1、文科数学 第 1页（共 20页） 2021 年高考数学模拟考场仿真演练卷（全国卷）01 文科数学 （考试时间：120 分钟试卷满分：150 分） 注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2回答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中
2、，只有一项是符合题目 要求的） 1已知集合82 4 1 | x xA，1log 2 1 | 2 xxB，则Bx是Ax的（） 。 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 2已知平面向量)4(，ma，)31(mb，若存在实数0，使得ba，则实数m的值为（） 。 A、4 B、 5 12 C、1 D、1 3 新冠肺炎肆虐全， 疫情波及200多个国家和地区； 一些国家宣布进入“紧急状态”， 全球股市剧烈震荡 新冠肺炎疫情严重挑战公共卫生安全，全面冲击世界经济运行，深刻影响社会生活运转。这场全球公共卫 生危机，需要国际社会的通力合作，在一次国际医学学术会议上，来自四
3、个国家的五位代表被安排在一张 圆桌就座，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人， 还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语；则这五位 代表的座位顺序应为（） 。 A、甲乙丙丁戊 B、甲丁丙乙戊 文科数学 第 2页（共 20页） C、甲丙丁戊乙 D、甲丙戊乙丁 4已知函数xxxfln)(，)2(fa 、)(lnefb 、)3(log2fc ，则a、b、c的大小关系为（） 。 A、bca B、acb C、bac D、abc 5 已知实数x、y满足约束条件 1 0 0 yx ymx yx ， 其中1m， 若目标函数
4、mx y y 的最大值为2， 则m（） 。 A、2 B、2或 2 3 C、2或 2 1 D、 2 3 6某城镇重点打造运动体闲小镇品牌，修建了休闲运动广场，广场内设置了一些石凳供大家体息，这些石 凳可看作是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图，若被截正方体的棱长是50 cm，则每个石凳的 表面积为（） 。 A、 2 )33(2500cm B、 2 17500cm C、 2 37500cm D、 2 )33(5000cm 7已知函数xxxfsin)( 3 ，若0， 44 ，且)2() 2 ( ff，则 ) 2 cos(（） 。 A、 3 2 B、 3 3 C、 2 2 D、 2 3 8已知某
5、几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体 文科数学 第 3页（共 20页） 外接球的体积为（） 。 A、 2 B、 2 2 C、 2 3 D、 9秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如下的程序框图所示用秦九韶 算法求5次多项式 01 2 2 3 3 4 4 5 5 )(axaxaxaxaxaxf，当 0 xx (Rx 0 )时的值的过程，若输入 2 0 a，5 1 a，6 2 a，4 3 a，7 4 a，2 5 a，3 0 x，则输出的v的值为（） 。 A、984 B、985 C、986 D、987 10 如图所示， 已
6、知 1 F和 2 F分别是双曲线C：1 2 2 2 2 b y a x (0a，0b)的左、 右焦点， 圆 222 4)(cycx 与双曲线位于x轴上方的图像从左到右依次交于A、B两点，如果 120 21 FAF，则 12F BF的余弦值为 （） 。 A、 2 3 1 B、 2 13 C、 2 1 D、 2 3 11如图所示，正方体 1111 DCBAABCD D 的棱长为1，线段 11D B上有两个动点E、F，且 2 1 EF，则下 列结论中错误的是（） 。 A、BEAC B、/EF平面ABCD C、AEF的面积与BEF的面积相等 文科数学 第 4页（共 20页） D、三棱锥BEFA的体积为
7、定值 12 已知函数 x eaxf)(Ra)的图像经过) 12( ，P， 若函数txxfxg|ln2)(|)(有四个零点， 则实数t的 取值范围为（） 。 A、)2ln21(， B、2ln21(， C、)02ln21 ， D、)02ln21 (， 第卷 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13利用计算机产生10之间的均匀随机数a，则事件“014a”发生的概率为。 14已知6|5|5|iziz，则复数z在复平面内所对应点)(yxP，的轨迹方程为。 15设函数 11 112 )( x x xf x ， ， ，则满足)2() 1(tftf的t的取值范围是。 16 在ABC中
8、， 角A、B、C的对边为a、b、c， 若2a， 60A， 则cb 2 13 的取值范围是。 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a满足：02 11 nnn aaa( Nn，2n)且2 1 a、4 3 a，数列 n b的前n项和为 12 nn bS( Nn)。 （1）求数列 n a、 n b的通项公式； （2）符号x表示不超过实数x的最大整数，记)1(log2 nn ac， n T为数列 n c的前n项和，求 n T2。 文科数学 第 5页（共 20页） 18 （本小题满分 12 分） 已知函数 x
9、exf 2 )( ，12)( 2 xaxxg。 （1）求曲线)(xfy 在()0(0f，)处的切线方程； （2）当0 x时，若2a，求证：0)()(xgxf。 19 （本小题满分 12 分） 某海产品经销商调查发现， 该海产品每售出1 t可获利4 . 0万元， 每积压1 t则亏损3 . 0万元。 根据往年的数据， 得到年需求量的频率分布直方图如图 3 所示，将频率视为概率。 （1）请补齐10090，上的频率分布直方图，并依据该图估计年需求量的平均数； （2）今年该经销商欲进货100 t，以x(单位：t，11060，x)表示今年的年需求量，以y(单位：万元)表 示今年销售的利润，试将y表示为x的
10、函数解析式；并求今年的年利润不少于4 .27万元的概率。 文科数学 第 6页（共 20页） 20 （本小题满分 12 分） 如图所示，等腰ABC的底边66AB，高3CD，点E是线段BD上异于点B、D的动点。点F在BC 边上，且ABEF 。现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使AEPE 。 （1）证明EF平面PAE； （2）记xBE ，)(xV表示四棱锥ACFEP 的体积，求)(xV的最值。 文科数学 第 7页（共 20页） 21 （本小题满分 12 分） 已知点) 11 ( ，M是抛物线C：pxy2 2 (0p)上一定点， 过点M作射线MA、MB， 分别交抛物线C于点A、 B，且MBMA 。
11、（1）求证：直线AB过定点； （2）若直线AB的斜率为 2 1 ，试在抛物线上A点与B点之间的弓形弧上求一点Q，使QAB的面积最大， 并求其最大值。 文科数学 第 8页（共 20页） 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计 分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴， 建立极坐标系， 并在两种坐标系中取相同的长度单位， 已知直线l的参数方程为 ty tx 2 1 3 2 3 5 (t为参数)，圆C的坐标方程为) 3 cos(4 。 （1）求直线l和圆C的直角坐标方
12、程； （2）若)(yxP，在圆C上，求yx3的取值范围。 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数| 1| 1|)(axaxxf，Ra。 （1）当1a时，求不等式0)(xf的解集； （2）若存在21 ，x，使得2| )(|xf成立，求实数a的取值范围。 文科数学 第 9页（共 20页） 2021 年高考数学模拟考场仿真演练卷（全国卷）01 文科数学全解全析 123456789101112 ADDCAABCAACD 1已知集合82 4 1 | x xA，1log 2 1 | 2 xxB，则Bx是Ax的（） 。 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不
13、充分也不必要条件 【答案】A 【解析】32|222| 32 xxxA x ，22|2loglog2log| 222 xxxxB， B A，B是A的充分不必要条件，故选 A。 2已知平面向量)4(，ma，)31(mb，若存在实数0，使得ba，则实数m的值为（） 。 A、4 B、 5 12 C、1 D、1 【答案】D 【解析】ba，)31()4(mm，则 )3(4m m ，解得4或1， 又0，1，1m，故选 D。 3 新冠肺炎肆虐全， 疫情波及200多个国家和地区； 一些国家宣布进入“紧急状态”， 全球股市剧烈震荡 新冠肺炎疫情严重挑战公共卫生安全，全面冲击世界经济运行，深刻影响社会生活运转。这场
14、全球公共卫 生危机，需要国际社会的通力合作，在一次国际医学学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排在一张 圆桌就座，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人， 还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语；则这五位 代表的座位顺序应为（） 。 A、甲乙丙丁戊 B、甲丁丙乙戊 C、甲丙丁戊乙 文科数学 第 10页（共 20页） D、甲丙戊乙丁 【答案】D 【解析】戊是法国人，还会说德语，只能用法语交流， 则两侧只能是乙和丙，乙旁边是丁，丙旁边是甲，故选 D。 4已知函数xxxfln)(，)2(fa 、)(lnefb 、
15、)3(log2fc ，则a、b、c的大小关系为（） 。 A、bca B、acb C、bac D、abc 【答案】C 【解析】由01ln)(xxf得 e x 1 ，则)(xf在), 1 ( e 上单调递增， e e 1 2 1 ln12 2 3 8log3log 22 ， )(ln)2()3(log2efff，即bac，故选 C。 5 已知实数x、y满足约束条件 1 0 0 yx ymx yx ， 其中1m， 若目标函数 mx y y 的最大值为2， 则m（） 。 A、2 B、2或 2 3 C、2或 2 1 D、 2 3 【答案】A 【解析】表示区域为如图阴影部分，) 11 1 ( m m m
16、A，、) 2 1 2 1 ( ，B， 目标函数 mx y z 的几何意义是可行域内的点)(yx，与)0( ，mP所连直线的斜率最大， 故有2 1 1 1 m m m m kPA，即0232 2 mm，解得2m或 2 1 (舍)，故选 A。 6某城镇重点打造运动体闲小镇品牌，修建了休闲运动广场，广场内设置了一些石凳供大家体息，这些石 凳可看作是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图，若被截正方体的棱长是50 cm，则每个石凳的 表面积为（） 。 文科数学 第 11页（共 20页） A、 2 )33(2500cm B、 2 17500cm C、 2 37500cm D、 2 )33(5000cm
17、 【答案】A 【解析】由题意知每个石凳有6个正方形表面，每个正方形的面积为 2 )225( 2 cm， 有8个正三角形表面，每个正三角形的面积为 2 )225( 4 3 2 cm， 每个石凳的表面积)33(2500)225( 4 3 8)225(6 22 S 2 cm，故选 A。 7已知函数xxxfsin)( 3 ，若0， 44 ，且)2() 2 ( ff，则 ) 2 cos(（） 。 A、 3 2 B、 3 3 C、 2 2 D、 2 3 【答案】B 【解析】 3 x单调递增， 22 ) 2 ( ， 22 ，则)(xf在 22 ，上递增， 则 2 2 ， 2 2 4 cos) 2 cos(
18、，故选 B。 8已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体 外接球的体积为（） 。 A、 2 B、 2 2 C、 2 3 D、 【答案】C 文科数学 第 12页（共 20页） 【解析】原三视图可还原成三棱锥ABCP ， 可把三棱锥ABCP 还原成正方体如图，棱长为1， 则三棱锥ABCP 的外接球的半径为此正方体的半径 2 3 2 3 a R， 则 2 3 8 33 3 4 3 4 3 RV，故选 C。 9秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如下的程序框图所示用秦九韶 算法求5次多项式 01 2 2 3 3 4 4 5
19、 5 )(axaxaxaxaxaxf，当 0 xx (Rx 0 )时的值的过程，若输入 2 0 a，5 1 a，6 2 a，4 3 a，7 4 a，2 5 a，3 0 x，则输出的v的值为（） 。 A、984 B、985 C、986 D、987 【答案】A 【解析】执行程序框图， 输入2 0 a，5 1 a，6 2 a，4 3 a，7 4 a，2 5 a，3 0 x， 经过第1次循环得13v，2n， 经过第2次循环得35v，3n， 经过第3次循环得111v，4n， 经过第4次循环得328v，5n， 经过第5次循环得986v，6n， 退出循环，故输出的v的值为986，故选 C。 10 如图所示，
20、 已知 1 F和 2 F分别是双曲线C：1 2 2 2 2 b y a x (0a，0b)的左、 右焦点， 圆 222 4)(cycx 与双曲线位于x轴上方的图像从左到右依次交于A、B两点，如果 120 21 FAF，则 12F BF的余弦值为 （） 。 A、 2 3 1 B、 2 13 C、 2 1 D、 2 3 【答案】A 文科数学 第 13页（共 20页） 【解析】连接 2 AF、 1 BF，取 2 AF的中点C， 2 BF的中点D，连接CF1、DF1， 由已知及双曲线的定义得cFFBFAF2| 2111 ，caAF22| 2 ，acBF22| 2 ， 120 21 FAF， 21F C
21、FRt中， c ca FF CF FCF 2| | 60sinsin 21 2 21 ， 又ca 0，13 c a ， 2 3 1 2 1 2| | cos 21 2 12 c a c ac FF DF FBF，故选 A。 11如图所示，正方体 1111 DCBAABCD D 的棱长为1，线段 11D B上有两个动点E、F，且 2 1 EF，则下 列结论中错误的是（） 。 A、BEAC B、/EF平面ABCD C、AEF的面积与BEF的面积相等 D、三棱锥BEFA的体积为定值 【答案】C 【解析】在正方体 1111 DCBAABCD D 中，E、F是线段 11D B上的两个动点， BDAC 且
22、 1 BBAC ，AC平面 11DD BB， BE平面 11DD BB，BEAC ，A 对， 平面/ 1111 DCBA平面ABCD且EF平面 1111 DCBA，/EF平面ABCD，B 对， B到 11D B的距离为1 1 BB，A到 11D B的距离大于上下底面中心的连线，即大于1， AEF的面积大于BEF的面积，C 错， A到平面 11D DBB的距离即是A到BD的距离为 2 2 2 11 22 是定值， 底面 4 1 1 2 1 2 1 BEF S是定值，三棱锥BEFA的体积也为定值，D 对， 故选 C。 12 已知函数 x eaxf)(Ra)的图像经过) 12( ，P， 若函数txx
23、fxg|ln2)(|)(有四个零点， 则实数t的 取值范围为（） 。 A、)2ln21(， B、2ln21(， C、)02ln21 ， D、)02ln21 (， 【答案】D 文科数学 第 14页（共 20页） 【解析】由已知可得1)2( 2 eaf，解得 2 1 e a ，故 x e e xf 2 1 )(，txe e xg x |ln2 1 |)( 2 ， 易知函数)(xg的零点个数即函数|ln2 1 | 2 xe e y x 的图像与直线ty的交点个数， 设xe e xh x ln2 1 )( 2 ，定义域为)0(，则 x e e xh x 21 )( 2 ， 设 x e e xm x 2
24、1 )( 2 ， 22 21 )( x e e xm x ，则0)( x m恒成立，)(xm在)0(，内单调递增， 又0)2(m，则当20 x时0)(xm，即0)( x h，当2x时0)(xm，即0)( x h， )(xh在2x处取得极小值也是最大值，则02ln21)2(h， 又当 0 x时0)(xh，当x时0)(xh， |ln2 1 | 2 xe e y x 的图像如图所示， 由图像可知，12ln20 t，即02ln21t时， 函数|ln2 1 | 2 xe e y x 的图像与直线ty有四个交点， 即函数txxfxg|ln2)(|)(有四个零点，故选 D。 13利用计算机产生10之间的均匀
25、随机数a，则事件“014a”发生的概率为。 【答案】 4 1 【解析】由题意知10 a，又014a得 4 1 0 a， 根据几何概型公式可得，事件“014a”发生的概率为 4 1 01 4 1 P。 14已知6|5|5|iziz，则复数z在复平面内所对应点)(yxP，的轨迹方程为。 【答案】1 49 22 xy 【解析】设z对应的点)(yxP，则6)5()5(|5|5| 2222 yxyxiziz， 设点)50( ，A、)50(，B，则|6|ABPBPA， 点P在以A、B为焦点的椭圆上，轨迹方程为1 49 22 xy 。 15设函数 11 112 )( x x xf x ， ， ，则满足)2(
26、) 1(tftf的t的取值范围是。 【答案】)21(， 文科数学 第 15页（共 20页） 【解析】当1x时，函数12)( x xf是增函数，则1) 1 ()( fxf， 作出)(xf的大致图像如图所示， 结合图像可知，要使)2() 1(tftf， 则需 tt t t 21 12 11 或 112 12 11 1t t t ，解得 2 1 1t或2 2 1 t， 即21t，故t的取值范围是)21(，。 16 在ABC中， 角A、B、C的对边为a、b、c， 若2a， 60A， 则cb 2 13 的取值范围是。 【答案】2213(， 【解析】2a， 60A，由正弦定理得： 3 4 60sin 2
27、sinsinsin C c B b A a ， sin 2 13 )120sin( 3 4 )sin 2 13 (sin 3 4 2 13 CCCBcb )sin 2 3 cos 2 3 ( 3 4 )sin 2 13 sin 2 1 cos 2 3 ( 3 4 CCCCC )45sin(22)sin(cos2 CCC， 1200 C， 1654545 C， 4 26 165sin ， 1)45sin( 4 26 C，22 2 13 13 cb。 17 （12 分）已知数列 n a满足：02 11 nnn aaa( Nn，2n)且2 1 a、4 3 a，数列 n b的前n项 和为12 nn b
28、S( Nn)。 （1）求数列 n a、 n b的通项公式； （2）符号x表示不超过实数x的最大整数，记)1(log2 nn ac， n T为数列 n c的前n项和，求 n T2。 【解析】 （1）数列 n a满足02 11 nnn aaa( Nn，2n)， 数列 n a是等差数列，设其公差为d， 2 1 a、4 3 a，1 13 13 aa d，1 nan，2 分 数列 n b的前n项和为12 nn bS( Nn)， 当1n时，12 111 bbS，解得1 1 b， 当2n时，) 12() 12( 11 nnnnn bbbbb，化简得： 1 2 nn bb， 数列 n b是首项为1、公比为2的
29、等比数列， 1 2 n n b；4 分 文科数学 第 16页（共 20页） （2）由（1）知log2ncn，当 1 22 kk n时，kn log2，Zk ，5 分 2log)12(log)22(log4log3log2log 1log 2222222 2 nnn n T nnn ) 1() 1(2110 nnn nn 12321 2) 1(2)2(232221，8 分 n T22nnn nn 22) 1(2)2(232221 1432 ，9 分 上式减下式得： nnnnT nnn n 2)2(22) 1(22222 14321 2 ，11 分 22)2( 2 nnT n n 。12 分 18
30、 （12 分）已知函数 x exf 2 )( ，12)( 2 xaxxg。 （1）求曲线)(xfy 在()0(0f，)处的切线方程； （2）当0 x时，若2a，求证：0)()(xgxf。 【解析】 （1） x exf 2 )( ，)(xf的定义域为R， x exf 2 2)( ，1 分 2)0( f ，又1)0(f，切线方程为)0(21xy，即012 yx；3 分 （2）证明：要证0)()(xgxf， 只证012 22 x exax，即证01) 12( 22 x exax，4 分 令1) 12()( 22 x exaxxF， 0 x，2a，0 2 x e， 22 2xax，即12212 22
31、xxxax，6 分 1) 122(1) 12( 2222 xx exxexax， 即1) 122()( 22 x exxxF，7 分 令1) 122()( 22 x exxxG， 则04) 122(2)24()( 22222 xxx exexxexxG，9 分 )(xG在0(，上单调递减，又0)0(G，0 x时0)(xG，11 分 0)(xF，即0)()(xgxf。12 分 19 （12 分）某海产品经销商调查发现，该海产品每售出1 t可获利4 . 0万元，每积压1 t则亏损3 . 0万元。根 据往年的数据，得到年需求量的频率分布直方图如图 3 所示，将频率视为概率。 （1）请补齐10090，
32、上的频率分布直方图，并依据该图估计年需求量的平均数； （2）今年该经销商欲进货100 t，以x(单位：t，11060，x)表示今年的年需求量，以y(单位：万元)表 示今年销售的利润，试将y表示为x的函数解析式；并求今年的年利润不少于4 .27万元的概率。 文科数学 第 17页（共 20页） 【解析】 （1）由题意可知，10090，上的频率为02. 0010. 0050. 0015. 0005. 01 . 0，1 分 补全频率分布直方图如图所示，2 分 设年需求量的平均数为x， 则5 .861 . 01052 . 0955 . 08515. 07505. 065x，4 分 （2）设今年的年需求量
33、为x吨，今年的年利润为y万元， 当1000 x时，307 . 0)100(3 . 04 . 0 xxxy，5 分 当100 x时，40y，6 分 故 11010040 10060307 . 0 x xx y ， ， ，7 分 设4 .27307 . 0 x，解得82x， 4 . 05 . 0 5 4 )9080( 10 8290 )9082( xPxP，8 分 2 . 0)10090( xP，9 分 1 . 0)110100( xP，10 分 则)110100()10090()9082()82(xPxPxPxP 7 . 01 . 02 . 04 . 0，11 分 今年的年利润不少于4 .27万
34、元的概率为7 . 0。12 分 20 （12 分）如图所示，等腰ABC的底边66AB，高3CD，点E是线段BD上异于点B、D的动点。 点F在BC边上，且ABEF 。现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使AEPE 。 （1）证明EF平面PAE； （2）记xBE ，)(xV表示四棱锥ACFEP 的体积，求)(xV的最值。 【解答】 （1）证明：ABEF ， 90PEFBEF，PEEF ，2 分 又EPEAB，EF平面PAE；4 分 （2）解：AEPE 、EFPE ，又EEFAE，PE平面ABC，5 分 文科数学 第 18页（共 20页） 即PE为四棱锥ACFEP 的高， 由高线CD及ABEF 得C
35、DEF /， CD EF BD BE ， 由题意知 363 EFx ，xEF 6 6 ，7 分 22 12 6 69 6 6 2 1 366 2 1 xxSSS BEFABCACFE ， 而xEBPE， 3 36 6 63 3 1 )(xxPESxV ACFE (630 x)，9 分 2 12 6 63)(xxV，令0)( x V，解得6x， 当60 x时0)( x V，则)(xV在)60( ，单调递增， 当636 x时0)( x V，则)(xV在)636( ，单调递减，11 分 当6x时)(xV取得极大值也是最大值，612)6()( max VxV。12 分 21 （12 分）已知点) 11
36、 ( ，M是抛物线C：pxy2 2 (0p)上一定点，过点M作射线MA、MB，分别交抛 物线C于点A、B，且MBMA 。 （1）求证：直线AB过定点； （2）若直线AB的斜率为 2 1 ，试在抛物线上A点与B点之间的弓形弧上求一点Q，使QAB的面积最大， 并求其最大值。 【解析】 （1）点) 11 ( ，M在抛物线C：pxy2 2 (0p)上，代入得p21， 2 1 p， 抛物线C的方程为xy 2 ，1 分 由题意可知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为amyx，2 分 联立 xy amyx 2 得：0 2 amyy，04 2 am， 设)( 11 yxA，、)( 22 yxB，则myy
37、21 ，ayy 21 ，3 分 又MBMA ，则0MBMA，即0) 1)(1() 1)(1( 2121 yyxx， 即02)()( 21212121 yyyyxxxx，又 1 2 1 xy 、 2 2 2 xy ， 02)(3)( 2121 2 21 2 2 2 1 yyyyyyyy，代入得023 22 mama， )2()2)()2()(2)( 22 mamamamamama 0)2)(1(mama，5 分 解得1ma或2 ma， 当1ma时1mmyx，必过点) 11 ( ，不符合题意，舍去， 文科数学 第 19页（共 20页） 当2 ma时2mmyx，必过点) 12(，符合题意，取， 综上
38、，直线AB必过点) 12(，；7 分 （2）由（1）知，直线AB必过点) 12(， 直线AB的斜率为 2 1 ，直线AB的方程为042yx，8 分 联立 xy yx 2 042 得042 2 yy，则2 21 yy，4 21 yy，9 分 104)( 1 1| 21 2 21 2 yyyy k AB，设点Q到直线AB的距离为d， 则dABdS QAB 5| 2 1 ，当d最大时QAB的面积最大，10 分 由题意可知点Q一定在第一象限，则此时xy ， x y 2 1 ， 当过点)( 00 yxQ，的直线为抛物线xy 2 的切线且斜率为 2 1 时，d最大， 此时)( 00 yxQ，为切点， 2
39、1 2 1 | 0 0 x y xx ，解得1 0 x，1 0 y， 即) 11 ( ，Q，与) 11 ( ，M重合，此时55 5 5 5 )2(1 |421| 5 22 QAB S。12 分 22 （10 分）以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相 同的长度单位，已知直线l的参数方程为 ty tx 2 1 3 2 3 5 (t为参数)，圆C的坐标方程为) 3 cos(4 。 （1）求直线l和圆C的直角坐标方程； （2）若)(yxP，在圆C上，求yx3的取值范围。 【解析】 （1）由 ty tx 2 1 3 2 3 5 得直线l必过点)35(，倾斜角
40、为 6 5 ， 则直线l的平面直角坐标方程为)5( 3 3 3xy，即023yx，2 分 sin32cos2) 3 cos(4，sin32cos2 2 ， 圆C的平面直角坐标方程为0322 22 yxyx，即4)3() 1( 22 yx；4 分 文科数学 第 20页（共 20页） （2）圆C的参数方程为 sin23 cos21 y x (为参数)，6 分 则4) 6 sin(44cos2sin323 yx，8 分 又1) 6 sin(1 ，yx3的取值范围为80 ，。10 分 23 （10 分）已知函数| 1| 1|)(axaxxf，Ra。 （1）当1a时，求不等式0)(xf的解集； （2）若
41、存在21 ，x，使得2| )(|xf成立，求实数a的取值范围。 【解析】 （1）当1a时，由0| 1| 1|)(xxxf得| 1| 1|xx，1 分 01212 22 xxxxx，3 分 不等式0)(xf的解集为0|xx；4 分 （2）存在21 ，x，使得2| )(|xf成立，即2| 1| 1|axax成立，5 分 而2| ) 1()1 ( | 1|1 | 1| 1|axaxaxaxaxax，7 分 当且仅当0) 1()1 (axax时等号成立，1 22 xa，即 2 2 1 x a ，8 分 当2x时 4 1 ) 1 ( min 2 x ， 4 1 2 a，解得 2 1 a或 2 1 a，9 分 实数a的取值范围是) 2 1 2 1 (，。10 分
