1、第 1页（共 21页） 2021 年四川省南充市高考数学第二次适应性试卷（理科年四川省南充市高考数学第二次适应性试卷（理科） （3 月月 份）份） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 |0Ax x或2x， 2 |20Bx xx，则(AB ) ARBC( 1，0D(2,) 2 （5 分）设复数z满足 1z i z ，则下列说法正确的是() Az为纯虚数Bz的虚部为 1 2 i C 11 22 zi
2、D 2 | 2 z 3 （5 分）设等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 11 55S，则 6 (a ) A6B5C4D3 4 （5 分）在ABC中，2ABACAD ，E为AD的中点若EBxAByAC ，则() A3yxB3xyC3yx D3xy 5 （5 分）已知点(3,2)A，抛物线 2 :4C yx的焦点为F，点M在抛物线C上，当MAF的 周长最小时，点M的坐标为() A(1,2)B(2,1)C(0,0)D(3，2 3) 6 （5 分）如图，边长为 1 的正方形网格中，实线画出的是某种装饰品的三视图已知该装 饰品由木质毛坯切削得到，则所用毛坯可以是() A棱长都为 2 的四面体B棱
3、长都为 2 的直三棱柱 C底面直径和高都为 2 的圆柱D底面直径和高都为 2 的圆锥 第 2页（共 21页） 7 （5 分）已知二元一次不等式组 2 0, 2 0 22 0 xy xy xy 表示的平面区域为D，命题p：点(0,1)在 区域D内；命题q：点(1,1)在区域D内则下列命题中，真命题是() ApqB()pq C()pqD()()pq 8 （5 分）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规 模群体感染的标志是“连续 10 日，每天新增疑似病例不超过 7 人” ，过去 10 日，甲、乙、 丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：总体平均数为 3，中位数
4、为 4； 乙地：总体平均数为 1，总体方差大于 0； 丙地：总体平均数为 2，总体方差为 3； 丁地：中位数为 2，众数为 3； 则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是() A甲地B乙地C丙地D丁地 9 （5 分）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618 优选法” 在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.0.618就是黄金分割比 51 2 m 的近似值，黄 金分割比还可以表示成2sin18，则 2 2 4 ( 2631 mm sin ) A2B4C51D51 10 （5 分）定义在R上的函数 | ( )32 x m f x 为偶函数， 2 1 (log
5、) 2 af， 1 3 1 ( ) ) 2 bf， ( )cf m，则() AcabBacbCabcDbac 11 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的右顶点为A，抛物线 2 :12C yax的焦点 为F若在双曲线的渐近线上存在一点P，使得0PA PF ，则双曲线E的离心率的取值 范围是() A(1,2)B(1， 2 3 3 C(2,)D 2 3 3 ，) 12 （5 分）设函数 | | | | ( ) x x xe f x e 的最大值为M，最小值为N，下述四个结论： 第 3页（共 21页） 2 MN e ；4MN； 2 1 1MN e ； 1 1 Me
6、Ne 其中所有正确结论的序号是() ABCD 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知二项式(12 )nx的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中所 有项的系数和为 14 （5 分）某工厂为了对新研发的一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格 进行试销得到如下数据： 单价（元)88.28.48.68.89 销量（件)908483807568 由表中数据求得线性回归直线方程为20yxa ，当销售量为 50 件时，单价约为元 15 （5 分） 已知数列 n a为正项的等比数列， 1 1a ，
7、 5 81a ， 记数列 2 n a 的前n项和为 n T， 则使不等式 11 |1| 32021 n T 成立的正整数n的最大值为 16 （5 分）已知圆O的半径为 5，该圆内有一个以圆心O为中心的等边ABC（三顶点A， B，C在圆O内或圆O上） ， 以AB，BC，CA为底边的三个等腰三角形的三个顶点D，E， F都在圆O上，以AB，BC，CA为折痕将这三个等腰三角形折起，使D，E，F三点重 合于点S，得一个三棱锥SABC，当ABC的边长变化时，关于三棱锥SABC的描述正 确（填序号） 当ABC的三个顶点A，B，C在圆O上时，三棱锥SABC是正三棱锥； 当三棱锥SABC为正四面体时，其内切球半
8、径r等于 5 2 8 ； 当ABC的边长为2 3时，三棱锥SABC的高等于15（以ABC为底面） ； 当三棱锥SABC的体积取得最大值时，ABC的边长为4 3 三三、解答题解答题：共共 70 分分。解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。第第 17-21 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：（一）必考题：共共 60 分。分。 17 （12 分）已知函数( )2 3sin coscos2f xxxx，xR （1）求函数( )f x在(
9、0, )上的单调区间； 第 4页（共 21页） （2）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()1 2 A f，3a ，求ABC 的周长的取值范围 18 （12 分）2020 年，我国已经实现全面脱贫的历史性战略任务但巩固脱贫成果还有很多 工作要继续，利用互联网电商进行产品的销售就是一种有效的方式某村盛产脐橙，为了更 好销售，现从脐橙树上随机摘下 100 个脐橙进行测重，其质量分布在区间200，500（单 位：克） ，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示 （1）按分层抽样的方法从质量落在350，400)，400，450)的脐橙中随机抽取 5 个，再 从这 5 个脐橙中随机抽
10、 2 个，求这 2 个脐橙质量落在400，450)的个数X的分布列和期望 值； （2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的脐橙 种植地上大约还有 100000 个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案： A所有脐橙均以 7 元/千克收购 B低于 350 克的脐橙以 2 元/个收购，其余的以 3 元/个收购 请你通过计算为该村选择收益较好的方案 （参考数据：2250.052750.163250.243750.34250.24750.05354.5) 19 （12 分）如图，在Rt AOB中，2AOOB，AOC通过AOB以OA为轴顺时针旋 转120得到(120 )BO
11、C 点D为斜边AB上一点， 点M为线段BC上一点， 且CMOM （1）证明：OM 平面AOB； （2）当直线MD与平面AOB所成的角取最大值时，求二面角BODC的正弦值 第 5页（共 21页） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率 2 2 e ，以上顶点和右焦点为直径 端点的圆与直线20 xy相切 （1）求椭圆C的标准方程； （2）是否存在斜率为 2 的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同的交点M，N时，能在 直线 5 3 y 上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足PMNQ ？若存在，求出直线的 方程；若不存在，说明理由 21 （12 分）已知函数(
12、 )()f xxln xa，aR （）若( )f x不存在极值点，求a的取值范围； （）若0a，证明：( )sin1 x f xex （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在分。请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分。一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的方程为 22 (2)3xy，以坐标原点为极 点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为()R ，其中 (0,) 2 （1）求曲线 1 C的极坐标方程和曲线
13、 2 C的直角坐标方程； （2） 若曲线 1 C与 2 C只有一个公共点A， 直线 3: 2 3Cx ， 曲线 2 C和 3 C的交点为B， 求 | | AB OA 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |3|f xxax （1）当1a 时，求不等式( )9f xx 的解集； （2）若( )|4|f xx 的解集中包含0，1，求a的取值范围 第 6页（共 21页） 2021 年四川省南充市高考数学第二次适应性试卷（理科年四川省南充市高考数学第二次适应性试卷（理科） （3 月月 份）份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共
14、 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 |0Ax x或2x， 2 |20Bx xx，则(AB ) ARBC( 1，0D(2,) 【解答】解： |0Ax x或2x， | 12Bxx ， ( 1AB ，0 故选：C 2 （5 分）设复数z满足 1z i z ，则下列说法正确的是() Az为纯虚数Bz的虚部为 1 2 i C 11 22 ziD 2 | 2 z 【解答】解：因为 1z i z ，则1zzi，即 1111 1( 1)( 1)22
15、i zi iii ， 则z的虚部为 1 2 ， 11 22 zi ， 22 112 |()() 222 z 故选：D 3 （5 分）设等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 11 55S，则 6 (a ) A6B5C4D3 【解答】解：等差数列 n a的前n项和为 n S， 11 55S， 111 116 11() 1155 2 aa Sa ， 解得 6 5a 故选：B 4 （5 分）在ABC中，2ABACAD ，E为AD的中点若EBxAByAC ，则() A3yxB3xyC3yx D3xy 【解答】解：ABC中，2ABACAD ，即D为BC的中点， 因为E为AD的中点， 第 7页（共 2
16、1页） 所以 1111131 ()() 2242444 EBBABDBABCABACABABAC ， 若EBxAByAC ，则 3 4 x ， 1 4 y ， 所以3xy 故选：D 5 （5 分）已知点(3,2)A，抛物线 2 :4C yx的焦点为F，点M在抛物线C上，当MAF的 周长最小时，点M的坐标为() A(1,2)B(2,1)C(0,0)D(3，2 3) 【解答】解：(1,0)F，过M向抛物线的准线1x 作垂线，垂足为B，则| |MFMB， 当A，B，M三点共线时，|MAMB取得最小值，MAF的周长最小， 此时M的纵坐标为 2，可得M的横坐标为：x，则44x，1x ， 所以(1,2)M
17、 故选：A 6 （5 分）如图，边长为 1 的正方形网格中，实线画出的是某种装饰品的三视图已知该装 饰品由木质毛坯切削得到，则所用毛坯可以是() 第 8页（共 21页） A棱长都为 2 的四面体B棱长都为 2 的直三棱柱 C底面直径和高都为 2 的圆柱D底面直径和高都为 2 的圆锥 【解答】解：由三视图可知几何体不是棱柱，排除A、B，几何体不是圆锥，排除D， 故选：C 7 （5 分）已知二元一次不等式组 2 0, 2 0 22 0 xy xy xy 表示的平面区域为D，命题p：点(0,1)在 区域D内；命题q：点(1,1)在区域D内则下列命题中，真命题是() ApqB()pq C()pqD()
18、()pq 【解答】解：把点(0,1)代入不等式2 0 xy 不成立，故命题p为假命题； 把点(1,1)代入不等式组 2 0, 2 0 22 0 xy xy xy 成立，故命题q为真命题 pq、()pq 、()()pq 为假命题；()pq为真命题 故选：C 8 （5 分）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规 模群体感染的标志是“连续 10 日，每天新增疑似病例不超过 7 人” ，过去 10 日，甲、乙、 丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：总体平均数为 3，中位数为 4； 乙地：总体平均数为 1，总体方差大于 0； 丙地：总体平均数为 2，总体方差为 3
19、； 丁地：中位数为 2，众数为 3； 则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是() A甲地B乙地C丙地D丁地 第 9页（共 21页） 【解答】解：平均数和中位数不能限制某一天的病例超过 7 人，不是A地， 当总体方差大于 0， 不知道总体方差的具体数值， 因此不能确定数据的波动大小， 不是B地； 当总体平均数是 2，若有一个数据超过 7，则方差就接近 3，是C地 中位数和众数也不能限制某一天的病例超过 7 人，不是D地； 故选：C 9 （5 分）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618 优选法” 在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.0.618就是黄金
20、分割比 51 2 m 的近似值，黄 金分割比还可以表示成2sin18，则 2 2 4 ( 2631 mm sin ) A2B4C51D51 【解答】解：由题意， 51 2sin18 2 m ， 22 4sin 18m， 则 222 22 442sin1844182sin182cos182sin36 2 26312271cos54cos54cos54 mmmmsin sincos 故选：A 10 （5 分）定义在R上的函数 | ( )32 x m f x 为偶函数， 2 1 (log) 2 af， 1 3 1 ( ) ) 2 bf， ( )cf m，则() AcabBacbCabcDbac 【
21、解 答 】 解 ： 根 据 题 意 ，函 数 | ( )32 x m f x 为 偶 函 数 ， 则 有()( )fxf x， 即 | 3232 x mx m ， 变形可得| |xmxm ，必有0m ； 则 | | ( )32 x f x ，( )f x在0，)上单调递减， 2 1 (log)( 1) 2 afff（1） ， 1 3 3 11 ( ) )() 22 bff，( )(0)cf mf， 则有abc， 故选：C 11 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的右顶点为A，抛物线 2 :12C yax的焦点 为F若在双曲线的渐近线上存在一点P，使得0PA
22、PF ，则双曲线E的离心率的取值 第 10页（共 21页） 范围是() A(1,2)B(1， 2 3 3 C(2,)D 2 3 3 ，) 【解答】解：由题意知，( ,0)A a，(3 ,0)Fa， 不妨设点P在渐近线 b yx a 上，( ,) b P mm a ， 0PA PF ， (am，) (3 b mam a ，)0 b m a ，即 2 ()(3)()0 b amamm a ， 整理得， 2 22 2 430 c mama a ， 原问题可转化为关于m的方程 2 22 2 430 c mama a 有根， 2 2222 2 164316120 c aaac a ， 2 3 3 c e
23、 a ， 又1e ，(1e ， 2 3 3 故选：B 12 （5 分）设函数 | | | | ( ) x x xe f x e 的最大值为M，最小值为N，下述四个结论： 2 MN e ；4MN； 2 1 1MN e ； 1 1 Me Ne 其中所有正确结论的序号是() ABCD 【解答】解： | | ( )1 x x f x e ，设 | | ( ) x x g x e ，可知( )g x为奇函数，最大值和最小值成相反数， 当0 x 时，( ) x x g x e ， 1 ( ) x x g x e ， 当01x时，( )g x单调递增，当1x时，( )g x单调递减， 可知1x 时，( )g
24、 x取极大值，即为最大值 1 e ， 由( )g x奇函数可知，当0 x 时，( )g x取最小值 1 e ， 则 1 1M e ， 1 1N e ， 则 2 MN e ，2MN， 2 1 1MN e ， 1 1 Me Ne 则正确，错 第 11页（共 21页） 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知二项式(12 )nx的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中所 有项的系数和为1 【解答】解：二项式(12 )nx的展开式中，只有第 5 项的二项式系数 4 n C最大，8n， 则令1x
25、 ，可得展开式中所有项的系数和( 1)1 n ， 故答案为：1 14 （5 分）某工厂为了对新研发的一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格 进行试销得到如下数据： 单价（元)88.28.48.68.89 销量（件)908483807568 由表中数据求得线性回归直线方程为20yxa ， 当销售量为 50 件时， 单价约为10元 【解答】解：由题意可知，单价的平均值为 1 (88.28.48.68.89)8.5 6 x ， 销量的平均值为 1 (908483807568)80 6 y ， 因为线性回归方程经过点(8.5,80)， 所以80208.5a ，解得250a ， 所以线性回归直
26、线方程为20250yx ， 当50y 时，则5020250 x ，解得10 x ， 故销售量为 50 件时，单价约为 10 元 故答案为：10 15 （5 分） 已知数列 n a为正项的等比数列， 1 1a ， 5 81a ， 记数列 2 n a 的前n项和为 n T， 则使不等式 11 |1| 32021 n T 成立的正整数n的最大值为6 【解答】解：数列 n a为正项等比数列，设公比为0q ，则有 1 1 n n aaq ， 1 1a ， _5 81a ， 4 5 1813aqq ， 1* 3() n n anN ， 第 12页（共 21页） 1 1 221 2 ( ) 33 n n n
27、 a ，即数列 2 n a 是以 2 为首项， 1 3 为公比的等比数列， 1 1 2(1) 1 3 3 1 3 1 3 n n n T 1 11111 |1| |(3)1| | 33332021 n nn T ， 320217 n n， 故正整数n的最大值为 6 故答案为：6 16 （5 分）已知圆O的半径为 5，该圆内有一个以圆心O为中心的等边ABC（三顶点A， B，C在圆O内或圆O上） ， 以AB，BC，CA为底边的三个等腰三角形的三个顶点D，E， F都在圆O上，以AB，BC，CA为折痕将这三个等腰三角形折起，使D，E，F三点重 合于点S，得一个三棱锥SABC，当ABC的边长变化时，关于
28、三棱锥SABC的描述正 确（填序号） 当ABC的三个顶点A，B，C在圆O上时，三棱锥SABC是正三棱锥； 当三棱锥SABC为正四面体时，其内切球半径r等于 5 2 8 ； 当ABC的边长为2 3时，三棱锥SABC的高等于15（以ABC为底面） ； 当三棱锥SABC的体积取得最大值时，ABC的边长为4 3 【解答】解：对于，当ABC的三个顶点A，B，C在圆O上时，则A，D，B，E， C，F构成正六边形， 所以D，E，F三点分别与O关于AB，BC，CA对称，这时点S与点O重合， 故S，A，B，C共面平面，不可能成为三棱锥，故选项错误； 对于，当三棱锥SABC为正四面体时，设ABC的边长为a， 则9
29、0OAF，又 233 323 OAaa， 30OFA，所以25OFOA， 则 53 23 OAa，解得 5 3 2 a ， 由正四面体的结论可知，正四面体内切球半径r与棱长之比为 6 12 ， 所以 665 35 2 121228 ra，故选项正确； 第 13页（共 21页） 对于，由图可知，ABC的边长为2 3，则3AG ， 所以1OG ，514FG ， 所以三棱锥SABC的高等于 22 16 115FGOG ，故选项正确； 对于，设ABC的边长为a，则 313 236 OGaa， 所以 3 5 6 FGa， 故三棱锥SABC的体积 22 1 1333 (5)() 3 2266 Vaaaa
30、2 35 3 25 123 aa 45 35 3 25 123 aa， 令 45 5 3 ( )25 3 g aaa，则 g （a） 343 25 325 3 100(100) 33 aaaa， 令 g （a）0，解得4 3a ， 当04 3a时， g （a）0，则g（a）单调递增， 当4 3a 时， g （a）0，则g（a）单调递减， 所以当4 3a 时，g（a）取得最大值，即三棱锥SABC的体积取得最大值， 故当三棱锥SABC的体积取得最大值时，ABC的边长为4 3，故选项正确 故答案为： 三三、解答题解答题：共共 70 分分。解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过
31、程或演算步骤。第第 17-21 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：（一）必考题：共共 第 14页（共 21页） 60 分。分。 17 （12 分）已知函数( )2 3sin coscos2f xxxx，xR （1）求函数( )f x在(0, )上的单调区间； （2）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()1 2 A f，3a ，求ABC 的周长的取值范围 【解答】解： （1）( )2 3sin coscos23sin2cos22sin(2) 6 f
32、xxxxxxx ， 由222, 262 kxkkZ ，得, 63 kx kkZ ， 因为(0, )x， 所以函数( )f x在(0, )上的单调增区间是 5 (0, ) 36 ，单调减区间是 5 , 36 （2）由（1）有，()2sin()1 26 A fA ，得 1 sin() 62 A ， 因为A为锐角，所以 3 A ， 由余弦定理得， 222 2cosabcbcA， 所以 22 92cos 3 bcbc ， 所以 22 9bcbc，即 2 ()39bcbc， 又 2 () 2 bc bc ， 所以 2 2 3() ()9 4 bc bc ，得6bc ，当且仅当3bc时取等号， 又3bca
33、， 所以(6abc ，9， 故ABC周长的取值范围是(6，9 18 （12 分）2020 年，我国已经实现全面脱贫的历史性战略任务但巩固脱贫成果还有很多 工作要继续，利用互联网电商进行产品的销售就是一种有效的方式某村盛产脐橙，为了更 好销售，现从脐橙树上随机摘下 100 个脐橙进行测重，其质量分布在区间200，500（单 位：克） ，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示 （1）按分层抽样的方法从质量落在350，400)，400，450)的脐橙中随机抽取 5 个，再 从这 5 个脐橙中随机抽 2 个，求这 2 个脐橙质量落在400，450)的个数X的分布列和期望 值； 第 15页（共 21
34、页） （2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的脐橙 种植地上大约还有 100000 个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案： A所有脐橙均以 7 元/千克收购 B低于 350 克的脐橙以 2 元/个收购，其余的以 3 元/个收购 请你通过计算为该村选择收益较好的方案 （参考数据：2250.052750.163250.243750.34250.24750.05354.5) 【解答】 解： （1） 从直方图可知， 脐橙质量在350，400)，400，450)内的个数之比为3:2， 所以按分层抽样的方法抽取的 5 个脐橙，在350，400)内的有 3 个，在400，
35、450)内的有 2 个， 可知X的取值为 0，1，2； 且 211 332 22 55 33 (0); (1) 105 CC C p Xp X CC ； 2 2 2 5 1 (2) 10 C p X C ， 所以X的分布列为： X012 p 0.30.60.1 数学期望()00.31 0.620.10.8E X ； （2）方案B好理由如下： 由频率直方图可知， 脐橙质量落在区间200，250)，250，300)，300，350)，350，400)， 400，450)，450，500)的频率依次为 0.05，0.16，0.24，0.3，0.2，0.05 且各段脐橙的个数依次为 5000，1600
36、0，24000，30000，20000，5000 个， 若按方案A收购，总收益为： (225 5000275 1600032524000375 3000042520000475 5000)71000248150 元， 若按方案B收购，总收益为：(50001600024000)2550003255000元， 因为方案B的收益比方案A收益高，故该村选择方案B出售 第 16页（共 21页） 19 （12 分）如图，在Rt AOB中，2AOOB，AOC通过AOB以OA为轴顺时针旋 转120得到(120 )BOC 点D为斜边AB上一点， 点M为线段BC上一点， 且CMOM （1）证明：OM 平面AOB；
37、 （2）当直线MD与平面AOB所成的角取最大值时，求二面角BODC的正弦值 【解答】 （1）证明：在OBC中，根据题意可知OBOC，30OCB，因为CMOM， 所以30COMOCB ，因为120BOC，所以 OMOB （2 分） 又根据题意OAOB，OAOC，OBOCO ，OB 平面OBC，OC 平面OBC， 所以OA 平面OBC，而OM 平面OBC， 所以OAOM， （4 分） 又OAOBO ，OA 平面AOB，OB 平面AOB， 所以OM 平面 AOB （5 分） （2）解：由（1）OM 平面AOB，所以OD为MD在平面OAB内的射影， MDO为直线MD与平面AOB所成的角 （6 分） 当
38、 且 仅 当ODAB时 ，MDO最 大 ， 此 时D为AB的 中 点 （7 分） 以O为坐标原点，OM，OB，OA分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角 第 17页（共 21页） 坐标系 得(0O， 0，0)，(0B， 2，0)，( 3C，1，0)，(0A， 0，2)，(0D， 1，1).( 3, 1,0),(0,1,1)OCOD ， 设平面OCD的法向量为 111 (,)mx y z ，由 0, 0, m OC m OD 得 11 11 30, 0, xy yz ，取 1 1x ，得 (1, 3,3)m （9 分） 易知平面ODB的一个法向量 (1,0,0)n （10 分） 所以
39、17 cos, |771 m n m n m n （11 分） 得 42 sin, 7 m n ，即二面角0BDC的正弦值为 42 7 （12 分） 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率 2 2 e ，以上顶点和右焦点为直径 端点的圆与直线20 xy相切 （1）求椭圆C的标准方程； （2）是否存在斜率为 2 的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同的交点M，N时，能在 直线 5 3 y 上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足PMNQ ？若存在，求出直线的 方程；若不存在，说明理由 第 18页（共 21页） 【解答】解： （1）由椭圆的离心率 2 2 e
40、 ，得 22 222 1 2 cc abc ，得bc 上顶点为(0, )b，右焦点为( ,0)b， 以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为 2 222 ()()( ) 2222 bbab xy， |2|2 22 b b ，即|2|bb，得1bc，2a 椭圆的标准方程为 2 2 1 2 x y （2）椭圆C上不存在这样的点Q，理由如下：设直线的方程为2yxt， 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 3 (P x， 5) 3 ， 4 (Q x， 4) y，MN的中点为 0 (D x， 0) y， 由 2 2 2 1 2 yxt x y 消去x，得 22 9280ytyt， 所
41、以 12 2 9 t yy，且 22 436(8)0tt，7 分 故 12 0 29 yyt y ，且33t 由PMNQ ，得 13 (xx， 142 5) ( 3 yxx， 42) yy， 所以有 142 5 3 yyy， 412 525 393 yyyt （也可由PMNQ 知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此，D也 为线段PQ的中点，所以 4 0 5 3 29 y t y ，可得 4 215 9 t y ) 又33t ，所以 4 7 1 3 y ， 与椭圆上点的纵坐标的取值范围是 1，1矛盾故椭圆C上不存在这样的点Q 21 （12 分）已知函数( )()f xxln x
42、a，aR （）若( )f x不存在极值点，求a的取值范围； （）若0a，证明：( )sin1 x f xex 【解答】解： （）( )()() x fxln xaxa xa ， 设( )() x g xln xa xa ()xa 2 2 ( ) () xa g x xa ，()xa 第 19页（共 21页） （1）0a时： 2()0 xaxaa xa，( )0g x ( )g x在(,)a上单增，其值域是(,) ， 存在 0 (,)xa ，使 00 ()()0fxg x，且( )fx在0 xx处左右两边值异号， 0 xx是( )f x的极值点， 得0a不可取； （2）0a 时： (, 2 )x
43、aa 时，( )0g x，( )g x在其上单减 ( 2 ,)xa 时，( )0g x，( )g x在其上单增 ( 2 )0ga ，( )g x在2xa 处取极小值也是最小值( 2 )()2galna 若( 2 )()2 0galna 即 2 1 a e ， ( )( ) 0fxg x，( )f x在(,)a上单增，无极值点 得 2 1 a e 可取， 若( 2 )()20galna即 2 1 0a e ( )g x在( 2 ,)a上的值域是()2lna，) 存在 1 ( 2 ,)xa ，使 11 ()()0fxg x，且( )fx在 1 xx处左右两边值异号， 1 xx是( )f x的极值点
44、 得 2 1 0a e 不可取； 所以a的取值范围是(， 2 1 e （）0a ，xa ，故0 x ，( )()f xxln xaxlnx， 要证明( )sin1 x f xex，只需证明sin1 x xlnxex， （1）当01x 时，sin10 x ex ，0 xlnx， 故sin1 x xlnxex成立； （2）当1x 时，设( )sin1 x g xexxlnx， 则( )cos1 x g xelnxx， 设( )( )h xg x，则 1 ( )sin x h xex x ， 第 20页（共 21页） 1x ，( )1 10h xe ， 故( )h x在1，)递增， 故( )h xh
45、（1）cos110e ，即( )0g x， 故( )g x在1，)递增， 故( )g xg（1）sin110e ，即sin1 x xlnxex， 综上，若0a，( )sin1 x f xex （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在分。请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分。一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的方程为 22 (2)3xy，以坐标原点为极 点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为()R ，
46、其中 (0,) 2 （1）求曲线 1 C的极坐标方程和曲线 2 C的直角坐标方程； （2） 若曲线 1 C与 2 C只有一个公共点A， 直线 3: 2 3Cx ， 曲线 2 C和 3 C的交点为B， 求 | | AB OA 的值 【解答】解： （1）将cosx，siny代入曲线 1 C的直角坐标方程得曲线 1 C的极坐标 方程为： 2 4 sin10 ， 曲线 2 C的极坐标方程是(),(0,) 2 R ， 得曲线 2 C的直角坐标方程是tanyx， （2）因为曲线 1 C与 2 C只有一个公共点A， 那么 2 4 sin10 的判别式 2 16sin40， 可得 1 sin 2 ， 因为(0
47、,) 2 ， 所以 6 此时得1 A 直线 3 C的极坐标方程为cos2 3， 联立 2 C与 3 C的极坐标方程得cos2 3， 第 21页（共 21页） 所以4 B |3 BA AB， 所以 | 3 | AB OA 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |3|f xxax （1）当1a 时，求不等式( )9f xx 的解集； （2）若( )|4|f xx 的解集中包含0，1，求a的取值范围 【解答】解： （1）当1a 时， 22,3, ( )4, 31, 22,1, xx f xx xx ， 当3x，由229xx，得 11 3 x， 当31x ，由49x，得不等式无解， 当1x，由229xx，得7x， 所以不等式( )9f xx 的解集是 11 (,7,) 3 （2）( )|4|f xx 等价于|4|3|7xaxx 即77a xa ， 根据题意得 70, 71, a a ， 解得76a ， 所以a的取值范围是 7，6
