1、1.2.2空间中的平面与空间向量 学 习 任 务核 心 素 养 1理解平面的法向量的概念，会求平面 的法向量(重点) 2会用平面的法向量、直线的方向向量 证明直线与平面、平面与平面的平行、 垂直问题(重点) 3 理解并会应用三垂线定理及其逆定理 证明有关垂直问题(难点) 1通过本节知识的学习，培养数学抽象 素养 2借助向量法证明有关平行与垂直问 题，提升逻辑推理、数学运算素养 牌楼，与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝在园林、寺观、 宫苑、陵墓和街道常有建造旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种， 多设于要道口牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大如图，牌楼的柱子与地 面是垂直的，如
2、果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平 行这是为什么呢？ 知识点 1平面的法向量 (1)如果是空间中的一个平面，n 是空间中的一个非零向量，且表示 n 的有向 线段所在的直线与平面垂直，则称 n 为平面的一个法向量，此时也称 n 与平面 垂直，记作 n 1平面的法向量有多少个？它们之间什么关系？ 提示无数个平行 2一个平面的法向量与此平面共面的所有向量间有什么关系？ 提示垂直 (2)平面的法向量的性质 如果直线 l 垂直于平面，则直线 l 的任意一个方向向量都是平面的一个法 向量 如果 n 是平面的一个法向量，则对任意的实数0，空间向量n 也是平面 的一个法向量，而且平面的任
3、意两个法向量都平行 如果 n 为平面的一个法向量，A 为平面上一个已知的点，则对于平面上 任意一点 B，向量AB 一定与向量 n 垂直，即 nAB 0，从而可知平面的位置可由 n 和 A 唯一确定 (3)如果 v 是直线 l 的一个方向向量，n 是平面的一个法向量，则 nvl， nvl，或 l (4)如果 n1是平面1的一个法向量，n2是平面2的一个法向量，则 n1n2 12，n1n212，或1与2重合 1(1)若直线 l 的方向向量为 a(1，0，2)，平面的法向量为 u(2， 0，4)，则() AlBl ClDl 与斜交 (2)平面的一个法向量为(1，2，0)，平面的一个法向量为(2，1，
4、0)，则平 面与平面的位置关系为() A平行B相交但不垂直 C垂直D不能确定 (1)B(2)C(1)a(1，0，2)，u2(1，0，2)2a，u 与 a 平行， l (2)(1，2，0)(2，1，0)0，两法向量垂直，从而两平面垂直 知识点 2三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影 垂直，则它也和这条斜线垂直 (2)三垂线定理的逆定理： 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直， 则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直 定理中的已知直线必须是已知平面内的直线 2思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)已知直线 l 垂直于平面，向量
5、a 与直线 l 平行，则 a 是平面的一个法向 量() (2)若直线 l 是平面外的一条直线，直线 m 垂直于 l 在平面内的投影，则 l 与 m 垂直() (3)一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量() 答案(1)(2)(3) 提示(1)不一定当 a0 时，也满足 al，尽管 l 垂直于平面，a 也 不是平面的法向量 (2)不一定若直线 m 在平面外，例如 m，尽管 m 垂直于直线 l 在平 面内的投影，也不能得出 ml (3) 类型 1求平面的法向量 【例 1】 如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为矩形， PA平面 ABCD， E 为 PD 的中点，ABAP1
6、，AD 3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面 ACE 的一个法向量 解在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA平面 ABCD， 以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，AP 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A(0，0，0)，C(1，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，1)， E 0， 3 2 ，1 2 ，AE 0， 3 2 ，1 2 ，AC (1，3，0)， 设平面 ACE 的法向量 n(x，y，z)， 则 nAE 3 2 y1 2z0， nAC x 3y0， 取 y 3，得 n(3， 3，3) 平面 ACE 的一个法向量为 n(
7、3， 3，3) 求平面的法向量的步骤 跟进训练 1如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB60， AB2AD2，PD底面 ABCD，且 PDAD，求平面 PAB 的一个法向量 解因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得 BD 3AD， 从而 BD2AD2AB2，故 BDAD，以 D 点为坐标原点，射线 DA，DB，DP 为 x，y，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz， 则 A(1，0，0)，B(0，3，0)， P(0，0，1) AB (1，3，0)，PB(0，3，1)， 设平面 PAB 的法向量为 n(x，y，z)， 则 nAB ， nPB ， 即 nAB
8、0， nPB 0， 即 x 3y0， 3yz0， 因此可取 n( 3，1， 3) 平面 PAB 的一个法向量为( 3，1， 3) 类型 2利用法向量证明空间中的位置关系 【例 2】如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，M 分别为棱 BB1， CD，AA1的中点 证明：(1)C1M平面 ADE； (2)平面 ADE平面 A1D1F 利用空间向量证明线面平行和垂直问题的依据是什么？ 提示因为直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线和平面的位置关 系，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间线面、面面间的 平行和垂直关系 (1)设 v 是直线 l 的一个方向向量，n 是
9、平面的一个法向量，则： nvl； nvl，或 l (2)设 n1是平面1的一个法向量，n2是平面2的一个法向量，则： n1n212； n1n212，或1与2重合 证明(1)以 D 为原点，向量DA ， DC ，DD1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的 正方向建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为 1 则 D(0，0，0)，A(1，0，0)，E 1，1，1 2 ，C1(0，1，1)，M 1，0，1 2 ，DA (1， 0，0)，DE 1，1，1 2 ，C1M 1，1，1 2 设平面 ADE 的一个法向量为 m(a，b，c)， 则 mDA 0， mDE 0， 即 a0， ab1 2c0.
10、令 c2，得 m(0，1，2)， mC1M (0，1，2) 1，1，1 2 0110， C1M m 又 C1M平面 ADE，C1M平面 ADE (2)由 D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，F 0，1 2，0， 得D1A1 (1，0，0)，D1F 0，1 2，1， 设平面 A1D1F 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则 nD1A1 0， nD1F 0， 即 x0， 1 2yz0. 令 y2，则 n(0，2，1) mn(0，1，2)(0，2，1)0220， mn平面 ADE平面 A1D1F 1 (变结论)本例条件不变， 试求直线 D1E 的一个方向向量和平面 EFM 的一个 法向量 解如
11、本例建系定坐标，D1(0，0，1)， E 1，1，1 2 ，M 1，0，1 2 ， 所以D1E 1，1，1 2 ，即直线 D1E 的一个方向向量 设平面 EFM 的法向量为 n(x，y，z)， 因为 F 0，1 2，0，所以EF 1，1 2， 1 2 ，EM (0，1，0)， 由 nEF 0， nEM 0， 即 x1 2y 1 2z0， y0. 所以 z2x， y0， 令 x1，则 z2 所以平面 EFM 的一个法向量为(1，0，2) 2 (变条件， 变结论)在本例中设 D1B1的中点为 N， 其他条件不变 试证： EN 平面 B1AC 证明如本例解析，E 1，1，1 2 ，N 1 2， 1
12、2，1， A(1，0，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0) EN 1 2， 1 2， 1 2 ，AB1 (0，1，1)， AC (1，1，0)， EN AB1 0，EN AC 0， EN AB1 ，EN AC ，即 ENAB1，ENAC 又 AB1ACA，EN平面 B1AC 利用向量法证明空间中的位置关系，关键是建立坐标系，用坐标向量，证法 的核心是利用向量的数量积或数乘运算. 提醒：解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示. 跟进训练 2 如图， 四边形 ABCD 为正方形， PD平面 ABCD， PDQA， QAAB1 2PD 1 证明：(1)PQ平面 DCQ； (2)PC平面
13、BAQ 证明如图，以 D 为坐标原点，DA，DP，DC 所在直线分别为 x 轴、y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz (1)依题意有 Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则DQ (1，1，0)，DC (0，0，1)，PQ (1，1，0)， 所以PQ DQ 0，PQ DC 0， 即 PQDQ，PQDC 且 DQDCD，故 PQ平面 DCQ (2)根据题意得，DA (1，0，0)，AB (0，0，1)， AQ (0，1，0)，故有DA AB 0，DA AQ 0， 所以DA 为平面 BAQ 的一个法向量 又因为PC (0，2，1)，且DA PC 0， 即 DAPC，且 P
14、C平面 BAQ， 故有 PC平面 BAQ 类型 3三垂线定理及其逆定理的应用 【例 3】 如图， 已知在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 连接 BD1， AC， CB1， B1A， 求证：BD1平面 AB1C 证明连接 BD，A1B，四边形 ABCD 是正方形， ACBD 又 DD1平面 ABCD， BD 是斜线 BD1在平面 ABCD 上的射影， BD1AC，而 A1B 是 BD1在平面 ABB1A1内的射影， BD1AB1又 AB1ACA， BD1平面 AB1C 利用三垂线定理证明线线垂直的关键点与注意点 (1)关键点：找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜线的射影 (2)注意点：要
15、注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件， 就会产生错误结果 跟进训练 3在四面体 PABC 中，PABC，PBAC，求证：PCAB 证明如图，过 P 作 PH平面 ABC，连接 AH 并延长交 BC 于 E， 连接 BH 并延长交 AC 于 F， PH平面 ABC，PABC， 而 PA 在平面 ABC 内的射影为 AH，由三垂线定理的逆定理知 BCAH， 同理可证 BFAC则 H 为ABC 的垂心，连 CH 并延长交 AB 于 G， 于是 CGAB，而 CH 是 PC 在平面 ABC 内的射影，故 PCAB 1若直线 l 的方向向量 a(1，2，1)，平面的一个法向量 m(2，
16、4， k)，若 l，则实数 k() A2B10C2D10 A直线 l 的方向向量 a(1，2，1)， 平面的法向量 m(2，4，k)，l， am， 1 2 2 4 1 k ，解得 k2 2已知平面的一个法向量为 a(1，2，2)，平面的一个法向量为 b( 2，4，k)，若，则 k() A4B4C5D5 D，ab，ab1(2)2(4)(2)k0，k5 3若两个向量AB (1，2，3)，AC (3，2，1)，则平面 ABC 的一个法向量为 () A(1，2，1)B(1，2，1) C(1，2，1)D(1，2，1) A设平面 ABC 的一个法向量 n(x，y，z)， 则 nAB x2y3z0， nAC
17、 3x2yz0. 取 x1，得平面 ABC 的一个法向量为(1，2，1) 4已知直线 l 与平面垂直，直线 l 的一个方向向量 u(1，3，z)，向量 v (3，2，1)与平面平行，则 z_ 9由题意知 uv，uv36z0z9 5设平面的一个法向量的坐标为(1，2，2)，平面的一个法向量的坐标为 (2，4，k)，若，则 k 等于_ 4，两平面的法向量平行， 1 2 2 4 2 k ，k4 回顾本节知识，自我完成以下问题 1平面的法向量有何特点？ 提示设向量 n 是平面的一个法向量则 (1)n 是一个非零向量 (2)向量 n 与平面垂直 (3)平面的法向量有无数多个，它们都与向量 n 平行，方向相同或相反 (4)给定空间中任意一点 A 和非零向量 n，可确定唯一一个过点 A 且垂直于向 量 n 的平面 2用向量法证明空间线面平行和垂直问题有何优势？ 提示利用向量法来解决有关直线与平面、平面与平面的关系问题，不必考 察图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到证明的结果 3利用三垂线定理证明线线垂直的步骤是什么？ 提示(1)找平面(基准面)及平面的垂线 (2)找射影线(平面上的直线与斜线) (3)证明射影线与直线垂直，从而得线线垂直，更进一步证明线面垂直或面面 垂直
