1、数数学学圆圆锥锥曲曲线线总总结结 1 、圆锥曲线的两个定义： （1 ）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点 F，F 的 距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨 迹是线段 FF ，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点 F，F 的 距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于| FF | ，定义中的“绝 对值”与| FF | 不可忽视。若| FF | ，则轨迹是以 F，F 为端点的两 条射线，若| FF | ，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双 曲线的一支。 （2 ）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为 分子、点线距为分
2、母”，其商即是离心率 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥 曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系， 要善于运用第二定义对 它们进行相互转化。 AA tt tt ee nn tt ii oo nn ：（1 ）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点 F，F 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型， 而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的 定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2 ）在椭圆中，最 大，在双曲线中， 最大，。 4 . 圆锥曲线的几何性质： （1 ） 椭圆（以（）为例）：范围：； 焦点：两个焦点；对
3、称性：两条对称轴，一个对称 中心（0 , 0 ），四个顶点，其中长轴长为 2 ，短轴长为 2 ； 准线：两条准线； 离心率：，椭圆， 越 小，椭圆越圆； 越大，椭圆越扁。 （2 ）（2 ）双曲线（以（）为例）：范围：或 ； 焦点： 两个焦点； 对称性： 两条对称轴， 一个对称中心 （0 , 0 ） ， 两个顶点， 其中实轴长为 2 ， 虚轴长为 2 ， 特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 ；准线：两条准线； 离心率：，双曲 线，等轴双曲线， 越小，开口越小， 越大，开口越 大；两条渐近线：。 （3 ） 抛物线（以为例）：范围：；焦点：一个 焦点，其中的几何意义是：焦点
4、到准线的距离；对称性：一条 对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0 , 0 ）；准线：一条准线 ； 离心率：，抛物线。 5 、点和椭圆（）的关系：（1 ）点在 椭圆外； （2 ） 点在椭圆上1 ； （3 ） 点 在椭圆内 6 直线与圆锥曲线的位置关系： （1 ） 相交：直线与椭圆相交；直线与双曲线相交，但直线与 双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双 曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但 不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定 有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一 个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不
5、是必要条件。 AA tt tt ee nn tt ii oo nn ： （1 ）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相 切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线相交, 但只有一个交 点；如果直线与抛物线的轴平行时, 直线与抛物线相交, 也只有一个交点； （2 ）过双曲线1 外一点的直线与双曲线只有一个公共点 的情况如下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近 线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P点在两条渐近 线之间且包含双曲线的区域内时， 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支 相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线
6、上但非原点，只有两条：一条是与 另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时不存在这样的直线； （2 ） 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点： 两条切线和 一条平行于对称轴的直线。 7 、焦半径（圆锥曲线上的点 P到焦点 F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的 第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示 P到与 F所对 应的准线的距离。 8 、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利 用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点 的距离分别为，焦点的面积为，则在椭圆中， ， 且 当即为 短 轴 端 点 时 ，最 大 为 ；，当
7、即为短轴端点时，的最 大值为 b c ；对于双曲线的焦点三角形有：； 。 9 、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1 ）以过焦点的弦为直 径的圆和准线相切；（2 ）设 A B为焦点弦， M为准线与 x 轴的交点，则A M F B M F ；（3 ）设 A B为焦点弦，A 、B在准线上的射影分别为 A，B，若 P 为 AB的中点，则 P A P B ；（4 ）若 A O的延长线交准线于 C ，则 B C平行于 x 轴，反之，若过 B点平行于 x 轴的直线交准线于 C点，则 A ，O ，C三点共线。 1 0 、 弦长公式： 若直线与圆锥曲线相交于两点 A 、 B ， 且分别为 A 、 B
8、的横坐标，则，若分别为 A 、B的纵坐标，则 ， 若弦 A B所在直线方程设为， 则。 特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算， 而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 1 1 、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求 解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率 k = ； 在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率 k =；在抛 物线中，以为中点的弦所在直线的斜率 k =。 AA tt tt ee nn tt ii oo nn ：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件， 故在求解有关弦 长、对称问题时，务必别忘了检验！
9、1 2 重要结论： （1 ）双曲线的渐近线方程为； （2 ）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为 为参数，0 ）。 如与双曲线有共同的渐近线， 且过点的双曲线方程为_ _ _ _ _ _ _（答： ） （3 ）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为； （4 ）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相 应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为； （5 ）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （ 6 ） 若 抛 物 线的 焦 点 弦 为 A B， 则 ； （7 ）若 O A 、O B是过抛物线顶点 O的两条互相垂直的弦，则直线 A B 恒经过定点
