1、第 1页（共 22页） 2021 年吉林省吉林市高考数学第三次调研试卷（文科）年吉林省吉林市高考数学第三次调研试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求个是符合题目要求. 1 （5 分）已知集合|1AxN x， 1B ，0，1，2，则AB 的子集的个数为() A1B2C3D4 2 （5 分）若( )f x是定义在R上的奇函数，且(2)( )f xf x，则f（8）的值为() A1B2C0D1 3 （5 分）已知直线l经过点(1, 1)，且与直
2、线250 xy垂直，则直线l的方程为() A210 xy B230 xyC210 xy D230 xy 4 （5 分） 周髀算经中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、 清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前 三个节气日影长之和为 28.5 尺，最后三个节气日影长之和为 1.5 尺，今年 3 月 20 日 17 时 37 分为春分时节，其日影长为() A4.5 尺B3.5 尺C2.5 尺D1.5 尺 5 （5 分）口袋中装有 3 个红球和 4 个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出 3 个球， 则互斥而不对立的事件是() A至少有
3、 1 个红球与至少有 1 个黑球 B至少有 1 个红球与都是黑球 C至少有 1 个红球与至多有 1 个黑球 D恰有 1 个红球与恰有 2 个红球 6 （5 分）若圆C的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线430 xy和x轴都相切，则该 圆的标准方程是() A 22 (2)(1)1xyB 22 (2)(1)1xy C 22 (2)(1)1xyD 22 (3)(1)1xy 7 （5 分）把二进制数 (2) 1010化为十进制数为() A20B12C11D10 8 （5 分）已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为 3 2 6 r时，该圆锥的母线与底面 第 2页（共 22页） 所成角的正弦值为()
4、 A 3 3 B 2 3 C 3 2 D 2 2 9 （5 分）已知函数sin(0)yaxb a的图象如图所示，则函数log () a yxb的图象可能 是() A B C D 第 3页（共 22页） 10 （5 分）已知m是 1 和 9 的等比中项，则圆锥曲线 2 2 1 y x m 的离心率为() A 6 3 B 6 3 或 2C 2 3 3 D 6 3 或 2 3 3 11 （5 分）平面直角坐标系xOy中，(2,0)A，该平面上的动线段PQ的端点P和Q满足 |5OP ，6OP OA ，2OQPO ，则动线段PQ所形成图形的面积为() A36B60C72D108 12 （5 分）已知函数
5、 2 ( )f xalnx x ，在区间(0,3)内任取两个实数 1 x， 2 x，且 12 xx，若 不等式 12 21 (1)(1) 1 f xf x xx 恒成立，则实数a的最小值为() A 9 2 B2C2 2D 11 3 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分其中第分其中第 16 题的第一个空填对得题的第一个空填对得 2 分，第二个空填对得分，第二个空填对得 3 分分. 13 （5 分）已知i是虚数单位，复数 1 | | i z i ，则z的虚部为 14 （5 分）设 1.5 ae， 3 logbe， 1 3 log 5
6、c ，则a，b，c按从小到大的顺序为 15 （5 分）已知( 2 ，0)， 3 cos 5 ，则cos(2) 2 16 （5 分）已知圆 22 :(1)16Cxy，P是圆C上任意点，若(1,0)A，线段AP的垂直平 分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹方程是；若A是圆C所在平面内的一定点， 线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹是：一个点；圆；椭圆； 双曲线；抛物线，其中可能的结果有 三三、解答题解答题：共共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题题为必考题，每每 个试题考生都必须作答个试题考生都必
7、须作答.第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答.（一一）必考题必考题：共共 60 分分. 17 （12 分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量(1, 2 )ma ， (,cos)naB ，且mn （）求角B； （）若2 2b ，2 3a ，求角A 18 （12 分）2020 年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫情和严 重洪涝灾害的考验， 党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇， 全党全社会戮力同心真 抓实干，取得了积极成效某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地， 第 4页（共 22页） 已知土地的
8、使用面积x与相应的管理时间y的关系如表所示： 土地使用面积 x（单位：亩） 12345 管理时间y（单 位：月） 811142423 并调查了某村 300 名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示： 愿意参与管理不愿意参与管理 男性村民14060 女性村民40 （）做出散点图，判断土地使用面积x与管理时间y是否线性相关；并根据相关系数r说 明相关关系的强弱， （若|0.75r ，认为两个变量有很强的线性相关性，r值精确到0.001) 参考公式： 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 参考数据：16y ， 2 1 ()206 n i i
9、yy ，51522.7 （）完成以下22列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该村的村民的性别与参与管 理意愿有关 愿意参与管理不愿意参与管理合计 男性村民14060 女性村民40 合计 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，nabcd 2 0 ()P Kk 0.0500.0100.001 0 k3.8416.63510.828 19（12 分） 如图， 在三棱柱 111 ABCA BC中， 侧棱 1 AA 底面 111 A B C，90BAC，4AB ， 1 2ACAA，M是AB中点，N是 11 A B中点，P是 1 BC与 1 B C的交点， 点Q在线
10、段 1 C N上 （）求证：/ /PQ平面 1 ACM； 第 5页（共 22页） （）求点Q到平面 1 ACM的距离 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C xpy p上的点 0 (x，1)到其焦点F的距离为 3 2 ，过点F 的直线 1 与抛物线C相交于A，B两点， 过原点O垂直于l的直线与抛物线C的准线相交于 Q点 （）求抛物线C的方程及F的坐标； （）设OAB，QAB的面积分别为 1 S， 2 S，求 12 11 SS 的最大值 21 （12 分）已知函数( ) x f xxeax （）若函数( )f x有两个极值点，求实数a的取值范围； （）若函数 ( ) ( )(2) f x
11、 g xln x x ，当0a 时，证明：( 2,0)x ，( )0g x 选考题选考题:共共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选题中任选-题作答题作答.并用并用 2B 铅笔将所选题号涂黑铅笔将所选题号涂黑，多涂多涂、 错涂、漏涂均不给分错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 2 ( 2 1 2 xt t yt 为参数） ，以坐标原 点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin （）求曲线C
12、的直角坐标方程； （）已知点P的直角坐标为(0,1)，l与曲线C交于A，B两点，求|PAPB 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |4|1|f xxx，xR （）解不等式：( ) 5f x ； （）记( )f x的最小值为M，若正实数a，b满足abM，试求： 11 21ab 的最小 值 第 6页（共 22页） 第 7页（共 22页） 2021 年吉林省吉林市高考数学第三次调研试卷（文科）年吉林省吉林市高考数学第三次调研试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.
13、在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求个是符合题目要求. 1 （5 分）已知集合|1AxN x， 1B ，0，1，2，则AB 的子集的个数为() A1B2C3D4 【解答】解：因为集合|1AxN x， 1B ，0，1，2， 所以0AB ，1， 故AB 的子集的个数为 2 24 故选：D 2 （5 分）若( )f x是定义在R上的奇函数，且(2)( )f xf x，则f（8）的值为() A1B2C0D1 【解答】解：根据题意，( )f x是定义在R上的奇函数，则(0)0f， 又由(2)( )f xf x，则函数( )f x是周期为 4 的周期函数， 则
14、f（8）(024)(0)0ff， 故选：C 3 （5 分）已知直线l经过点(1, 1)，且与直线250 xy垂直，则直线l的方程为() A210 xy B230 xyC210 xy D230 xy 【解答】解：因为直线l与直线250 xy垂直，所以直线l可设为20 xym， 因为直线l经过点(1, 1)， 所以12( 1)0m ，解得1m ， 则直线l的方程为210 xy 故选：C 4 （5 分） 周髀算经中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、 清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前 三个节气日影长之和为 28.5 尺，最后三个节
15、气日影长之和为 1.5 尺，今年 3 月 20 日 17 时 37 分为春分时节，其日影长为() A4.5 尺B3.5 尺C2.5 尺D1.5 尺 第 8页（共 22页） 【解答】解：设影长依次成等差数列 n a，其公差为d 则 123 28.5aaa， 101112 1.5aaa， 1 3328.5ad， 1 3301.5ad， 解得 1 10.5a ，1d ， 7 10.56( 1)4.5a ， 今年 3 月 20 日 17 时 37 分为春分时节，其日影长为 4.5 尺 故选：A 5 （5 分）口袋中装有 3 个红球和 4 个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出 3 个球， 则互斥而不
16、对立的事件是() A至少有 1 个红球与至少有 1 个黑球 B至少有 1 个红球与都是黑球 C至少有 1 个红球与至多有 1 个黑球 D恰有 1 个红球与恰有 2 个红球 【解答】解：对于A，至少有 1 个红球的对立事件是都是黑球，故选项A错误； 对于B，至少有 1 个红球与都是黑球不能同时发生，为互斥事件，且其中必有一个发生， 为对立事件，故选项B错误； 对于C，不是互斥事件，例如，取出 2 个红球和 1 个黑球，故选项C错误； 对于D，恰有 1 个红球与恰有 2 个红球不能同时发生，为互斥事件，但不是对立事件，例 如，3 个都是红球，故选项D正确 故选：D 6 （5 分）若圆C的半径为 1
17、，圆心在第一象限，且与直线430 xy和x轴都相切，则该 圆的标准方程是() A 22 (2)(1)1xyB 22 (2)(1)1xy C 22 (2)(1)1xyD 22 (3)(1)1xy 【解答】解：设圆心坐标为(a，)(0b a ，0)b ， 由圆与直线430 xy相切，可得圆心到直线的距离 |43 | 1 5 ab dr ， 化简得：|43 | 5ab， 又圆与x轴相切，可得|1br，解得1b 或1b （舍去） ， 第 9页（共 22页） 把1b 代入得：435a 或435a ，解得2a 或 1 2 a （舍去） ， 圆心坐标为(2,1)， 则圆的标准方程为： 22 (2)(1)1x
18、y 故选：A 7 （5 分）把二进制数 (2) 1010化为十进制数为() A20B12C11D10 【解答】解： 3 (2)(10) 10102210， 故将二进制数 (2) 1010化为十进制数为 10， 故选：D 8 （5 分）已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为 3 2 6 r时，该圆锥的母线与底面 所成角的正弦值为() A 3 3 B 2 3 C 3 2 D 2 2 【解答】解：设圆锥的高为h，则由题意可得， 23 12 36 Vr hr， 解得 2 2 h r ， 所以母线与底面所成角的正切值为 2 2 ， 由同角三角函数关系可得，母线与底面所成角的正弦值为 3 3 故选：A
19、 9 （5 分）已知函数sin(0)yaxb a的图象如图所示，则函数log () a yxb的图象可能 是() 第 10页（共 22页） A B C D 【解答】解：由函数sin(0)yaxb a的图象可得01b， 2 23 a ，即 2 1 3 a 故函数log () a yxb是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b， 故选：A 10 （5 分）已知m是 1 和 9 的等比中项，则圆锥曲线 2 2 1 y x m 的离心率为() A 6 3 B 6 3 或 2C 2 3 3 D 6 3 或 2 3 3 【解答】解：由题意，实数m是 1，9 的等比中项， 2 1 9m ，3m ， 第 11
20、页（共 22页） 当3m 时，方程为 2 2 1 3 y x ，表示椭圆， 2 3a ， 2 1b ， 2 2c ，2c ， 离心率为 26 33 c e a ； 当3m 时，方程为 2 2 1 3 y x ，表示双曲线， 2 1a ， 2 3b ， 2 4c ，2c ， 离心率为2 c e a ， 故选：B 11 （5 分）平面直角坐标系xOy中，(2,0)A，该平面上的动线段PQ的端点P和Q满足 |5OP ，6OP OA ，2OQPO ，则动线段PQ所形成图形的面积为() A36B60C72D108 【解答】解：设( , )P x y，( , )Q m n 由6OP OA 得，(x，) (
21、2y ，0)6，解得3x ， 因为 22 25xy， 代入3x ，得44y ， 所以动点P在直线3x 上，且44y ， 由2OQPO ，可得(m，)2(nx，)y， 得6m ，2ny ， 则动线段PQ所形成图形是OPP和OQQ， 如图所示， 11 8 316660 22 OPPOQQ SSS 故选：B 第 12页（共 22页） 12 （5 分）已知函数 2 ( )f xalnx x ，在区间(0,3)内任取两个实数 1 x， 2 x，且 12 xx，若 不等式 12 21 (1)(1) 1 f xf x xx 恒成立，则实数a的最小值为() A 9 2 B2C2 2D 11 3 【解答】解：因
22、实数 1 x， 2 x在区间(0,3)内， 所以 1 1x 和 2 1x 在区间(1,4)内 不等式 12 21 (1)(1) 1 f xf x xx 恒成立， 即 12 21 (1)(1) 1 (1)(1) f xf x xx 恒成立， 上式表示点 1 (1x ， 1 (1)f x 与点 2 (1x ， 2 (1)f x 连线斜率的相反数小于 1， 即函数( )yf x在(1,4)内任意两点的斜率k满足1k ，即1k 因为函数 2 ( )yf xalnx x 的导数为 2 2a y xx ， 即有1y在(1,4)恒成立 即 2 ax x 在(1,4)内恒成立 由于函数 222 ()22 2y
23、xxx xxx ， 第 13页（共 22页） 当且仅当2x 时取“” ，所以 2 yx x 在(1,4)上的最大值为2 2， 所以a的取值范围是 2 2，)，即a的最小值为2 2 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分其中第分其中第 16 题的第一个空填对得题的第一个空填对得 2 分，第二个空填对得分，第二个空填对得 3 分分. 13 （5 分）已知i是虚数单位，复数 1 | | i z i ，则z的虚部为1 【解答】解： 1 1 | | i zi i ， 则z的虚部为1， 故答案为：1 14 （5 分） 设 1.5 a
24、e， 3 logbe， 1 3 log 5c ， 则a，b，c按从小到大的顺序为abc 【解答】解：因为 1.50 1aee， 33 0loglog 31be， 11 33 log 510clog， 所以a，b，c的大小关系为：abc， 故答案为：abc 15 （5 分）已知( 2 ，0)， 3 cos 5 ，则cos(2) 2 24 25 【解答】解：( 2 ，0)， 3 cos 5 ， 4 sin 5 4324 cos(2)sin22sincos2() 25525 故答案是： 24 25 16 （5 分）已知圆 22 :(1)16Cxy，P是圆C上任意点，若(1,0)A，线段AP的垂直平
25、分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹方程是 22 1 43 xy ；若A是圆C所在平面内 的一定点，线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹是：一个点； 圆；椭圆；双曲线；抛物线，其中可能的结果有 【解答】解：圆 22 :(1)16Cxy，则圆心( 1,0)C ，半径4r ， 因为线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q， 则4QAQPPCQCQC， 第 14页（共 22页） 所以42QAQCAC， 故点Q的轨迹是以(1,0)A，( 1,0)C 为焦点，长轴长为 4 的椭圆， 所以1c ，2a ，故 222 3bac， 所以点Q的轨迹方程是 22 1 43 xy ； （1）若点
26、A在圆C内不同于点C处，如图（1）所示，则有4QPQCPCAC， 由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为 4 的椭圆，故选项成立； （2）若点A在圆心C处，如图（2）所示，则有 1 2 2 QPQAPC， 由圆的定义可知，点Q的轨迹是以C为圆心，2 为半径的圆，故选项成立； （3）若点A在圆C上，如图（3）所示，则有AP的垂直平分线与PC交于点C， 故点Q与点C重合，点Q的轨迹为一个点，故选项成立； 第 15页（共 22页） （4） 若点A在圆外， 如图 （4） 所示， 则4QAQPPCQCQC， 所以4QAQCAC， 故点Q的轨迹是以A，C为焦点，4 为实轴长的双曲线的一支，
27、故选项不成立； 点A不论在什么位置，点Q的轨迹都不可能是抛物线，故选项不成立 故可能的结果有 故答案为： 22 1 43 xy ； 三三、解答题解答题：共共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题题为必考题，每每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答.（一一）必考题必考题：共共 60 分分. 17 （12 分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量(1, 2 )ma ， (,cos)naB ，且mn （）求角B； （）若
28、2 2b ，2 3a ，求角A 【解答】解：( ) I由题意得2 cos0m naaB ， 故 2 cos 2 B ， 因为B为三角形的内角， 第 16页（共 22页） 所以 4 B ； ()II若2 2b ，2 3a ， 4 B ， 由正弦定理得 sinsin ab AB ， 所以 2 2 3 sin3 2 sin 22 2 aB A b ， 因为ba， 所以AB， 故 3 A 或 2 3 A 18 （12 分）2020 年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫情和严 重洪涝灾害的考验， 党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇， 全党全社会戮力同心真 抓实干，取得了积极成
29、效某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地， 已知土地的使用面积x与相应的管理时间y的关系如表所示： 土地使用面积 x（单位：亩） 12345 管理时间y（单 位：月） 811142423 并调查了某村 300 名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示： 愿意参与管理不愿意参与管理 男性村民14060 女性村民40 （）做出散点图，判断土地使用面积x与管理时间y是否线性相关；并根据相关系数r说 明相关关系的强弱， （若|0.75r ，认为两个变量有很强的线性相关性，r值精确到0.001) 参考公式： 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy
30、 r xxyy 参考数据：16y ， 2 1 ()206 n i i yy ，51522.7 （）完成以下22列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该村的村民的性别与参与管 第 17页（共 22页） 理意愿有关 愿意参与管理不愿意参与管理合计 男性村民14060 女性村民40 合计 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，nabcd 2 0 ()P Kk 0.0500.0100.001 0 k3.8416.63510.828 【解答】解： （）散点图如下图： 由散点图可知，管理时间y与土地使用面积x线性相关， 依题意： 12345 3 5 x ，又16y ，
31、 5 1 ()()( 2)( 8)( 1)( 5)0( 2)1 82743 ii i xxyy ， 5 222222 1 ()( 2)( 1)01210 i i xx ， 5 2 1 ()206 i i yy ， 则 1 22 11 ()() 434343 0.947 45.5102062 515 ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy ， 0.9470.75， 管理时间y与土地使用面积x线性相关性较强 第 18页（共 22页） （）22列联表如下： 愿意参与管理不愿意参与管理合计 男性村民14060200 女性村民4060100 合计180120300 2 2 30
32、0(140604060) 2610.828 180 120200 100 K ， 有99.9%的把握认为该村的村民的性别与参与管理意愿有关 19（12 分） 如图， 在三棱柱 111 ABCA BC中， 侧棱 1 AA 底面 111 A B C，90BAC，4AB ， 1 2ACAA，M是AB中点，N是 11 A B中点，P是 1 BC与 1 B C的交点， 点Q在线段 1 C N上 （）求证：/ /PQ平面 1 ACM； （）求点Q到平面 1 ACM的距离 【解答】 （）证明：连结BN，连结 1 AC，交 1 AC于点H，连结MH， 因为 1 AHHC，AMMB，所以 1/ / BCMH，
33、又MH 平面 1 ACM， 1 BC 平面 1 ACM，所以 1/ / BC平面 1 ACM， 因为四边形 1 A NBM是平行四边形，所以 1 / /BNAM， 又BN 平面 1 ACM， 1 A M 平面 1 ACM，所以/ /BN平面 1 ACM， 因为 1 BCBNB ， 1 BC，BN 平面 1 BC N， 所以面 1 / /ACM平面 1 BC N， 又PQ 平面 1 BC N， 所以/ /PQ平面 1 ACM； （）解：由（）可知，面 1 / /ACM平面 1 BC N， 则点B到平面 1 ACM的距离h即为所求， 第 19页（共 22页） 由 1 AA 平面ABC，所以 1 A
34、A为锥体 1 ACMB的高， 故 1 1 1114 222 3323 ABMCBMC VAA S ， 在 1 A MC中， 22 2 2MCACAM， 22 11 2 2ACAAAC， 22 11 2 2AMAAAM， 所以 1 3 82 3 4 A MC S ， 由等体积法 11 B A MCABMC VV 可得， 14 2 3 33 h，解得 2 3 3 h ， 所以点Q到平面 1 ACM的距离为 2 3 3 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C xpy p上的点 0 (x，1)到其焦点F的距离为 3 2 ，过点F 的直线 1 与抛物线C相交于A，B两点， 过原点O垂直于l的直线
35、与抛物线C的准线相交于 Q点 （）求抛物线C的方程及F的坐标； （）设OAB，QAB的面积分别为 1 S， 2 S，求 12 11 SS 的最大值 【解答】解： （）抛物线 2 :2(0)C xpy p的焦点(0,) 2 p F，准线方程为 2 p y ， 由抛物线的定义可得， 3 1 22 p ，解得1p ， 所以抛物线的方程为 2 2xy， 1 (0, ) 2 F； （）由（）可得 1 (0, ) 2 F，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 易得直线l存在斜率，设为k， 第 20页（共 22页） 直线l的方程为 1 2 ykx， 与抛物线的方程 2 2xy联立， 消
36、去x， 可得 22 1 (21)0 4 yky， 42 440kk恒成立， 2 12 21yyk， 2 12 |22AByypk， 设原点O到直线l的距离为 1 d， 1 2 1 2 1 d k ， 所以 22 11 2 1111 |2(1)1 222 21 SAB dkk k ， 易得 1 (2Qk， 1) 2 ，设Q到直线l的距离为 2 d， 2 2 2 2 21 k d k ， 所以 2 222 22 2 1121 |2(1)(2)1 222 21 k SAB dkkk k ， 故 22 2 22222 12 11222(1)21 2 1(2)1(2)1 kk SSk kkkkk ， 设
37、 2 1 1mk ， 2 12 11222 1 1 11 2 m SSm m m m m ， 当且仅当 1 m m ，即1m 时，取得等号， 所以 12 11 SS 的最大值为 1 21 （12 分）已知函数( ) x f xxeax （）若函数( )f x有两个极值点，求实数a的取值范围； （）若函数 ( ) ( )(2) f x g xln x x ，当0a 时，证明：( 2,0)x ，( )0g x 【解答】解：( )( )(1) x I fxxea， 函数( )f x有两个极值点，等价于( )fx有两个零点，等价于函数ya与函数( )(1) x h xxe 有两个不同交点 ( )(2)
38、 x h xxe，可得2x 时函数( )h x取得极小值即最小值， 2 ( 2)he ， 2 ae ， 实数a的取值范围是 2 ( e，) ()II证明：函数 ( ) ( )(2)(2) x f x g xln xealn x x ， 当0a 时，( )(2) x g xeln x，( 2,0)x ， 第 21页（共 22页） 1 ( ) 2 x g xe x ，在( 2,0)x 上单调递增， 因此唯一 0 ( 2,0)x ，使得 0 0 0 1 (1) 2 x ex x ，且 0 x是极小值点 由 0 0 1 2 x e x ，可得： 00 (2)xln x ( 2,0)x ， 0 00 (
39、 )()(2) x g xg xeln x 000 000 111 222(2)2220 222 xxx xxx ， ( 2,0)x ，( )0g x 选考题选考题:共共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选题中任选-题作答题作答.并用并用 2B 铅笔将所选题号涂黑铅笔将所选题号涂黑，多涂多涂、 错涂、漏涂均不给分错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 2 ( 2 1 2 xt t yt 为参数） ，以坐标原 点为极点
40、，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin （）求曲线C的直角坐标方程； （）已知点P的直角坐标为(0,1)，l与曲线C交于A，B两点，求|PAPB 【解答】解： （）曲线C的极坐标方程为4sin，根据 222 cos sin x y xy ，转换为直角 坐标方程为 22 40 xyy，整理得 22 (2)4xy （）将直线l的参数方程为 2 2 ( 2 1 2 xt t yt 为参数） ，代入 22 40 xyy， 得到 2 230tt， 所以 12 2tt， 1 2 3t t ， 故 2 12121 2 | |()414PAPBttttt t 选修选修 4-5：不等式选
41、讲：不等式选讲 第 22页（共 22页） 23已知函数( ) |4|1|f xxx，xR （）解不等式：( ) 5f x ； （）记( )f x的最小值为M，若正实数a，b满足abM，试求： 11 21ab 的最小 值 【解答】解： （） 25,4 ( ) |4|1|3,14 25,1 xx f xxxx xx ， ( ) 5f x， 25 5 4 x x 或14x 或 25 5 1 x x ， 45x 或14x 或01x ，05x ， 不等式的解集为 |05xx （）由（）知，( )3 min f xM， 3abM， (2)(1)6ab， 11 21ab 111 ()(2)(1) 621 ab ab 112 (2) 621 ba ab 112 (22) 621 ba ab 2 3 ， （当且仅当21ab时“”成立） ， 故 11 21ab 的最小值是 2 3
