1、 从一个故事开始 1955年希腊发行了一年希腊发行了一 张邮票，这张邮票的背后张邮票，这张邮票的背后 有一段动人的故事，你想有一段动人的故事，你想 听吗？听吗？ 1955年希腊发行年希腊发行 黑白相间的地砖黑白相间的地砖 毕达哥拉斯（公元前毕达哥拉斯（公元前 572前前497年），古希年），古希 腊著名的哲学家、数学腊著名的哲学家、数学 家、天文学家家、天文学家. . A A B B A A B B C C C C 18.1 勾股定理 2002年国际数学家大会的会标年国际数学家大会的会标 s1 s2 s3 a b c 探究：如图是行距、列距都是1的方格网 S1、S2、S3的值各是多少？它们之间
2、有 什么关系？ 图（1） 看一看，想一想 b 探究：如图所示，每个小方格代表一个单位面积。 S1、S2、S3的值各是多少？它们之间有什么关系？ 你能得到什么推断？ a c s1 s2 s3 看一看，想一想 A B C S1 S2 S3 你能计算以你能计算以AB为边为边 的正方形的面积吗？的正方形的面积吗？ S S1 1=9=9 S S2 2=16=16 a b c 这是用这是用“补补”的方的方 法法 A B C s1 s2 s3 S S3 3 =25 =25 这是用这是用“割割”的方法的方法 s1 s2 s3A B C S S3 3 =25 =25 根据上述探究填表 S1的面积的面积(单位单位
3、 面积面积) S2的面积的面积(单位单位 面积面积) S3的面积的面积(单位单位 面积面积) 图图1 图图2 图图3 S1、S2、S3 面积面积 关系关系 用直角三角形的边用直角三角形的边 表示表示 11 2 9918 9 16 25 S1+S2=S3 a2+b2=c2 a c b? 如果直角三角形的两直角边长分别为a、b， 斜边长为c,那么 a2+b2=c2 猜一猜 a b c 用这样的四个全等的直角三角形拼一拼、用这样的四个全等的直角三角形拼一拼、 摆一摆，看看是否得到一个含有以斜边摆一摆，看看是否得到一个含有以斜边c 为边长的正方形，你能利用它说明勾股为边长的正方形，你能利用它说明勾股
4、定理吗？并与同伴交流。定理吗？并与同伴交流。 拼一拼 c a b c a b c a b c a b c2= 4 ab +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 a2+b2=c2 大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为也可以表示为 c2 4ab/2-(b- a)2 1 2 证一证 c a b c a b c a b c a b (a+b)2 = c2 + 4ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab a2+b2=c2 大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为也可以表示为 (a+b)2 c2 +4ab/2 证一证 勾股
5、定理（勾股定理（gou-gugou-gu theorem) theorem) 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为斜边为c，那么，那么 222 abc 即即 直角三角形两直角边的平方和等直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。于斜边的平方。 a b c 勾勾 股股 弦弦 在西方又称毕达在西方又称毕达 哥拉斯定理耶！哥拉斯定理耶！ 商高商高 周髀算经周髀算经 商高定理商高定理 我国是最早了解勾股定我国是最早了解勾股定 理的国家之一早在三千多理的国家之一早在三千多 年前，周朝数学家商高就提年前，周朝数学家商高就提 出，将一根直尺折成一个直出，将一根直尺折成一
6、个直 角，如果勾等于三，股等于角，如果勾等于三，股等于 四，那么弦就等于五，即四，那么弦就等于五，即 “勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它，它 被记载于我国古代著名的数被记载于我国古代著名的数 学著作学著作周髀算经周髀算经中中. . v赵爽：东汉赵爽：东汉末至三末至三国时国时 代代吴国吴国人人 v为为周髀算周髀算经经作注，作注， 并并著有著有勾股勾股圆圆方方图图 说说。 v 赵爽的这个证明可谓别赵爽的这个证明可谓别 具匠心，极富创新意识。具匠心，极富创新意识。 他用几何图形的截、割、他用几何图形的截、割、 拼、补来证明代数式之拼、补来证明代数式之 间的恒等关系。间的恒等关系。 刘 徽 九章
7、算术九章算术 青朱出入图青朱出入图 22 ba 22 bc 22 ac 勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方。方和等于斜边的平方。a2 + b2 = c2 变式：变式： 勾股定理应用注意 1、适用范围（条件）：直角三角形。 2、分清直角边与斜边。 A B C a b c 几何语言表述： C=90 a2+b2=c2 例例 求出下列直角三角形中未知边的长度求出下列直角三角形中未知边的长度 6 8 x 5 x 13 解：（解：（1）由勾股定理得：由勾股定理得： x2 =36+64 x2 =100 x2=62+82 x=10 x2+52=132 x2=13
8、2-52 x2=169-25 x2=144 x=12 （2）由勾股定理得：由勾股定理得： 如图如图:一个高一个高3 米米,宽宽4 米的大门米的大门,需在相对角的顶需在相对角的顶 点间加一个加固木板点间加一个加固木板,则木板的长为则木板的长为 ( ) A.3 米米 B.4 米米 C.5米米 D.6米米 C 试一试 1. ABC的边的边a=6,b=8,则则c=10 ( ) 判断正误 2 .直角三角形直角三角形ABC中，中，B =90， a=3,b=4,那么那么c=5 ( ) 试一试 57 已知：已知：RtBC中，中，AB，AC,则则BC 的长为的长为 . 4 4 3 3 AC B 4 4 3 3 C A B 或 试一试 使用勾股定 理有哪些要 注意的呢？ 1、适用范围（条件）：直角三角形。 2、分清谁是直角边、谁是斜边，必 要时须分类讨论。 注意： 总结反思，畅谈收获 v本节课你有那些收获？ v你最感兴趣的地方是什么？ 第1题图 第2题图 作业 1、（必做）下列阴影部分是一正方形，求此正方形的、（必做）下列阴影部分是一正方形，求此正方形的 面积。面积。 15厘米厘米 17厘米厘米
