2021年湖南省岳阳市高考数学质检试卷（二）（二模）.docx

1、第 1页（共 22页） 2021 年湖南省岳阳市高考数学质检试卷（二年湖南省岳阳市高考数学质检试卷（二） （二模）（二模） 一一、单项选择题单项选择题（本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）如图，矩形表示实数集R，集合 2 |430Ax xx， |02Bxx ，则阴 影部分表示的集合为() A |23xx B |23xx C |01xx D |0 x x 或1x 2 （5 分）若复数z满足(34 )25zi，则z在复平面内对应的点在() A第一象

2、限B第二象限C第三象限D第四象限 3 （5 分）已知sin2cos0，则sin2() A 4 5 B 3 5 C 3 4 D 2 3 4 （5 分）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四 角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑某园林建筑为六角攒尖，如图所示，它主要部分 的轮廓可近似看作一个正六棱锥设这个正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2，则侧棱 与底面外接圆半径的比为() A 3 3sin B 3 3cos C 1 2sin D 1 2cos 5 （5 分）已知a，bR，且0ab，则下列结论正确的是() A 11 ab B 22 abC22 ab D 22 lnb

3、lna 6（5 分） 如图， 正五边形ABCDE中，AB ABm ，BC BDn ，CD CAp ，DE DCq ， 则() 第 2页（共 22页） AmnpqBnmpqCmpnqDnpmq 7 （5 分） 周髀算经中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、 谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论已知某地立春与雨水 两个节气的日影长分别为 10.5 尺和 9.5 尺，现在从该地日影长小于 9 尺的节气中随机抽取 2 个节气进行日影长情况统计， 则所选取这 2 个节气中恰好有 1 个节气的日影长小于 5 尺的概 率为() A 3 7 B 4 7 C 13 2

4、1 D 5 7 8 （5 分）设实数0a ，若对任意的xe，)，不等式 2 0 a x aex lnx恒成立，则a的最 大值为() A 1 e B 2 e C 2 e De 二二、多项选择题多项选择题（本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项有多项 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9 （5 分）下列结论正确的是() A若a，b为正实数，ab，则 3322 aba bab B若a，b，m为正实数，ab，则 ama bm

5、b C若a，bR，则“0ab”是“ 11 ab ”的充分不必要条件 D当(0,)x时， 4 23x x 的最小值是24 3 10 （5 分）设函数 sin cos ( ) sincos xx f x xx ，则() A( )()f xf x B( )f x在(,) 4 4 上单调递增 C( )f x在 3 (,) 44 上有最大值 2 4 D 4 x 是( )f x的一条对称轴 第 3页（共 22页） 11 （5 分）已知三棱锥ABCD的三条侧棱AB，AC，AD两两垂直，其长度分别为a，b， c点A在底面BCD内的射影为O，点A，B，C，D所对面的面积分别为 A S， B S， C S， D

6、S在下列所给的命题中，正确的有() A 2222 1111 AOabc B 2222 ABCD SSSS C若三个侧面与底面所成的角分别为，则 222 sinsinsin2 D三棱锥ABCD的外接球表面积为 222 ()abc 12 （5 分）如图，与圆柱底面成60的平面截此圆柱，其截面图形为椭圆已知该圆柱 底面半径为 2，则() A椭圆的离心率为 3 2 B椭圆的长轴长为 8 3 3 C椭圆的面积为32 D椭圆内接三角形的面积最大值为6 3 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若 728 0128 (1)(12

7、 )xxaa xa xa x，则 1238 aaaa的值是 14 （5 分）数列 n a中， 1 3a ， 9 9a ，且任意连续三项的和都是 18，则 2021 a 15 （5 分）已知抛物线 2 4xy上存在相异两点关于直线yxm对称，请写出一个符合条 件的实数m的值 16 （5 分）已知函数 ,(0,) ( ) 4,(,0) lnx x f x xx ，若实数a，b，c，d互不相等且| f（a）| | f （b）| | f（c）| | f（d）|，则abcd的取值范围为 第 4页（共 22页） 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过

8、程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）设数列 n a满足 1 1a ， 1 1 2 3n nn aa （1）求数列 n a的通项公式； （2）令(21) nn bna，求数列 n b的前n项和 n S 18 （12 分）在coscos2 cosaBbAcC； 2 2sin2 3sin()cos3CABC； sin()sinsinCABA这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题： 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_ （1）求C； （2）若2c ，求 22 ab的取值范围 19（12 分） 如图， 在四棱椎PABCD中， 平面PBC

9、 平面ABCD，90PBC，/ /ADBC， 90ABC，2222ABADCDBC （1）求证：CD 平面PBD； （2）若直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为 3 3 ，求二面角BPCD的正切值 20 （12 分）一个口袋中装有n个红球(5n且)nN和 5 个白球，一次摸奖从中摸两个球， 两个球颜色不同则为中奖 （）试用n表示一次摸奖中奖的概率p； （）若5n ，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率； （）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P当n取多少时，P最大？ 21 （12 分）已知双曲线C的焦点到其渐近线2yx 的距离为 2 （1）求双曲线C的标准方程； （

10、2） 设双曲线C的焦点在x轴上， 过点(0,2)P的直线l交C双曲线的左右两支分别于A，B， 交渐近线分别于M，N，证明：AMBN 22 （12 分）已知函数( )sin1 x f xeaxx 第 5页（共 22页） （）当2a 时，求函数( )f x的单调区间； （）当12a 时，证明：函数( )f x有 2 个零点 第 6页（共 22页） 2021 年湖南省岳阳市高考数学质检试卷（二年湖南省岳阳市高考数学质检试卷（二） （二模）（二模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、单项选择题单项选择题（本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选

11、项中在每小题给出的四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）如图，矩形表示实数集R，集合 2 |430Ax xx， |02Bxx ，则阴 影部分表示的集合为() A |23xx B |23xx C |01xx D |0 x x 或1x 【解答】解：矩形表示实数集R， 集合 2 |430 |1Ax xxx x或3x ， |02Bxx ， |2ABx x 或3x 阴影部分表示的集合为： () |23 R ABxx 故选：A 2 （5 分）若复数z满足(34 )25zi，则z在复平面内对应的点在() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【解答】解：由(3

12、4 )25zi，得 22 2525(34 )25(34 ) 34 34(34 )(34 )34 ii zi iii ， z在复平面内对应的点的坐标为(3, 4)，在第四象限 故选：D 3 （5 分）已知sin2cos0，则sin2() A 4 5 B 3 5 C 3 4 D 2 3 【解答】解：sin2cos0，即sin2cos ， tan2 ， 则sin22sincos 第 7页（共 22页） 22 2sincos sincos 2 2tan tan1 2( 2) 41 4 5 故选：A 4 （5 分）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四 角攒尖、六角攒尖等

13、，多见于亭阁式建筑某园林建筑为六角攒尖，如图所示，它主要部分 的轮廓可近似看作一个正六棱锥设这个正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2，则侧棱 与底面外接圆半径的比为() A 3 3sin B 3 3cos C 1 2sin D 1 2cos 【解答】解：底面是正六边形，分为六个等边三角形，设边长为a， 则正六边形的外接圆半径为a， 在侧面等腰三角形中，顶角为2，两腰为侧棱，底边为a， 所以侧棱长为sin 2 a ， 故侧棱与底面外接圆半径的比为 1 2sin 2sin a a 故选：C 5 （5 分）已知a，bR，且0ab，则下列结论正确的是() A 11 ab B 22 abC22 ab D

14、22 lnblna 【解答】解：因为0ab，所以 11 ab ，故A错误； 0ab ，所以 22 ab，故B错误； 由指数函数的性质可得22 ab ，故C错误； 由 22 ab，函数ylnx为增函数， 第 8页（共 22页） 所以 22 lnblna，故D正确 故选：D 6（5 分） 如图， 正五边形ABCDE中，AB ABm ，BC BDn ，CD CAp ，DE DCq ， 则() AmnpqBnmpqCmpnqDnpmq 【解答】 解： 根据题意， 正五边形ABCDE中， 设ABBCCDDEEAa，BDCAb， 则 1803 108 5 ABCBCDCDEDEAEAB ， 则 2 mAB

15、 ABa ， ABC中，108ABC，36BAC，2 cos36ba， 22 cos362cos 36nBC BDaba ， 2 22 2sin36 cos36 cos72 cos722cos36 cos72 sin362 a pCD CAabaa ， 22 cos108cos72qDE DCaa ， 又由 22 1 cos 36cos 45 2 ， 则有nmq，而0q 则有nmpq， 故选：B 7 （5 分） 周髀算经中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、 谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论已知某地立春与雨水 两个节气的日影长分别为 10.5 尺

16、和 9.5 尺，现在从该地日影长小于 9 尺的节气中随机抽取 2 个节气进行日影长情况统计， 则所选取这 2 个节气中恰好有 1 个节气的日影长小于 5 尺的概 率为() A 3 7 B 4 7 C 13 21 D 5 7 【解答】解：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒 第 9页（共 22页） 种这十二节气的日影长依次成等差数列， 某地立春与雨水两个节气的日影长分别为 10.5 尺和 9.5 尺， 设这个等差数列的首项为 1 a，公差为d， 则 1 1 310.5 49.5 ad ad ，解得 1 13.5a ，1d ， 13.5(1)( 1)14.59 n

17、ann ， 解得5.5n ， 该地日影长小于 9 尺的节气有惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，共 7 个， 由14.55 n an，得9.5n ， 该地日影长小于 5 尺的节气有立夏、小满、芒种，共 3 个， 现在从该地日影长小于 9 尺的节气中随机抽取 2 个节气进行日影长情况统计， 基本事件总数 2 7 21NC， 所选取这 2 个节气中恰好有 1 个节气的日影长小于 5 尺包含的基本事件个数 11 43 12mC C， 则所选取这 2 个节气中恰好有 1 个节气的日影长小于 5 尺的概率为 124 217 m P n 故选：B 8 （5 分）设实数0a ，若对任意的xe，)，不等

18、式 2 0 a x aex lnx恒成立，则a的最 大值为() A 1 e B 2 e C 2 e De 【解答】解：因为对任意的xe，)，不等式 2 0 a x aex lnx恒成立， 所以 a x ae xlnx x ， 即 a lnx x a lnx ee x ， 令( ) x f xxe，0 x ， 则( )(1)0 x fxxe， 故( )f x在(0,)上单调递增， 由题意得()( ) a f lnxf x ， 第 10页（共 22页） 所以 a lnx x ，即a xlnx对任意的xe，)恒成立， 故只需()minaxlnx， 易得( )g xxlnx在e，)上单调递增， 故(

19、)ming xg（e）e， 所以a e 故选：D 二二、多项选择题多项选择题（本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项有多项 符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9 （5 分）下列结论正确的是() A若a，b为正实数，ab，则 3322 aba bab B若a，b，m为正实数，ab，则 ama bmb C若a，bR，则“0ab”是“ 11 ab ”的充分不必要条件 D当(0,)x时， 4 23x x 的最小值是24 3

20、【解答】解：对于A，因为a，b为正实数， 所以 3322 ()(aba babab 2222222 )()20()0ababab abababababababab，所以 A对； 对于B， 因为a，b，m为正实数， 所以()() ama b ama bmbmamba bmb ， 但ab，所以B错； 对于C，因为0ab，则 11 ab ，反之未必，如0a ，0b 时，满足 11 ab ，但0ab 不成立， 所以“0ab”是“ 11 ab ”的充分不必要条件，所以C对； 对于D， 因为(0,)x， 所以 44 32 34 3xx xx ， 于是 4 2324 3x x ， 即 4 23x x 的最大

21、值是24 3，所以D错 故选：AC 第 11页（共 22页） 10 （5 分）设函数 sin cos ( ) sincos xx f x xx ，则() A( )()f xf x B( )f x在(,) 4 4 上单调递增 C( )f x在 3 (,) 44 上有最大值 2 4 D 4 x 是( )f x的一条对称轴 【解答】解： sin() cos()sin( cos )sincos :() sin()cos()sincossincos xxxxxx Af x xxxxxx ，A错 误 B：设sincos2sin() 4 txxx ， 2 1 sincos 2 t xx ， 2 1111 (

22、 )( )() 22 t f xg tt tt ， 当( 4 x ，) 4 ，(0,) 42 x ，(0, 2)t ， yt， 1 y t 在(0, 2)t上递增， ( )g t在(0, 2)t递增，即( )f x在(0, 2)t递增，B正确 C：当( 4 x ， 3 ) 4 ，(0, ) 4 x ，(0t ，2， yt， 1 y t 在(0t，2上递增， ( )g t在(0t，2递增，即( )f x在(0t，2递增， 2t 时，( )f x取得最大值为 112 ( 2) 242 ，C正确 sin() cos() cossin 22 :()( ) 2cossin sin()cos() 22 x

23、x xx Dfxf x xx xx ，D正确 故选：BCD 11 （5 分）已知三棱锥ABCD的三条侧棱AB，AC，AD两两垂直，其长度分别为a，b， c点A在底面BCD内的射影为O，点A，B，C，D所对面的面积分别为 A S， B S， C S， D S在下列所给的命题中，正确的有() A 2222 1111 AOabc B 2222 ABCD SSSS 第 12页（共 22页） C若三个侧面与底面所成的角分别为，则 222 sinsinsin2 D三棱锥ABCD的外接球表面积为 222 ()abc 【解答】解：因为AB，AC，AD两两垂直，所以AB 平面ACD， 设AS 平面ACD，可得A

24、SCD， 由等积法可得 22 bc AS bc ， 22 a AS AO aAS ，所以 222 2 222222 a b c AO a ba cb c ， 即 2222 1111 AOabc ，故A正确； 因为AB，AC，AD两两垂直，所以 1 2 B Sbc， 1 2 C Sac， 1 2 D Sab， 又因为在直角三角形ACD中，ASCD，可得 2222 ACADASCD， 即 22222 ()b cASbc， 22222222222222 111 ()() 444 BCD SSSa bb ca ca bcb c， 将代入可得， 222222222 11 () 44 BCDA SSSbc

25、BSCD BSS，故B错误； 设1abc，P，Q分别为BC，BD的中点，即有APBC，AQBD， 所以 222 2222 222 222 31119 sinsinsin() 22222 ()()() 222 AOAOAO ASAPAQ ，故C 错误； 三棱锥ABCD的外接球的直径是以AB，AC，AD为相邻的三条棱的长方体的对角线长， 设半径为R，可得 2222 4Rabc， 所以外接球的表面积为 2222 4()Rabc，故D正确 故选：AD 第 13页（共 22页） 12 （5 分）如图，与圆柱底面成60的平面截此圆柱，其截面图形为椭圆已知该圆柱 底面半径为 2，则() A椭圆的离心率为 3

26、 2 B椭圆的长轴长为 8 3 3 C椭圆的面积为32 D椭圆内接三角形的面积最大值为6 3 【解答】解：A中，2br， 2 4 1 cos60 2 r a ，所以 22 1642 3cab， 所以离心率 2 33 42 c e a ，所以A正确； B中，长轴长2248a ，所以B不正确； C中，椭圆的面积248Sab，所以C不正确； D中，椭圆方程为 22 22 1 xy ab ，椭圆内接三角形一个顶点在长轴左顶点，另两点在直线 (0)xm m上， 此时另两点的距离为： 2 2 21 m b a ， 三角形的面积为： 2 2 1 () 21()()(1)(1) 2 mmm ambbam am

27、 aaa 3 (1)(1)(3)(1) 3 abmmmm aaaa 4 3 1131 () 43 mmmm ab aaaa 93 3 443 abab ， 第 14页（共 22页） 当且仅当 3 13 mm aa ，即 2 a m 时，取等号 3 33 342 6 3 44 max ab S ，所以D正确， 故选：AD 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13（5 分） 若 728 0128 (1)(12 )xxaa xa xa x， 则 1238 aaaa的值是3 【解答】解： 728 0128 (1)(12 )xxaa xa

28、 xa x， 令1x 得： 7 01278 (1 1)(12)2aaaaa ， 令0 x 得： 0 1a ， 1278 3aaaa ， 故答案为：3 14 （5 分）数列 n a中， 1 3a ， 9 9a ，且任意连续三项的和都是 18，则 2021 a6 【解答】解：数列 n a中， 1 3a ， 9 9a ，且任意连续三项的和都是 18， 由题意可得 12 18 nnn aaa ， 将n换为1n ，得 123 18 nnn aaa ， 3nn aa ， 数列 n a是周期为 3 的数列 1 3a ， 9 9a ， 93 9aa， 2 18396a， 20213 673 22 6aaa 故

29、答案为：6 15 （5 分）已知抛物线 2 4xy上存在相异两点关于直线yxm对称，请写出一个符合条 件的实数m的值2 【解答】解：设抛物线 2 4xy上存在相异两点P，Q关于直线yxm对称， 则设 1 (P x， 2 1 ) 4 x ， 2 (Q x， 2 2 ) 4 x ， 因为点P，Q关于直线yxm对称， 第 15页（共 22页） 所以 22 21 21 22 12 12 44 1 44 22 xx xx xx xx m ， 所以 12 12 4 164 xx x xm ， 所以 1 x， 2 x为方程 22 41640 xxm的根， 所以（4） 222 4(164)16480mm， 解

30、得m的取值范围为(，3)( 3，)， 故答案为：2 16 （5 分）已知函数 ,(0,) ( ) 4,(,0) lnx x f x xx ，若实数a，b，c，d互不相等且| f（a）| | f （b）| | f（c）| | f（d）|，则abcd的取值范围为(0,16) 【解答】解：实数a，b，c，d互不相等且| f（a）| | f（b）| | f（c）| | f（d）|， |( )|f xm有四个不同的根a，b，c，d，不妨设abcd， 作出函数ym与函数|( )|yf x的图象如图所示， 则有a和b为ym与( ) |4|f xx交点的横坐标， c和d为ym与( ) |f xlnx交点的横坐

31、标， 可得(4)4ab，即8ab ， 又lnclnd，即0lncd ，1cd， 由图象可知，40b ， 22 (8)8(4)16(0,16)abcdbbbbb 故答案为：(0,16) 第 16页（共 22页） 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）设数列 n a满足 1 1a ， 1 1 2 3n nn aa （1）求数列 n a的通项公式； （2）令(21) nn bna，求数列 n b的前n项和 n S 【解答】解： （1） 1 1a ， 1 1 2 3n n

32、n aa ， 可得 1 21 121321 2(13) ()()()1262 313 13 n nn nnn aaaaaaaa ， 上式对1n 也成立， 所以 1 3n n a ，*nN； （2） 1 (21)(21) 3n nn bnan ， 01221 3 35 37 3(21) 3(21) 3 nn n Snn ， 231 33 35 37 3(21) 3(21) 3 nn n Snn ， 两式相减可得 1221 232(3333)(21) 3 nnn n Sn 1 3(13) 32(21) 3 13 n n n ， 则3n n Sn 18 （12 分）在coscos2 cosaBbAc

33、C； 2 2sin2 3sin()cos3CABC； sin()sinsinCABA这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题： 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_ （1）求C； （2）若2c ，求 22 ab的取值范围 【解答】解：若选， 第 17页（共 22页） （1）因为coscos2 cosaBbAcC， 所以sincossincos2sincosABBACC，即sin2sincosCCC， 因为(0, )C，sin0C ， 故 1 cos 2 C ， 所以 3 C （2）由余弦定理可得： 222 2coscababC， 所以 22 2222 4 2 ab a

34、bab ab ， 所以 22 8ab，当且仅当ab时取等号 又 22 4ab， 所以 22 ()(4ab，8 若选， （1）因为 2 2sin2 3sin()cos3CABC，可得1cos22 3sincos3CCC， 所以1cos23sin23xC，可得sin(2)1 6 C ， 因为(0, )C，2( 66 C ， 11 ) 6 ， 所以2 62 C ，可得 3 C （2）由余弦定理可得： 222 2coscababC， 所以 22 2222 4 2 ab abab ab ， 所以 22 8ab，当且仅当ab时取等号 又 22 4ab， 所以 22 ()(4ab，8 若选， （1）因为si

35、n()sinsinCABA， 又sinsin()sincoscossinBACACAC， 所以2sincossinACA， 因为sin0A ， 可得 1 cos 2 C ， 第 18页（共 22页） 因为(0, )C， 所以 3 C （2）由余弦定理可得： 222 2coscababC， 所以 22 2222 4 2 ab abab ab ， 所以 22 8ab，当且仅当ab时取等号 又 22 4ab， 所以 22 ()(4ab，8 19（12 分） 如图， 在四棱椎PABCD中， 平面PBC 平面ABCD，90PBC，/ /ADBC， 90ABC，2222ABADCDBC （1）求证：CD

36、平面PBD； （2）若直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为 3 3 ，求二面角BPCD的正切值 【解答】解： （1）证明：在四边形ABCD中， / /ADBC，90ABC，222ABADCDBC， ABD，BCD都是等腰直角三角形，即CDDB， 平面PBC 平面ABCD，90PBC， 平面PBC平面ABCDBC， 直线PB 平面ABCD，即PBCD （2）设2BC ，则1AB ，2CDBD， 直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为 3 3 ， 在Rt PBD中， 3 cos 3 BD PDB PD ，6PD，2PB ， 设BC的中点为M，连接DM，过点M作PC的垂线交PC于N，连接DN，

37、 则DNM就是所求角， 第 19页（共 22页） 由题意知DM 平面PBC，DMMN， 1DMAB，MNCN，90PBC，2BCPB， CNMN，21CMMN， 2 2 MN， 设二面角BPCD的平面角为， 则二面角BPCD的正切值为tan2 DM MN 20 （12 分）一个口袋中装有n个红球(5n且)nN和 5 个白球，一次摸奖从中摸两个球， 两个球颜色不同则为中奖 （）试用n表示一次摸奖中奖的概率p； （）若5n ，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率； （）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P当n取多少时，P最大？ 【解答】解： （）一次摸奖从5n 个球中任选两

38、个，有 2 5n C 种，它们等可能，其中两球不 同色有 11 5n C C种，一次摸奖中奖的概率 10 (5)(4) n p nn （）若5n ，一次摸奖中奖的概率 5 9 p ，三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸 奖后放回）恰有一次中奖的概率是 12 33 80 (1)(1) 243 PCpp （）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率 为 3 PP（1） 1232 3 (1)363Cppppp ，01p， 2 91233(1)(31)Ppppp ， 知在 1 (0, ) 3 上P为增函数，在 1 ( ,1) 3 上P为减函数，当 1 3 p 时P取

39、得最大值又 101 (5)(4)3 n p nn ，解得20n 答：当20n 时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大 21 （12 分）已知双曲线C的焦点到其渐近线2yx 的距离为 2 （1）求双曲线C的标准方程； （2） 设双曲线C的焦点在x轴上， 过点(0,2)P的直线l交C双曲线的左右两支分别于A，B， 交渐近线分别于M，N，证明：AMBN 第 20页（共 22页） 【解答】解： （1）因为双曲线C的渐近线为2yx ， 当双曲线的焦点在x轴上时， 则双曲线 22 22 1 xy ab ， 渐近线的方程为 b yx a ， 焦点(,0)Fc， 所以 22 222 2 | 2

40、b a bc ba cab ，解得1a ，2b ， 所以双曲线的方程为 2 2 1 4 y x ， 当双曲线的焦点在y轴上时， 则双曲线 22 22 1 yx ab ， 渐近线的方程为 b yx a ， 焦点(0,)Fc， 所以 22 222 2 | 2 a b ac ab cab ，解得4a ，2b ， 所以双曲线的方程为 22 1 164 yx 综上双曲线的方程为 2 2 1 4 y x 或 22 1 164 yx （2）由（1）知双曲线的方程为 2 2 1 4 y x ，其渐近线的方程为2yx ， 设直线:2l ykx， 因为直线l交C双曲线的左右两支分别于A，B， 所以22k ， 联立

41、 2 2 1 4 20 y x kxy ，得 22 (4)480kxkx， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 所以 12 2 4 4 k xx k ， 12 2 8 4 x x k ， 联立 2 2 ykx yx ，解得 2 2 x k ， 4 2 y k ，则 2 ( 2 M k ， 4 ) 2k ， 联立 2 2 ykx yx ，解得 2 2 x k ， 4 2 y k ，则 2 ( 2 N k ， 4 ) 2k ， 第 21页（共 22页） 所以 2 1 2 |1| 2 AMkx k ， 2 2 2 |1| 2 BMkx k ， 所以 222222 12 22

42、|(1)()(1)() 22 AMBNkxkx kk 222 12 22 (1)()() 22 kxx kk 22 22 2 422 (1)()() 422 k kxx kkk ， 22 22 22 (1)()() 22 kxx kk ， 22 22 22 (1)()() 22 kxx kk ， 0， 所以| |AMBN 22 （12 分）已知函数( )sin1 x f xeaxx （）当2a 时，求函数( )f x的单调区间； （）当12a 时，证明：函数( )f x有 2 个零点 【解答】解： （）当2a 时，( )2sin1 x f xexx，则( )2cos x fxex， 可得( )

43、sin x fxex， 故(x ，0时，可得1 x e ，故( )1cos0fxx ， 故( )f x在(，0内单调递减， 当(0,)x时，1 x e ，故( )1sin0fxx ， 故( )fx在(0,)上单调递增，故( )(0)0fxf， 故( )f x在(0,)上单调递增， 综上，( )f x在(,0)单调递减，在(0,)单调递增； （）证明：当0 x 时，(0)0f，故0 x 是( )f x的一个零点， 由( )cos x fxeax，令( )cos x g xeax，可得( )sin x g xex， 12a ， 当(0,)x时， 0 ( )sinsin0 x g xexex，( )

44、fx在(0,)单调递增， 则( )(0)20fxfa，( )f x在(0,)单调递增，( )(0)0f xf， 故( )f x在(0,)无零点， 第 22页（共 22页） 当(x ，时，ax，有( )sin10 x f xex ， 故( )f x在(，上无零点， 当(,0)x 时，sin0 x ，( )0g x，( )fx在(,0)单调递增， 又(0)20fa，()10fea ， 故存在唯一 0 (,0)x ，使得 0 ()0fx， 当 0 (,)xx 时，( ) )fx，( )f x在 0 (,)x单调递减， 当 0 (xx，0)时，( )0fx，( )f x在 0 (x，0)单调递增， 又()10fea ， 0 ()(0)0f xf， 故( )f x在(,0)有 1 个零点， 综上，当12a 时，( )f x有 2 个零点