1、K 字型全等和母子型 模块一K 字型全等 模块二母子型 43 第五讲K 字型全等和母子型 让学习更有效！ 模块一模块一K 字型全等字型全等 如图，BDAD，ABAC，AECE，且ABAC，则有ABDCAE 模块二模块二母子型母子型 1等边三角形等边三角形 2正方形（等腰直角三角形）正方形（等腰直角三角形） （1516 年成华期末） 在ABC中，90ACB，ACBC， 直线 l 经过点 C， 且ADl 于点 D，BEl于点 E （1） 当直线 l 绕点 C 旋转到图 1-1 位置时， 求证：ACDCBE，ADBEDE； （2）当直线 l 绕点 C 旋转到图 1-2 位置时，求证：BEDEAD；
2、（3）当直线 l 绕点 C 旋转到图 1-3 位置时，请直接写出线段 AD、BE、DE 之间满足的等 量关系 图 1-1图 1-2图 1-3 44 让学习更有效！ 初一数学目标名校直升班 【解析】【解析】（1）ADl，BEl，90ADCEB 90BCECBE 90ACB，90ACDBCE ACDCBE ACCB，ACDCBE ACDCBE，ADCE，CDBE DECDCE，ADBEDE （2）ADMN，BEMN，90ADCCEB 90BCECBE 90ACB，90ACDBCE ACDCBE ACCB，ACDCBE ADCE，CDBE DECECD，BEDEAD （3）ADDEBE 【教师备课提
3、示】【教师备课提示】这道题主要让孩子们熟悉模型并熟练过程 （1516 年嘉祥期末）如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，AE 交 BD 于 F，过 F 作FHAE交 BC 于 H，连接 AH （1）过点 F 分别作 AB、BC 的垂线，垂足分别为 M、N，求 证：AFFH； （2）过点 H 作HGBD，垂足为 G，试求 FG 和 BD 的数 量关系 【解析】【解析】（1）证明ASAAFMHFN （）， AFFH （2）作ATBD于点 T，则AFTHFG， 1 2 FGATBTDTBD （嘉祥）在锐角三角形 ABC 中，AH 是 BC 边上的高，分别以 AB、AC 为一边，向外作正
4、 方形 ABDE 和 ACFG，EG 与 HA 的延长线交于点 M，求证：AM 是AEG的中线 【解析】【解析】过点 E 作EPHA的延长线于 P，过点 G 作GQAM于 Q， 45 第五讲K 字型全等和母子型 让学习更有效！ AHBC，90ABHBAH ， 90BAE，90EAPBAH ABHEAP ， 在 ABH和EAP中， 90 ABHEAP AHBP ABAE ， (AAS)ABHEAP，EPAH， 同理可得GQAH，EPGQ， 在 EPM和GQM中， 90PMQG EMPGMQ EPGQ ， (AAS)EPMGQM， EMGM，AM是AEG的中线 【教师备课提示】【教师备课提示】例题
5、 2 和例题 3 主要讲解构造 K 字型全等，让孩子们熟悉模型 如图，CD 是经过BCA顶点 C 的一条直线，CACB，E、F 分别是直线 CD 上两点，且 BECCFA （1）若直线 CD 经过BCA的内部，且 E、F 在直线 CD 上，请解决下面两个问题： 如图 4-1，若90BCA，90，则 BE_CF；EF_|BEAF（填“” 、 “” 、 “=” ） ； 如图 4-2，若0180BCA ，请添加一个关于与BCA关系的条件_，使 中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论 （2）如图 4-3，若直线 CD 经过BCA的外部，BCA ，请提出 EF、BE、AF 三条 线段数量关系的合理猜想（
6、不要求证明） 图 4-1图 4-2图 4-3 【解析】【解析】（1）=；=； 180BCA ，先证明BACF ，再证明 BCECAF （2）EFBEAF 【教师备课提示】【教师备课提示】这道题主要讲解 K 字型全等的变式题 46 让学习更有效！ 初一数学目标名校直升班 如图，点 C 为线段 AB 上一点，ACM、CBN是等边三角形请你证明： （1）ANMB； （2）60MFA； （3）AFCBFC ； （4）DEC为等边三角形； （5）/DE AB 【解析】【解析】（1）ACM、CBN是等边三角形， MCAC，CNCB， 又ACNMCB ，ACNMCB，ANBM （2）由（1）得ACNMCB，
7、=CANCMB，60MFAMCA （3）过点 C 作 AF 和 BF 的垂线，利用角平分线的判定，即可 （4）由ACNMCB易推得NDCBEC， 所以CDCE，又60MCN，进而可得DEC为等边三角形 （5）由（4）得，DEC为等边三角形，60DECECB ，/DE AB 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查等边三角形的母子型 （1415 年成外）已知，在ADE中，AEAD，90EAD （1）如图 6-1，若 EC，DB 分别平分AED、ADE，交 AD，AE 于点 C、B，连接 BC 请 判断 AB、AC 是否相等，并说明理由； （2）ADE的位置保持不变，将（1）中的ABC绕点 A
8、逆时针旋转至图 6-2 的位置， 线段 CD 和 BE 相交于 O，请判断线段 BE 与 CD 的位置关系与数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若6CD ，试求四边形 CEDB 的面积 图 6-1图 6-2 【解析】【解析】（1）ABAC，在ABD和ACE中 90 22.5 CAEBAD ADAE AECADB 47 第五讲K 字型全等和母子型 让学习更有效！ ABDACE(ASA)，ABAC （2）BECD，且BECD 母子型，得到CADBAE， 通过倒边倒角得到BECD，且BECD （3）18（提示：对角线互相垂直的四边形的面积可以为对角线乘积的一半） 【教师备课提示教师备课提
9、示】这道题主要考查等腰直角三角形的母子型 如图 7-1，若四边形 ABCD、GFED 都是正方形，显然图中有AGCE，AGCE （1）当正方形 GFED 绕 D 旋转到如图 7-2 的位置时，AGCE，AGCE是否成立？若 成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； （2）当正方形 GFED 绕 D 旋转到 B、D、G 在一条直线（如图 7-3）上时，连接 CE，设 CE 分别交 AG、AD 于 P、H， （1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立， 请说明理由 图 7-1图 7-2图 7-3 【解析】【解析】（1）AGCE，AGCE成立 四边形 ABCD、四边形 DEFG 是正方形，
10、 GD DE，ADDC，90GDEADC 90GDAADEEDC AGDCED，AGCE，AGDCED 延长 CE 交 AG 于点 T，则180TEDCED ， 180TEDAGD ，180GTEGDE 又90GDE，90GTE，即AGCE （2）同（1）可得，AGDCED， 12 ，AGCE， 34 ，4290 ，3190 90APHAGCH，即AGCE 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查正方形的母子型，在正方形母子型当中最重要的就是垂 直相等结论 48 让学习更有效！ 初一数学目标名校直升班 （15 年西川半期） 如图 8-1， 在ABC和ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE
11、 ， 且点 B、A、D 在一条直线上，连接 BE、CD，点 M，N 分别为 BE，CD 的中点 （1）求证：BECD； （2）求证：AMN是等腰三角形； （3）在图 8-1 的基础上，将ADE绕点 A 按顺时针方向旋转，使 D 点落在线段 AB 上， 其他条件不变，得到图 8-2 所示的图形， （1） （2）中的两个结论是否仍然成立？请你直接 写出你的结论 图 8-1图 8-2 【解析】【解析】（1）BACDAE ， BAECAD ， 在BAE和CAD中， ABAC BAECAD AEAD BAECAD(SAS) BECD （2）由（1）得，BAECAD(SAS) ABEACD ，即ABMAC
12、N 又点 M，N 分别为 BE，CD 的中点， BMCN 在BAM和CAN中， ABAC ABMACN BMCN BAMCAN(SAS) AMAN AMN是等腰三角形 （3）仍成立，有BECD，AMN是等腰三角形（同理可得） 【教师备课提示教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的母子型，看看孩子们是否理解母子型全等 的本质 49 第五讲K 字型全等和母子型 让学习更有效！ 复习巩固 在ABC中，ABAC，直线 l 经过点 A. （1）如图 1-1，90BAC，BDl，CEl，垂足分别为 D、E探究 BD、CE、DE 三者之间的数量关系，直接写出你的结论 （2） 如图 1-2， 将 （1） 中
13、“90BAC，BCl，CEl” 改为 “BDAAECBAC ” ， 探究 BD、CE、DE 三者之间的数量关系，证明你的结论 图 1-1图 1-2 【解析】【解析】（1）DEBDCE； （2）DEBDCE，证明ADBCEA即可 如图，在ABC中，ABAC，点 D、E、F 分别在边 AB、BC、AC 上，且BDCE， DEFB 图中是否存在和BDE全等的三角 形？说明理由 【解析】【解析】CEFBDE，理由如下： DEFB ， DECBBDEDEFCEF ， BDECEF ， 又BDCE，BC ， CEFBDE 50 让学习更有效！ 初一数学目标名校直升班 如图，B、C、E 三点在一条直线上，A
14、BC和DCE都为等边三角形，连接 AE、DB （1）试说出AEBD的理由 （2）如果把DCE绕 C 点顺时针旋转一个角度，使 B、C、E 不在一条直线上， （1）中 的结论还成立吗？（只回答，不说理由） （3）在（2）中若 AE、BD 相交于 P，求APB的度数 【解析】【解析】（1）ABC、DCE都为等边三角形， BCAC，DCCE，ACBDCE ， ACBACDACDDCE ， 即BCDACE ， 在BCD与ACE中： BCAC BCDACE CDCE (SAS)BCDACE， BDAE； （2）仍然成立； （3）BCDACE， CAPCBP ， ABC是等边三角形， 60CABCBA ，
15、 180APBPABPBA （） 180()PACCABPBA 180()PABCBA 180(6060 ) 60， 即60APB 51 第五讲K 字型全等和母子型 让学习更有效！ 以点 A 为顶点作两个等腰直角三角形（ABC，ADE） ，如图 4-1 所示放置，使得一直 角边重合，连接 BD，CE （1）说明BDCE； （2）延长 BD，交 CE 于点 F，求BFC的度数； （3）若如图 4-2 放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由 图 4-1图 4-2 【解析】【解析】（1）ABC、ADE是等腰直角三角形， ABAC，90BADEAC ，ADAE， 在ADB和AEC中， ADAE DA
16、BEAC ABAC ， (SAS)ADBAEC，BDCE； （2）ADBAEC， ACEABD ， 而在CDF中，180BFCACECDF ， 又CDFBDA ， 18090BFCDBABDADAB ； （3）BDCE成立，且两线段所在直线互相垂直，即90BFC理由如下： ABC、ADE是等腰直角三角形 ABAC，ADAE，90BACEAD ， BACCADEADCAD ， BADCAE ， 在ADB和AEC中， ADAE DABEAC ABAC ， SASADBAEC （） BDCE，ACEDBA ， 90BFCCAB 52 让学习更有效！ 初一数学目标名校直升班 如图 5-1，等边ABC中
17、，D 是 AB 上一点，以 CD 为边向上作等边CDE，连接 AE （1）求证：AE/BC； （2）如图 5-2，若点 D 在 AB 的延长线上，其余条件均不变， （1）中结论是否成立？请说 明理由 图 5-1图 5-2 【解析】【解析】（1）60BCADCE ， BCAACDDCEACD ， 即BCDACE ， ABC和DCE是等边三角形， BCAC，DCEC， 在BDC与ACE中， BCAC BCDACE DCEC ， SASDBCACE （），BCAE ， 60BCAEACB ，AE/BC； （2）成立，证明如下： 同（1）可得，DBCACE，120DBCEAC ， 180EACACB ，AE/BC 如图， 四边形 ABCD、 DEFG 都是正方形， 连接 AE、 CG 求证：（1）AECG；（2）AECG 【解析】【解析】ADCEDG ，CDGADE ， 在CDG和ADE中 CDAD CDGADE DGDE CDGADE， AECG，CGDAED 设 AE 分别与 DG、CG 交于 M、N 则90DMEAED ，90CGDNMG ，AECG
