1、2.3.2圆的一般方程 学 习 任 务核 心 素 养 1了解圆的一般方程的特点，会由一般 方程求圆心和半径(重点) 2会根据给定的条件求圆的一般方程， 并能用圆的一般方程解决简单问题(重 点) 3 灵活选取恰当的方法求圆的方程 (难 点) 1通过圆的一般方程的学习，培养数学 抽象的核心素养 2借助圆的一般方程的求解及其应用， 培养数学运算的核心素养 钻石又名金刚石，提起它的大名，应该说很少有人会不知道，在大自然中， 还有另一种与钻石成分一模一样，但用途却完全不同的物质石墨 金刚石石墨 钻石和石墨的成分都是碳，但是因为碳元素间的结构不同，决定了这一对孪 生兄弟有了截然不同的命运 数学上也有因为结
2、构不同而造成“用途”不同的“物质”，如本课要学习的 圆的一般方程就是圆的方程的另外一种形式 问题 1：把圆的标准方程(x1)2(y2)29 中的括号展开、整理之后，得到 的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？ 问题 2：方程 x2y22x4y10，x2y22x4y60 分别表示什么图 形？ 知识点 1圆的一般方程的概念 当 D2E24F0 时，二元二次方程 x2y2DxEyF0 称为圆的一般方 程 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程() (2)圆的一般方程和标准方程可以互化() (3)方程 x2y2ax2ay2a2a10
3、表示圆心为 a 2，a，半径为 1 2 3a24a4的圆 () 答案(1)(2)(3) 提示(1)正确圆的方程都能写成一个二元二次方程 (2)正确圆的一般方程和标准方程是可以互化的 (3)错误当 a2(2a)24(2a2a1)0，即2a0， 成立则表示圆， 否则不表示圆 (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解 提醒：应用这两种方法时，要注意所给方程是不是 x2y2DxEyF0 这 种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解 跟进训练 2下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径 (1)x2y2x10； (2)x2y22axa20(a0)； (3)2x22y22ax2ay0(a0)
4、 解(1)D1，E0，F1， D2E24F1430， 方程不表示任何图形 (2)D2a，E0，Fa2， D2E24F4a24a20， 方程表示点(a，0) (3)方程两边同除以 2，得 x2y2axay0， Da，Ea，F0，a0，D2E24F2a20， 方程表示圆，它的圆心为 a 2， a 2 ， 半径 r1 2 D2E24F 2 2 |a| 类型 3二元二次方程表示圆的条件 【例 3】已知 aR，方程 a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆，则圆心 坐标是_，半径是_ 12x22y24x4y10 表示圆吗？这个方程是圆的一般方程吗？ 提示这个方程表示圆，但不是圆的一般方程其一般方程为
5、x2y22x 2y1 20 2关于 x，y 的二元二次方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的条件 是什么？ 提示此方程表示圆的条件是：B0；AC0；D2E24AF0 (2，4)5由题可得 a2a2，解得 a1 或 a2 当 a1 时，方程为 x2y24x8y50， 即(x2)2(y4)225，圆心为(2，4)，半径为 5； 当 a2 时，方程为 4x24y24x8y100，即 x1 2 2 (y1)25 4，不 表示圆 故圆心坐标是(2，4)，半径是 5 (变条件)判断方程 ax2ay24(a1)x4y0(a0)是否表示圆，若表示圆， 写出圆心和半径 解法一：a0，原方程可化为 x2y
6、24a1 a x4 ay0， 即 x2a1 a 2 y2 a 2 4a1 21 a2 0， 原方程表示圆，此时圆心坐标为 2a1 a ，2 a ，半径 r2 a 22a2 |a| 法二：a0，原方程可化为 x2y24a1 a x4 ay0 D2E24F16a1 2 a2 16 a2 16a1216 a2 0， 原方程表示圆，此时圆心坐标为 2a1 a ，2 a ，半径 r2 a 22a2 |a| 二元二次方程表示圆的判断方法 二元二次方程中没有 xy 项，若 x2，y2的系数相等且不为 1 时，先化系数为 1， 变为形如 x2y2DxEyF0 的二元二次方程，判断其是否表示圆时有如下两 种方法
7、： (1)由圆的一般方程的定义判断 D2E24F 是否为正，若 D2E24F0，则 方程表示圆，否则不表示圆 (2)将方程配方变成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可 以表示圆 跟进训练 3已知定点 A(a，2)在圆 x2y22ax3ya2a0 的外部，求 a 的取值范 围 解由点 A 在圆外得 a242a232a2a0， 2a2324a2a0， 所以 a2， a9 4， 即 2a9 4， 所以 a 的取值范围是 2，9 4 1已知方程 x2y22x2k30 表示圆，则 k 的取值范围为() A(，1)B(3，) C(，1)(3，)D 3 2， A方程可化为：(x1)2y22k2
8、，只有2k20，即 k1 时才能 表示圆 2若直线 2xym0 过圆 x2y22x4y0 的圆心，则 m 的值为() A2B1C2D0 D圆的标准方程为(x1)2(y2)25，则圆心坐标为(1，2)， 直线 2xym0 过圆 x2y22x4y0 的圆心， 22m0，得 m0 3以 A(3，1)，B(2，2)为直径的圆的方程是() Ax2y2xy80Bx2y2xy90 Cx2y2xy80Dx2y2xy90 A设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2， 由题意得圆心 O(a，b)为 A，B 的中点， 根据中点坐标公式可得 a32 2 1 2，b 12 2 1 2， 又 r|AB| 2 322122
9、 2 34 2 ，所以圆的标准方程为 x1 2 2 y1 2 2 17 2 ，化简整理得 x2y2xy80，故选 A 4方程 x2y2axbyc0 表示圆心为(1，2)，半径为 1 的圆，则 abc _ 2根据题意，方程 x2y2axbyc0 表示圆心为(1，2)，半径为 1 的圆， 则 a 21， b 22， 1 4a 2b24c1， 解得 a2， b4， c4. abc2 5经过三点 A(1，1)，B(1，4)，C(4，2)的圆的一般方程为_ x2y27x3y20设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0，将 A，B， C 三点的坐标代入方程整理可得 DEF2， D4EF17， 4D2EF20
10、， 解得 D7， E3， F2. 故所求圆的一般方程为 x2y27x3y20 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1圆的标准方程与一般方程有何区别与联系？ 提示(1)圆的标准方程明确地表达了圆的几何要素，即圆心坐标与半径 圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，它表现出明显的代数结构形式， 圆心坐标与半径需要运算才能得出来，即可由一般方程的系数 D，E，F 写出圆的 圆心坐标和半径，但要先把二次项的系数化为 1 (2)二者可以互化(如图所示)： 2求圆的方程的基本思想是什么？ 提示求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心坐标和半径，则可直接写 出圆的标准方程，否则可通过圆的标准方程或圆的一般方程用待定系数法求解
