1、数学试题第 1 页共 6 页 青岛市2021年高三自主检测 数学试题2021.05 本试题卷共 6 页，22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注注意意事事项项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准 考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出
2、的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1集合 3 4 N|log (8)Axyx，集合 |1| N|2,R x Byyx ，则 R ()AB A(0,2B( 1,2C0,1,2D1,2 2设i是虚数单位，若复数z满足 (1 i)2iz，则复数z对应的点Z位于复平面的 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3设, 是空间两个不同平面，, ,a b c是空间三条不同直线，下列命题为真命题的是 A若/,/b，则/b B若直线a与b相交，/,/ab，则与相交 C若，/a，则a D若，a，,bba，c，则/bc 数学试题第 2 页共 6 页 4行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简
3、单的二阶行列式的运算定义如下： 1112 112221 12 2122 aa a aa a aa ，已知 n S是等差数列 n a的前n项和，若 7 9 (10)1 0 1 a a ，则 15 S A 15 2 B45C75D150 5已知 11 1 ab ，, aba MaNaPb，则,M N P的大小关系正确的为 ANMPBPMNCMPNDPNM 6已知直线:330lxmy，曲线 22 :4250C xyxmy，则下列说法正确的是 A“1m ”是曲线C表示圆的充要条件 B当3 3m 时，直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1 C“3m ”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件 D当
4、2m 时，曲线C与圆 22 1xy有两个公共点 7若将函数 ( )2sin(2)(|) 2 f xx的图象向左平移 6 个单位后得到的图象关于y轴对 称，则函数( )f x在 0, 2 上的最大值为 A2B3C1D 3 2 8定义在R上的奇函数( )f x的图象连续不断，其导函数为( )fx，对任意正实数x恒有 ( )2 ()xfxfx，若 2 ( )( )g xx f x，则不等式 2 3 (log (1)( 1)0gxg的解集是 A(0,2)B( 2,2) C(3,2)D( 2, 1)(1,2) 数学试题第 3 页共 6 页 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
5、在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9某鱼业养殖场新进1000尾鱼苗，测量其体长(单位：毫米)，将所得数据分成6组， 其分组及频数情况如下表： 分组 （单位： 毫米）70,75)75,80)80,85)85,90)90,95)95,100) 频数100100m350150n 已知在按以上6个分组做出的频率分布直方图中，95,100)分组对应小矩形的高为0.01， 则下列说法正确的是 A250m B鱼苗体长在90,100)上的频率为0.16 C鱼苗体长的中位数一定落在区间85,90)内 D 从这批鱼苗中有放回地连续抽取
6、50次， 每次一条， 则所抽取鱼苗体长落在区间80,90) 上的次数的期望为30 10已知曲线 22 :1 9 xy C m ， 12 ,F F分别为曲线C的左右焦点，则下列说法正确的是 A若3m ，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为 3 B若曲线C的离心率2e ，则27m C若3m ，则曲线C上不存在点P，使得 12 2 FPF D若3m ，P为C上一个动点，则 12 PFF面积的最大值为3 2 11在平面直角坐标系中， 23 ( , ), (8,8),(7,0) 2 A tBmm Cm t ，O为坐标原点，P为x轴 上的动点，则下列说法正确的是 A|OA 的最小值为2 B若1t ，4m ，则
7、ABC的面积等于4 C若1t ，4m ，则|PAPB 的最小值为5 D若sint，(0,)，且CA 与CB 的夹角 0,) 2 ，则(,5)m 数学试题第 4 页共 6 页 1 C 1 D C B 1 A A E D F G 12在如图所示的几何体中，底面ABCD是边长为4的正方形， 111 ,AA BG CC DD均与底面 ABCD垂直，且 111 24 3AACCDDBG，点,E F分别为线段 1 ,BC CC的中点， 则下列说法正确的是 A直线 1 AG与AEF所在平面相交 B三棱锥 1 CBCD的外接球的表面积为80 C点C到平面AEF的距离为 4 57 19 D二面角 1 CADB中
8、，M 平面 1 C AD，N 平面BAD，,P Q为棱AD上不同两 点，,MPAD NQAD，若2,1MPPQNQ，则3MN 三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 某机械厂对一台自动化机床生产的标准零件尺寸进行统计发现， 零件尺寸误差X近似服从 正态分布 2 (0,0.5 )N（误差单位：mm），已知尺寸误差的绝对值在0.5mm内的零件都是 合格零件若该机床在某一天共生产了5000个零件，则其中合格的零件总数为； 附附：随机变量服从正态分布 2 ( ,)N ，则()0.6826P， (2+2 )0.9544P 14若 3 sin(),(0,) 452 ，则cos
9、2； 15若二项式 1 (2)nx x 的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项 是； 16定义方程( )( )f xfx的实数根 0 x叫做函数( )f x的“新驻点”，若函数 1 ( ) 2 g xx， ( )ln2h xx，( )sin(0)xxx的“新驻点”分别为, ，则, 的大小关系 为 数学试题第 5 页共 6 页 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（10 分分） 如图，直四棱柱 1111 DCBAABCD 的底面是边长为1的正方形，点E在 1 AA上，且 1 ECBE （1）证明：平面BCE平面ECB 1
10、1 ； （2）若EAAE 1 ，求二面角CEBC 11 的余弦值 18（12 分分） 在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，cos( 2)coscAbaC （1）若 12 A ，点D在边AB上，1ADBC，求BCD的外接圆的面积； （2）若2c ，求ABC面积的最大值 19（12 分分） 一场科普知识竞答比赛由笔试和抢答两部分组成， 若笔试和抢答满分均为100分， 其中5名 选手的成绩如下表所示： 选手 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 笔试（x分）8790919295 抢答（y分）8689899294 对于这5名选手，根据表中的数据，试解答下列两个小题： （1）
11、求y关于x的线性回归方程； （2）现要从笔试成绩在90分或90分以上的选手中选出2名参加一项活动，以表示选中的选 手中笔试和抢答成绩的平均分高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望)(E 附附： n i i n i ii xx yyxx b 1 2 1 )( )( ，xbya A BC D E 1 A 1 B 1 C 1 D 数学试题第 6 页共 6 页 20（12 分分） 在平面直角坐标系中 ，O为坐标原点，抛物线 2 :2(0)C xpy p的焦点为F，抛物线C 上不同两点NM,同时满足下列三个条件中的两个： |FMFNMN； |8 6OMONMN； 直线MN的方程为6yp （1）请
12、分析说明两点NM,满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程； （2）若直线l与抛物线C相切于点P，l与椭圆:D 22 1 42 xy 相交于BA,两点，l与直线 2y 交于点Q，以PQ为直径的圆与直线2y 交于,Q Z两点，求证：直线OZ 经过线段AB的中点 21（12 分分） 已知函数 2 ( )lnf xxx x （1）求( )f x的最小值； （2）若存在区间 1 , ,) 2 a b ，使( )( )g xxf x在 , a b上的值域为 (2), (2)k ak b， 求实数k的取值范围 22（12 分分） 若数列 n a满足：对于任意 * Nn，只有有限个正整数m使得 m an成
13、立，则记这样的 m的个数为() n a （1）求数列(1 ) n 的通项公式； （2）在等比数列 n b中， 1n b 是函数 32 11 ( )(1 ) (1 ) 32 nnn fxxebnxebnx 的极小值点，求 1 b的取值范围； （3）求数列 2 () ) n 的通项公式 数学评分标准第 1页（共 6页） 青岛市 2021 年高三自主检测 数学参考答案及评分标准 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。分。 1-8：DA D CB C AD 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5
14、分，共分，共 20 分。分。 9ACD10ABD11ACD12BC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 133413；14 24 25 ； 15240；16 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分（本小题满分 10 分）分） 解：解：(1)在直四棱柱 1111 DCBAABCD 中， 11C B平面 11A ABB 因为BE平面 11A ABB，所以 11C BBE 又因为 1 ECBE
15、， 1111 CECCB 所以BE平面 11 BC E 又因为BE平面BCE 所以平面BCE平面ECB 11 （2）由（1）知：BE平面ECB 11 ，所以EBBE 1 在 1 Rt BEB中，可求得 1 2BB 以A为坐标原点，分别以 1 ,AAADAB为zyx,轴，建立空间直角坐标系Axyz， 因为)0 , 0 , 1 (),1 , 0 , 0(BE，所以) 1, 0 , 1 (EB， 所以平面ECB 11 的一个法向量为) 1, 0 , 1 (EB 因为 1 (1,1,0),(1,0,2),CB所以 1 (1,1, 1),(1,0,1),ECEB 设平面CEB1的一个法向量为( , ,
16、)nx y z ， 由 0 0 1 nEB nEC 得 0 0 xyz xz ，令1x 得(1, 2, 1)n 设二面角CEBC 11 的平面角为， 所以 23 cos 3| |26 n EB nEB 数学评分标准第 2页（共 6页） 18 （本本小小题题满满分分 12 分分） 解解： （1）由cos( 2)coscAbaC得：2 coscoscosbCcAaC， 所以2sin cossin cossin cossin()sinBCCAACACB， 因为sin0B ，所以 2 cos 2 C 因为0C，所以 4 C 又 12 A ，所以 2 3 B 在ABC中，由 sinsin ABBC CA
17、 可得： sin sin 4 31 sin sin 12 BCC AB A ， 因为1AD ，所以3BD 在BCD中， 2 3 B ， 由余弦定理得： 222 2cos43CDBCBDBC BDB 设BCD外接圆的半径为R， 由2 sin CD R B 可得： 2sin CD R B 所以BCD外接圆的面积 2 2 2 2 (43)43 2 4sin3 4sin 3 CD SR B （2）由（1）可知 4 C ，又2c ， 由余弦定理可得： 222 2coscababC，即 22 24abab 因为 22 2abab，所以 22 2422(22)ababababab 从而 4 42 2 22
18、ab (当且仅当ab时取等号) 所以ABC面积 11 sin(42 2)sin21 224 SabC 从而ABC面积S的最大值为21 19 （本本小小题题满满分分 12 分分） 解解： （1） 879091 9295 91, 5 x 8689899294 90 5 y 公众号：潍坊高中数学 数学评分标准第 3页（共 6页） 5 222222 1 ()( 4)( 1)01434 i i xx ， 5 1 ()()( 4) ( 4)( 1) ( 1)0 ( 1) 1 24 435 ii i xxyy ， 所以 35 34 b 35125 9091 3434 aybx 故回归直线方程为 35125
19、3434 yx （2）随机变量的可能取值为0,1,2； 因为笔试成绩在90分或90分以上的选手有 2 S， 3 S， 4 S， 5 S共4人，他们笔试和抢答的 成绩平均分分别为：89.5，90，92，94.5，平均分高于90分的有2人， 所以 2 2 2 4 1 (0); 6 C P C 11 22 2 4 2 (1); 3 C C P C 2 2 2 4 1 (2) 6 C P C 故的分布列为 012 P 1 6 2 3 1 6 所以 121 ( )0121 636 E 20 （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 解解： （1）若同时满足条件： 由|MNFNFM知MN过焦点(0,) 2
20、 p F 当| |OMON时，| 2MNp，而 5 | | 2 OMONpMN 所以不同时成立 若同时满足条件： 由|MNFNFM知MN过焦点(0,) 2 p F 显然，直线6yp不可能过焦点(0,) 2 p F 所以不同时成立 只能同时满足条件 因为| | | 8 6OMONMN，且直线MN的方程为：6yp 数学评分标准第 4页（共 6页） 所以612 2p ，解得2 2p 抛物线C的标准方程为： 2 4 2xy （2）设 2 ( ,) 4 2 t P t，因为抛物线 2 :4 2C xy，所以 2 2 x y 直线AB的斜率 2 2 AB t k 设 1122 ( ,), (,)A x y
21、B xy，AB中点为G，所以 2222 1122 1,1 4242 xyxy 两式作差得：直线OG的斜率 1212 1212 2()12 4()2 OG AB yyxx k xxyykt 因为PQ为直径，所以QZPZ， 从而( ,2)Z t ，直线OZ的斜率 2 OZ k t 所以 OGOZ kk，所以,O G Z共线， 所以直线OZ经过线段AB的中点 21 （本本小小题题满满分分 12 分分） 解解： （1）函数( )f x的定义域为(0,)， 2 (2)(1) ( ) xx fx x 所以( )f x在(2),上单调递增，在(0,2)上单调递减 所以( )(2)3ln2f xf，即( )f
22、 x的最小值为3ln2 （2） 2 ( )ln2g xxxx， 1 ) 2 x, ，( )2ln1g xxx， 令( )2ln1h xxx，则 121 ( )2= x h x xx ， 所以( )h x在 1 ) 2 ,上单调递增， 所以 1 ( )( )ln20 2 h xh ， 所以( )g x在 1 ,) 2 上单调递增， 为满足题意，必须 2 2 ( )ln2(2) ( )ln2(2) g aaaak a g bbbbk b ， 即 2 ( )ln2(2)g xxxxk x在 1 ,) 2 有两个不同的实数解， 公众号：潍坊高中数学 数学评分标准第 5页（共 6页） 所以 2 ln2
23、2 xxx k x ，记 2 ln21 ( )() 22 xxx F xx x 则 2 2 32ln41 ( )() (2)2 xxx F xx x 再令 2 1 ( )32ln4() 2 G xxxxx ，则 (21)(2) ( )0 xx G x x 所以( )G x在 1 ,) 2 上单调递增，且 1 (1)0( )0 2 GG， 所以( )F x在 1 1) 2 ,上单调递减，在(1,+ )上单调递增 又因为 6624ln2192ln2 (8)( ) 10210 FF 所以 1 (1)( ) 2 FkF，解得 92ln2 (1, 10 k 22 （本小题满分（本小题满分 12 分）分）
24、 解解： （1）由1mn 可得： 2* 11,Nmnm 所以数列(1 ) n 的通项公式为 2 (1 )nn （2）因为 2222 ( )()()() nnnn fxxebnxeb nxebxn 若 2 n ebn对于任意 * Nn恒成立， 当 2 (,)xn 时，( )0 n fx ，( ) n fx在 2 (,)n上单调递增； 当 2 (,) n xneb时，( )0 n fx ，( ) n fx在 2 (,) n neb上单调递减； 当(,) n xeb时，( )0 n fx ，( ) n fx在(,) n eb 上单调递增； 所以 1nn beb ，即 2 11 n n be bn ，
25、所以 2 1 n n b e 令 2 ( )(1) x x g xx e ，则 2 2(2) ( ) xx xxxx g x ee 当(1,2)x时，( )0g x，( )g x在(1,2)上单调递增； 当(2,)x时，( )0g x，( )g x在(2,)上单调递减； 所以 2 4 ( )(2)g xg e 所以 1 2 4 b e 符合题意， 若 1 2 4 b e ，则 2 1 4 1eb e ， 1( ) f x的极小值点为 21 4 beb e ； 数学评分标准第 6页（共 6页） 所以 2 2 2eb ，此时 2( ) 0fx，所以 2( ) fx无极值，不适合； 若 1 2 14
26、 b ee ，则 2 1 1eb ， 1( ) f x的极小值点为 21 beb； 因为 22 21 42ebe b，所以 3 4b ，所以此时 n b不是等比数列，不适合。 若 1 1 b e ，则 2 1 1eb ，此时 1( ) 0f x，所以 1( ) f x无极值，不适合； 若 1 1 b e ，则 2 1 1eb ，所以 2 1b ；又 2 2 2ebe，所以 3 4b ；又 2 3 43ebe，所 以 4 4be；此时 n b不是等比数列。 综上， 1 2 4 b e 。 （3）由 2 mn可得：1mn * ,Nm， 所以 2 0,1; 1,2,3,4; () 2,5,6,7,8,9; n n n n 所以 222* ()1,(1)1,Nnkknkk ， 即数列 2 () n 是0,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3 又因为 22 (1)1 121kkk 所以 22 () )1 3521nnn 公众号：潍坊高中数学
