1、2021 年高考考前押题密卷（课标全国卷） 理科数学 （满分：150 分考试时间：120 分钟） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目 要求的） 1设集合 2 |lg1 ,Ay yxxR，集合 2 20Bxxx ，则A B 等于（） A. 0,2 B. 2, C. R D. 0, 2欧拉是 18 世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理领域， 其中欧拉公式的诸多公式中， cossin (2.71828 ix exix e为自然对数的底数，i 为虚数单位)被称为“数 学中的天桥”，将复数
2、、指数函数、三角函数联系起来了.当x时，可得恒等式（） A. 10 i e B. 0 i e C. 10 i e D. 0 i ei 3执行如图所示的程序框图，则输出的 y 值为（） A. 2018 1 2 B. 2019 1 2 C. 2020 1 2 D. 2021 1 2 4已知数列 n a 为等比数列，其前 n 项和为 n S，若 267 2a aa ， 3 6S ，则 6 a （） A. 2 或 32B. 2 或 64C.2 或 32D.2 或64 5已知如下六个函数：yx， 2 yx ，lnyx， 2xy ，sinyx，cosyx，从中选出两个函数记为 f x 和 g x ，若 F
3、 xf xg x 的图像如图所示，则 F x （ ） A. 2 cosxx B. 2 sinxx C. 2cos x x D. 2sin x x 6 已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数， 当 0 x 时， 1.f xxx 则不等式 0 x f x 的解集为 （） A. 1,01, B. , 10,1 C. 1,00,1 D. , 11, 7 已知正方体 1111 ABCDA B C D的体积为16 2， 点 P 在面 1111 A B C D上， 且 1 A， C 到 P 的距离分别为 2，2 3， 则直线 CP 与平面 11 BDD B所成角的正弦值为（） A. 2 2 B. 3 3
4、 C. 1 2 D. 1 3 8若数列 n F 满足 1 1F ， 2 1F ， 12 3 nnn FFFn ，则 n F 称为斐波那契数列，它是由中世纪意大 利数学家斐波那契最先发现它有很多美妙的特征，如当 2n 时，前 n 项之和等于第 2n 项减去第 2 项； 随着 n 的增大，相邻两项之比越来越接近0.618等等若第 30 项是 832040，请估计这个数列的前 30 项之和 最接近（）（备注： 2 0.6180.38 ， 2 1.6182.61 ） A.31 万B.51 万C.217 万D.317 万 9我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数
5、学家赵爽在 为周髀算经作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国 古代数学的图腾，还被用作第 24 届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由 4 个全等的直角 三角形和中间的小正方形组成的，若AB a ， ADb ，E 为 BF 的中点，则 AE （） A. 42 55 ab B. 24 55 ab C. 42 33 ab D. 24 33 ab 10设 12 ,F F为椭圆 1 C与双曲线 2 C的公共焦点， 12 ,F F分别为左、右焦点， 1 C与 2 C在第一象限的交点为若 12 MF F是以线段 1 MF为底边的等腰三角形，且双曲线 2
6、C的离心率 7 2, 2 e ，则椭圆 1 C离心率的取值范围 是（） A. 4 5 , 9 9 B. 7 0, 16 C. 27 , 5 16 D. 2 ,1 7 11正方体 1111 ABCDA B C D的棱长为 2，AB， 11 A D的中点分别是 P，Q，直线 PQ 与正方体的外接球 O 相 交于 M，N 两点，点 G 是球 O 上的动点，则 GMN 面积的最大值为（） A. 3 26 2 B. 2 23 2 C. 530 2 D. 62 4 12已知函数 ( )ln()(0) x f xeaaxaa a ，若关于 x 的不等式 ( )0f x 恒成立，则实数 a 的取值范围为 （）
7、 A 2 0,e B. 2 0,eC. 2 1,e D. 2 1,e 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13 若 5 23456 0123456 1axxaa xa xa xa xa xa x ， 在展开式中 x 的偶数次幂项的系数之和为 8， 则a _ 14已知曲线 x m yen 的切线为1yx，则一组满足条件的 m，n 的取值为_ 15伟大出自平凡，英雄来自人民在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会 6 名男生和 8 名女 生骨干成员中选出 2 人作为队长率领他们加入武汉社区服务队， 用 A 表示事件 “抽到的 2 名队长性别相同” ， B 表示事件“
8、抽到的 2 名队长都是男生”，则 |P B A _ 16已知双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，斜率大于 0 的直线 l 经过点 2 F与 C 的右支交于 A，B 两点，若 12 AF F与 12 BF F的内切圆面积之比为 9，则直线 l 的斜率为_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos3 sincAcAba （1）求角 C 的大小； （2）若 D 在边 BC 上，且 1 3 BDDC
9、， 1 cos 7 A ， 10 3 ABC S ，求 AD 18 （本小题满分 12 分） 如图，在六面体 ABCDEGF 中，AB BC ， 2ABAD ， 2 3BCCD ， / /BFDE，且 3 2 BFDE . 平面ADEG 平面ABCD，平面ABFG 平面ABCD （1）求证：GA平面ABCD； （2）求二面角A GDB 的正弦值 19 （本小题满分 12 分） 已知某高校共有 10000 名学生，其图书馆阅览室共有 994 个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且 每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1 1 将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为 X，求
10、 X 的期望和方差; 2 18世纪 30 年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量 X 服从二项分布,B n p ，那么当 n 比较大时，可视 为 X 服从正态分布 2 ,.N 任意正态分布都可变换为标准正态分布(0且1的正态分布)，如果随机 变量 2 ,YN ，那么令 Y Z ，则可以证明 0,1 .ZN 当 0,1ZN 时，对于任意实数 a，记 ().aP Za 已知下表为标准正态分布表(节选)，该表用于查询标准正态分布对应的概率值.例如当 0.16a 时，由于 0.160.10.06 ， 则先在表的最左列找到数字0.1(位于第三行)， 然后在表的最上行找到数字0.06(位于第八 列)，则表中
11、位于第三行第八列的数字0.5636便是 0.16 的值 i 求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率： ii 若要使在晚自习时伯阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？ 20 （本小题满分 12 分） 设抛物线 C： 2 2(0)ypx p 的焦点为 F，过点 0,4P 的动直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，当 F 在 l 上 时，直线 l 的斜率为 2 （1）求抛物线的方程； （2）在线段 AB 上取点 D，满足PA PB ，AD DB ，证明：点 D 总在定直线上 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 ln11 x f xaexlna 1 当 1a 时，求函数
12、f x 的极值点的个数； 2 若 0f x ，求实数 a 的取值范围 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目 计分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 E 的参数方程为 10cos 10sin4 x y (为参数)，直线 l 的参数方程为 cos sin xt yt (t为参数，0).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 1 分别写出曲线 E 和直线 l 的极坐标方程； 2 直线 l 与曲线 E 交于 M，N 两点，若 3ONOM ，求直线 l 的斜率 23
13、（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 32f xxx 的最小值为 M 1 求 M； 2 设, , a b c为正实数，且22abcM ，证明： 555 1118 22abc 20212021 年高考考前押题密卷（课标年高考考前押题密卷（课标全国全国卷）卷） 理科数学理科数学全解全析全解全析 123456789101112 DCBBDBBCACCB 1D 【解析】集合 2 lg1 |0Ay yxy y， 2 200,2Bxxx ，0,)AB，故选 D 2C 【解析】根据欧拉公式 i ecosisin ，将x可得 i cossin1ei ，所以 10 i e 故选 C 3B 【
14、解析】模拟执行程序框图，可得第 1 次运行， 1 2 y ， 2x ；第 2 次运行， 2 1 2 y ， 3x ；第 3 次运行， 3 1 2 y ， 4x ；第 4 次运行， 4 1 2 y ， 5x ；第 2021 次运行， 2021 1 2 y ， 2022x ， 刚好满足条件 2021x ，则退出循环，输出 y 的值为 2021 1 . 2 故选 D. 4B 【解析】数列 n a 为等比数列， 2671 7 2a aaa a ，解得 1 2a ，设数列的公比为 q， 2 3 6222Sqq ，解得2q 或1q ，2q ，则 6 6 264a ；1q 则 6 2a ，故选 B 5D 【
15、解析】由图象可知，函数 F x 过定点 0,1 ，当 0 x 时， 1F x ，为增函数，当 0 x 时， 0F x 或， 0F x 交替出现，因为 2xy 的图象经过点 0,1 ，且当 0 x 时，1y ，当 0 x 时，01y， 若为ycosx，当 0 x 时，1y ，2x cosx 不满足过点 0,1 ，所以只有当 2xF xsinx 才满足条件， 故选：D 6B 【解析】由函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，当 0 x 时， 1f xxx ；所以 0 x ，则 0 x ， 1fxx xf x ；即 10 10 xxx f x xxx ；对于 0 x f x ；当 0 x ， 0 1
16、0 x xx ，解得 01;x当0 x ， 0 10 x xx ，解得1;x 综上所述，不等式 0 x f x 的解集为 , 10,1 故 选 B 7 B【解析】 设正方体的边长为 a， 则 3 16 2a ， 故 2 2a ， 11 24ACa ， 22 11 2 3CPCCC P ， 1 2C P，又 1 2A P ， P 为线段 11 AC的中点，设ACBDO，则OC 平面 11 BDD B，故CPO为直线 CP 与平面 11 BDD B所成角， 23 sin 32 3 OC CPO PC 故选：B 8C 【解析】当 2n 时 22nn SFF ，则 2830 1SF，因为随着 n 的增
17、大，相邻两项之比接近0.618， 则 2930 0.618FF，由 3028293030303030 10.6182.6181217SSFFFFFF 万.故选 C 9 A【解析】 如图所示， 建立直角坐标系 不妨设 1AB ，BE x ， 则 2AEx 22 41xx ， 解得 5 5 x 设 BAE ，则 5 5 sin ， 2 5 5 cos 2 54 55 E xcos ， 2 52 55 E ysin 设AE mABnAD ，则 4 2 ,1,00,1 5 5 mn 4 5 m ， 2 5 n 42 55 AEab ，故选：A 10C 【解析】设椭圆的长轴长为 2a，焦距为 2c，离心
18、率为 1 e， 等腰三角形 12 MF F， 212 2MFF Fc， 1 22acMF， 1 22MFac， 又在双曲线中， 12 22224MFMFaccac，设双曲线的右顶点为 A， A 点横坐标为 2ac ，由 20ac 得 1 0 2 c a ，又 7 2, 2 e ， 2 7 2 2 22 1 c OFc a e c OAac a ， 得 27 516 c a ， 1 27 , 5 16 e ，故选 C 11C 【解析】如图，设正方体外接球球 O 的半径为 r，过球心 O 作OHPQ，垂足为 H，易知 H 为 PQ 的中点因为正方体 1111 ABCDA B C D的棱长为 2，所
19、以 6PQ ， 6 2 HP ， 2OP ， 3ONr ， 所以 22 62 2 42 OHOPHP ， 22 210 3 42 HNONOH ，所以 10MN 因为点 G 是球 O 上的动点，所以点 G 到 MN 的最大距离为 2 3 2 hOHr ，故 GMN 面积的最大值 为 112530 103 2222 MN h 故选 C. 12B 【解析】( )ln()0 x f xeaaxaa，ln() x eaaaxa，即1ln() x e axa a ， 1lnln(1)lnln(1)1lnln(1)1 xxx eee axaxxaxx aaa lnln(1)1 xx ee xx aa ，构
20、造函数( )lnf xxx，(1) x e ff x a 显然( )f x在0,（）上单调递增，1 1 xx ee xa ax 设( ) 1 x e g x x ， 22 (1)(2) ( ) (1)(1) xxx exeex g x xx ，令( )0g x得2x 且当12x时，( )0g x，( )g x单调递减；当2x 吋，( )0g x，( )g x单调递增； 2 min ( )(2)g xge 2 min 1 x e ae x ，故实数a的取值范围为 2 0,e，选B. 13 1 2 【解析】设 5256 01256 (1)axxaa xa xa xa x 令 1x ，则 01256
21、 321aaaaaa 1x 令 ， 01256 0aaaaa +得， 0246 2321aaaaa ，即 28321a ，解得 1 2 a 140,2(mn 满足2)mn 【解析】由曲线 x m yen 的切线为1yx，设切点为 00 ,xy ，由 x m ye ，可得0 1 xm e ，可得 0 xm ，将 0 xm 代入 x m yen 可得 0 1yn ，又 ,1mn 在切线为 1yx上，故 2mn ；取一组 0,2mn ；故答案为 0,2mn . 15 15 43 【解析】设事件 A 为“抽到的 2 名队长性别相同”，事件 B 为“抽到的 2 名队长都是男生”，由已知 得 22 68
22、2 14 43 91 CC P A C ， 2 6 2 14 15 91 C P AB C ，则 15 15 91 (|). 43 43 91 P AB P B A P A 故答案为： 15 43 16 3 【解析】设 12 AF F与 12 BF F的内切圆圆心分别为 G，H，连接 HG， 2 HF， 2 GF， 12 AF F的内切 圆与三边分别切于点 D，E，F，如图， 则 12121212 AFAFADDFAEEFDFEFF FFF，所以 2 GG acxcx ， 即 G xa；同理 H xa，所以 12 HGF F设直线 AB 的倾斜角为，则0, 2 ， 在 2 Rt F FG中，
23、2 tantan 222 FGFFca ， 在 2 Rt F FH中， 2 tantan 22 FHFFca ， 由题得3FGFH，所以 tan3tan 222 caca ，解得 3 tan 23 ， 所以 2 2tan 2 tan3 1tan 2 故答案为 3 17 （本小题满分 12 分） 【解析】（1）因为 cos3 sincAcAba ， 由正弦定理，得sin cos 3sin sinsinsinCACABA 又A BC ，所以 sinsinBAC ，（2 分） 所以 sin cos3sin sinsinsinCACAACA ， 则sin cos 3sin sinsin coscos
24、sinsinCACAACACA ，即 3sin sinsin cossinCAACA （4 分） 因为sin 0A ，所以 3sincos1CC ，即 1 sin. 62 C 因为0 C ， 所以 3 C （6 分） （2）因为 1 cos 7 A ，所以 4 3 sin 7 A ， 所以 5 3 sinsinsin coscos sin 14 BACACAC ，（8 分） 所以 : :sin :sin :sin8:5:7a b cABC ， 不妨设 8at ， 5bt ，7 (0)ct t 因为 10 3 ABC S ， 所以 113 sin8510 3 222 ABC SabCtt ，（1
25、0 分） 解得 1t ，即 8a ， 5b ， 7c 因为 1 3 BDDC ，所以 2BD ， 6DC 在 ABD 中，由余弦定理，得 222 2cos31ADBDABBD ABB ， 所以 31AD （12 分） 18 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）因为平面ABFG 平面 ABCD，AB BC ，BC 平面 ABCD， 平面ABFG 平面ABCD AB ，（2 分） 所以CB 平面 .ABFG AG 平面 ABFG，所以CBAG 因为AB AD ，BC CD ，AC AC ，所以 ABC ADC ， 所以 .ADCD 同理，CD AG （4 分） CB 平面 ABCD，CD 平
26、面 ABCD，CBCDC ， 所以AG 平面 ABCD（5 分） （2）因为 / /BFDE，BF 平面 ABFG，DE 平面 ABFG 所以 / /DE 平面 ABFG，DE 平面 ABFG，平面ABFG 平面ADEG AG ， 所以 / /DEAG（6 分） 所以ED 平面 ABCD，BF 平面 ABCD 所以DA DE ，DC DE 分别以 DA，DC，DE 所以直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 则(0,0,0)D， 3, 3,0B ， 0,2 3,0C ， 3 0,0, 2 E ， 3 3, 3, 2 F （8 分） 3 0, 2 3, 2 CE ， 3 3,3, 2
27、CF 设(2,0, )Gh，则 2, 2 3,CGh ， 因为 C，E，G，F 四点共面， 所以根据共面向量定理得，存在唯一 x，y，使CG xCEyCF ， 即 33 2, 2 3,3 , 2 33 , 22 hyxyxy ， 所以 23 2 32 33 33 22 y xy hxy ，解得 2 3 xy ， 2h （10 分） 所以(2,0,2)G， (2,0,2)DG ， 设平面 BDG 的一个法向量为( , , )ma b c ， 则由m DG ，m DB ， 得 0 0 m DG m DB 即 220 330 ac ab 不妨取1a ，则3b ，1c ，所以 0, 3,1m （11
28、分） 因为平面 ADG 的一个法向量为(0,1,0)n ，则 15 cos, 5 m n ， 设二面角A DGB 的平面角为，则 10 5 sin （12 分） 19 （本小题满分 12 分） 【解析】 1由题意可得，随机变量 X 服从二项分布， 则 100000.11000E Xnp ， 1100000.1 0.9900D Xnpp ，（3 分） 2i 由于 1中二项分布的 n 值增大， 故可以认为随机变量 X 服从二项分布， 由 1可得，1000,30 ， 可得 1000,900XN ，则 1000 0,1 30 X N ，（5 分） 则 1000 9940.20.2 30 X P XP
29、， 由标准正态分布性质可得， 0.210.2 ， 故 99410.2P X ， 故 99419940.20.5793P XP X ， 在晚自习时间阅览室座位不够用的概率为0.5793；（8 分） ii 查表可得， 0.530.7019 ，则 1000 0.530.7019 30 X P ， 即 1015.90.7019P X ， 又 1000 10150.50.50.69150.7 30 X P XP ，（10 分） 故座位数至少要 1016 个， 101699422 ， 故阅览室座位至少需要添加 22 个（12 分） 20 （本小题满分 12 分） 【解析】（1）抛物线 C： 2 2(0)y
30、px p 的焦点为 F，,0 2 p F 又过点 0,4P 的动直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点， 当 F 在 l 上时直线 l 的斜率为 2 40 2 0 2 p ，解得4p （3 分） 故抛物线的方程为 2 8yx ； （4 分） （2）证明：设 11 ,A x y ， 22 ,B xy ， ,D x y ，直线 l 的方程为 4xm y 由 2 8 4 yx xm y ，得 2 8320ymym ，（5 分） 12 8yym， 12 32y ym（6 分） PAPB ，AD DB ， 12 44yy ， 12 yyyy ，（7 分） 故 11 22 4 4 yyy yyy ，
31、化简得 1212 12 244 81 y yyym y yym （9 分） 又 4xm y ， 4 4 1 4 x y y x y 整理得 2 440 xyyyx ， 即 40 xyy ， 则yx或4y （11 分） 当点 D 在定直线4y 上时，直线 l 与抛物线 C 只有一个交点，与题意不符 故点 D 在定直线yx上（12 分） 21 （本小题满分 12 分） 【解析】 1当1a 时， ln11(1) x f xexx ，即 1 ( ) 1 x fxe x ， 易知 1 ( ) 1 x fxe x 在 1, 单调递增（2 分） 又 5 0 4 f ， 2 210fe ，存在唯一 0 5 ,
32、2 4 x ，使得 0 0fx 当 0 1,xx 时，( )0fx，当 0, xx时，( )0fx ， 函数 f x在 0 1,x 单调递减，在 0, x 单调递增， 函数 f x有唯一极值点 0 x（4 分） 1 2 1 x fxae x ，由题意得 0a ， 易知 1 ( ) 1 x fxae x 在 1, 单调递增 存在唯一 0 x，使 0 0 0 1 0 1 x fxae x ， 即 0 0 1 1 x ae x ， 00 ln1lnaxx ，（6 分） 当 0 1,xx 时，( )0fx，当 0, xx时，( )0fx ， 函数 f x在 0 1,x 单调递减，在 0, x 单调递增
33、， 0 00 ln110 x min fxf xaexlna ， 即 000 0 1 ln1ln110 1 xxx x ， 即 00 0 1 2ln110 1 xx x ，（8 分） 令 0 1tx，则 1 2ln0tt t 设 1 2ln0h ttt t t 2 12 10h t tt ， h t 在 0, 递减，（10 分） 又 10h ， 1h th ，0 1t ， 12lnalntt ， 2 1 a e （12 分） 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 【解析】 1由 10cos 10sin4 x y 得 22 (4)10 xy ，（2 分） 即 22 860
34、 xyy ，把 sin cos y x 代入， 得曲线 E 的极坐标方程为 2 8 sin60 直线 l 的极坐标方程为( R，0)（5 分） 2 将直线 l：( R，0)， 代入曲线 E 的方程得 2 860sin 由 2 64240sin ，解得 2 3 sin 8 设 2, N ， 1, M 由韦达定理得 12 8sin， 12 6 （7 分） 3ONOM ， 21 3， 解得 2 sin 2 ，满足 0 0， 4 或 3 4 ，（9 分） 1ktan 直线 l 的斜率为1 （10 分） 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 【解析】解： 1因为 32f xxx 当 3x 时， 32215f xxxx ； 当 32x 时， 325f xxx ； 当 2x 时， 32215f xxxx ； 综上， f x 的最小值 5M （5 分） 2 因为2 25abc ， 所以 5522 1 222 abc aaa ， 同理可得 52 1 22 ac bb ， 522 1 ab cc ， （7 分） 由基本不等式可得 222222555 111 2242 bcacabbcacab abcabcabc 2 22 22 8 2 bcacab abc ， 当且仅当 5 22 3 abc 时，等号成立， 因此 555 1118. 22abc （10 分）
