1、【鼓楼区数学】【鼓楼区数学】2021 一模考试一模考试 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 6 小题小题，每小题每小题 2 分分，共共 12 分分在每小题所给出的四个选项中在每小题所给出的四个选项中，恰有恰有 一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1计算| 24 0.25| 的结果是（） A4B2C2D4 2计算 2 3 ab的结果是（） A 5 abB 6 abC 25 a bD 26 a b 3根据国家电影局发布的数据显示，2021 年 2 月 11 日（除夕）至 17 日（正月初六） ，
2、全国电影票房达 7822000000 元，刷新了春节档全国电影票房纪录，用科学记数法表示 7822000000 是（） A 8 78.22 10B 9 7.822 10C 10 7.822 10D 10 0.7822 10 4已知 2 ,2Axa Bx，若对于所有的实数 x，A 的值始终比 B 的值大，则 a 的值可能（） A1B0C1D2 5数轴上 A、B、C 三点分别对应实数 a、b、c，点 A、C 关于点 B 对称，若15,4ab，则下列各数 中，与 c 最接近的数是（） A4B4.5C5D5.5 6如图，把直径为60cm的圆形车轮（O）在水平地面上沿直线 l 无滑动地滚动一周，设初始位
3、置的最 低点为 P，则下列说法错误的是（） A当点 P 离地面最高时，圆心 O 运动的路径的长为30 cm B当点 P 再次回到最低点时，圆心 O 运动的路径的长为60 cm C当点 P 第一次到达距离地面15cm的高度时，圆心 O 运动的路径的长为7.5 cm D当点 P 第二次到达距离地面30cm的高度时，圆心 O 运动的路径的长为45 cm 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接分不需写出解答过程，请把答案直接 填写在填写在答题卡相应的位置上答题卡相应的位置上 ） 74 的平方根是_，27 的立方
4、根是_ 8若分式 1 1 x x 的值为 0，则 x 的值是_ 9方程 2 3xx的解是_ 10已知反比例函数 k y x 的图像经过点( 1,4)，则k _ 11计算 42 36 的结果是_ 12某校国旗护卫队有 5 名学生，身高（单位：cm）分别为 173、174、174、174、175，则这 5 名学生 身高的方差为_ 2 cm 13如图，五边形ABCDE是正五边形，过点 B 作AB的垂线交CD于点 F，则1C _ 14如图，点 O 是ABC的外心，,ODAB OEAC，垂足分别为 D、E，点 M、N 分别是OD、OE 的中点，连接MN，若2MN ，则BC _ 15如图，在平面直角坐标系
5、中，直线 l 经过点(1, 3)，且与 x 轴的夹角为30，则直线 l 与坐标轴所围 成的三角形的周长是_ 16已知二次函数 2 ()1yxm（m 为常数） ，如果当自变量 x 分别取3，1，1 时，所对应的 y 值 只有一个小于 0，那么 m 的取值范围是_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤）说明、证明过程或演算步骤） 17 （7 分）解不等式 1 1 23 xx 18 （7 分）计算： 22 22 2abaabbab ababa 19 （
6、7 分）某车间生产一种零件，该零件由甲乙两种配件组成，现有 7 名工人，每人每天可制作甲配件 900 个或者乙配件 1200 个应怎样安排人力，才能使每天制作的甲乙配件的个数相等？ 20 （7 分）下表是某地某个月中午 12 时的气温（单位：）的统计数据 某地某个月中午 12 时的气温频数分布表 组别气温分组频数 11216x1 21620 x5 32024x6 42428x8 52832x10 方法指导 数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数，例如：第 1 小组1216x 的组 中值为 1216 14 2 根据频数分布表求加权平均数时，统计中常用各组的组中值代表各组的
7、实际数据， 把各组的频数看作相应组中值的权 根据统计的数据，回答下列问题： （1）该地该月中午 12 时的气温的中位数落在第_组内； （2）求该地该月中午 12 时的平均气温 21 （7 分）一只不透明的袋子中装有 1 个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸 出 2 个球 （1）若这个袋子中共有 4 个球，求摸出红球的概率； （2）若这个袋子中共有 n（1n 且 n 为正整数）个球，则摸出红球的概率是_（用含 n 的代数 式表示） 22 （8 分）已知关于 x 的方程 2 (1)10mxmx （m 为常数） （1）求证：不论 m 为何值，该方程总有实数根； （2）若该方程有
8、两个实数根 1 x、 2 x，求 1212 xxx x的值 23 （8 分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点 O，点 E 与点 O 关于CD对称 （1）连接CE、DE，求证：四边形CEDO是菱形； （2）若2,60ABAOB求点 E、O 之间的距离 24 （8 分）如图，为测量直立在建筑物AB上的广告牌AC的高度，小莉在地面上 D 的处测得 A 的仰角 为31，然后她沿正对建筑物方向前进了10m到达 E 处，此时测试 A、C 的仰角分别为45、52，求广 告牌AC的高度 （参考数据：sin310.52 ，cos310.86 ，tan310.60 ，sin520.79 ， cos52
9、0.62 ，tan521.28 ） 25 （8 分）某宾馆有 8 位旅客要在当日上午 10 点前到达火车站，他们上午 9 点出发，唯一可以利用的交 通工具只有一辆汽车，但这辆汽车连同司机在内最多能乘坐 5 人，司机需要分两批接送旅客，接送第一批 旅客的同时，让其余旅客步行前往，汽车到达火车站后，立即返回接送第二批步行的旅客在整个过程中， 汽车行驶的速度始终不变，旅客上下车的时间忽略不计设汽车从宾馆出发hx后，汽车和第二批旅客分 别到达离宾馆 12 km,kmyy的地方，图中的折线OABC表示 1 y与 x 之间的函数关系，折线OBC表示 2 y与 x 之间的函数关系 （1）宾馆与火车站相距_k
10、m，第二批旅客的步行速度是_km/h； （2）解释图中点 B 的实际意义； （3）第二批旅客能否在上午 10 点前到达火车站？如果能，请说明理由；如果不能，汽车在接到第二批旅 客后至少提速多少，才能保证不晚于 10 点到达？ 26 （9 分）如图，ABC的内切圆O与AB、BC、AC分别相切于点 D、E、F，DO、EO、FO 的延长线分别交O于点 G、H、I，过点 G、H、I 分别作AB、BC、AC的平行线，从ABC上截得 六边形JKMNPQ通常，在六边形中，我们把相间两个内角的内角称为六边形的对角，把相邻两角的夹 边和它们的对角的夹边称为六边形的对边 （1）求证：六边形JKMNPQ的对角相等；
11、 （2） 小明在完成 （1） 的证明后继续探索， 如图， 连接OJ、OM、ON、OQ， 他发现DOMGOQ、 DONGOJ，于是猜想六边形JKMNPQ的对边也相等请你证明他的发现与猜想 27 （12 分） 【问题提出】为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计： 如图，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形ABCD和一个CDE 组成，该窗子关闭时可 以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气通风口是一个矩形形状的联动 装置，顶点 P、Q 只能在边框AB上滑动，顶点 M、N 可在其它边框上滑动，联动装置的四边都是长度可 自动伸缩的金属杆，当金属杆MN上下
12、移动时，其他金属杆也随之移动，图、图是通风口打开时的两 种不同情况试确定金属杆MN的位置，使通风口（矩形PQNM）面积最大 设窗子的边框AB、AD分别为ma，mb，窗子的高度（窗子的最高点到边框AB的距离）为mc 【初步探究】 （1） 若2,1,2abc（即点 E 到AB的距离为 2） ，MN与AB之间的距离为mx， 通风口的面积为 2 my 分别求出当01x和12x时 y 与 x 之间的函数表达式； 金属杆MN移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？ 【深入探究】 （2）若金属杆MN移动到高于CD所在位置的某一处时通风口面积达到最大值 c 需要满足的条件是_，通风口的最大面积是_
13、2 m（用含 a、b、c 的代数 式表示） 用直尺和圆规在图中作出通风口面积最大时金属杆MN所在的位置（保留作图痕迹，不写作法） （3）若将窗子的上部分边框改为以AB的中点 O 为圆心的圆弧（CD）形状（如图所示） ，其他条件不 变，金属杆MN移动到什么位置时，通风口面积最大（直接写出答案，不必说明理由） 【鼓楼区数学】【鼓楼区数学】2021 一模考试参考答案一模考试参考答案 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 6 小题小题，每小题每小题 2 分分，共共 12 分分在每小题所给出的四个选项中在每小题所给出的四个选项中，恰有恰有 一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置
14、上）一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 题号123456 答案CDBDAC 第第 6 题解析：题解析：圆心运动的路径即为圆滚动的距离 当点 P 离地面最高时，圆滚动半圈，圆心 O 运动的路径的长为30 cm，故 A 正确 当点 P 再次回到最低点时，圆滚动一圈，圆心 O 运动的路径的长为60 cm，故 B 正确 当点 P 第一次到达距离地面15cm的高度时，圆滚动 1 6 圈，圆心 O 运动的路径的长为10 cm，故 C 错误 当点 P 第二次到达距离地面30cm的高度时， 圆滚动 3 4 圈， 圆心 O 运动的路径的长为45 cm， 故 D 正确 二、填空题
15、（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接分不需写出解答过程，请把答案直接 填写在填写在答题卡相应的位置上答题卡相应的位置上 ） 题号7891011 答案2，31 12 0,3xx 4 6 3 题号1213141516 答案0.4548 4 34 42m 且 2,0mm 第第 16 题解析：题解析：二次函数 2 ()1yxm对称轴为xm 0m 时，1x 时取最小值， 2 2 2 (1)10 ( 1)10 ( 3)10 m m m 解得02m； 20m 时，1x 时取最小值， 2 2 2 ( 1)10 (1)10 (
16、3)10 m m m 解得20m ； 2m 时，3x 时取最小值， 2 2 2 ( 3)10 ( 1)10 (1)10 m m m 解得42m 综上所述42m 且2,0mm 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤）说明、证明过程或演算步骤） 17 （本题 7 分）解：3x 18 （本题 7 分）解：原式 b ab 19 （本题 7 分）解：设该车间安排 x 名工人制作甲零件，安排(7)x名工人制作乙零件 9001200(7)xx解得4x 答：可安排
17、 4 名工人制作甲零件，3 名工人制作乙零件 20 （本题 7 分） （1）4 （2）分别计算出各组数据的组中值， 第一组组中值 1216 14 2 ，第二组组中值 1620 18 2 ，第三组组中值 2024 22 2 第四组组中值 2428 26 2 ，第五组组中值 2832 30 2 156810 141822263024.8 3030303030 x （） 因此，该地该月中午 12 时的平均气温为 24.8 21 （本题 7 分） 解： （1）记袋中的 3 个白球分别为白 1、白 2、白 3从袋中随机摸出 2 个球，共有 6 种等可能的情况，分 别是（红，白 1） 、 （红，白 2）
18、、 （红，白 3） 、 （白 1，白 2） 、 （白 1，白 3） 、 （白 2，白 3） ，满足摸出红球的 结果有 3 种，因此摸出红球的概率为 1 2 （2） 2 n 22 （本题 8 分） 解： （1）当0m 时，原方程化为10 x， 1x 该方程有实数根 当0m ，由题可得,1,1am bmc 222 4(1)4( 1)(1)0bacmmm 方程总有两个实数根 因此，不论 m 为何值，该方程总有实数根 （2） 1212 11 , m xxx x mm 1212 11 1 m xxx x mm 23 （本题 8 分） （1）证明：连接OE 四边形ABCD是矩形，ACBD且 11 , 22
19、 OCAC ODBD，OCOD 又点 E 与点 O 关于CD对称，CD垂直平分OE，,DODE COCE DODECOCE，四边形CEDO是菱形 （2）四边形ABCD是矩形，2ABCD， ODOC，ODC为等腰三角形 60AOBCOD ，ODC为等边三角形，60 ,2ODCODDC CD垂直平分OE，2sin602 3OEOD ，点 E、O 之间的距离为2 3 24 （本题 8 分） 解：在Rt ABD中，tantan31 AB D BD 5 0.63 AB BDAB 在Rt ABE中，tantan45 AB AEB BE BEAB 10mBDBE 5 10m 3 ABAB 15mAB 在Rt
20、 CBE中，tantan52 BC CEB BE 19.2mBC 4.2mACBCBA 因此，广告牌的高度是4.2m 25 （本题 8 分） 解： （1）20，5； （2）汽车从宾馆出发0.8h后到达距离旅店4km处与第二批旅客相遇 （3）第二批旅客不能在上午 10 点前到达火车站 36 45km/ h 0.8 16 80km/ h 0.2 804535km / h 至少提速35km/h 26 （本题 9 分） 证明： （1）/ /JQAB， 180AAJQ / /NPAC， 180AANP AJQANP 同理,BMKBQJCKMCPN 即六边形JKMNPQ的对角相等 （2）O与AB切于点 D
21、， ODAB 90ADO / /ABJQ， 90ADOOGO O与BC切于点 E， OEBC 90QEO 90OEOOGO 又,OQOQ OEOG， Rt EQORt GQO 1 2 EOQGOQEOG 同理 1 2 DOMHOMDOH DOHEOG ， DOMGOQ ,ODOGODMOGQ DOMGOO 同理DONGOJ ,DMGO DNGJ DMDNGQGJ 即MNJQ 同理,JKNP KMPQ 即六边形JKMNPQ的对边相等 27 （本题 12 分） 解： （1）如图 1，过 E 作EFAB，垂足为 F，EF分别与CD、MN相交于点 G、H 当01x时，2yx 当12x时， 四边形ABC
22、D是矩形， 2,90ABCDAADC EFAB， 90AFG 四边形ADGF是矩形 1,90ADGFDGF 四边形PQNM是矩形， / /MNPQ 90EFAEHM 由题意可知，2,EFHFx， 1,2EGEHx， / / /MNPQCD， EMNEDC 又EH、EG分别是EMN、EDC的对应高， EHMN EGCD ，即 2 12 xMN ，化简，得42MNx 2 (42 )24yxxxx 当01x时，2yx因此，当1x 时，y 最大，最大值是 2 当12x时， 22 242(1)2yxxx ，因此，当1x 时，y 最大，最大值是 2 综上所述，当1x 时，y 最大，最大值是 2 因此，金属
23、杆MN移动到CD所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是 2 2m （2）2cb； 2 4() ac cb 【解析】已知在ABC中有内接矩形，其中 M、N 在AB、AC边上，P、Q 在BC边上，易证当MN为 中位线时， 矩形PQMM的面积最大， 且最大面积为ABC面积的一半， 即 1 4 底 高 在图中， 延长ED、 EG交直线AB于 F、G，则MN为EFG的中位线时，矩形PQNM的面积最大，所以要想金属杆MN 移动到高于CD所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，只需EFG与FG边平行的中位线在CD上 方即可，即2cb此时的最大面积为EFG的面积的一半 作ESFG于 S 交CD于 J，因为/
24、 /CDFG，所以EDCEFG，所以 DCEJ FGES ，即 acb FGc ， ac FG cb 所以矩形PQNM面积的最大值EFG面积的一半 2 1 44() ac FG ES cb 如图，线段MN即为所求 （3）当02ab（等同于2bcb）时，金属杆MN移动到CD所在位置时，通风口面积最大； 当2ab（等同于2cb）时，金属杆MN移动到与AB相距 2 m 2 c时，通风口面积最大 【解析】易知当 M 在AD上时，y 随 x 增大而增大 当 M 在CD上时，如图， 2222 OPOMMPcx，则 22 222yMP OPx cx 2 4 42222 1 2 24 c xc xxc ，则当
25、 22 1 2 xc即 2 2 bxc时，y 随 x 增大而增大， 当 2 2 xc时，y 随 x 增大而减小 所以当 2 2 cb，即2bcb时：当0 xb时，y 随 x 增大而增大；当xb时， 2 2 xc，所以 y 随 x 增大而减小，所以在0 xc中，当xb时，y 最大 当 2 2 cb，即2cb时：当0 xb时，y 随 x 增大而增大；当 2 2 bxc时，y 随 x 增大而增大； 当 2 2 cxc时，y 随 x 增大而减小，所以在0 xc中，当 2 2 xc时，y 最大 因为90A，所以 222 ADAODO，所以 2 22 2 a bc ，所以2bcb等同于02ab， 2cb等同于2ab
