二面角APBC的余弦值 【解答】解： （1）证明：如图，取DC中点O，连接PO， PDPC，PODC， 平面PDC 平面ABCD，且平面PDC平面ABCDDC， 第 14页（共 20页） PO平面ABCD，即PO为四棱锥PABCD的高， 2DC ，POD为等腰直角三角形，45DPO， 同样，45CPO，90DPC，DPCP， 平面PDC 平面ABCD，且BCCD，平面PDC平面ABCDDC， BC 平面ABCD，BC平面PDC， PD 平面PDA，平面APD 平面BPC （2）以O点为原点，在平面ABCD中过O作CD垂线为x轴， OC为y轴，OP为z轴，建
30、立空间直角坐标系， 则(0P，0，1)，(2A，1，0)，(2B，1，0)，(0D，1，0)， (0AB ，2，0)，(2PB ，1，1)， 由（1）可知PD 平面PBC，平面PBC的一个法向量为(0DP ，1，1)， 设平面PAB的法向量(nx ，y，) z， 则 20 20 n ABxyz n PBy ，取1x ，得(1n ，0，2)， 210 cos, 525 DP n ， 由图知二面角APBC的平面角为钝角， 二面角APBC的余弦值为 10 5 19 （12 分）为了有针对性的指导学生锻炼身体，某学校对初一年级学生身体素质进行了综 合评估，把学生的身体素质按优劣分为“优、良、合格、差”
31、四个等级同时，级部为了进 一步了解导致身体素质出现差别的原因， 特随机调查了 100 名学生每天锻炼身体的时间， 整 第 15页（共 20页） 理数据得到如表（单位：人）: 锻炼时间 （分钟） 身体素质 等级 0，30(30，60 (60，90 优21625 良51012 合格6780 差720 （1）随机抽取该年级一位学生，估计他的身体素质为“优、良、合格、差”的概率； （2）求该年级学生每天锻炼时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） ； （3）若某学生身体素质为优或良，则称该学生“身体条件好” ；若某学生身体素质为合格或 差，则称该学生“身体条件一般” 根据所给数据，完成下
32、面的22列联表，并根据列联表， 判断是否有95%的把握认为学生身体素质好不好与他每天锻炼的时间长短有关？ 时间60 分钟 时间60 分钟 身体条件 好 身体条件 一般 附：参考数据： 2 0 ()P Kk 0.0500.0100.001 0 k3.8416.63510.828 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd 【解答】解： （1）由频数分布表可知，该年级每位学生身体素质为优的概率为： 21625 0.43 100 ； 第 16页（共 20页） 身体素质为良的概率为： 51012 0.27 100 ； 身体素质为合格的概率为：
33、678 0.21 100 ； 身体素质为差的概率为： 720 0.09 100 ； （ 2 ） 由 频 数 分 布 表 可 知 ， 该 年 级 学 生 每 天 锻 炼 时 间 的 平 均 值 为 ： 152045 357545 52.5 100 ； （3）22列联表如下： 时间60 分钟 时间60 分钟 身体条件 好 3337 身体条件 一般 228 22 2 ()100(33 82237) 5.8023.841 ()()()()55457030 n adbc K ab cdac bd 所以有95%的把握认为学生身体素质好不好与他每天锻炼的时间长短有关 20 （12 分）设中心在原点，焦点在x
34、轴上的椭圆E过点 3 (1,) 2 ，且离心率为 3 2 ，F为E 的右焦点，P为E上一点，PFx轴，F的半径为PF （1）求E和F的方程； （2）若直线:(3)(0)l yk xk与F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A， C在第一象限，是否存在k使| |ACBD？若存在，求l的方程：若不存在，说明理由 【解答】解： （1）由题意可设椭圆的标准方程为 22 22 1 xy ab ， 椭圆的离心率 3 2 e ， 3 2 c a ， 222 abc，2ab， 将点 3 (1,) 2 代入椭圆的方程得： 22 13 1 4ab ， 联立2ab解得： 2 1 a b ， 第 17页（共 20
35、页） 椭圆E的方程为： 2 2 1 4 x y， ( 3,0)F， PFx轴， 1 ( 3,) 2 P， F的方程为： 22 1 (3) 4 xy； （2）由A、B在圆上得 1 | | | 2 AFBFPFr， 设 1 (C x， 1) y， 2 (D x， 2) y 22 111 3 |(3)2 2 CFxyx 同理： 2 3 | 2 2 DFx， 若| |ACBD，则| |ACBCBDBC，即| | 1ABCD， 12 3 4()1 2 xx ， 由 2 2 1 4 (3) x y yk x 得 2222 (41)8 31240kxk xk， 2 12 2 8 3 41 k xx k 2
36、2 12 41 41 k k 得 22 12123kk，无解，故不存在 21 （12 分）已知函数 22 111 ( )(3)3, ( )(4)4 22 a f xxaxalnx g xxaxalnx x （1）当2a 时，求函数( )f x的极值； （2）当0a 时，若在1，(2.718)e e 上存在一点 0 x，使得 00 ()()f xg x成立，求实数a 的取值范围 第 18页（共 20页） 【解答】解： （1）因为函数 2 1 ( )(3)3 2 f xxaxalnx， 所以函数( )f x的定义域为(0,)， 所以 3(3)() ( )(3) axxa fxxa xx ， 当2a
37、 时，令 (3)(2) ( )0 xx fx x ，解得3x 或02x， 所以当(0,2)x时，函数( )f x单调递增， 当(2,3)x时，函数( )f x单调递减， 当(3,)x时，函数( )f x单调递增， 所以函数( )f x的极小值为f（3） 21 6 3 2 ln，函数( )f x的极大值为f（2）628ln （2）令 1 ( )( )( ) a F xf xg xxalnx x ， 在1， e上存在一点 0 x，使得 00 ()()f xg x成立， 即在1， e上存在一点 0 x，使得 0 ()0F x， 即函数 1 ( ) a F xxalnx x 在1， e上的最小值小于零
38、， 由 1 ( ) a F xxalnx x ，得 22 1(1)(1) ( )1 aaxxa F x xxx ， 因为0a ，所以11a ， 因为(0,)x，所以10 x ， 所以当(0,1)xa时，( )0F x 当(1,)xa时，( )0F x， 当11ae ，即01ae时，( )F x在1，1)a 上单调递减，在1a ， e上单调递 增， 所以( )F x的最小值为(1)2(1)F aaaln a， 因为0(1)1ln a，所以0(1)aln aa， 所以2(1)2aaln a，此时(1)0F a 不成立， 当1ae ，即1a e时，( )F x在1， e上单调递减， 所以( )F x
39、的最小值为F（e） ，由F（e） 1 0 a ea e ，可得 2 1 1 e a e ， 因为 2 1 1 1 e e e ，所以 2 1 1 e a e ， 综上所述，a的取值范围是 2 1 ( 1 e e ，) 第 19页（共 20页） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知极坐标系中，曲线C的极坐标方程是2cos2sin以极点为坐标原 点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系
40、，直线l的参数方程为 1cos ( 1sin xt t yt 为参 数） （1）求曲线C的直角坐标方程和 2 3 时直线l的普通方程； （2）设点P的坐标为(1,1)，直线l交曲线C于A，B两点，求|PAPB的取值范围 【解答】 解： （1） 曲线C的极坐标方程是2cos2sin 整理得 2 2 cos2 sin， 根据 222 cos sin x y xy 转换为直角坐标方程为 22 220 xyxy 直线l的参数方程为 1cos ( 1sin xt t yt 为参数） ， 当 2 3 时，转换为 1 1 2 ( 3 1 2 xt t yt 为参数） ，转换为直角坐标方程为3130 xy （
41、2）把直线l的参数方程为 1cos ( 1sin xt t yt 为参数） ，代入 22 220 xyxy， 得到 2 4sin20tt， 由于 2 16sin80， 所以 2 sin 2 ， 所以 12 4sintt ， 故| |4sin| (2 2,4PAPB 选修选修 4-5 不等式选讲不等式选讲 23已知函数( ) |2| 2|3|f xxx （1）解不等式( ) 2f x ； （2）若函数( )f x图象的最高点为( , )m n，且正实数a，b满足abmn，求 22 ab ba 的 最小值 第 20页（共 20页） 【解答】解： （1）当3x时，( )22(3)8 2f xxxx
42、，6x，即63x ， 当32x 时，( )22(3)34 2f xxxx ，2x，即32x ， 当2x时，( )22(3)8 2f xxxx ，10 x，无解， 综上所述，不等式的解集为 6，2 （2）由（1）得，当63x 时，( )8 2f xx ，5， 当32x 时，( )34( 10f xx ，3)， 当2x时，( )8(f xx ，10， ( )f x图象的最高点为( 3,5)， 3m ，5n ，2ab， 222233 22 11 ()()() 22 ababab abab bababa 33 222 11 (2)()2 22 ab abab ba 当且仅当1ab时取等号， 22 ab ba 的最小值为 2
