2021年中考数学复习讲义:第四章 全等三角形 模型(十五)-雨伞模型.doc

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1、第四章第四章. .全等三角形全等三角形 模型(十五)模型(十五)雨伞模型雨伞模型 【条件】【条件】APAP 是是BACBAC 的平分线,的平分线,BOBOAPAP 【结论】【结论】ABOABOADOADO,AB=ADAB=AD,OB=ODOB=OD 【证明】【证明】 模型讲解模型讲解 口诀口诀 角平分线角平分线+ +垂线,垂线, 轻轻延长等腰现。轻轻延长等腰现。 典例典例 1 1 已知:如图,ABC 中,AB=AC,A=90,ACB 的平分线 CD 交 AB 于点 E, BDC=90,求证:CE=2BD 【解析】如图,延长 BD 交 CA 的延长线于点 F, BAC=90, BAF=BAC=

2、90, ACE+AEC=90,BDC=90,ABFBED=90 AEC=BED, ACE=ABF. 又AB=AC,ACEABF(ASA), CE=BF. CD 是ACB 的平分线,BDC=90, FCD=BCD,CDF=CDB=90.又CD=CD, CDFCDB(ASA),BD=FD= 2 1 BF 典例秒杀 BD= 2 1 CE,即 CE=2BD. 典例典例 2 2 如图,在ABC 中,BE 是ABC 的平分线,ADBE,垂足为 D, 求证2=1+C. 【解析】如图,延长 AD 交 BC 于点 F. BE 是ABC 的平分线,ADBE, AB=FB, 2=AFB. AFB=1+C,2=1+C

3、. 典例典例 3 3 如图 1,在平面直角坐标系中,直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于 A(a,0), B(0,b)两点,且 a,b 满足(a-b) 2a 一 4t=0,且 t0,t 是常数, 直线 BD 平分OBA,交 x 轴于点 D. 若 AB 的中点为 M,连接 OM 交 BD 于点 N,求证ON=OD; 如图 2,过点 A 作 AEBD,垂足为 E,猜想 AE 与 BD 间的数量关系,并证明 你的猜想. 【解析】(1)直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于 A(a,0),B(0,b)两点, a,b 满足(a-b)十a-4t=0,且 t0, a=b=4t,点 A,B 的坐标是 A(4t,

4、0),B(0,4t), AOB 是等腰直角三角形.M 是 AB 的中点,OMAB. 直线 BD 平分OBA,ABD= 2 1 ABO=22.5, OND=BNM=90-ABD=90-22.5=67.5, ODB=ABD+BAD=22.545=67.5, OND=ODB,ON=OD(等角对等边). (2) BD=2AE.理由如下如图,延长 AE 交 BO 于点 C. BD 平分OBA,ABD=CBD. AEBD 于点 E,AEB=CEB=90. 在ABE 和CBE 中, ABD=CBD, BE=BE, CEB=AEB=90, ABECBE(ASA), AE=CE,AC=2AE. AEBD,OAC

5、+ADE=90, 又OBD+BDO=90,ADE=BDO, OAC=OBD. 在OAC 与OBD 中,OAC=OBD, OA=OB, AOC=BOD, OACOBD(ASA),BD=AC.BD=2AE. 1.()如图,ABC 的面积为 9 cm,BP 平分ABC, APBP 于点 P, 连接 PC,则PBC 的面积为() A.3 cmB.4 cmC.4.5 cmD.5 cm 2.()如图,D 为ABC 内一点,CD 平分ACB,BDCD,A=ABD, 若 BD=1,BC=3,则 AC 的长为() A.5B.4C.3D.2 3.()如图,在ABC 中,D 为边 BC 的中点,点 E 在ABC 内

6、,AE 平分BAC,CEAE,点 F 在 AB 上,且 BF= DE. (1)求证四边形 BDEF 是平行四边形. (2)线段 AB,BF,AC 之间具有怎样的数量关系?证明你所得到的结论。 小试牛刀小试牛刀 1. 如图所示,ABC 的面积为 10cm,BP 平分ABC,APBP,垂足为 P,连 接 CP,若三角形内有一点 M,则点 M 落在BPC 内(包括边界)的概率为_ 。 在中考考试中在中考考试中 ,雨伞模型,雨伞模型是是一类特点非常鲜明约几何题,做一类特点非常鲜明约几何题,做 这突题的关键就在于添加这突题的关键就在于添加延延长线长线,它与平行线中点模型并称为它与平行线中点模型并称为 中

7、学阶段两大必延长的中学阶段两大必延长的模型模型, 只只要要看到这类模型看到这类模型 ,方法就很方法就很 统一了统一了. . 直击中考 第四章第四章. .全等三角形全等三角形 模型(模型(1515)雨伞模型雨伞模型 答案:答案: 小试牛刀小试牛刀 1.答案答案C 解析解析如图,延长 AP 交 BC 于点 E. BP 平分ABC,且 APBP, 根据雨伞模型结论可知ABPEBP,AP=PE, SABP= SEBP,SACP=SECP, SPBC= 2 1 SABC= 2 1 9=4.5(cm) ,故选 C. 2.答案答案A 解析解析延长 BD 交 AC 于点 E,如图。 CD 平分ACB,BDCD

8、, 根据雨伞模型结论可知BCE 为等腰三角形,BC=CE,BD=DE. A=ABD, EA=EB=2BD=2,AC=AE+CE=AE+BC=23=5,故选 A. 3.解析解析(1)如图,延长 CE 交 AB 于点 G. AECE,AEG=AEC=90, 在AEG 和AEC 中, GAE=CAE, AE=AE, AEG=AEC,AGEACE(ASA), GE=EC. 又BD=CD,DE 为CGB 的中位线, DE/AB. 又DE=BF,四边形 BDEF 是平行四边形. (2)BF= 2 1 (AB-AC).理由如下 D,E 分别是 BC,GC 的中点, DE= 2 1 BG 又DE=BF,BF= 2 1 BG. AGEACE, AG=AC. BF = 2 1 (ABAG) 2 1 (AB-AC). 直击中考直击中考 1.答案答案 2 1 解析解析延长 AP 交 BC 于点 E,如图. BP 平分ABC,且 APBP, 根据雨伞模型结论可知ABPEBP, AP=PE, SABP= SEBP,SACP=SECP, SPBC= 2 1 SABC= 2 1 10=5(cm) 则点 M 落在BPC 内(包括边界)的概率为 2 1 10 5 ABC BPC s s

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