1、课时分层作业(二十一)双曲线的标准 方程 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1双曲线x 2 m y2 m51 的焦距为( ) A2 5B 5 C5D10 Am50，0m5，方程化为标准方程为x 2 m y2 5m1， c2m5m5，2c2 5 2双曲线x 2 25 y2 9 1 上的点到一个焦点的距离为 12，则到另一个焦点的距 离为() A22 或 2B7 C22D5 Aa225，a5由双曲线定义得|PF1|PF2|10，由题意知|PF1| 12，|PF1|PF2|10，|PF2|22 或 2 3已知双曲线的一个焦点坐标为( 6，0)，且经过点(5,2)，则双曲线的标 准方程为() Ax
2、 2 5 y21By 2 5 x21 Cx 2 25y 21 Dx 2 4 y 2 2 1 A依题意可设双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)， 则有 a2b26， 25 a2 4 b21， 解得 a25， b21， 故双曲线标准方程为x 2 5 y21 4 已知双曲线x 2 m y2 n 1(mn0)和椭圆x 2 5 y 2 4 1 有相同的焦点， 则1 m 4 n的 最小值为() A2B4C6D9 D椭圆x 2 5 y 2 4 1 是焦点在 x 轴上的椭圆， 且 c2541 双曲线x 2 m y2 n 1(mn0)和椭圆有相同的焦点 mn1(mn0)，1 m 4 n 1 m
3、4 n (mn)5n m 4m n 52 n m 4m n 9 当且仅当n m 4m n ，即 m1 3，n 2 3时取等号， 1 m 4 n的最小值为 9 5已知点 M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆 C 与直线 MN 切于点 B，过 M、 N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P，则 P 点的轨迹方程为() Ax2y 2 8 1(x1)Bx2y 2 101(x0) Cx2y 2 8 1(x0)Dx2y 2 101(x1) A设过点P的两切线分别与圆切于S， T， 则|PM|PN|(|PS|SM|)(|PT| |TN|)|SM|TN|BM|BN|22a，所以曲线为双曲线的右支且不能
4、与 x 轴相交，a1，c3，所以 b28， 故 P 点的轨迹方程为 x2y 2 8 1(x1) 二、填空题 6已知点 F1、F2分别是双曲线x 2 a2 y2 9 1(a0)的左、右焦点，P 是该双曲 线上的一点，且|PF1|2|PF2|16，则PF1F2的周长是 34因为|PF1|2|PF2|16， 所以|PF1|PF2|16882a， 所以 a4，又 b29，所以 c225，所以 2c10 PF1F2的周长为|PF1|PF2|F1F2|1681034 7已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的两个焦点为 F 1(2，0)，F2(2,0)，点 P(3， 7)在双曲线上，则双曲线方
5、程为 x2 2 y 2 2 1|PF1| 322 724 2， |PF2| 322 722 2， |PF1|PF2|2 22a，所以 a 2， 又 c2，故 b2c2a22 所以双曲线方程为x 2 2 y 2 2 1 8已知定点 A 的坐标为(1,4)，点 F 是双曲线x 2 4 y2 121 的左焦点，点 P 是 双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为 9由双曲线的方程可知 a2，设右焦点为 F1，则 F1(4,0)|PF|PF1|2a 4，即|PF|PF1|4，所以|PF|PA|PF1|PA|4|AF1|4，当且仅当 A， P，F1三点共线时取等号，此时|AF1|41242 255
6、，所以|PF| |PA|AF1|49，即|PF|PA|的最小值为 9 三、解答题 9已知方程 kx2y24，其中 kR，试就 k 的不同取值讨论方程所表示的 曲线类型 解(1)当 k0 时，方程变为 y2，表示两条与 x 轴平行的直线； (2)当 k1 时，方程变为 x2y24，表示圆心在原点，半径为 2 的圆； (3)当 k0 时，方程变为y 2 4 x2 4 k 1，表示焦点在 y 轴上的双曲线； (4)当 0k1 时，方程变为x 2 4 k y 2 4 1，表示焦点在 y 轴上的椭圆 10根据下列条件，求双曲线的标准方程 (1)经过点 P(4，2)和点 Q(2 6，2 2)； (2)c
7、6，经过点(5,2)，焦点在 x 轴上 解(1)设双曲线方程为 mx2ny21(mn0) 点 P(4，2)和点 Q(2 6，2 2)在双曲线上， 16m4n1， 24m8n1， 解得 m1 8， n1 4， 双曲线的方程为x 2 8 y 2 4 1 (2)法一：依题意可设双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0) 依题设有 a2b26， 25 a2 4 b21， 解得 a25， b21. 所求双曲线的标准方程为x 2 5 y21 法二：焦点在 x 轴上，c 6， 设所求双曲线方程为x 2 y2 61(其中 06) 双曲线经过点(5,2)， 25 4 61，5 或30(舍去) 所求双曲
8、线的标准方程是x 2 5 y21 11(多选题)已知双曲线 8kx2ky28 的焦距为 6，则 k 的值为() A1B2 C1D2 AC由 8kx2ky28 得x 2 1 k y 2 8 k 1，因为焦距为 6，所以 c3 若焦点在 x 轴上，则1 k 8 k 9 kc 29，k1 若焦点在 y 轴上，故方程可化为 y2 8 k x2 1 k 1，k0 8 k 1 k9，k1 12设 F1，F2是双曲线 x2 y2 241 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于() A4 2B8 3C24D48 C由 |PF1|PF2|2， 3|PF1|4|PF
9、2|， 可解得 |PF1|8， |PF2|6. 又由|F1F2|10 可得PF1F2是直角三角形， 则 SPF1F21 2|PF 1|PF2|24 13(一题两空)椭圆 y2 49 x2 241 与双曲线 y 2x2 241 有公共点 P，则 P 与椭 圆两焦点连线构成三角形的周长为， P 与双曲线两焦点连线构成三角形 面积为 2424由已知椭圆与双曲线具有共同的焦点 F1(0,5)，F2(0，5)， 由椭圆与双曲线的定义可得 |PF1|PF2|14， |PF1|PF2|2， 所以 |PF1|8， |PF2|6 或 |PF1|6， |PF2|8. 又|F1F2|10，PF1F2为直角三角形，F
10、1PF290，所以周长为|PF1| |PF2|F1F2|141024，SF1PF21 2|PF 1|PF2|24 14设双曲线与椭圆x 2 27 y2 361 有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的 坐标为( 15，4)，则此双曲线的方程为 y2 4 x 2 5 1法一：椭圆x 2 27 y2 361 的焦点坐标是(0，3)，根据双曲线的定 义，知 2a| 15212 15272|4，故 a2又 b2c2a25，故所求 双曲线的方程为y 2 4 x 2 5 1 法二： 椭圆x 2 27 y2 361 的焦点坐标是(0， 3) 设双曲线方程为 y2 a2 x2 b21(a0， b0)，则 a2b
11、29， 16 a2 15 b21，解得 a 24，b25故所求双曲线的方程为y2 4 x2 5 1 法三：设双曲线方程为 x2 27 y2 361(270，b0)的左焦点 F 引圆 x 2y2a2的切线，切点 为 T，延长 FT 交双曲线右支于点 P，若 M 是线段 PF 的中点，O 为原点，则|MO| |MT|的值是 ba如图所示，设双曲线的右焦点为 F1，连接 PF1， 则|PF|PF1|2a，在 RtFTO 中，|OF|c， |OT|a，所以|FT| |OF2|OT2| c2a2b，又 M 是线段 PF 的中点， O 为 FF1中点， 所以|PF|2|MF|2(|MT|b)， 所以|MO|1 2|PF 1|1 2(|PF|2a) 1 2(2|MT|2b2a)|MT|ba， 即|MO|MT|ba
