1、必考部分 第七章立体几何第七章立体几何 第六讲立体几何中的向量方法 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 知识点一两个重要的向量 (1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直 线的方向向量有_个 (2)平面的法向量 直线l平面，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面的法向 量显然一个平面的法向量有_个，它们是共线向量 无数 无数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 知识点二空间位置关系的向量表示 位置关系向量表示 直线
2、l1，l2的方向向量分别为n1， n2 l1l2n1n2n1n2 l1l2n1n2n1n20 直线l的方向向量为n，平面的 法向量为m lnmmn0 lnmnm 平面、的法向量分别为n、m nmnm nmnm0 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 知识点三两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为，则cos |cos|_(其中为异面直线a，b所成的角) 知识点四直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平 面所成的角为，向量e与n的夹角为，则有sin|cos|_. 返回导航 高考一轮总复习 数学
3、（新高考） 第七章立体几何 知识点五求二面角的大小 (1)如图，AB，CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直 线，则二面角的大小_. (2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向 量，则二面角的大小满足|cos|_，二面角的平面角大小是向量n1 与n2的夹角(或其补角) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 题组一走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角() (2)平面的单位
4、法向量是唯一确定的() (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行() (4)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的 角() (5)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角() (6)若空间向最a平行于平面，则a所在直线与平面a平行 () 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 题组二走进教材 2(必修2P111T3)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面 正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON， AM的位置关系是_. 垂直 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习
5、数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 题组三走向高考 4(2020新高考)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷 面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记 为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处 的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷 面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40，则晷针与点A处的水 平面所成角为() A20B40 C50D90 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何
6、解析由题意作出如图所示的截面图，设所求角为， 由图易知40，故选B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 5(2019浙江)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面 ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F分别是 AC，A1B1的中点 (1)证明：EFBC； (2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 解析解法一：(1)证明：连接A1E， 因为A1AA1C，E是AC的中点， 所以A1EAC，又平面A1ACC1平面ABC， A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面 ABCAC，所以
7、A1E平面ABC， 则A1EBC 又因为A1FAB，ABC90，故BCA1F. 所以BC平面A1EF.因此EFBC 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 解法二：(1)证明：连接A1E，因为A1AA1C， E是AC的中点，所以A1EAC 又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1， 平面A1ACC1平面ABCAC， 所以，A1E平面ABC 如图，以点E为原点， 分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴， 建立空间直角坐标系Exyz. 返回导航 高考一
8、轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 考点一利用向量证明空间的平行与垂直自主练透 例例 1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 (1)建立空间直角坐标时尽可能地利用图形中的垂直关系，要准确写 出
9、相关点的坐标，进而确定向量的坐标 (2)用向量法证平行问题的类型及常用方法 线线平行 证明两直线的方向向量共线 线面平行 证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直 证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向 量表示 面面平行 证明两平面的法向量平行(即为共线向量) 转化为线面平行、线线平行问题 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 (3)利用向量法证垂直问题的类型及常用方法 线线垂直问题 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的 数量积为零 线面垂直问题 直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面 垂直的判定定
10、理转化为证明线线垂直 面面垂直问题 两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定 理转化为证明线面垂直 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 变式训练1 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90， BC2，CC14，点E在线段BB1上，且EB11，D，F， G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点 (1)求证：平面A1B1D平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习
11、 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 考点二利用向量求空间的角多维探究 例例 2 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 例例 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第
12、七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 例例 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 解析(1)证明：过点B作BOAC于O. 平面PAC平面
13、ABC，平面PAC平面ABCAC，BO平面 ABC， BO平面PAC，BOPA 又BC平面PAB，PA平面PAB，BCPA 又BCBOB，BC，BO平面ABC， PA平面ABC 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 利用向量法确定二面角大小的常用方法 (1)找法向量法：分别求出二面角的两个
14、半平面所在平面的法向量， 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实 际图形判断所求角的大小 (2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与 棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二 面角的大小 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 变式训练2 (1)(角度1)(2018江苏高考题改编)在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB AA12，点P，Q分别为A1B1，BC的中点，则异面直线BP与AC1所成角的 余弦值为_. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七
15、章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 (3)(角度3)(2019课标)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是 菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D 的中点 证明：MN平面C1DE； 求二面角AMA1N的正弦值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习
16、 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 考点三利用向量求空间的距离师生共研 例例 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何
17、 解析(1)证明：取AD的中点O，连接OP，OB，BD， 因为底面ABCD为菱形，BAD60， 所以ADABBD 因为O为AD的中点，所以BOAD 在PAD中，PAPD，O为AD的中点，所以POAD 因为BOPOO，所以AD平面POB 因为PB平面POB，所以ADPB 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考）
18、 第七章立体几何 (2)因为平面A1ACC1平面ABC，交线是AC，且C1MAC， 所以C1M平面ABC 以M为原点，MB，MC，MC1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标 系， 如图所示： 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 例例 6 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总
19、复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出 判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐 标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求 出，或有矛盾，则判定“不存在” 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 解析(1)过点P在平面PAD内作POAD， 垂足为O，连接BO、OC， 平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD，POBD， PDA60，PDDA2， PDA是等边三角形，OD1BC， ODBC，BCD90， 四边形OBCD是正方形，BDOC， OCPOO，BD平面POC， PC平面POC，BDPC 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第七章立体几何 谢谢观看
