1、正方形正方形 教学目标教学目标 1了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质和判定定理；(重点) 2会利用正方形的性质和判定进行相关的计算和证明(证明) 教学过程教学过程 一、情境导入一、情境导入 如图所示，把可以活动的矩形框架 ABCD 的 BC 边平行移动，使矩形的邻边 AD，DC 相等，观察这时矩形 ABCD 的形状 如图所示，把可以活动的菱形框架 ABCD 的A 变为直角，观察这时菱形 ABCD 的 形状 图中图形的变化可判断矩形 ABCD特殊的四边形是什么四边形？图中图形变化 可判断菱形 ABCD特殊的四边形是什么四边形？经过观察， 你发现既是矩形又是菱形的图 形是什么四边形？ 引
2、入正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即：有一组邻边相等的矩形是正方形 或有一个角是直角的菱形是正方形 二、合作探究二、合作探究 探究点一：正方形的性质 【类型一】利用正方形的性质求角度 例 1：四边形 ABCD 是正方形，ADE 是等边三角形，求BEC 的大小 解析： 等边ADE 可以在正方形的内部， 也可以在正方形的外部， 因此本题分两种情况 解： 当等边ADE 在正方形 ABCD 外部时， 如图， ABAE， BAE9060150， AEB15 同理可得DEC15 BEC60151530； 当等边ADE 在正方
3、形 ABCD 内部时，如图，ABAE，BAE906030， AEB75 同理可得DEC75 BEC360757560150 综上所述，BEC 的大小为 30或 150 易错提醒：因为等边ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以边相等本题分两种情 况：等边ADE 在正方形的外部或在正方形的内部 【类型二】利用正方形的性质求线段长 例 2：如图，正方形 ABCD 的边长为 1 cm，AC 为对角线，AE 平分BAC，EFAC， 求 BE 的长 解析：线段 BE 是 RtABE 的一边，但由于 AE 未知，不能直接用勾股定理求 BE，由条 件可证ABEAFE，问题转化为求 EF 的长，结合已知
4、条件易求解 解：四边形 ABCD 为正方形， B90，ACB45，ABBC1 cm EFAC， EFAEFC90 又ECF45， EFC 是等腰直角三角形， EFFC BAEFAE，BEFA90，AEAE， ABEAFE， ABAF1 cm，BEEF FCBE 在 RtABC 中， AC AB2BC2 1212 2(cm)， FCACAF( 21)cm， BE( 21)cm 方法总结： 正方形被对角线分成 4 个等腰直角三角形， 因此在正方形中解决问题时常用 到等腰三角形的性质与直角三角形的性质 【类型三】利用正方形的性质证明线段相等 例 3：如图，已知过正方形 ABCD 的对角线 BD 上一
5、点 P，作 PEBC 于点 E，PFCD 于点 F求证：APEF 解析：由 PEBC，PFCD 知四边形 PECF 为矩形，故有 EFPC，这时只需说明 AP CP，由正方形对角线互相垂直平分可知 APCP 证明：连接 AC，PC 四边形 ABCD 为正方形， BD 垂直平分 AC， APCP PEBC，PFCD，BCD90， 四边形 PECF 为矩形， PCEF，APEF 方法总结：(1)在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等；(2)无论是正方 形还是矩形，经常连接对角线，这样可以使分散的条件集中 探究点二：正方形的判定 【类型一】先证明是矩形再证明是正方形 例 4：已知：如图所示
6、，在 RtABC 中，C90，BAC，ABC 的平分线交于点 D， DEBC 于点 E，DFAC 于点 F求证：四边形 CEDF 是正方形 解析：欲证明四边形 CEDF 是正方形，先根据C90，DEBC，DFAC，证明四 边形 CEDF 是矩形，再证明一组邻边相等即可 证明：过点 D 作 DGAB 于点 G DFAC，DEBC， DFCDEC90 又C90， 四边形 CEDF 是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形) AD 平分BAC，DFAC，DGAB， DFDG 同理可得 DEDG，DEDF 四边形 CEDF 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形) 方法总结：正方形的判定方法有很多，可以先
7、证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等 或对角线互相垂直；或先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等 【类型二】先证明是菱形再证明是正方形 例 5：如图，EG，FH 过正方形 ABCD 的对角线的交点 O，且 EGFH求证：四边形 EFGH 是正方形 解析：已知 EGFH，要证四边形 EFGH 为正方形，则只需要证四边形的对角线 EG， HF 互相平分且相等即可，根据题意可通过三角形全等来证 OEOHOGOF 证明：四边形 ABCD 为正方形， OBOC，ABOBCO45，BOC90COHBOH EGFH， BOEBOH90， COHBOE， CHOBEO，OEOH 同理可证：OEOF
8、OG， OEOFOGOH 又EGFH， 四边形 EFGH 为菱形 EOGOFOHO，即 EGHF， 四边形 EFGH 为正方形 方法总结：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 探究点三：正方形的性质和判定的综合运用 例 6：已知：如图，点 E，F，P，Q 分别是正方形 ABCD 的四条边上的点，并且 AF BPCQDE 求证：(1)EFFPPQQE； (2)四边形 EFPQ 是正方形 解析：(1)证明APFDFECEQBQP，即可证得 EFFPPQQE；(2)由 EFFPPQQE，可判定四边形 EFPQ 是菱形又由APFBQP，易得FPQ90， 即可证得四边形 EFPQ 是正方形 证明：(
9、1)四边形 ABCD 是正方形，ABCD90，ABBCCD ADAFBPCQDE，DFCEBQAP在APF 和DFE 和CEQ 和BQP 中， AFDECQBP， ADCB， APDFCEBQ， APFDFECEQBQP(SAS)， EFFPPQQE； (2)EFFPPQQE，四边形 EFPQ 是菱形APFBQP，AFP BPQAFPAPF90，APFBPQ90，FPQ90，四边形 EFPQ 是正方形 方法总结： 此题考查了正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质 注意解题的 关键是证得APFDFECEQBQP 探究点四：正方形、菱形、矩形与平行四边形的综合运用 例 7：如图，ABC 中，
10、点 P 是 AC 边上一个动点，过 P 作直线 EFBC，交ACB 的 平分线于点 E，交ACB 的外角ACD 平分线于点 F (1)请说明：PEPF； (2)当点 P 在 AC 边上运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？为什么？ (3)在(2)的条件下，ABC 满足什么条件时，四边形 AECF 是正方形？为什么？ (4)当点 P 在边 AC 上运动时，四边形 BEFC 可能是菱形吗？请说明理由 解：(1)CE 平分BCA，12EFBC，E1，E2，EP PC同理 PFPC，EPPF； (2)当点 P 在 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形PAPC，PEPF，四边形 AECF 是平行四边形又ECF1 2BCD90，平行四边形 AECF 是矩形； (3)当ACB90时，四边形 AECF 是正方形ACB90，ACBCEFBC， ACEF，平行四边形 AECF 是正方形； (4)四边形 BECF 不可能是菱形ECF90，EFCF，四边形 BECF 不可能是 菱形 三、课堂小结三、课堂小结 经历正方形性质和判定的探索过程， 发展学生初步的综合推理能力， 主动探究的学习习 惯，逐步掌握说理的基本方法理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问 题的观点
