1、专题八专题八 函数导数与不等式的综合问题函数导数与不等式的综合问题 总分：70 分建议用时：60 分钟 三、解答题 17、设函数 f(x)=ax2-a-lnx，其中 a R. （1）讨论 f(x)的单调性； （2）确定 a 的所有可能取值，使得 1 1 ( ) x f xe x 在区间（1，+）内恒成立(e=2.718) 18、已知函数 ln0 a f xaxx a. （1）当1a 时，求曲线 yf x在xe处的切线方程； （2）若 x f xxe对于任意的1x 都成立，求a的最大值. 19、已知函数( )ln, ( )(21) 1()f xxax g xaxa aR ， （1）讨论 ( )f
2、 x的单调性； （2）令( )( )( )h xxf xg x，若 x1 时，h(x)0 恒成立，求 a 的取值范围 20、已知函数 2 1 x axx f x e （1）求曲线 yf x在点0, 1处的切线方程； （2）证明：当1a 时， 0f xe 21、已知函数 （1）若( )lnsinf xxx恒成立，求实数 a 的最大值； （2）若( )0f x 恒成立，求正整数 a 的最大值 22、已知函数 32 1 ( ) 4 f xxxx. （1）求曲线( )yf x的斜率为 1 的切线方程； （2）当 2,4x 时，求证：6( )xf xx； （3）设( ) |( )()|()F xf xx
3、aaR，记( )F x在区间 2,4上的最大值为 M（a） ，当 M（a）最小 时，求 a 的值 答案解析 17、 【答案】 （I） 见解析（II） 1 ,) 2 a. 【解析】 （） 2 121 ( )2(0). ax fxaxx xx 0a 当时， ( ) fx0， ( )f x在 0 +（ ， ）内单调递减. 0a 当时，由( ) fx=0，有 1 2 x a . 此时，当x 1 0,) 2a （ 时，( ) fx0， ( )f x单调递增. （）令( )g x= 1 11 exx ，( )s x= 1 exx . 则( )s x = 1 e1 x . 而当1x 时，( )s x 0，
4、所以( )s x在区间1+ )（，内单调递增. 又由(1)s=0，有( )s x0， 从而当1x 时， ( )f x0. 当0a ，1x 时， ( )f x= 2 (1)ln0a xx. 故当 ( )f x( )g x在区间1+ )（， 内恒成立时，必有0a . 当 1 0 2 a时， 1 2a 1. 由（）有 1 ()(1)0 2 ff a ,从而 1 ()0 2 g a ， 所以此时 ( )f x( )g x在区间1+ )（， 内不恒成立. 当 1 2 a 时，令( )( )( )(1)h xf xg x x， 当1x 时， 32 1 2222 111112121 ( )20 x xxxx
5、 h xaxex xxxxxxx ， 因此，( )h x在区间(1,)单调递增. 又因为(1)=0h，所以当1x 时，( )( )( )0h xf xg x，即( )( )f xg x恒成立. 综上， 1 ,) 2 a. 18、 【答案】 （1） 2yxe ； （2）最大值为e. 【解析】 （1）当1a 时， lnfxxx，得 ln1fxx ， 则 f ee， 2fe ， 所以 yf x在xe处的切线方程为： 2yxe . （2）当0a 且1x 时， 由于( )lnlnlnln xaxaaxaaxx f xxeaxxxexxxexxee， 构造函数 lng xxx， 得 ln10gxx 在1x
6、 上恒成立，所以 lng xxx在 1,上单调递增， ( )lnln xaaxxax f xxexxeeg xg e， 由于 x f xxe对任意的1x 都成立， 又1 a x ，e1 x ，再结合 g x的单调性知道： ax xe 对于任意的1x 都成立，即 ln x a x 对于任意的1x 都成立. 令 ln x x x ，得 2 ln1 ln x x x ， 由 0 xxe，由 01xxe ， 则 x在1,e上单调递减，在, e 上单调递增， 故 min xee，故ae， 所以a的最大值为e. 19、 【答案】 （1）答案见解析； （2） 1 2 a . 【解析】 （1）由题意可知，该函
7、数定义域为(0,)， 11 ( ) ax fxa xx ， 当0a 时，( )0fx 恒成立， ( )f x在(0,)上单调递增； 当0a 时，当 1 0,x a 时，( )0fx ，当 1 ,x a 时，( )0fx ， 故 ( )f x在 1 0, a 上单调递增， ( )f x在 1 , a 上单调递减； （2）依题意， 2 ln(1)( )1(xxa xh xxf xxg x ， 当0a 时，( )ln1h xxxx， ( )ln0h xx 在(1,)x恒成立， ( )h x在(1,)x为增函数，( )(1)0h xh，不满足( )0h x 恒成立， 0a 不符合题意； 当0a 时，1
8、x ，h(x)0 恒成立，只需 2 ( )(1)1 ln0 h xa xx x xx 在(1,)恒成立，记 2 (1)1 ( )ln(1,) a xx F xxx x ， 2 22 1(1)(1) ( ) axxaxaxa F x xx ， 令( )0F x ，得 12 1 1, a xx a 若0a ，则 21 1 1 a xx a ，( )0F x对(1,)x恒成立， ( )F x为增函数，( )(1)0F xF（不合题意） ； 若 1 0 2 a， 21 1 1 a xx a ，故 1 1, a x a 时，( )0F x ， ( )F x为增函数，( )(1)0F xF（不合题意） ；
9、 若 1 2 a ， 21 1 1 a xx a ，故当(1,)x时，( )0F x， ( )F x为减函数，( )(1)0F xF，符合题意 综上所述， 1 2 a 20、 【答案】 （1）切线方程是210 xy （2）证明见解析 【解析】 （1） 2 212 x axax fx e ， 02 f 因此曲线 yf x在点0, 1处的切线方程是210 xy （2）当1a 时， 21 1 xx fxexxee 令 21 1 x g xxxe ，则 1 21 x gxxe ， 1 20 x gxe 当1x 时， 10gxg ， g x单调递减；当1x 时， 10gxg ， g x单调递 增； 所以
10、 g x1 =0g因此 0f xe 21、 【答案】 （） 4 2e ； （）2. 【解析】 （）利用参变分离 0a 时，a 的最大值是 0，下面考虑0a 的情况： 首先，易知0 x ，sin0 x eax 恒成立，则 1sin ( ) x x g x ae ，( )(cossin ) x g xxx e ， 当0 2 x 时， 4 1 ( ) 42 g xge ； 当 2 x 时， 24 11 ( ) 2 x g xee e ； 于是 44 max 11 ( )2 2 g xeae a ，综上所述，a 的最大值是 4 2e （）若2a ，则( )(ln2)sin x f xexx 当 2 x
11、e时，显然有( )(ln2)sinln2(1)(1)20 xx f xexxexxx， 当 2 xe 时，显然有 11 ( )(2ln )sin1(2ln )1ln0 x f xexxxx xx xx ； 当3a 时，若01x，则( )(ln)sin(3ln )sin xx f xexaxexx； (1)若01x，则 2 1 x exx (2)若01x，则 2(1) ln 1 x x x (3)若01x，则 3 sin 6 x xx 于是， 3 2 2(1) ( )(3ln )sin13 16 x xx f xexxxxx x ， 则 111211711231 130 224324843481
12、44 f ，不满足条件 综上所述，正整数 a 的最大值是 2 22、 【解析】 （） 2 3 ( )21 4 fxxx，令 2 3 ( )211 4 fxxx 得0 x 或者 8 3 x . 当0 x 时，(0)0f，此时切线方程为y x ，即0 xy； 当 8 3 x 时， 88 ( ) 327 f，此时切线方程为 64 27 yx，即2727640 xy； 综上可得所求切线方程为0 xy和2727640 xy. （）设 32 1 ( )( ) 4 g xf xxxx， 2 3 ( )2 4 g xxx，令 2 3 ( )20 4 g xxx得0 x 或者 8 3 x ， 所以当 2,0 x
13、 时，( )0g x ，( )g x为增函数；当 8 (0, ) 3 x时，( )0g x ，( )g x为减函数；当 8 ,4 3 x时，( )0g x ，( )g x为增函数； 而(0)(4)0gg，所以( )0g x ，即( )f xx； 同理令 32 1 ( )( )66 4 h xf xxxx， 可求其最小值为( 2)0h ， 所以( )0h x ， 即( )6f xx， 综上可得6( )xf xx. （）由（）知6( )0f xx ， 所以( )M a是,6a a中的较大者， 若6aa，即3a 时，( )3M aaa ； 若6aa，即3a 时，( )663M aaa； 所以当( )M a最小时，( )3M a ，此时3a .
