1、7-2-2.较复杂的乘法原理.题库教师版page1of8 7-2-27-2-2 较复杂的乘法原理较复杂的乘法原理 教学目标教学目标 1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法； 2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系 3.培养学生准确分解步骤的解题能力； 乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯 知识要点知识要点 一、乘法原理概念引入 老师周六要去给同学们上课， 首先得从家出发到长宁上8点的课， 然后得赶到黄埔去上下午1点半的课 如 果说申老师的家到长宁有 5 种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、
2、自行车、步行），然后再从长宁到 黄埔有 2 种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？ 我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔这几个环节是必不可少的，老师是一定 要先到长宁上完课，才能去黄埔的在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显 而易见一共是 10 条路线但是要是老师从家到长宁有 25 种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有 30 种 可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了这个时候我们的乘法原 理就派上上用场了 二、乘法原理的定义 完成一件事，这个事情可以分成 n 个必不可少的步
3、骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么 一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第 1 步有 A 种不同的方法，第 二步有 B 种不同的方法，第 n 步有 N 种不同的方法那么完成这件事情一共有 ABN 种不同的 方法 结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要 2 个步骤，第 1 步是从家到长宁，一共 5 种 选择；第 2 步从长宁到黄埔，一共 2 种选择；那么老师从家到黄埔一共有 52 个可选择的路线了，即 10 条 三、乘法原理解题三部曲 1、完成一件事分 N 个必要步骤； 2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）； 3、步步相乘 四
4、、乘法原理的考题类型 1、路线种类问题比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题； 2、 字的染色问题比如说要 3 个字， 然后有 5 种颜色可以给每个字然后， 问 3 个字有多少种染色方法； 3、地图的染色问题同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张 包括几个部分的地图有几种染色的方法； 7-2-2.较复杂的乘法原理.题库教师版page2of8 4、排队问题比如说 6 个同学，排成一个队伍，有多少种排法； 5、数码问题就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法 例题精讲例题精讲 模块一、乘法原理之组数问题 【例【例 1】由数字由数
5、字 1、2 可以组成多少个两位数？可以组成多少个两位数？ 由数字由数字 1、2 可以组成多少个没有重复数字的两位数？可以组成多少个没有重复数字的两位数？ 【考点】复杂乘法原理【难度】1 星【题型】解答 【解析】组成两位数要分两步来完成：第一步，确定十位上的数字，有2 种方法；第二步确定个位上的数字， 有 2 种方法根据乘法原理，由数字 1、2 可以组成 22=4 个两位数，即 11，12，21，22 组成没有重复数字的两位数要分两步来完成：第一步，确定十位上的数字，有 2 种方法；第二步 确定个位上的数字，因为要组成没有重复数字的两位数，因此十位上用的数字个位上不能再用，因 此第二步只有 1
6、种方法，由乘法原理，能组成 21=2 个两位数，即 12，21 【答案】42 【巩固】【巩固】 由由 3、6、9 这这 3 个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 由由 3、6、9 这这 3 个数字可以组成多少个三位数？个数字可以组成多少个三位数？ 【考点】复杂乘法原理【难度】2 星【题型】解答 【解析】分三步完成：第一步排百位上的数，有 3 种方法；第二步排十位上的数，有 2 种方法；第三步， 排个位上的数，有 1 种方法，由乘法原理，3、6、9 这 3 个数字可以组成32 16 个没有重复数字 的三位数 分三步完成，即分别排百位、十位、个位上的
7、数字，每步有 3 种方法，由乘法原理，由 3、6、9 这 3 个数字一共可以组成3 3 327 个三位数 【答案】627 【例【例 2】 用数字用数字 0，1，2，3，4 可以组成多少个：可以组成多少个： 三位数？三位数？ 没有重复数字的三位数？没有重复数字的三位数？ 【考点】复杂乘法原理【难度】2 星【题型】解答 【解析】 组成三位数可分三步完成第一步，确定百位上的数字，因为百位不能为 0，所以只有 4 种选择 第二步确定十位,所有数字都可以，有5种选择；第三步确定个位，也是5种选择。共有45 5100 种选择。 也分三步完成第一步，百位上有 4 种选择；第二步确定十位，除了百位上已使用的数
8、字不能用， 其他四个数字都可以，所以有 4 种方法；第三步确定个位，除了百位和十位上已使用过的数字，还 有 3 种选择根据乘法原理，可以组成44348 个没有重复数字的三位数 【答案】10048 【巩固】【巩固】 由四张数字卡片：由四张数字卡片：0，2，4，6 可以组成可以组成 _个不同的三位数。个不同的三位数。 【考点】复杂乘法原理【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】千位选法有 3 种，百位 3 种，十位 2 种，个位 1 种，乘法原理 3321=18 个 【答案】18个 【巩固】【巩固】 用五张数字卡片：用五张数字卡片：0，2，4，6，8 能组成能组成_
9、个不同的三位数。个不同的三位数。 【考点】复杂乘法原理【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第 8 题 【解析】443=48 个 【答案】48个 【例【例 3】 有五张卡有五张卡，分别写有数字分别写有数字 1、2、4、5、8现从中取出现从中取出 3 张卡片张卡片，并排放在一起并排放在一起，组成一个三位数组成一个三位数， 问：可以组成多少个不同的偶数？问：可以组成多少个不同的偶数？ 7-2-2.较复杂的乘法原理.题库教师版page3of8 【考点】复杂乘法原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】分三步取出卡片首先因为组成的三位数是偶数，个位数字只能是偶数，所以先选取最右边的
10、也就 是个位数位置上的卡片，有 2、4、8 三种不同的选择；第二步在其余的 4 张卡片中任取一张，放在 最左边的位置上，也就是百位数的位置上，有 4 种不同的选法；最后从剩下的 3 张卡片中选取一张， 放在中间十位数的位置上，有 3 种不同的选择根据乘法原理，可以组成 343=36 个不同的三位偶 数 【答案】36 【例【例 4】 有有 5 张卡，分别写有数字张卡，分别写有数字 2，3，4，5，6如果允许如果允许 6 可以作可以作 9 用，那么从中任意取出用，那么从中任意取出 3 张卡片张卡片， 并排放在一起问：并排放在一起问： 可以组成多少个不同的三位数？可以组成多少个不同的三位数？ 可以组
11、成多少个不同的三位偶数？可以组成多少个不同的三位偶数？ 【考点】复杂乘法原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】 先考虑 6 只能当 6 的情况最后总的个数只要在这个基础上乘以 2 就可以了，分三步取出卡片: 第 一步确定百位，有 5 种选择；第二步确定十位，除了百位上已使用的数字不能用，其他 4 个数字都 可以，所以有 4 种方法；第三步确定个位，除了百位和十位上已使用过的数字，还有 3 种选择根 据乘法原理，考虑 6 可以当作 9，可以组成5432120 （个）不同的三位数 先考虑 6 只能当 6 的情况，分三步取出卡片首先因为组成的三位数是偶数，个位数字只能是偶 数，所以先选取最右边的也
12、就是个位数位置上的卡片，有 2、4、6 三种不同的选择；第二步在其余 的 4 张卡片中任取一张，放在十位数的位置上，有 4 种不同的选法；最后从剩下的 3 张卡片中选取 一张，放在百位数的位置上，有 3 种不同的选择根据乘法原理，6 只是 6 时，可以组成34336 （个）不同的三位偶数这时候算所求的三位偶数并不是简单乘以 2 就可以的，因为如果个位是 6 的话变成 9 就不再是偶数，多乘的还需要减去，个位是 6 一共有4312（个）不同的三位偶数， 所以，可以组成3621260（个）不同的三位偶数 【答案】12060 【例【例 5】 用用 1、2、3 这三个数字可以组成多少个不同的三位数？如
13、果按从小到大的顺序排列这三个数字可以组成多少个不同的三位数？如果按从小到大的顺序排列，213 是第几个是第几个 数？数？ 【考点】复杂乘法原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】排百位、十位、个位依次有 3 种、2 种、1 种方法,故一共有 321=6(种)方法,即可以组成 6 个不同三 位数.它们依次为 123,132,213,231,312,321故 213 是第 3 个数 【答案】6 个；第 3 个 【巩固】【巩固】 有一些四位数，它们由有一些四位数，它们由 4 个互不相同且不为零的数字组成，并且这个互不相同且不为零的数字组成，并且这 4 个数字和等于个数字和等于 12.将所有这样将所有
14、这样 的四位数从小到大依次排列，第的四位数从小到大依次排列，第 35 个为个为 【考点】复杂乘法原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】4 个互不相同且不为 0 的数字之和等于 12，只有两种可能：1+2+3+6 或者 1+2+4+5根据乘法原理， 每种情况可组成 4321=24 个不同的四位数，一共可组成 48 个不同的四位数要求从小到大排列 的第 35 个数，即求从大到小排列的第 14 个数我们从千位最大的数开始往下数：千位最大可以取 6，而千位是 6 的数共有 32=6 个；接下来是 5，千位为 5 的数也有 6 个所以第 13 个数应为 4521， 第 14 个是 4512，答案为 4
15、512 【答案】4512 【例【例 6】 对于由对于由 15 组成的无重复数字的五位数组成的无重复数字的五位数，如果它的首位数字不是如果它的首位数字不是 1，那么可以进行如下的一次置换那么可以进行如下的一次置换 操作：记首位数字为操作：记首位数字为 k，则将数字，则将数字 k 与第与第 k 位上的数字对换例如，位上的数字对换例如，24513 可以进行两次置换：可以进行两次置换： 245134251312543可以进行可以进行 4 次置换的五位数有次置换的五位数有个个 【考点】【难度】星【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛，12 题 【解析】【解析】要进行4次置换，设首位为a(a不为1，
16、有4种选择)，那么第1次与a置换的第a位上的数可能为1和 a，有3种选择；设与a置换的为b，现在b在首位，此时要与b置换的第6位上的数可能为1，a， b，有2种选择；设与b置换的为c，则此时c在首位，那么此时与c置换的数组成为1，a，b，c， 只有1种选择；设为d，那么最后只能是d与1置换.所以要进行4次置换共有432 124 种方法， 那么共有24个数可以进行四次置换. 另解：也可以反过来考虑，进行4次置换后，2，3，4，5四个数分别在第2，3，4，5位上，那 么1只能在首位上，故经过4次置换后得到的数必定是12345.1与2，3，4，5中的某个数置换一次 有4种选择，这个数与其它的3个数置
17、换有3种选择也可以得到符合条件的数有432 124 7-2-2.较复杂的乘法原理.题库教师版page4of8 个. 【答案】24个 【例【例 7】 将将 1332，332，32，2 这四个数的这四个数的 10 个数码一个一个的划掉，要求先划位数最多的数的最小数码个数码一个一个的划掉，要求先划位数最多的数的最小数码， 共有多少种不同的划法？共有多少种不同的划法？ 【考点】复杂乘法原理【难度】4 星【题型】解答 【解析】从小到大一步一步的分步划，遇到出现岔路的情况分类考虑从位数最多的 1332 开始： 划掉 1332 中的 1，剩下 332，332，32，2 四个数； 划掉位数最多的 332 中的
18、 2，有 2 种不同的顺序，划掉后剩下 33，33，32，2 四个数； 划掉 32 中的 2，剩下 33，33，3，2； 两个 33 中，各划掉一个 3，有 42=8 种划掉的顺序，之后剩下 3，3，3，2 四个数； 划掉 2 后，剩下 3，3，3，有 32=6 种划掉的顺序 根据乘法原理，共有不同的划法：286=96 种 【答案】96 种 【巩固】【巩固】 一个三位数一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它就称它“吃掉吃掉”另一个另一个 三位数三位数，例如例如：532 吃掉吃掉 311，123 吃掉吃掉
19、123，但但 726 与与 267 相互都不被吃掉相互都不被吃掉问问：能吃掉能吃掉 678 的三的三 位数共有多少个？位数共有多少个？ 【考点】复杂乘法原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】即求百位数不小于 6，十位数不小于 7，个位不小于 8 的自然数百位数不小于 6，有 4 种；十位数不 小于7，有3 种；个位不小于8，有2 种由乘法原理，能吃掉678 的三位数共有43224 种 【答案】24 【例【例 8】 如果一个四位数与一个三位数的和是如果一个四位数与一个三位数的和是1999，并且四位数和三位数是由，并且四位数和三位数是由7个不同的数字组成的，那个不同的数字组成的，那 么，这样的四
20、位数最多能有多少个？么，这样的四位数最多能有多少个？ 【考点】复杂乘法原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】四位数的千位数字是1由于这个四位数与三位数的相同位数上的数字之和小于19，所以这个四位 数与三位数的相同位数上的数字之和均等于9这两个数的其他数字均不能为8 四位数的百位数字a可在0、2、3、4、5、6、7中选择(不能是 9)，有 7 种选择，这时三位数的 百位数字是9a；四位数的十位数字b可在剩下的6个数字中选择，三位数的十位数字是9b四 位数的个位数字c可在剩下的4个数字中选择，三位数的个位数字是9c因此，根据乘法原理， 这样的四位数有764=168 个 【答案】168 【例【例
21、9】 用用 19 可以组成可以组成_个不含重复数字的三位数；如果再要求这三个数字中任何两个的差不能个不含重复数字的三位数；如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是是 1，那么可以组成，那么可以组成_个满足要求的三位数？个满足要求的三位数？ 【考点】复杂乘法原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】1) 987=504 个 2）504-（6+5+5+5+5+5+5+6）6-76=210 个； （减去有 2 个数字差是 1 的情况，括号里 8 个数分别表示这 2 个数是 12，23，34，45，56，67，78， 89 的情况，6 是对 3 个数字全排列，76 是三个数连续的 123、234、345
22、、456、567、789 这 7 种 情况） 【答案】504；210 【例【例 10】用数字用数字1 8各一个组成各一个组成 8 位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是 3 的倍数共有的倍数共有 种组成方法种组成方法 【考点】复杂乘法原理【难度】3 星【题型】解答 【关键词】走美杯 【解析】1 8中被三除余 1 和余 2 的数各有 3 个，被三整除的数有 2 个，根据题目条件可以推导，符合条件 的排列，一定符合“被三除所得余数以 3 位周期”，所以 8 个数字，第 1、4、7 位上的数被 3 除同余， 第 2、5、8 位上的数被 3 除同余，第 3
23、、6 位上的数被 3 除同余，显然第 3、6 位上的数被 3 整除， 第 1、4、7 位上的数被 3 除可以余 1 也可以余 2，第 2、5、8 位上的数被 3 除可以余 2 可以余 1，余 数的安排上共有 2 种方法，余数安排定后，还有同余数之间的排列，一共有3! 3! 2!144（种）方 法 7-2-2.较复杂的乘法原理.题库教师版page5of8 【答案】144 【例【例 11】电子表用电子表用11:35表示表示11点点35分分， 用用06:05表示表示6点点5分分， 那么那么2点到点到10点之间电子表中出现无重复点之间电子表中出现无重复 数字的时刻有数字的时刻有_次次 【考点】复杂乘法
24、原理【难度】4 星【题型】解答 【解析】根据题意，在 2 点到 10 点之间，表示小时数的二位数字前一位只能为 0，后一位可以为 29；表示 分钟数的二位数字前一位可以为 05， 后一位可以为 09， 再考虑到无重复数字， 当时间为 2 点多、 3 点多、4 点多或 5 点多时，每一种情况下，表示分钟数的两位数字中前一位有624种选择，后 一位数字有1037种选择，此时有4728种可能，比如02:ab时，a可以为 1，3，4，5，b就 剩下1037种可以选择所以这几种情况下共有284112种 类似分析可知，当时间为 6 点多、7 点多、8 点多、9 点多时，每种情况下都有5735种，共有 35
25、4140种 所以共112140252种 【答案】252 【巩固】一种电子表在一种电子表在 8 时时 31 分分 25 秒时显示为秒时显示为 25 831：，那么从，那么从 7 时到时到 8 时这段时间里，此表的时这段时间里，此表的 5 个数字都个数字都 不相同的时刻一共有不相同的时刻一共有_个。个。 【考点】复杂乘法原理【难度】4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 14 题 【解析】设 A:BCDE是满足题意的时刻，有 A 为 8，B、D 应从 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字中选择两个不 同的数字，所以有 2 6 P种选法，而 C、E 应从剩下的 7 个数字中选择两个
26、不同的数字，所以有 2 7 P种 选法，所以共有 2 6 P 2 7 P=1260 种选法 从 8 时到 9 时这段时间里，此表的 5 个数字都不相同的时刻一共有 1260 个 【答案】1260个 模块二、车票问题 【例【例 12】北京到上海之间一共有北京到上海之间一共有 6 个站，车站应该准备多少种不同的车票？个站，车站应该准备多少种不同的车票？(往返车票算不同的两种往返车票算不同的两种) 【考点】复杂乘法原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】京沪线上中间六个站连北京上海两站一共有 8 个站，不同的车票上起点站可以有 8 种，相同的起点 站又可以配 7 种不同的终点站，所以一共要准备 87
27、=56 种不同的车票 【答案】56 【巩固】【巩固】 一条线段上除了两个端点还有一条线段上除了两个端点还有 6 个点，那么这段线段上可以有多少条线段？个点，那么这段线段上可以有多少条线段？ 【考点】复杂乘法原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】将这条线段看作是京沪线，点是车站，那么，每一条线段都对应两张来回车票，所以线段的总数是 562=28 条线段 【答案】28 【巩固】【巩固】 某次大连与庄河路线的火车，一共有某次大连与庄河路线的火车，一共有 6 个停车点，铁路局要为这条路线准备多少种不同的车票？个停车点，铁路局要为这条路线准备多少种不同的车票？ 【考点】复杂乘法原理【难度】3 星【题型
28、】解答 【解析】不同的车票上起点站可以有 6 种，相同的起点站又可以配 5 种不同的终点站，所以一共要准备 6530种不同的车票 【答案】30 【巩固】【巩固】 北京到广州之间有北京到广州之间有 10 个站个站，其中只有两个站是大站其中只有两个站是大站(不包括北京不包括北京、广州广州)，从大站出发的车辆可以配从大站出发的车辆可以配 卧铺，那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？卧铺，那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？ 【考点】复杂乘法原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】京广线上一共有 12 个站，其中有四个大站，卧铺车的起点可以有四种，不同的起点站都可以配 11 个不同的终点站，所以铁路
29、局要准备 411=44 种不同的车票 【答案】44 模块三、排队问题 7-2-2.较复杂的乘法原理.题库教师版page6of8 【例【例 13】奥运吉祥物中的奥运吉祥物中的5个个“福娃福娃”取取“北京欢迎您北京欢迎您”的谐音的谐音：贝贝贝贝、晶晶晶晶、欢欢欢欢、迎迎迎迎、妮妮妮妮如果在盒子如果在盒子 中从左向右放中从左向右放5个不同的个不同的“福娃福娃”，那么，有，那么，有种不同的放法种不同的放法 【考点】复杂乘法原理【难度】3 星【题型】解答 【关键词】希望杯 【解析】可得5432 1120 （种） 【答案】120 【例【例 14】五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排
30、成一排表演节目。如果贝贝五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。如果贝贝 和妮妮不相邻，共有和妮妮不相邻，共有()种不同的排法。种不同的排法。 【考点】复杂乘法原理【难度】3 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 6 题 【解析】贝贝在左、妮妮在右相邻的排法有 4321=24（种），贝贝在右、妮妮在左相邻的排法也有 4321=24（种），总的排法 54321=120（种）。所以贝贝和妮妮不相邻的排法是 120-224=72 （种）。 【答案】72种 【例【例 15】一台晚会上有一台晚会上有 6 个演唱节目和个演唱节目和 4 个舞蹈节目问：个舞蹈节目问：
31、 如果如果 4 个舞蹈节目要排在一起，有多少种不个舞蹈节目要排在一起，有多少种不 同的安排顺序同的安排顺序? 如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安 排顺序排顺序? 【考点】复杂乘法原理【难度】3 星【题型】解答 【关键词】仁华学校 【解析】将 4 个舞蹈节目视为 1 个节目， 七个节目一起排列一共有765432 15040 个， 但舞蹈节 目还有432 124 种排列所以一共有504024120960种 优先安排将 6 个演唱节目顺序， 一共有65432 1720 种方法， 然后将 4 个舞蹈节
32、目按顺序安 插到 6 个演唱节目前后不同位置，包括首尾一共有617 个位置可供 4 个舞蹈节目安插，共有 7654840 个安插方式，所以一共有720 840604800种排列方式 【答案】604800 【例【例 16】 新年联欢会共有新年联欢会共有8个节目个节目，其中有其中有3 个非歌唱类节目个非歌唱类节目。排列节目单时规定排列节目单时规定，非歌唱类节目不相邻非歌唱类节目不相邻，而且第而且第 一个和最后一个节目都是歌唱类节目。则节目单可有一个和最后一个节目都是歌唱类节目。则节目单可有种不同的排法。种不同的排法。 【考点】复杂乘法原理【难度】4 星【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，
33、第 10 题 【解析】 方法一：乘法原理： 第一步：先从 5 个歌唱节目里选出 2 个排在最左面和最右面，共有 2 5 20P （种） ； 第二步： 将非歌唱类打包当成一个节目， 此时中间共需排列 3+1， 对他们进行排列有： 4 4 24P （种） ； 第三步：对打包后的非歌唱类节目进行全排列，有 3 3 6P （种） 分步，共有： 243 543 2880P P P （种） 。 方法二： 第一步：将 5 个歌唱类节目进行全排列，有 5 5 120P （种） ； 第二步：使用插板法，中间有 4 个空格，将相邻的 3 个非歌唱类节目插入，这 3 个非歌唱类节目也 要进行全排列，则有：则有 33
34、 43 24C P （种） 。所以共有： 533 543 2880P C P （种） 【答案】2880种 【例【例 17】爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶。若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶。若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入座 方法方法? 【考点】复杂乘法原理【难度】3 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 4 题 【解析】方法一：第一人落座后，考察左邻的人，有 3 种选择，第二人落座后，考察左邻的人有 3 种选择， 所以共有 32=6 种选择。 方法二：第一人落座有 4 个位置可选，第一人落座后，坐在他的左面的有三种情况，
35、而每种情况另 一人的左邻又有两种，所以共有 43224 种方法，但由于是圆桌，只考虑相邻情况，不考虑具体 坐在哪一面，所以只有 2446 种入座方法。 7-2-2.较复杂的乘法原理.题库教师版page7of8 【答案】6种 【例【例 18】四对夫妇围一圆桌吃饭，要求每对夫妇两人都要相邻，那么一共有多少安排座位的方法？四对夫妇围一圆桌吃饭，要求每对夫妇两人都要相邻，那么一共有多少安排座位的方法？(如果某如果某 种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种) 【考点】复杂乘法原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】方法一：方法
36、一：事实上如果没有括号中的条件，那么所得的答案是原题答案的八分之一，因为符合原题的 所有不同排法都通过旋转可以得到 8 种各不相同的安排方法所以可以先求出改掉括号中条件的题 目答案对于改编后的题，显然所有的安排方法分为两大类，如右图所示，每个椭圆中是一对，对 于其中的一类，例如右图，第一步，确定 1 号位的人选：8 种，那么 2 号位只能是他(她)的妻子(丈 夫)；第二步确定 3 号位的人选：6 种，那么 4 号位只能是坐 3 号位的妻子或丈夫，如此，对于 右图可以有8642384 种排法，同理左图也有 384 种排法，一共是 768 种排法那么对于有括 号中条件的题目一共有768896种排法
37、 所以用1 3的小长方形形覆盖3 8的方格网，共有 13 种不同的盖法 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 方法二：方法二：由于括号中的条件让人很为难，对于一种新的排法，还要将它旋转，看它是否和之前的排 法是否相同，当然也可以将所有排法都转到一个特殊的角度，以判断这些排法是否有相同的，所以 可以定义一个特殊角度：先将四对夫妇编号，然后规定对于每一种排法 1 号夫妇面南坐是它的特殊 角度，那么如果两种排法都转到特殊角度后，还不完全一样，那么这两种排法就无论如何也不能通 过旋转得到相同的排法，所以只要求出特
38、殊角度下的不同排法数，第一步先将 4 对夫妻的整体位置 安排好，当然 1 号夫妻已经排好了，安排另 3 对夫妻一共有32 16 种排法，如图所示： ? 1 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 4 ? 2 ? 3 ? 1 ? 3 ? 4 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? 4 ? 1 ? 2 ? 4 ? 3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 对于以上每一种排法，夫妻之间都可以交换位置，所以一共有6222296 种排法 【答案】96 【巩固】【巩固】3 个个 3 口之家在一起举行家庭宴会，围一桌吃饭，要求一家人不可以被拆开，那么一共有多少种排口之家在一起举行家庭宴会，围一桌吃饭，要求一家人不可以被拆
39、开，那么一共有多少种排 法？法？(如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种) 【考点】复杂乘法原理【难度】3 星【题型】解答 【解析】使用原题的方法二会更方便：共(2 1)(32 1)(32 1)(32 1)432 种 【答案】432 【例【例 19】编号为编号为 1 到到 10 的十张椅子顺时针均匀地绕圆桌一圈摆放的十张椅子顺时针均匀地绕圆桌一圈摆放5 对夫妇入座，要求男女相隔而坐，每对夫妇入座，要求男女相隔而坐，每 对夫妇不能相邻或对面而坐，有对夫妇不能相邻或对面而坐，有种入座的分配方式种入座的分配方式
40、 ? 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 【考点】复杂乘法原理【难度】3 星【题型】解答 【关键词】日本小学算术奥林匹克，初赛 【解析】假设有位丈夫坐在 1 号位，那么所有的丈夫都坐在奇数号位，妻子则坐在偶数号位由于妻子不能 7-2-2.较复杂的乘法原理.题库教师版page8of8 与丈夫相邻和相对，所以她不能坐在 2，6，10 号位上，只能坐在 4 号位或 8 号位上也就是说妻子 只能坐在丈夫的顺时针或者逆时针方向数第 3 个位子上 可以发现，丈夫和妻子的位子的这一关系对每一对夫妇和每一个座位都适用 对于其中的某一个丈夫，他可以坐在 1 到 10 号
41、的任意一个位子上，有 10 种选择 不妨设他坐在 1 号位上，那么他的妻子只能坐在 4 号位或 8 号位上假如坐在 4 号位上，那么对于 坐在 7 号位上的丈夫，他的妻子只能坐在 10 号位上；而对于坐在 3 号位上的丈夫，他的妻子只能坐 在 6 号位上；那么对于坐在 9 号位上的丈夫，他的妻子只能坐在 2 号位；对于坐在 5 号位上的丈夫， 他的妻子只能坐在 8 号位 可见，只要一对夫妇的位置确定，那么其他 4 对夫妇的位置关系也就确定了，也就是说，只要确定 了其他 4 位丈夫的座位，那么整个座位分配就确定了由于 4 位丈夫之间的位置关系是不确定的， 所以有4!24种 同样地，如果坐 1 号位的丈夫的妻子坐在 8 号位上，也有 24 种所以这名丈夫坐在 1 号位上共有 24248种 那么这名丈夫坐在其它位置上也各有 48 种由于每个座位都是编过号的，各个座位互不相同，每一 名丈夫和妻子也都不相同，所以不会出现重复的情况，所以满足题意的分配方式有48 10480种 【答案】480
