1、章末综合测评(一)空间向量与立体几何 (时间：120 分钟满分：150 分) 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 1已知 a(3，2，5)，b(1，5，1)，则 a(a3b)() A(0，34，10)B(3，19，7)C44D23 Ca3b(3，2，5)3(1，5，1)(0，17，2)，则 a(a3b)(3，2， 5)(0，17，2)0341044 2已知向量 a(2，1，3)，b(1，2，1)，若 a(ab)，则实数的值 为() A2B14 3 C14 5 D2 Da(ab)， a(ab)|a|2ab0，|a|2a
2、b， 14(223)7， 解得2故选 D 3若 A，B，C，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是() AB 2BC 2CD DC ；2AB 2BC 3CD 3DA AC ；AB CA BD ； AB CB CD AD ABCD C中，原式AB 2BD DC AB BD BD DC AD BC ，不符合题 意；中，原式2(AB BC CD DA )(AC CD DA )0；中，原式CD ， 不符合题意；中，原式(AB AD )(CD CB )0故选 C 4在正三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱长为 2，底面三角形的边长为 1，则 BC1 与侧面 ACC1A1所成角的大小为() A30B4
3、5C60D90 A以 C 为原点，CA 为 x 轴，在平面 ABC 中过 C 作 AC 的垂线为 y 轴，CC1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 B 1 2， 3 2 ，0 ，C1(0，0，2)，BC1 1 2， 3 2 ， 2 ， 平面 ACC1A1的法向量 n(0， 1， 0)， 设 BC1与侧面 ACC1A1所成角的大小为， 则 sin |BC1 n| |BC1 |n| 3 2 3 1 2，30，BC 1与侧面 ACC1A1所成角的大小为 30，故选 A 5已知 a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(7，5，)若 a，b，c 三向 量共面，则实数等于() A62 7 B63 7 C
4、60 7 D65 7 D由题意得 ctab(2t，t4，3t2)， 72t， 5t4， 3t2. t33 7 ， 17 7 ， 65 7 . 6如图所示，已知空间四边形 ABCD，连接 AC，BD，M，G 分别是 BC，CD 的中点，则AB 1 2BC 1 2BD 等于() AAD BGA CAG DMG CM，G 分别是 BC，CD 的中点，1 2BC BM ，1 2BD MG ，AB 1 2BC 1 2BD AB BM MG AM MG AG 7直三棱柱 ABCA1B1C1的底面是等腰直角三角形，ABAC，BCBB1，则 直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为() A 3 6 B2 3 C
5、 3 2 D1 2 A因为直三棱柱 ABCA1B1C1的底面是等腰直角三角形，ABAC， 故以 AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，AA1为 z 轴建立空间直角坐标系，如图， 设 AB1，则 BB1 2，B(1，0，0)，B1(1，0， 2)，C1(0，1， 2)，AB1 (1， 0， 2)，BC1 (1，1， 2)，cosAB1 ， BC1 AB1 BC1 |AB1 |BC1 | 12 32 3 6 直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 3 6 8在三棱锥 PABC 中，PC底面 ABC，BAC90，ABAC4，PBC 60，则点 C 到平面 PAB 的距离是() A3 42 7 B4 4
6、2 7 C5 42 7 D6 42 7 B在三棱锥 PABC 中， PC底面 ABC， BAC90， ABAC4， PBC 60， 以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，过 A 作平面 ABC 的垂线为 z 轴，建 立空间直角坐标系， 则 C(0，4，0)，P(0，4，4 6)，A(0，0，0)，B(4，0，0)，AC (0，4，0)，AB (4，0，0)，AP (0，4，4 6)， 设平面 PAB 的法向量 n(x，y，z)， 则 nAP 4y4 6z0， nAB 4x0， 取 z1，得 n(0， 6，1)， 点 C 到平面 PAB 的距离 d|AC n| |n| 4 6 7
7、4 42 7 故选 B 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9在以下命题中，不正确的命题有() A|a|b|ab|是 a，b 共线的充要条件 B若 ab，则存在唯一的实数，使 ab C对空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若OP 2OA 2OB OC ， 则 P，A，B，C 四点共面 D若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一 个基底 ABCA|a|b|ab|a 与 b 共线，但 a 与 b 共线时|a|b|ab|不一 定成立，故不正
8、确；Bb 需为非零向量，故不正确；C因为 2211，由共 面向量定理知，不正确；D由基底的定义知正确 10已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，如果AB (2，1，4)， AD (4，2，0)，AP (1，2，1)对于结论： APAB；APAD；AP 是平面 ABCD 的法向量；AP BD 其中正确 的是() ABCD ABCAB AP 0，AD AP 0， ABAP，ADAP，则 A，B 正确 又AB 与AD 不平行， AP 是平面 ABCD 的法向量，则 C 正确 由于BD AD AB (2，3，4)，AP (1，2，1)， BD 与AP 不平行，故 D 错误 11如图，在正
9、方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，将ADE， CDF，BEF 分别沿 DE，DF，EF 翻折，使 A，B，C 重合于点 P，则下列结论 正确的是() APDEF B平面 PDE平面 PDF C二面角 PEFD 的余弦值为1 3 D点 P 在平面 DEF 上的投影是DEF 的外心 ABC如图，取 EF 的中点 H，连接 PH，DH， 由题意知PEF 和DEF 为等腰三角形，故 PHEF，DHEF，所以 EF 平面 PDH，所以 PDEF，故 A 正确根据折起前后，可知 PE，PF，PD 两两垂 直，于是可证平面 PDE平面 PDF，故 B 正确根据 A 选项可知PHD 为二
10、面 角 PEFD 的平面角设正方形的边长为 2，则 PEPF1，PH 2 2 ，DH DE2EH251 2 3 2 2 ，PD DF2PF22，所以 PH2PD2DH2，所以 PHPD，所以 cosPHDPH DH 1 3，故 C 正确过点 P 作 PGDH 于点 G，则点 G 为点 P 在平面 DEF 上的投影，PG2 3，DG 4 2 3 ，HG 2 6 ，连接 FG，则 FG 5 3 ，因为 FGDG，所以点 G 不是DEF 的外心，故 D 错误 12直线 a 的方向向量为 a，平面，的法向量分别为 n，m，则下列命题为 真命题的是() A若 an，则直线 a平面 B若 an，则直线 a
11、平面 C若 cosa，n1 2，则直线 a 与平面所成角的大小为 6 D若 cosm，n1 2，则平面，的夹角为 3 BCD若 an，则直线 a平面或在平面内，故选项 A 不正确； 若 an，则 a 也是平面的一个法向量，所以直线 a平面，故选项 B 正确； 直线与平面夹角的正弦值等于直线与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所 以若 cosa，n1 2，则直线 a 与平面所成角的大小为 6，故选项 C 正确； 两个平面夹角与他们法向量所成的不大于 90的角相等， 故选项 D 正确 故选 BCD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 13已知向量AB (2
12、，4，5)，CD (3，x，y)，若AB CD ，则 xy_ 45AB CD ，存在实数 k 使得AB kCD 23k， 4kx， 5ky， 则 xy20 k2 20 2 3 245 14已知 A(2，5，1)，B(2，4，2)，C(1，4，1)，则AB 与AC 的夹角为 _ 60由题意得AB (0，1，1)，AC (1，1，0)，cosAB ， AC AB AC |AB |AC | 1 2 2 1 2，所以AB 与AC 的夹角为 60 15如图，在四面体 ABCD 中，ABC 为正三角形，四面体的高 AH3，若 二面角 ABCD 的大小为 3，则ABC 的面积为_ 4 3由 H 向 BC 作
13、垂线，垂足为 E，连接 AE，由三垂线定理的逆定理知 AEBC， AEH 为二面角 ABCD 的平面角，即AEH 3 AH3，AE2 3 设正ABC 的边长为 a，则 3 2 a2 3，a4 ABC 的面积 S1 242 34 3 16在正三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 AB1，D 在棱 BB1上，且 BD1，则 AD 与平面 AA1C1C 所成的角的正弦值为_，平面 ACD 与 ABC 所成二面角 的余弦值为_(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 6 4 21 7 取 AC 中点 E，连接 BE，则 BEAC， 如图所示，建立空间直角坐标系 Bxyz， 则 A 3 2 ，1 2，0，D
14、(0，0，1)， C 3 2 ，1 2，0， DC 3 2 ，1 2，1， DA 3 2 ，1 2，1 设平面 ACD 的法向量为 n(x，y，z)， DC n0， DA n0， 3 2 x1 2yz0， 3 2 x1 2yz0， 令 x2 3，z3，y0， n(2 3，0，3)， 又BD 为平面 ABC 的法向量，BD (0，0，1)， cosnBD 3 2 329 21 7 平面 ACD 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为 21 7 平面 ABC平面 AA1C1C， 平面 ABC平面 AA1C1CAC，BEAC， BE平面 AA1C1C， BE 3 2 ，0，0 为平面 AA1C1C 的
15、一个法向量， 又AD 3 2 ，1 2，1， cosAD ， BE 6 4 ， 设 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为， 则 sin |cosAD ， BE | 6 4 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 17(本小题满分 10 分)已知 a(x，1，3)，b(1，2，1)，c(1，0，1)， c(2ab) (1)求实数 x 的值； (2)若(ab)(ab)，求实数的值 解(1)2ab2(x，1，3)(1，2，1)(2x1，0，5) c(2ab)， 设 c(2ab)(0)， (1，0，1)(2x1)，0，5)， 2x11， 51， 即 1
16、5， x2， x 的值为 2 (2)ab(2，1，3)(1，2，1)(1，3，4)， ab(2，1，3)(1，2，1)(21，2，31) (ab)(ab)， 213(2)4(31)0， 9 17 18(本小题满分 12 分)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC 2，D 是 棱 AC 的中点，且 ABBCBB12 (1)求证：AB1平面 BC1D； (2)求异面直线 AB1与 BC1所成的角 解(1)证明：如图，连接 B1C 交 BC1于点 O，连接 OD 因为 O 为 B1C 的中点，D 为 AC 的中点，所以 ODAB1 因为 AB1平面 BC1D，OD平面 BC1D， 所以 AB
17、1平面 BC1D (2)建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz， 则 B(0，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，2)，B1(0，0，2)， 因此AB1 (0，2，2)，BC1 (2，0，2) 所以 cosAB1 ， BC1 AB1 BC1 |AB1 |BC1 | 004 2 22 2 1 2， 设异面直线 AB1与 BC1所成的角为，则 cos 1 2，由于 0， 2 ，故 3 19(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 MABCD 中，底面 ABCD 是平行四边 形，且 ABBC1，MD1，MD平面 ABCD，H 是 MB 的中点，在下面两个条 件中任选一个，并作答： 二面角 AMD
18、C 的大小是2 3 ； BAD 2 若_，求 CH 与平面 MCD 所成角的正弦值 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解若选： 因为 MD平面 ABCD，所以 ADMD，CDMD， 所以ADC 就是二面角 AMDC 的平面角，所以ADC2 3 过 D 作 x 轴 DC，以 D 为坐标原点，以 DC，DM 所在直线为 y 轴、z 轴建立如图所示的空间 直角坐标系 则 C(0，1，0)，H 3 4 ，1 4， 1 2 所以CH 3 4 ，3 4， 1 2 取平面 MCD 的一个法向量 n(1，0，0) 设 CH 与平面 MCD 所成角为，则 sin |CH n| |CH |n| 3
19、4 3 16 9 16 1 4 3 4 所以 CH 与平面 MCD 所成角的正弦值是 3 4 若选： 因为 MD平面 ABCD，BAD 2，所以 DA，DC，DM 两两垂直 以 D 为坐标原点，以 DA，DC，DM 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如 图所示的空间直角坐标系，则 C(0，1，0)，H 1 2， 1 2， 1 2 所以CH 1 2， 1 2， 1 2 取平面 MCD 的一个法向量 n(1，0，0)设 CH 与平面 MCD 所成角为， 则 sin |CH n| |CH |n| 1 2 1 4 1 4 1 4 3 3 所以 CH 与平面 MCD 所成角的正弦值是 3 3 2
20、0(本小题满分 12 分)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D 在棱 A1B1上， E，F 分别是 CC1，BC 的中点，AEA1B1，AA1ABAC2 (1)证明：DFAE； (2)当 D 为 A1B1的中点时，求平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值 解(1)证明：在直三棱柱 ABCA1B1C1中，有 AA1A1B1， 又因为 AEA1B1，所以 A1B1平面 AA1C1C， 因为 A1C1平面 AA1C1C，所以 A1B1A1C1 所以 ABAC，ABAA1，ACAA1， 如图，分别以 AC，AA1，AB 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 Axyz， 则
21、 C(2，0，0)，B(0，0，2)，A(0，0，0)，A1(0，2，0)，F(1，0，1)，E(2，1， 0) 设 D(0，2，t)(0t2)，则FD (1，2，t1)，AE (2，1，0)，FD AE ( 1，2，t1)(2，1，0)0， 所以 DFAE (2)当 D 为 A1B1的中点时，D(0，2，1)，EF (1，1，1)，FD (1，2， 0)， 设平面 DEF 的法向量为 n(x，y，z)，则 nEF 0， nFD 0， 即 xyz0， x2y0， 令 y1，得 n(2，1，3)， 容易知平面 ABC 的法向量为 n0(0，1，0)， 所以 cosn，n0 nn0 |n|n0|
22、1 221232 14 14 ， 即平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 14 14 21 (本小题满分 12 分)如图， 边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆孤 CD 所在平面垂直，M 是 CD上异于 C，D 的点 (1)证明：平面 AMD平面 BMC； (2)当三棱锥 MABC 体积最大时，求平面 MAB 与平面 MCD 所成二面角的正 弦值 解(1)由题设知，平面 CMD平面 ABCD，平面 CMD平面 ABCDCD 因为 BCCD，BC平面 ABCD，所以 BC平面 CMD，故 BCDM 因为 M 为 CD上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DMC
23、M 又 BCCMC，所以 DM平面 BMC 而 DM平面 AMD，故平面 AMD平面 BMC (2)以 D 为坐标原点， DA ，DC 的方向分别为 x 轴、y 轴的正方向，建立如图所 示的空间直角坐标系 Dxyz 当三棱锥 MABC 体积最大时，M 为 CD的中点 由题设得 D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)， M(0，1，1)，AM (2，1，1)，AB (0，2，0)， DA (2，0，0) 设 n(x，y，z)是平面 MAB 的法向量， 则 nAM 0， nAB 0， 即 2xyz0， 2y0， 取 x1，得 n(1，0，2)是平面 MAB 的一个法
24、向量 易知DA 是平面 MCD 的法向量，因此 cosn， DA nDA |n|DA | 5 5 ，sinn， DA 2 5 5 ， 所以平面 MAB 与平面 MCD 所成二面角的正弦值是2 5 5 22(本小题满分 12 分)如图，正方形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互相垂 直，动点 P 在线段 EF(包含端点 E，F)上，M，N 分别为 AB，BC 的中点，AB2DE 2 (1)若 P 为 EF 的中点，求点 N 到平面 PDM 的距离； (2)设平面 PDM 与平面 ABCD 所成的锐角为， 求 cos 的最大值并求出此时点 P 的位置 解以 A 点为坐标原点，以AB ， AD
25、 ，AF 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正 方向建立空间直角坐标系 (1)由图可得 D(0，2，0)，N(2，1，0)，M(1，0，0)，P(0，1，1)， 则PM (1，1，1)，PD (0，1，1)，NM (1，1，0) 设平面 PDM 的一个法向量为 n1(1，y1，z1)， 由 nPM 1y1z10， nPD y1z10， 可得 n 1，1 2， 1 2 设点 N 到平面 PDM 的距离为 d，则 d|NM n| |n| 6 2 (2)因为动点 P 在线段 EF(包含端点 E，F)上， 可设 P(0，t，1)(0t2)， 则PM (1，t，1)，MD (1，2，0) 设平面 PDM 的一个法向量为 n2(1，y2，z2)， 由 nPM 1ty2z20， nMD 12y20， 可得 n 1，1 2， 2t 2 平面 ABCD 的一个法向量 n0(0，0，1)， cos | 2t 2 2t25 4 | 2t2 2t25 1 5 2t25(0t2) 当 t0 时，cos 取得最大值2 3，此时 P 点与 F 点重合
