1、- 1 - 18.118.1勾勾 股股 定定 理理 （第一课时）（第一课时） 一、教学内容：勾股定理的探究、证明与简单应用。一、教学内容：勾股定理的探究、证明与简单应用。 二、教学目标：二、教学目标： 1、知识与技能：、知识与技能： （1） 、使学生掌握勾股定理及其简单应用；、使学生掌握勾股定理及其简单应用； （2） 、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单 推理的意识及能力；推理的意识及能力； （3） 、在勾股定理应用的过程中，培养学生的数学实际应用能力。、在勾股定理应用的过程中，培养学生的数
2、学实际应用能力。 2、过程与方法：、过程与方法： （1） 、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识和、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识和 主动探索的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系；主动探索的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系； （2） 、通过动手操作、分组合作学习活动，学会在活动中与他人合作，并能与他人交、通过动手操作、分组合作学习活动，学会在活动中与他人合作，并能与他人交 流思维的过程与结果。流思维的过程与结果。 3、情感、态度与价值观：、情感、态度与价值观： 通过动手操作、独立思考与合作学习的过程，提高学生学习数
3、学的兴趣，形成锲而不通过动手操作、独立思考与合作学习的过程，提高学生学习数学的兴趣，形成锲而不 舍的钻研精神，培养独立思考的良好学习习惯。舍的钻研精神，培养独立思考的良好学习习惯。 三、教学重难点及关键：三、教学重难点及关键： 1、教学重点：勾股定理的探究及其应用；、教学重点：勾股定理的探究及其应用； 2、教学难点：勾股定理的发现过程及勾股定理的证明；、教学难点：勾股定理的发现过程及勾股定理的证明； 3、教学关键：通过用数格子的办法探索勾股定理，并用面积法证明勾股定理。、教学关键：通过用数格子的办法探索勾股定理，并用面积法证明勾股定理。 四、教学方法：引导发现与启发讲解相结合。四、教学方法：引
4、导发现与启发讲解相结合。 五、教学准备：五、教学准备： 1、教师准备教师准备：投影仪投影仪、多媒体教学多媒体教学，四个全等的直角三角形四个全等的直角三角形，三个边长等于直角三角形三个边长等于直角三角形 三边长的正方形。三边长的正方形。 2、学生准备：四个全等的直角三角形以及三个边长等于直角三角形三边长的正方形。、学生准备：四个全等的直角三角形以及三个边长等于直角三角形三边长的正方形。 六、教学过程：六、教学过程： （一（一） 、创设问题情境，导入新课：、创设问题情境，导入新课： 1、问题情境：、问题情境： 受台风影响，一棵树在离地受台风影响，一棵树在离地 面面 5 米处断裂米处断裂， 树的顶部
5、落在离树的底树的顶部落在离树的底部部 12 米处米处， 这棵树折断前有多高？这棵树折断前有多高？ （不解答）（不解答） （1） 、 折断的大树与地面形成了什么图形？折断的大树与地面形成了什么图形？ （2） 、直角三角形是特殊的三角形，它的、直角三角形是特殊的三角形，它的 三条边之间有什么特殊关系呢？三条边之间有什么特殊关系呢？ 2 2、引出新课：、引出新课： 直角三角形是特殊的三角形，除了具备直角三角形是特殊的三角形，除了具备 上述特殊性质外，它的三边也具有特定的关上述特殊性质外，它的三边也具有特定的关 系，这个关系早在公元前系，这个关系早在公元前 3 3 世纪，我国数学世纪，我国数学 家赵爽
6、就证明了直角三角形三边之间的关家赵爽就证明了直角三角形三边之间的关 系，我们称之为勾股定理。今天我们就来探索这个关系。系，我们称之为勾股定理。今天我们就来探索这个关系。 （二（二） 、合作交流，解读探索：、合作交流，解读探索： 1 1、创设问题情境（一、创设问题情境（一） ： （1 1） 、在坐标纸上画一个格点直角三角形在坐标纸上画一个格点直角三角形，然后分别以直角三角形的各边为正方形然后分别以直角三角形的各边为正方形 的一边，向形外作正方形。如课本第的一边，向形外作正方形。如课本第 5050 页图页图 18181 1，观察图，观察图 18181 1，回答下列问题：，回答下列问题： B C A
7、 - 2 - 、以以 a a 为边长的正方形中有为边长的正方形中有个小方格个小方格，即它的面积即它的面积 S S1 1为为个面积单位个面积单位； 以以 b b 为边长的正方形中有为边长的正方形中有个小方格个小方格， 即它的面积即它的面积 S S2 2为为个面积单位个面积单位； 以以 c c 为边长的正方形中有为边长的正方形中有个小方格个小方格， 即它的面积即它的面积 S S3 3为为个面积单位个面积单位； 你是怎样得出上面结果的？你是怎样得出上面结果的？ 、图、图 19191 1 中，三个正方形的面积之间有什么关系？中，三个正方形的面积之间有什么关系？ 学生交流后形成共识，老师板书：学生交流后
8、形成共识，老师板书：S S1 1+S+S2 2=S=S3 3. . (2)(2)、 再在坐标纸上画几个格点直角三角形再在坐标纸上画几个格点直角三角形， 分别以三角形的各边为正方形的一边分别以三角形的各边为正方形的一边， 向形外作正方形，如课本第向形外作正方形，如课本第 5050 页图页图 18182 2，图，图 18183 3，观察图形，并填写下表：，观察图形，并填写下表： 观察上表，你还能得到刚才的结论吗？观察上表，你还能得到刚才的结论吗？ （3 3） 、如下图如下图，按上述规律按上述规律，其中三个正方形的面积有怎样的关系？用它们的边长其中三个正方形的面积有怎样的关系？用它们的边长 表示，是
9、：表示，是：。 2 2、创设问题情境（二、创设问题情境（二） ： 做一做：请同学们按老师的要求来做一做：请同学们按老师的要求来 做做。同桌之间用事先准备好的四个直角三角同桌之间用事先准备好的四个直角三角 形与正方形拼成如下形与正方形拼成如下图图1 1所示的两个不同的所示的两个不同的 大正方形：大正方形： a b a b c a b b c c c c a 图图 1 1 观察图观察图 1 1 中拼成的两个大正方形，你中拼成的两个大正方形，你 有什么发现？可以得到什么结论？有什么发现？可以得到什么结论？ 3 3、探究解决问题（一、探究解决问题（一） 、 学生根据图形可以发现：两个大正方形一样大。正
10、方形的边长都是（学生根据图形可以发现：两个大正方形一样大。正方形的边长都是（a+ba+b） ，所以两个，所以两个 大正方形的面积相等。大正方形的面积相等。 教师继续引导学生：将图教师继续引导学生：将图 1 1 中的两个大正方形中全等的图形拿掉，还剩下什么？这三中的两个大正方形中全等的图形拿掉，还剩下什么？这三 个正方形的面积有什么关系？为什么？个正方形的面积有什么关系？为什么？ 学生可以根据图形直接看出：两个小正方形的面积和等于较大的正方形面积。因为两学生可以根据图形直接看出：两个小正方形的面积和等于较大的正方形面积。因为两 个大正方形面积相等，拿掉部分的面积也相等，所以剩下部分的面积相等。即
11、：个大正方形面积相等，拿掉部分的面积也相等，所以剩下部分的面积相等。即： 图形图形S S1 1S S2 2S S3 3三者关系三者关系 图图 18-118-1 图图 18-218-2 图图 18-318-3 S2 S1 S3 A C B B b a c b - 3 - . 222 cba 教师提出问题：教师提出问题： 通过上面的探究，你能发现直角三角形三边的长之间有怎样的关系吗？通过上面的探究，你能发现直角三角形三边的长之间有怎样的关系吗？ 2 2、探究解决问题（二、探究解决问题（二） ： 师生共识：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。师生共识：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边
12、的平方。 如果直角三角形的两条直角边用如果直角三角形的两条直角边用 a a、b b 表示，斜边用表示，斜边用 c c 表示，则上述结论可表示为：表示，则上述结论可表示为： . 222 cba 3 3、创设问题情境（三、创设问题情境（三） ：对于上述结论，要使人信服，必须加以证明。如何证明上述：对于上述结论，要使人信服，必须加以证明。如何证明上述 结论呢？结论呢？ 4 4、探究解决问题（三、探究解决问题（三） ： 我们再回顾一下刚才的操作过程，想一想，上述结论是怎么样得到的？我们再回顾一下刚才的操作过程，想一想，上述结论是怎么样得到的？ 学生马上反应出，是通过比较面积得到的。学生马上反应出，是通
13、过比较面积得到的。 教师告诉学生这是数学证题中常用的方法：面积法、比较法。教师告诉学生这是数学证题中常用的方法：面积法、比较法。 下面，我们就用面积计算的方法来证明这个结论。下面，我们就用面积计算的方法来证明这个结论。 已知：如图已知：如图 1 1，在，在 RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AB=c,BC=aAB=c,BC=a，AC=b.AC=b. 求证：求证：. 222 cba 证明证明：取取 4 4 个与个与 RtRtABCABC 全等的直角三角形全等的直角三角形，把它们拼成如图把它们拼成如图 1 1（2 2）所示的边长为所示的边长为 a+a+b b 的正方形的正方形 EFGH
14、EFGH。从图中可见，。从图中可见，A A1 1B B1 1=B=B1 1C C1 1=C=C1 1D D1 1=A=A1 1D D1 1=c.=c.因为因为B B1 1A A1 1E+E+A A1 1B B1 1E=90E=90, ,而而A A1 1B B1 1E=E= D D1 1A A1 1H H，因此因此B B1 1A A1 1E+E+D D1 1A A1 1H=90H=90, , D D1 1A A1 1B B1 1=90=90. .同理同理：A A1 1B B1 1C C1 1= =B B1 1C C1 1D D1 1= =C C1 1D D1 1A A1 1=90=90，所所 以
15、四边形以四边形 A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是边长为是边长为 c c 的正方形。的正方形。 正方形正方形 EFGHEFGH 和正方形和正方形 A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的面积分别记作的面积分别记作 S S正方形 正方形 EFGHEFGH和 和 S S正方形 正方形 A1B1C1D1A1B1C1D1，则： ，则： S S正方形 正方形 EFGHEFGH 4S4S ABCABC S S正方形 正方形 A1B1C1D1A1B1C1D1, , 即：即： . 2 1 4)( 22 cabba A CB b a c 图图 1 （1） （2） E F G D1 B1
16、 C1 ba b ab a b c c c H - 4 - 化简，得：化简，得：. 222 cba 教师提问：除了上述拼图方法可以证明勾股定理外，还有其它拼图方法吗？用你手中教师提问：除了上述拼图方法可以证明勾股定理外，还有其它拼图方法吗？用你手中 的直角三角形拼拼看！的直角三角形拼拼看！ 学生活动：认真思考，讨论、交流，拼凑图形，寻找证明勾股定理的方法。学生活动：认真思考，讨论、交流，拼凑图形，寻找证明勾股定理的方法。 教师活动：教师适时加以点拨，并提供一些证明勾股定理的图形，如下图：教师活动：教师适时加以点拨，并提供一些证明勾股定理的图形，如下图： 师生共识：师生共识： 定理：定理：直角三
17、角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。 用字母可表示为用字母可表示为 : :. 222 cba 定理的变形式：定理的变形式：. 22 bac . 22 acb . 22 bca 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长较长 的直角边称为股的直角边称为股，斜边称为斜边称为弦弦。因此因此，我们称上述结论为我们称上述结论为 勾股定理，国外称为毕达哥拉斯定理。勾股定理，国外称为毕达哥拉斯定理。 5 5、创设问题情境（四、创设问题情境（四） ： 我们刚才学习了勾股定理，勾股定理有什么用呢？怎样用？请同学们相互
18、交流、我们刚才学习了勾股定理，勾股定理有什么用呢？怎样用？请同学们相互交流、 讨论。讨论。 6 6、探究解决问题（四、探究解决问题（四） ： 学生通过讨论，可以总结如下：学生通过讨论，可以总结如下： （1 1） 、知道两条直角边可以求出斜边，应用公式；、知道两条直角边可以求出斜边，应用公式； （2 2） 、知道斜边和一条直角边，可以求另一条直角边，应用公式。、知道斜边和一条直角边，可以求另一条直角边，应用公式。 教师小结教师小结: :勾股定理的作用就是知道直角三角形中任意两边就可以求出第三边。勾股定理的作用就是知道直角三角形中任意两边就可以求出第三边。 （三（三） 、例题解析，应用定理：、例题
19、解析，应用定理： 补充例题：补充例题： a c b B C A a b c - 5 - 1 1、已知、已知 RtRtABCABC 中，中，C=90C=90. . 若若 a a = = 5 5，b b = = 1212，则，则 c=c=； 若若 c=c= 1010，b b = = 8 8，则，则 a a = =. . 若若 a=2a=2，c=6c=6，则，则 b=b=。 2 2、若一个直角三角形的三边长分别为、若一个直角三角形的三边长分别为 3 3，4 4， x x，则，则 x x. . 教师活动：利用多媒体演示例题，要求学生根据勾股定理进行求解。教师活动：利用多媒体演示例题，要求学生根据勾股定
20、理进行求解。 学生活动：相互交流、讨论，并灵活运用勾股定理解题，注意第学生活动：相互交流、讨论，并灵活运用勾股定理解题，注意第 2 2 题的讨论。题的讨论。 3 3、一个一个 5m5m 长的梯子长的梯子 AB,AB,斜靠在一竖直的墙斜靠在一竖直的墙 AOAO 上上, ,这时这时 AOAO 的距离为的距离为 4m4m, ,求求 OBOB 的距离？的距离？ 如果梯子的顶端如果梯子的顶端 A A 沿墙下滑沿墙下滑 2m2m, ,那么梯子底端那么梯子底端 B B 也外移也外移 2m2m 吗吗? ? 教师活动教师活动：利用多媒体演示例题并加以分析利用多媒体演示例题并加以分析，引导引导 学生运用勾股定理解
21、决问题。学生运用勾股定理解决问题。 学生活动学生活动：相互交流相互交流、讨论讨论，并在教师的指导下完并在教师的指导下完 成解题过程如下：成解题过程如下： 解解： （1 1） 、在、在 RtRtAOBAOB 中，根据勾股定理，得：中，根据勾股定理，得： 222 OAABOB，即：，即： 22 OAABOB. . )(39162545 22 mOB （2 2） 、 如果梯子的顶如果梯子的顶端端A A沿墙下沿墙下滑滑2m2m， 则则： AC=2mAC=2m， OC=OA-AC=4-2=2OC=OA-AC=4-2=2（m m） ，CD=AB=5mCD=AB=5m。那么，。那么， 在在 RtRtCODC
22、OD 中，根据勾股定理，得：中，根据勾股定理，得： )(21 42525 2222 m OCCDOD )(2321mOBODBD。 故：如果梯子的顶端故：如果梯子的顶端 A A 沿墙下滑沿墙下滑 2m2m, ,那么梯子底端那么梯子底端 B B 不会向外移不会向外移 2m2m。 4 4、如图，受台风影响，一棵树在离地面、如图，受台风影响，一棵树在离地面 5 5 米处断裂，树的顶部落在离树跟底部米处断裂，树的顶部落在离树跟底部 1212 米处，米处， 这棵树折断前有多高？这棵树折断前有多高？ OBD A C 5米米 12 (x5)米米 - 6 - 教师活动：利用多媒体演示例题并加以分析，引导学生运
23、用勾股定理及方程的思想解教师活动：利用多媒体演示例题并加以分析，引导学生运用勾股定理及方程的思想解 决问题。决问题。 学生活动：相互交流、讨论，并在教师的指导下完成解题过程如下：学生活动：相互交流、讨论，并在教师的指导下完成解题过程如下： 解：设这棵树折断前有解：设这棵树折断前有 x x 米，如图，根据勾股定理得：米，如图，根据勾股定理得： 222 )5(125x 。 即：即： .169)5( 2 x 解这个方程，得：解这个方程，得： . 8,18 21 xx 结合题意，结合题意， 8 2 x 不符合实际意义，应舍去，故：不符合实际意义，应舍去，故：18x。 答：这棵树折断前有答：这棵树折断前
24、有 1818 米。米。 （四（四） 、课堂练习，巩固提高：、课堂练习，巩固提高： 完成课本第完成课本第 53 至第至第 54 页的练习第页的练习第 1、2 两题及补充练习题（多媒体课件演示两题及补充练习题（多媒体课件演示） 。 学生完成练习后，教师加以讲解，同伴之间相互订正。学生完成练习后，教师加以讲解，同伴之间相互订正。 （五（五） 、归纳小结，提高认识：、归纳小结，提高认识： 采用提问式进行小结，提问问题如下：采用提问式进行小结，提问问题如下： 1、 本节课主要学习了什么内容？什么叫做勾股定理？本节课主要学习了什么内容？什么叫做勾股定理？ 2、 勾股定理的证明方法是什么？勾股定理的证明方法
25、是什么？ 3、 应用勾股定理的前提条件是什么？应用勾股定理的前提条件是什么？ 4、 通过本节课的学习通过本节课的学习，你有什么收获？谈一谈你学习本节课的心得体会你有什么收获？谈一谈你学习本节课的心得体会，并与同伴交并与同伴交 流。流。 （六（六） 、布置作业，及时反馈：、布置作业，及时反馈： 完成课本第完成课本第 56 页习题页习题 18.1 的第的第 1、2、3、4 四题。四题。 （七（七） 、板书设计：、板书设计： （八（八） 、教学反思：、教学反思： 18.1 勾股定理勾股定理 一、探究勾股定理：一、探究勾股定理：三、证明勾股定理：三、证明勾股定理： 例例 4、 二、勾股定理：二、勾股定理：四、应用勾股定理：四、应用勾股定理： 补充例题：补充例题： 五、学生练习：五、学生练习： 例例 3、
