1、1.2空间向量在立体几何中的应用 1.2.1空间中的点、直线与空间向量 学 习 任 务核 心 素 养 1了解空间中的点与空间向量的关系 2理解直线的方向向量(重点) 3 掌握利用空间向量求空间中两直线所 成的角的方法(重点、难点) 4 掌握利用空间向量证明两条直线平行 或垂直的方法(重点) 5理解公垂线段的概念并会求其长度 1通过学习直线的方向向量、公垂线段 等概念，培养数学抽象素养 2利用向量法证明两直线垂直，求两直 线所成的角，提升逻辑推理和数学运算 素养 某市中学生运动会上，射箭运动员听到口令后同时把箭射出，假设箭运动的 轨迹都是平行直线，如图箭在运动过程中，每处在一个位置都表示该直线的
2、方 向向量 问题：直线的方向向量有何特点？ 知识点 1空间中的点与空间向量 一般地，如果在空间中指定一点 O，那么空间中任意一点 P 的位置，都可以 由向量OP 唯一确定，此时，OP 通常称为点 P 的位置向量 空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定 1空间直角坐标系中，O 为坐标原点，若点 P 的坐标为(1，2，3)，则 点 P 的位置向量OP _ (1，2，3)由点 P 的坐标知OP (1，2，3) 知识点 2空间中的直线与空间向量 一般地，如果 l 是空间中的一条直线，v 是空间中的一个非零向量，且表示 v 的有向线段所在的直线与 l 平行或重合，则称 v 为直线 l 的一个
3、方向向量此时， 也称向量 v 与直线 l 平行，记作 vl (1)如果 A， B 是直线 l 上两个不同的点， 则 vAB 就是直线 l 的一个方向向量 1直线 l 的方向向量唯一吗？直线 l 的方向向量之间有怎样的关系？ 提示直线 l 的方向向量不唯一， 若 v 为直线的方向向量， 则v(0)也为直 线 l 的方向向量，直线 l 的任意两个方向向量都平行 2空间中的直线 l 的位置由 v 能确定吗？ 提示空间中直线 l 的位置可由 v 和直线上的一个点唯一确定 (2)如果 v1是直线 l1的一个方向向量，v2是直线 l2的一个方向向量，则 v1v2 l1l2或 l1与 l2重合 2思考辨析(
4、正确的打“”，错误的打“”) (1)直线 l 的方向向量是唯一的() (2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反() (3)若向量 a 是直线 l 的一个方向向量，则向量 ka 也是直线 l 的一个方向向 量() 答案(1)(2)(3) 提示(1)与直线 l 平行或共线的任何向量都可作为 l 的方向向量 (2) (3)k0 知识点 3空间中两条直线所成的角 (1)设 v1，v2分别是空间中直线 l1，l2的方向向量，且 l1与 l2所成角的大小为， 则v1，v2或v1，v2 ，所以 sin sinv1，v2 ，cos |cosv1，v2 | (2)v1，v2 2l 1l2v1v20
5、 (1)两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得， 但 二者不完全相等当两方向向量的夹角为钝角时，应取其补角作为两异面直线所 成的角如：若直线 l1的方向向量与 l2的方向向量的夹角为 150，则 l1与 l2这两 条异面直线所成的角为 30 (2)用向量方法求两条直线所成的角时，若能建立空间直角坐标系，则相关向 量可用坐标表示，通过向量坐标运算求解；若建系不方便，则可选用基向量表示 其他向量，通过向量运算求解 3若异面直线 l1，l2的方向向量分别是 a(0，2，1)，b(2，0， 4)，则异面直线 l1与 l2的夹角的余弦值等于() A2 5 B2 5 C2 5 5 D2
6、5 5 B|a| 5，|b|2 5，ab(0，2，1)(2，0，4)4， cosa，b 4 52 5 2 5 异面直线夹角的范围是 0， 2 ，选 B 知识点 4异面直线与空间向量 设 v1，v2分别是空间中直线 l1与 l2的方向向量 (1)若 l1与 l2异面，则 v1与 v2的关系为 v1与 v2不平行 (2)若 v1与 v2不平行，则 l1与 l2的位置关系为相交或异面 “v1与 v2不平行”是“l1与 l2异面”的必要不充分条件 (3)若 Al1，Bl2，则 l1与 l2异面时，v1，v2，AB 不共面若 v 1，v2，AB 不共 面，则 l1与 l2异面 “v1，v2，AB 不共面
7、”是“l 1与 l2异面”的充要条件 (4)公垂线段：一般地，如果 l1与 l2是空间中两条异面直线，Ml1，Nl2， MNl1，MNl2，则称 MN 为 l1与 l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长， 称为这两条异面直线之间的距离 空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一 4若直线 l1，l2的方向向量分别为 a(1，2，2)，b(2，3，2)， 则() Al1l2Bl1l2 Cl1，l2相交但不垂直D不能确定 Bab2640，ab，l1l2，故选 B 类型 1空间中的点的位置的确定 【例 1】已知 O 是坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别为 A(3，4，0)，B(2， 5，5
8、)，C(0，3，5) (1)若OP 1 2(AB AC )，求 P 点的坐标； (2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 APPB12，求 P 点的坐标 解(1)AB (1，1，5)，AC (3，1，5)， OP 1 2(AB AC )1 2(2，2，0)(1，1，0)， P 点的坐标为(1，1，0) (2)由 P 是线段 AB 上的一点，且 APPB12， 知AP 1 2PB 设点 P 的坐标为(x，y，z)， 则AP (x3，y4，z)，PB(2x，5y，5z)， 故(x3，y4，z)1 2(2x，5y，5z)， 即 x31 22x， y41 25y， z1 25z， 解得 x8 3， y
9、13 3 ， z5 3. 因此 P 点的坐标为 8 3， 13 3 ，5 3 如何在空间直角坐标系中确定点的坐标？ 提示此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求的点的坐 标，利用已知条件得关于要求的点的坐标的方程或方程组求解即可 跟进训练 1已知点 A(2，4，0)，B(1，3，3)，如图，以AB 的方向为正方向，在直线 AB 上建立一条数轴，P，Q 为轴上的两点，且分别满足条件： (1)APPB12； (2)AQQB21 求点 P 和点 Q 的坐标 解由已知，得PB 2AP， 即OB OP 2(OP OA )， OP 2 3OA 1 3OB 设点 P 坐标为(x，y，z)，则上式
10、换用坐标表示，得 (x，y，z)2 3(2，4，0) 1 3(1，3，3)， 即 x4 3 1 3 5 3，y 8 3 3 3 11 3 ， z011 因此，P 点的坐标是 5 3， 11 3 ，1 因为 AQQB21， 所以AQ 2QB ，OQ OA 2(OB OQ )，OQ OA 2OB ， 设点 Q 的坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示， 得(x，y，z)(2，4，0)2(1，3，3)(0，2，6)， 即 x0，y2，z6 因此，Q 点的坐标是(0，2，6) 综上，P 点的坐标是 5 3， 11 3 ，1 ，Q 点的坐标是(0，2，6) 类型 2利用向量法求异面直线的夹角(或余弦值
11、) 【例 2】(对接教材人教 B 版 P32例 3)已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC 120，AB2，BCCC11，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为() A 3 2 B 15 5 C 10 5 D 3 3 C法一：以点 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴，在平面 ABC 内，过点 B 且垂直于 BC 的直线为 y 轴，BB1所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标 系 Bxyz，则 B(0，0，0)，C1(1，0，1)，B1(0，0，1)因为ABC120，设 A 点 坐标为(xA，yA，0)，则 xAABcos 1201，yAABsin 120 3，即 A(1
12、，3， 0)易得BC1 (1，0，1)，AB1 (1， 3，1)设异面直线 AB1与 BC1所成角为， 则 cos |AB1 BC1 | |AB1 |BC1 | 11 5 2 10 5 法二：如图，设 M，N，P 分别为 AB，BB1，B1C1的中点，连接 MN，NP， MP，则 MNAB1，NPBC1，所以PNM 或其补角为异面直线 AB1与 BC1所成 的角易知 MN1 2AB 1 5 2 ，NP1 2BC 1 2 2 取 BC 的中点 Q，连接 PQ，MQ， 可知PQM 为直角三角形，PQ1，MQ1 2AC在ABC 中，AC 2AB2BC2 2ABBCcosABC41221 1 2 7，
13、 所以 AC 7， MQ 7 2 在MQP 中，MPMQ2PQ2 11 2 ，则在PMN 中，cosPNMMN 2NP2PM2 2MNNP 5 2 2 2 2 2 11 2 2 2 5 2 2 2 10 5 ，所以异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 10 5 法三：如图所示，将直三棱柱 ABCA1B1C1补成直四棱柱 ABCDA1B1C1D1，连 接 AD1，B1D1，则 AD1BC1，所以B1AD1或其补角为异面直线 AB1与 BC1所成 的角因为ABC120，AB2，BCCC11，所以 AB1 5，AD1 2在 B1D1C1中 ， B1C1D1 60 ， B1C1 1 ， D1C1
14、 2 ， 所 以 B1D1 1222212cos 60 3，所以 cosB1AD1 523 2 5 2 10 5 ，所以异面 直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 10 5 如何用向量法求异面直线所成的角？ 提示(1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角； 当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角 跟进训练 2侧棱垂直底面的三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是边长为 2 的正三角形，侧 棱 AA12，点 O，M 分别是 BC，A1C1的中点，建立如图所示空间直角坐标系 (1)写出三棱柱各顶
15、点及点 M 的坐标； (2)求异面直线 CM 与 BA1夹角的余弦值 解(1)根据图形可求得下列点的坐标： A( 3，0，0)，B(0，1，0)，C(0，1，0)，A1( 3，0，2)，B1(0，1，2)， C1(0，1，2)，M 3 2 ，1 2，2 (2)CM 3 2 ，1 2，2，BA1 ( 3，1，2)， CM BA1 5，|CM | 5，|BA1 |2 2， cosCM ， BA1 5 2 10 10 4 类型 3利用空间向量处理平行或垂直问题 【例 3】如图，已知四棱台 ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形，A1A6，且 A1A底面 ABCD点 P
16、，Q 分别在棱 DD1，BC 上若 P 是 DD1的中点，证明：AB1PQ 证明由题设知，AA1，AB，AD 两两垂直以 A 为坐标原点，AB，AD，AA1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，0， 0)，B1(3，0，6)，D(0，6，0)，D1(0，3，6)，Q(6，m，0)，其中 mBQ，0m6 若 P 是 DD1的中点，则 P 0，9 2，3，PQ (6，m9 2，3)又AB 1 (3，0， 6)，于是AB1 PQ 18180，所以AB1 PQ ，即 AB1PQ 【例 4】如图所示，已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E，F
17、分别是 BB1，DD1的中点，求证：FC1平面 ADE 两条平行直线的方向向量有什么关系？ 提示设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，则 lmabab. 证明如图所示，建立空间直角坐标系 Dxyz，则有 D(0，0，0)，A(2，0， 0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1) 所以FC1 (0，2，1)，DA (2，0，0)，AE (0，2，1)， 因为 DA平面 ADE， AE平面 ADE， 且(0，2，1)0(2，0，0)1(0，2，1)， 即FC1 0DA 1AE ， 所以有 FC1平面 ADE 或 FC1平面 ADE， 又因为 FC1平面 AD
18、E， 所以 FC1平面 ADE 1(变问法)例 4 中 G，H 分别为 AD，B1C1的中点，求证：EGFH 为平行四边 形 证明如图所示，建立空间直角坐标系 则 E(2，2，1)，G(1，0，0)，F(0，0，1)，H(1，2，2) 所以EG (1，2，1)，FH (1，2，1) 所以FH EG ，所以FH EG 显然 EG 与 FH 不重合，故 EGFH 又|EG | 122212 6， |FH | 122212 6，EGFH， 四边形 EGFH 为平行四边形 2(变问法)例 4 条件不变，求平面 ADE平面 B1C1F 证明如图所示，建立空间直角坐标系，则 A(2，0，0)，D(0，0，
19、0)，B1(2， 2，2)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)， 得DE (2，2，1)，FB1 (2，2，1)， DA (2，0，0)，B1C1 (2，0，0)， 所以DE FB1 ，DA B1C1 ， 又相互不共面， 所以 DEFB1，DAB1C1， 又 DADED，FB1B1C1B1， 所以平面 ADE平面 B1C1F 用向量法证明空间中两条直线相互平行或垂直，其主要思路是证明两条直线 的方向向量相互平行或垂直，具体有如下方法： 1坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关 点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其共线或数量积为 0. 2基向量
20、法：利用向量的加、减、数乘运算，结合图形，将要证明的两条直 线的方向向量用基向量表示出来，证明其共线或数量积为 0. 3要证线面平行或垂直，根据线面平行或垂直的判定定理，只需证线线平行 或垂直平面内的两直线必须相交. 跟进训练 3 如图所示， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是 BB1， D1B1的中点 求 证：EF平面 B1AC 证明法一：设正方体的棱长为 2a，建立如图所示的空间直角坐标系 则 A(2a，0，0)，C(0，2a，0)， B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)， F(a，a，2a) EF (a，a，2a)(2a，2a，a)(a，a，a)， AB1
21、 (2a，2a，2a)(2a，0，0)(0，2a，2a)， AC (0，2a，0)(2a，0，0)(2a，2a，0) EF AB 1 (a，a，a)(0，2a，2a)(a)0(a)2aa2a0， EF AC (a， a， a)(2a， 2a， 0)2a22a200， EFAB1， EFAC 又 AB1ACA，EF平面 B1AC 法二：设AB a，AD c，AA1 b，连接 BD(图略)，则EF EB 1 B1F 1 2(BB 1 B1D1 )1 2(AA 1 BD )1 2(AA 1 AD AB )1 2(abc)， AB1 AB AA 1 ab， EF AB1 1 2(abc)(ab) 1
22、2(b 2a2cacb)1 2(|b| 2|a|200) 0， EF AB 1 ，即 EFAB1同理可证 EFB1C 又 AB1B1CB1，EF平面 B1AC 1若 A(1，0，1)，B(2，3，4)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量是() A(1，3，3)B(1，3，3) C(3，3，5)D(2，4，6) BAB (2，3，4)(1，0，1)(1，3，3) 2向量 a(x，1，2)，b(3，x，4)，ab，则 x() A8B4C2D0 C向量 a(x，1，2)，b(3，x，4)，ab， ab3xx80，解得 x2故选 C 3已知四面体 OABC 的各棱长均为 1，D 是棱 OA 的中
23、点，则异面直线 BD 与 AC 所成角的余弦值为() A 3 3 B1 4 C 3 6 D 2 8 CBD OD OB 1 2OA OB ， AC OC OA ， |BD | 3 2 ， |AC |1， 且BD AC 1 2OA OB (OC OA )1 4，cosBD ， AC BD AC |BD |AC | 1 4 3 2 1 3 6 ，故异 面直线 BD 与 AC 所成角的余弦值为 3 6 4直线 l1与 l2不重合，直线 l1的方向向量为 v1(1，1，2)，直线 l2的方向 向量为 v2(2，0，1)，则直线 l1与 l2的位置关系为_ 垂直v1v21(2)102(1)0， v1v2
24、 5已知向量 a(1，0，1)，向量 b( 2，0，0)，则a，b_ 45ab1 200(1)0 2，|a| 2，|b| 2， cosa，b ab |a|b| 2 2 又 0a，b180，a，b45 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1直线的方向向量在确定直线时起到什么作用？ 提示(1)非零性：直线的方向向量是非零向量 (2)不唯一性：直线 l 的方向向量有无数多个，可以分为方向相同和相反两类， 它们都是共线向量 (3)给定空间中的任一点 A 和非零向量 a，就可以确定唯一一条过点 A 且平行 于向量 a 的直线 2利用空间向量如何证明线线平行或垂直？ 提示若直线 l1的方向向量 u1(a1，b1，c1)，直线 l2的方向向量为 u2(a2， b2，c2)(注：下面的，kR) (1)如果 l1l2，那么 u1u2u1u2(a1，b1，c1)(a2，b2，c2)； (2)如果 l1l2，那么 u1u2u1u20a1a2b1b2c1c20 3求异面直线所成角的常用方法有哪些？ 提示在解决空间中直线与直线所成角的问题时，既可构造相应的角求解， 也可以借助空间向量求解，建立空间直角坐标系或选择合适的基底都能解决问题
