1、2.5.2椭圆的几何性质 学 习 任 务核 心 素 养 1根据椭圆的方程研究曲线的几何性 质，并正确地画出它的图形 2根据几何条件求出曲线方程，并利用 曲线的方程研究它的性质、 图形 (重点、 难点) 通过椭圆几何性质的学习，培养 直观想象、数学运算素养 根据开普勒三大定律，地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆，太阳处在这个 椭圆的一个焦点上在椭圆轨道上有一个近日点和一个远日点，在近日点时距离 太阳 14 710 万千米在远日点时距离太阳 15 210 万千米事实上，很多天体或飞 行器的运行轨道都是椭圆如神舟九号飞船，于 2012 年 6 月 16 日搭载 3 名航天 员发射升空， 之后进入近地点
2、高度 200 千米， 远地点高度 329.8 千米的椭圆形轨道， 然后进行了 5 次变轨，两天后与天宫一号交会对接成功，这是中国实施的首次载 人空间交会对接 知识点 1椭圆的简单几何性质 焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上 标准 方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 图形 对称性对称轴 x 轴和 y 轴，对称中心(0，0) 范围xa，a，yb，bxb，b，ya，a 顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b， b)，B2(0，b)0)，B2(b，0) 轴长短轴|B1B2|2b，长轴|A1A2|2a 焦点
3、F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|2c 离心率ec a(0e1) 1椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？ 提示最大距离：ac；最小距离：ac 2椭圆方程x 2 a2 y2 b21(ab0)中 a，b，c 的几何意义是什么？ 提示在方程x 2 a2 y2 b21(ab0)中，a，b，c 的几何意义如图所示 即 a，b，c 正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点为顶点的 直角三角形，RtOB2F2也叫椭圆的特征三角形 1(1)椭圆x 2 9 y 2 161 的焦点坐标是_，顶点坐标是_ (2)椭圆 x24y24 的离心率为() A
4、3 2 B3 4 C 2 2 D2 3 (1)(0， 7)(3，0)，(0，4)(2)A(1)由方程x 2 9 y 2 161 知焦点在 y 轴上， 所以 a216，b29，c2a2b27 因此焦点坐标为(0， 7)，顶点坐标为(3，0)，(0，4) (2)化椭圆方程为标准形式得x 2 4 y21， 所以 a24，b21，所以 c2a2b23 所以 ec a 3 2 知识点 2椭圆离心率 e 的几何意义 椭圆离心率的意义：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度 当 e 越趋近于 1 时，c 越趋近于 a，从而 b a2c2越小，因此椭圆越扁； 当 e 越趋近于 0 时，c 越趋近于 0，从而 b a
5、2c2越趋近于 a，因此椭圆越 接近于圆； 当且仅当 ab 时，c0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程变为 x2 y2a2 3b a或 c b的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？ 提示 b a或 c b的大小能刻画椭圆的扁平程度 (1)当b a1 时，ba，椭圆越圆；当 b a0 时，b0，椭圆越扁 (2)当c b0 时，c0，此时 ba，椭圆越圆；当 c b时，b0，此时 ca， 椭圆越扁 2比较椭圆x29y236 与x 2 9 y 2 5 1 的形状，则_更扁(填 序号) x29y236 化为标准方程得x 2 36 y2 4 1， 故离心率 e14 2 6 2 2 3 ； 椭圆x
6、2 9 y 2 5 1 的离心率 e22 3因为 e 1e2，所以更扁 类型 1已知椭圆方程研究其几何性质 【例 1】求椭圆 16x225y2400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点 的坐标 解把已知方程化成标准方程x 2 52 y2 421，可知 a5，b4，所以 c3因 此，椭圆的长轴和短轴的长分别是 2a10 和 2b8，离心率 ec a 3 5，两个焦点 分别是 F1(3，0)和 F2(3，0)，椭圆的四个顶点是 A1(5，0)，A2(5，0)，B1(0， 4)和 B2(0，4) 1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定 焦点的位置，进而确定椭圆的类型 2
7、焦点位置不确定的要分类讨论，找准 a 与 b，正确利用 a2b2c2求出焦 点坐标，再写出顶点坐标 提醒：长轴长、短轴长、焦距不是 a，b，c，而应是 a，b，c 的两倍 跟进训练 1求椭圆 4x29y236 的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率 解将椭圆方程变形为x 2 9 y 2 4 1， a3，b2，c a2b2 94 5 椭圆的长轴长和焦距分别为 2a6，2c2 5，焦点坐标为 F1( 5，0)， F2( 5，0)， 顶点坐标为 A1(3，0)，A2(3，0)，B1(0，2)，B2(0，2)，离心率 ec a 5 3 类型 2利用几何性质求椭圆的标准方程 【例 2】求适合下列条件
8、的椭圆的标准方程： (1)与椭圆 4x29y236 有相同的焦距，且离心率为 5 5 ； (2)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，4) 解(1)将方程 4x29y236 化为x 2 9 y 2 4 1， 可得椭圆焦距为 2c2 5又因为离心率 e 5 5 ， 即 5 5 5 a ，所以 a5，从而 b2a2c225520 若椭圆焦点在 x 轴上，则其标准方程为x 2 25 y2 201； 若椭圆焦点在 y 轴上，则其标准方程为y 2 25 x2 201 (2)依题意 2a22b，即 a2b 若椭圆焦点在 x 轴上，设其方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 则有 a2b， 4 a2
9、16 b21. 解得 a268， b217， 所以标准方程为x 2 68 y2 171 若椭圆焦点在 y 轴上，设其方程为y 2 a2 x2 b21(ab0)， 则有 a2b， 16 a2 4 b21， 解得 a232， b28. 所以标准方程为x 2 8 y 2 321 利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项 根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦 点的位置或分类讨论.一般步骤是： 1求出 a2， b2的值； 2确定焦点所在的坐标轴； 3写出标准方程. 在求解 a2，b2时常用方程组思想，通常由已知条件与关系式 a2b2c2，e c a等构造方程组加以求
10、解. 提醒：解答本例时容易忽视焦点的位置而漏解. 跟进训练 2求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是 10，离心率是4 5； (2)在 x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6 解(1)设椭圆的方程为 x2 a2 y2 b21(ab0)或 y2 a2 x2 b21(ab0) 由已知得 2a10，a5，ec a 4 5，c4 b2a2c225169 椭圆方程为x 2 25 y2 9 1 或x 2 9 y 2 251 (2)依题意可设椭圆方程为 x2 a2 y2 b21(ab0) 如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2的中线(高)， 且|OF
11、|c，|A1A2|2b，2c6， cb3，a2b2c218， 故所求椭圆的方程为x 2 18 y2 9 1 类型 3求椭圆的离心率 【例 3】(对接教材人教 B 版 P132例 2)已知 F1，F2是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，若ABF2是正三角形，求该椭圆 的离心率 求椭圆离心率的关键是什么？ 提示根据 ec a，a 2b2c2，可知要求 e，关键是找出 a， b，c 的等量关系 解设椭圆的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，焦点坐标为 F 1(c，0)，F2(c，0) 依题意设 A 点坐标为 c，b 2 a ， 则 B 点坐标为 c，b
12、2 a ， |AB|2b 2 a 由ABF2是正三角形得 2c 3 2 2b 2 a ， 即3b22ac 又b2a2c2， 3a2 3c22ac0， 两边同除以 a2得 3 c a 2 2c a 30， 解得 ec a 3 3 1(变换条件)本例中将条件“过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，若ABF2是正三角形”改为“A 为 y 轴上一点，且 AF1的中点 B 恰好在椭 圆上，若AF1F2为正三角形”如何求椭圆的离心率？ 解设椭圆的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，焦点坐标为 F 1(c，0)，F2(c，0)， 设 A 点坐标为(0，y0)(y00)， 则 B 点坐
13、标为 c 2， y0 2 ， B 点在椭圆上， c2 4a2 y20 4b21， 解得 y204b2b 2c2 a2 ， 由AF1F2为正三角形得 4b2b 2c2 a2 3c2， 即 c48a2c24a40， 两边同除以 a4得 e48e240， 解得 e 31 2(变换条件)“若ABF2是正三角形”换成“椭圆的焦点在 x 轴上，且 A 点 的纵坐标等于短半轴长的2 3”，求椭圆的离心率 解设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， F1(c，0)，F2(c，0)， 由题意知 A c，2 3b在椭圆上， c 2 a2 4 91，解得 e 5 3 求椭圆离心率的方法 (1)直接求出 a
14、 和 c，再求 ec a，也可利用 e 1b 2 a2求解 (2)若 a 和 c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到 a 和 c 的齐次等式关系， 然后整理成c a的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率 e 的方程，进而求解 跟进训练 3已知 F1，F2是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶 点，点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120， 则 C 的离心率为() A2 3 B1 2 C1 3 D1 4 D由题意可得椭圆的焦点在 x 轴上，如图所示， 过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 B设|F1F2|
15、2c，PF1F2为等腰三角形，且 F1F2P120，|PF2|F1F2|2c，PF2B60|OF2|c，点 P 的坐标为 (c2ccos 60，2csin 60)，即点 P(2c， 3c)点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上， 3c 2ca 3 6 ，a4c，c a 1 4，即椭圆 C 的离心率 e 1 4 1椭圆x 2 9 y 2 161 的离心率( ) A 7 4 B 9 16 C1 3 D1 4 Aa216，b29，c27， 从而 ec a 7 4 2若中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆的长轴长为 18，且两个焦点恰好将长 轴三等分，则此椭圆的方程是() Ax 2 81 y2 7
16、21 Bx 2 81 y2 9 1 Cx 2 81 y 2 45 1Dx 2 81 y 2 36 1 A由已知得 a9，2c1 3 2a，c1 3 a3，b2a2c272 又焦点在 x 轴上， 椭圆方程为x 2 81 y 2 72 1 3椭圆 x2my21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍，则 m 的值为 () A1 2 B2C1 4 D4 C椭圆 x2my21 化为标准形式为：x2y 2 1 m 1 因为焦点在 y 轴上，且长轴长是短轴长的 2 倍，所以1 m 4，所以 m1 4 4某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心 F 为焦点的椭圆，测得近地点 A 距离 地面 m km，远地点 B 距离地面 n km，地球半径为 R km，关于这个椭圆有下列说 法： 焦距为 nm； 短轴长为 mRnR ； 离心率 e nm mn2R 其中正确说法的序号为_ 由题意，得 nRac，mRac，可解得 2cnm，a mn2R 2 ， 2b2 a2c22 mRnR ， e nm mn2R ，故正确，不正确 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1在椭圆的性质中，哪些是与位置无关的？哪些是与位置有关的？ 提示椭圆的对称性、长轴长、短轴长、焦距、离心率等与位置无关；顶点 坐标、焦点坐标等与位置有关 2a，b，c 对椭圆形状有何影响？ 提示
