1、模块综合测评(二) (满分：150 分时间：120 分钟) 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知点 A 的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点 B，若 kAB4，则点 B 的坐 标为() A(2,0)或(0，4)B(2,0)或(0，8) C(2,0)D(0，8) B设点 B 的坐标为(0，y)或(x,0) A(3,4)， kABy4 034 或 4 3x4， 解得 y8，x2 点 B 的坐标为(0，8)或(2,0) 2在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1 3，则异面直线 AD1 与 DB1
2、所成角的余弦值为() A1 5 B 5 6 C 5 5 D 2 2 C以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建 立空间直角坐标系，如图所示由条件可知 D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0， 3)， B1(1,1， 3)，所以AD1 (1,0， 3)，DB1 (1,1， 3)，则由向量夹角公式，得 cosAD1 ， DB1 AD1 DB1 |AD1 |DB1 | 2 2 5 5 5 ，即异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦 值为 5 5 ，故选 C 3已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，以 F1，
3、 F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为 A(3,4)，则此双曲线的方程为() Ax 2 16 y2 9 1Bx 2 3 y 2 4 1 Cx 2 9 y 2 161 Dx 2 4 y 2 3 1 C由已知可得交点 A(3,4)到原点 O 的距离为圆的半径， 则半径 r 32425，故 c5， 所以 a2b225，又双曲线的一条渐近线 yb ax 过点 A(3，4)， 故 3b4a联立 a2b225， 3b4a， 解得 a3， b4， 故选 C 4若圆 x2y22x4ym0 截直线 xy30 所得弦长为 6，则实数 m 的值为() A1B2 C4D31 C由圆 x2y22x4ym0，即(x1
4、)2(y2)25m， 圆心为(1，2)，圆心在直线 xy30 上， 此圆直径为 6，则半径为 3， 5m32，m4， 故实数 m 的值为4 5已知点 A(0,1,0)，B(1,0，1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若 PA平面 ABC， 则点 P 的坐标为() A(1,0，2)B(1,0,2) C(1,0,2)D(2,0，1) C点 A(0,1,0)，B(1,0，1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)， PA (x,1，z)，AB(1，1，1)，AC (2,0,1)， PA平面 ABC， PA ABx1z0 PA AC 2xz0 ， 解得 x1，z2， 点 P 的坐标为(1,0,2)
5、 6如图，在四面体 ABCD 中，点 M 是棱 BC 上的点，且 BM2MC，点 N 是棱 AD 的中点若MN xAB yAC zAD ，其中 x，y，z 为实数，则 xyz 的值是 () A1 9 B1 8 C1 9 D1 8 CBM2MC，点 N 是棱 AD 的中点 MB 2 3BC ，AN 1 2AD， 又BC AC AB ， MN MB BA AN 2 3(AC AB )AB 1 2AD 1 3AB 2 3AC 1 2AD ， 又MN xAB yAC zAD ， 比较两式，则其中 x1 3，y 2 3，z 1 2， xyz 1 3 2 3 1 2 1 9 7两点 A(a2，b2)和 B
6、(ba，b)关于直线 4x3y11 对称，则 a，b 的值为() Aa1，b2Ba4，b2 Ca2，b4Da4，b2 DA、B 关于直线 4x3y11 对称，则 kAB3 4， 即 b2b a2ba 3 4， 且 AB 中点 b2 2 ，1 在已知直线上，代入得 2(b2)311， 解组成的方程组得 a4， b2. 8设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，点 A 为 C 上一点，以 F 为圆心，FA 为半径的圆交 l 于 B，D 两点，若FBD30，ABD 的面积为 8 3，则 p() A1B 2 C 3D2 D设 l 与 x 轴交于 H(图略)，且 F p 2，0，l：x
7、p 2， 因为FBD30，在直角三角形 FBH 中， 可得|FB|2|FH|2p， 所以圆的半径为|FA|FB|FD|2p， |BD|2|BH|2 3p， 由抛物线的定义知，点 A 到准线 l 的距离为 d|FA|2p， 所以ABD 的面积为1 2|BD|d 1 22 3p2p8 3， 解得 p2 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分 5 分，部分选对的得 3 分，有选 错的得 0 分 9已知直线 l1：ax2y80 与 l2：x(a1)ya210 平行，则实数 a 的可能取值是() A1B0 C1D2 AD直
8、线 l1：ax2y80 与 l2：x(a1)ya210 平行， a 1 2 a1 8 a21， 解得 a2 或 a1， 实数 a 的取值是1 或 2 10设椭圆 C：x 2 4 y 2 3 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆 C 上一 动点，则下列说法中正确的是() A当点 P 不在 x 轴上时，PF1F2的周长是 6 B当点 P 不在 x 轴上时，PF1F2面积的最大值为 3 C存在点 P，使 PF1PF2 DPF1的取值范围是1,3 ABD由椭圆方程可知，a2，b 3， 从而 c a2b21 据椭圆定义，PF1PF22a4， 又 F1F22c2， 所以PF1F2的周长是 6
9、，A 项正确 设点 P(x0，y0)(y00)，因为 F1F22， 则 SPF1F21 2F 1F2y0y0 因为 0y0b 3，则PF1F2面积的最大值为 3，B 项正确 由椭圆可知，当点 P 为椭圆 C 短轴的一个端点时，F1PF2为最大 此时，PF1PF2a2，又 F1F22， 则PF1F2为正三角形，F1PF260， 所以不存在点 P， 使 PF1PF2，C 项错误 当点 P 为椭圆 C 的右顶点时，PF1取最大值，此时 PF1ac3； 当点 P 为椭圆 C 的左顶点时，PF1取最小值，此时 PF1ac1， 所以 PF11,3，D 项正确， 故选：ABD 11设有一组圆 C：(x1)2
10、(yk)2k4(kN*)，下列四个命题正确的是 () A存在 k，使圆与 x 轴相切 B存在一条直线与所有的圆均相交 C存在一条直线与所有的圆均不相交 D所有的圆均不经过原点 ABD对于 A：存在 k，使圆与 x 轴相切kk2(kN*)有正整数解k0 或 k1，故 A 正确； 对于 B：因为圆心(1，k)恒在直线 x1 上，故 B 正确； 对于 C：当 k 取无穷大的正数时，半径 k2也无穷大，因此所有直线与圆都相 交，故 C 不正确； 对于 D：将(0,0)代入得 1k2k4，即 1k2(k21)，因为右边是两个相邻整 数相乘为偶数，而左边为奇数，故方程恒不成立，故 D 正确 12已知 AB
11、CDA1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是() A(A1A A1D1 A1B1 )23A1B1 2 BA1C (A1B1 A1A )0 C向量AD1 与向量A1B 的夹角是 60 D正方体 ABCDA1B1C1D1的体积为|AB AA 1 AD | AB由向量的加法得到：A1A A1D1 A1B1 A1C ， A1C23A1B21，A1C 23A1B1 2，所以 A 正确； A1B1 A1A AB1 ，AB1A1C， A1C AB1 0，故 B 正确； ACD1是等边三角形，AD1C60， 又 A1BD1C， 异面直线 AD1与 A1B 所成的夹角为 60， 但是向量AD1 与向量A1B
12、 的夹角是 120， 故 C 不正确；ABAA1，AB AA 1 0， 故|AB AA 1 AD |0，因此 D 不正确 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线 上 13平面向量 a(x,2)，b(x，x1)，若 ab，则 x；若 ab， 则 x(第一空 2 分，第二空 3 分) 0 或 31 3若 ab，则 x(x1)2x0， 得 x(x12)x(x3)0，得 x0 或 x3， 若 ab，则 x22(x1)0 得 x22x20， 则 x2 48 2 22 3 2 1 3 14如图，ABCDA1B1C1D1是棱长为 6 的正方体，E，F 分别是棱 AB，B
13、C 上的动点，且 AEBF当 A1，E，F，C1四点共面时，平面 A1DE 与平面 C1DF 所成二面角的余弦值为 1 2 以 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间 直角坐标系(图略)，则 A1(6,0,6)，E(6,3,0)，F(3,6,0)，C1(0,6,6)设平面 A1DE 的 法向量为 n1(a，b，c)，依题意得 n1DE 6a3b0， n1DA1 6a6c0， 令 a1，则 c1，b2，所以 n1(1,2,1) 同理得平面 C1DF 的一个法向量为 n2(2，1,1)， 由题图知，平面 A1DE 与平面 C1DF 所成二面角的余弦值为|n1n
14、2| |n1|n2| 1 2 15若 x，yR，且 x 1y2，则y2 x1的取值范围是 3 4，3x 1y2x2y21(x0)，此方程表示半圆，如图，设 P(x，y) 是半圆上的点，则y2 x1表示过点 P(x，y)，Q(1，2)两点直线的斜率设切线 QA 的斜率为 k，则它的方程为 y2k(x1)从而由 |k2| k211，解得 k 3 4又 kBQ3，所求范围是 3 4，3 16已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别 F 1，F2，过点 F1的直线 与椭圆交于 P，Q 两点若PF2Q 的内切圆与线段 PF2在其中点处相切，与 PQ 相切于点 F1，则椭圆的离心率为
15、3 3 可设PF2Q 的内切圆的圆心为 I，M 为切点，且为中点， 可得PF2Q 为等腰三角形， 设|PF1|m，|PF2|n，可得 mn2a， 由切线的性质可得 m1 2n， 解得 m2a 3 ，n4a 3 ， 设|QF1|t，|QF2|2at， 由 t2at2a 3 ，解得 t2a 3 ， 则PF2Q 为等边三角形， 即有 2c 3 2 4a 3 ， 即有 ec a 3 3 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 17(本小题满分 10 分)已知圆 C1：x2y24x2y0 与圆 C2：x2y22y 40 (1)求证：两圆相交； (2)求两圆公
16、共弦所在直线的方程 解(1)证明：圆 C1：x2y24x2y0 与圆 C2：x2y22y40 化为 标准方程分别为圆 C1：(x2)2(y1)25 与圆 C2：x2(y1)25，则圆心坐 标分别为 C1(2，1)与 C2(0,1)，半径都为 5，故圆心距为 202112 2 2，又 02 2b0)上一点 M 向 x 轴作垂线，恰 好通过椭圆的左焦点 F1，且它的长轴的一个端点 A，短轴的一个端点 B 的连线 AB 平行于 OM (1)求椭圆的离心率； (2)设 Q 是椭圆上任一点，F2是椭圆的右焦点，求F1QF2的取值范围 解(1)依题意知 F1坐标为(c,0)， 设 M 点坐标为(c，y)
17、若 A 点坐标为(a,0)，则 B 点坐标为(0，b)， 则直线 AB 的斜率 kb a (A 点坐标为(a,0)，B 点坐标为(0，b)时，同样有 kb a) 则有 y c b a ，ybc a 又点 M 在椭圆x 2 a2 y2 b21 上， c 2 a2 y2 b21 由得c 2 a2 1 2， c a 2 2 ， 即椭圆的离心率为 2 2 (2)当点 Q 与椭圆长轴的端点重合时，F1QF20， 当点 Q 与椭圆长轴的端点不重合时，|设|QF1|m， |QF2|n，F1QF2，则 mn2a，|F1F2|2c 在F1QF2中，cos m 2n24c2 2mn mn 22mn2a2 2mn
18、a2 mn1 a2 mn 2 210 当且仅当 mn 时，等号成立， 0cos 1，又(0，)， 即F1QF2的取值范围是 0， 2 21(本小题满分 12 分)如图 1，梯形 ABCD 中，ABCD，过 A，B 分别作 AECD，BFCD，垂足分别为 E，FABAE2，CD5，已知 DE1，将 梯形 ABCD 沿 AE，BF 同侧折起，得空间几何体 ADEBCF，如图 2 图 1图 2 (1)若 AFBD，证明：DE平面 ABFE； (2)若 DECF，CD 3，线段 AB 上存在一点 P，满足 CP 与平面 ACD 所 成角的正弦值为 5 20，求 AP 的长 解(1)证明：由已知得四边形
19、 ABFE 是正方形，且边长为 2，连接 BE（图 略） ，AFBE， 由已知得 AFBD，BEBDB， AF平面 BDE， 又 DE平面 BDE，AFDE， 又 AEDE，AEAFA，DE平面 ABFE (2)在图 2 中，AEDE，AEEF，DEEFE， 即 AE平面 DEFC，在梯形 DEFC 中， 过点 D 作 DMEF 交 CF 于点 M，连接 CE， 由题意得 DM2，CM1，由勾股定理可得 DCCF，则CDM 6，CE 2， 过点 E 作 EGEF 交 DC 于点 G，可知 GE，EA，EF 两两垂直， 以 E 为坐标原点，以EA ， EF，EG 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的
20、正方向建立空间 直角坐标系， 则 A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,1， 3)， D 0，1 2， 3 2 ， AC (2,1， 3)，AD 2，1 2， 3 2 ， 设平面 ACD 的一个法向量为 n(x，y，z)， 由 nAC 0， nAD 0， 得 2xy 3z0， 2x1 2y 3 2 z0， 取 x1 得 n(1，1， 3)， 设 APm，则 P(2，m,0)，(0m2)， 得CP (2，m1， 3)， 设 CP 与平面 ACD 所成的角为， sin |cosCP ，n| |m| 5 7m12 5 20m 2 3 所以 AP2 3 22(本小题满分 12 分)平面直角坐标系
21、 xOy 中，椭圆：x 2 a2 y2 b21(ab0) 的离心率是 3 2 ，抛物线 E：x24y 的焦点 F 是椭圆 C 的一个顶点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 l 不经过 F，且与 C 相交于 A，B 两点，若直线 FA 与 FB 的斜率之 和为1，证明：l 过定点 解(1)抛物线 E：x24y 的焦点 F(0,1)是椭圆 C 的一个顶点， 可得 b1，由 ec a 1b 2 a2 3 2 ， 解得 a2， 则椭圆方程为x 2 4 y21 (2)证明：当斜率不存在时，设 l：xm， A(m，yA)，B(m，yA)， 直线 FA 与直线 FB 的斜率的和为1， kFAkFBy
22、A1 xA yB1 xB yA1 m yA1 m 1， 解得 m2，此时 l 过椭圆右顶点， 不存在两个交点，故不满足； 当斜率存在时，设 l：ykxt，(t1)，A(x1，y1)， B(x2，y2)， 联立 ykxt x24y24 ，整理，得(14k2)x28ktx4t240， x1x2 8kt 14k2，x 1x24t 24 14k2， 直线 FA 与 FB 直线的斜率的和为1， kFAkFBy11 x1 y21 x2 x1kx2t1x2kx1t1 x1x2 2kx1x2t1x1x2 x1x2 1 代入得 2k t11， t2k1，此时64k，存在 k， 使得0 成立， 直线 l 的方程为 ykx2k1， 当 x2 时，y1， l 过定点(2，1)
