1、7-8-2.几何计数（二）.题库教师版page1of10 7-8-2.7-8-2.几何计数（二几何计数（二） 教学目标教学目标 1.掌握计数常用方法； 2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用 容斥原理的计数思想 知识要点知识要点 一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图 分平面所成的区域数等等这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些 处理方法的常用的方法有枚举法、加法原理和
2、乘法原理法以及递推法等n 条直线最多将平面分成 2 1 223(2) 2 nnn个部分； n 个圆最多分平面的部分数为 n(n-1)+2； n 个三角形将平面最多分成 3n(n-1)+2 部分；n 个四边形将平面最多分成 4n(n-1)+2 部分 在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等解题时需要仔细审题、 综合所学知识点逐步求解 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先 后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关 二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有 n+1 个点(包括两个端点)（或含有 n 个“基本线段”） ，
3、那么这 n+1 个点把这条 线段一共分成的线段总数为 n+(n-1)+2+1 条 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法） ，因为 DE 上有 15 条线段，每条线段的 两端点与点 A 相连，可构成一个三角形，共有 15 个三角形，同样一边在 BC 上的三角形也有 15 个，所以图 中共有 30 个三角形 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形） ，若其横边上共有 n 条线段， 纵边上共有 m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个 例题精讲例题精讲 7-8-2.几何计数（二）.题库教师
4、版page2of10 模块二、复杂的几何计数 【例【例 1】如下图在钉子板上有如下图在钉子板上有 16 个点个点，每相邻的两个点之间距离都相等每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形用绳子在上面围正方形，你可以得你可以得 到到个正方形个正方形 【考点】复杂的几何计数【难度】4 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，2 年级，第 4 题 【解析】先看横着的正方形如下图，可以得到94114 个正方形，再看斜着的正方形如下图可以得到 4 个正方形，如下图可以得到 2 个正方形这样一共可以得到144220个正方形 图形计数 【答案】20个 【巩固】【巩固】如图，如图，44的方格纸上放了的方格纸
5、上放了 16 枚棋子，以棋子为顶点的正方形有枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个个 【解析】根据正方形的大小，分类数正方形共能组成五种大小不同的正方形(如右图) 1 1的正方形：9 个；22的正方形：4 个；3 3的正方形：1 个； 以1 1正方形对角线为边长的正方形：4 个；以1 2长方形对角线为边长的正方形：2 个 故可以组成9414220 (个)正方形 【巩固】【巩固】下下图是图是 33 点阵点阵，同一行同一行(列列)相邻两个点的距离均为相邻两个点的距离均为 1。以点阵中的三个点为顶点构成三角形以点阵中的三个点为顶点构成三角形，其中其中 面积为面积为 1 的形状不同的三角形有的形状不同的三角
6、形有种。种。 【考点】复杂的几何计数【难度】4 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 11 题 【解析】在本题中，三角形的面积是 1，底和高只能一个是 1，一个是 2，可以有以下三种情况： 【答案】 【例【例 2】一块木板上有一块木板上有 13 枚钉子（如左下图枚钉子（如左下图） 。用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，。用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形， 梯形，等等（如右下图梯形，等等（如右下图） 。请回答：可以构成多少个正方形？。请回答：可以构成多少个正方形？ 7-8-2.几何计数（二）.题库教师版page3of10 【考点】复杂的几何计数【难
7、度】4 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，试题，第 2 题 【解析】如下图所示，可以将正方形分为四类，分别有 5 个、1 个、4 个、1 个，共 11 个。 【答案】11个 【例【例 3】在在 33 的方格纸上的方格纸上（如图如图 1） ，用铅笔涂其中的用铅笔涂其中的 5 个方格个方格，要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都 是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。 例如图例如图 2 和图和图 3 是相同类型的涂法。回答最多
8、有多少种不同类型的涂法？说明理由。是相同类型的涂法。回答最多有多少种不同类型的涂法？说明理由。 【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，第 10 题，10 分 【解析】不同类型的涂法有 3 种，如下图 A 说明：所涂 5 个阴影方格分布在 3 行中，只有一行涂有 3 个阴影方格同样，仅有一列涂有 3 个 阴影方格所以，仅有一个方格，它所在的行和列均有 3 个阴影方格，有这种性质的方格称为“特 征阴影方格”“特征阴影方格”在 33 正方格纸中的位置，就唯一地决定了 33 的方格纸的涂法“特 征阴影方格”在方格纸的角上（图 A 左边）、外边中间的方格（图 A 中间
9、）和中心的方格（图 A 右边） 三个位置确定了只有 3 种类型的涂法 【答案】3种 【例【例 4】在下面的图中，包含苹果的正方形一共有在下面的图中，包含苹果的正方形一共有个个 【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，1 年级，第 4 题 【解析】包含 1 个基本正方形的带苹果正方形有 1 个，包含 4 个基本正方形的带苹果正方形有 4 个，包含 9 个基本正方形的带苹果正方形有 6 个，包含 16 个基本正方形的带苹果正方形有 2 个，所以共有 146213(个) 图形的计数方法之分类计数 【答案】13个 【巩固】【巩固】图中，不含图中，不含“A”的正方形有的正方
10、形有个。个。 【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】填空 7-8-2.几何计数（二）.题库教师版page4of10 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】面积为 1 的有 15 个，面积为 4 的有 7 个，面积为 3 的有 2 个，共 24 个. 【答案】24 【巩固】【巩固】图中，不含图中，不含“A”的正方形有的正方形有_个。个。 【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 10 题 【解析】面积为 1 的有 15 个，面积为 4 的有 5 个，面积为 9 的没有，所以不含 A 的有 20 个. 【答案】20个 【例【例 5】在下图中，
11、不包含在下图中，不包含的长方形有的长方形有_个个 【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】解答 【关键词】学而思杯，4 年级，第 4 题 【解析】【解析】根据乘法原理，所有长方形总数为(1+2+3+4+5+6)(1+2+3+4+5+6)=441(个)，包含的长方形有 3344=144(个)，所以不包含的长方形有 22 77 9 1621 219 16441 144297CC (个) 【答案】297个 【例【例 6】如图，其中同时包括两个如图，其中同时包括两个的长方形有的长方形有个个 【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】解答 【解析】先找出同时包括两个的最小长方形，然后其余所有满足题
12、目要求的长方形都必须包括该最小长方 形根据乘法原理 2223=24（种）不同的长方形 【答案】24个 【例【例 7】图中含有图中含有“”的长方形总共有的长方形总共有_个个 ? ? 【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】根据本题特点，可采用分类的方法计数按长方形的宽分类，数出含号的长方形的个数 含有左上号的长方形有：66618个， 其中，宽为 1(即高度为一层)的含号的长方形为：6 个； 宽为 2(即高度为两层)的含号的长方形为：6 个； 宽为 3(即高度为三层)的含号的长方形为：6 个； 含有右上号的长方形有：662624个， 其中，宽为 1(即高度为一层)的含号的
13、长方形为：6 个； 宽为 2(即高度为两层)的含号的长方形为：62个； 宽为 3(即高度为三层)的含号的长方形为：6 个； 同时含有两个号的重复计算了，应减去，同时含有两个号的长方形有：448个， 7-8-2.几何计数（二）.题库教师版page5of10 其中，宽为 2(即高度为两层)的含号的长方形为：4 个； 宽为 3(即高度为三层)的含号的长方形为：4 个； 所以，含有号的长方形总共有：1824834个 【答案】34个 【例【例 8】在图中，包含在图中，包含A的三角形一共有的三角形一共有个。个。 【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，2 年级，第 5 题 【
14、解析】包含五角星的三角形中含一个基本三角形的有1个；含四个基本三角形的有4个；含9个基本三角形 的有3个；含16个基本三角形的有1个。这样包含五角星的三角形一共有14319 （个） 。 【答案】9 【例【例 9】右图中有右图中有?个正方形，个正方形，?个三角形，包含个三角形，包含的三角形有的三角形有?个个 ? 【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，2 年级，第 7 题 【解析】正方形：正着的方块有 4 个小的，1 个大的，斜的方块有 4 个小的，1 个大的；以正方形共有 10 个。 三角形：小号的三角形有 16 个，其中有 1 个包含 中号的三角形有 16 个，
15、其中有 2 个包含 大号的三角形有 8 个，其中有 3 个包含 特大号的三角形有 4 个，其中有 2 个包含 所以三角形有 44 个，包含的有 8 个 【答案】正方形10个，三角形44个，包含的有 8 个 【例【例 10】下图是下图是 55 的方格纸的方格纸，小方格为边长小方格为边长 1 厘米的正方形厘米的正方形，图中共有图中共有_个正方形个正方形，所有这些正所有这些正 方形的面积之和为方形的面积之和为_。 【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 14 题 【解析】图中面积为 1、4、9、16、25 平方厘米的正方形分别有 25、16、9、4、1
16、个，共有 55 个小正方形， 所有小正方形的面积和为 259. 【答案】55个，面积和为259 【例【例 11】由由 20 个边长为个边长为 1 的小正方形拼成一个的小正方形拼成一个45长方形中有一格有长方形中有一格有“”图中含有图中含有“”的所有长方形的所有长方形 （含正方形）共有（含正方形）共有个，它们的面积总和是个，它们的面积总和是 【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】解答 【关键词】走美杯，6 年级，决赛，10 题 【解析】根据鼠标法，左上角共有 6 个点，右下角有 8 个点，所以共有长方形有6 848（个） 面积总和为:(12233445)(122334)360 【答案】长方
17、形48个，面积和为360 7-8-2.几何计数（二）.题库教师版page6of10 【例【例 12】图中内部有阴影的正方形共有图中内部有阴影的正方形共有个。个。 【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第 10 题 【解析】面积为 1 的正方形有 8 个，面积为 4 的正方形有 8 个，面积为 9 的正方形有 8 个，面积为 16 的正方 形有 2 个，共计 26 个. 【答案】26个 【例【例 13】在图中在图中(单位：厘米单位：厘米)： 一共有几个长方形一共有几个长方形? 所有这些长方形面积的和是多少所有这些长方形面积的和是多少? 【考点】简单的几
18、何计数【难度】3 星【题型】解答 【解析】一共有(4321)(4321)100(个)长方形； 所求的和是 51281(512)(128)(81)(5128)(1281)(51281) 2473(24)(47)(73)(247)(473)(2473) 144 8612384(平方厘米) 【答案】 （1）100， （2）12384 【巩固【巩固】如图如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为边界上各条线段的长度依次为 5 厘米厘米、7 厘米厘米、9 厘米厘米、 2 厘米和厘米和 4 厘米、厘米、6 厘米、厘米、5 厘米、厘米、1 厘米求图中长
19、方形的个数，以及所有长方形面积的和厘米求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和 【考点】简单的几何计数【难度】3 星【题型】解答 【解析】利用长方形的计数公式：横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四 边 形 ）nm个 ， 所 以 有 43214321100（ 个 ） ， 这 些 长 方 形 的 面 积 和 为 ： （5+7+9+2+12+16+11+21+18+23）（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=12486=10664（平方厘米） 【答案】长方形共有：100，面积和为10664 7-8-2.几何计数（二）.题库教师版page7of10 【例【
20、例 14】如图是由如图是由 18 个大小相同的小正三角形拼成的四边形个大小相同的小正三角形拼成的四边形 其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大 的正三角形若干个那么，图中包含的正三角形若干个那么，图中包含“A”号的大、小正三角形一共有号的大、小正三角形一共有_个个 【考点】复杂的几何计数【难度】2 星【题型】解答 【解析】分三类进行计数(设小正三角形边长为 1)包含*的三角形中， 边长为 1 的正三角形有 1 个； 边长为 2 的正三角形有 4 个； 边长为 3 的正三角形有 1 个； 因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1416 (个) 【答案】6
21、个 【例【例 15】图中共有多少个三角形？图中共有多少个三角形？ 【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等尖向上的三角形又可分为 6 类 （1）最大的三角形 1 个(即ABC)， （2）第二大的三角形有 3 个 （3）第三大的三角形有 6 个 （4）第四大的三角形有 10 个 （5）第五大的三角形有 15 个 （6）最小的三角形有 24 个 所以尖向上的三角形共有 1+3+6+10+15+24=59（个） 图中共有三角形 259=118（个） 【答案】118个 【例【例 16】图图 3，由边长为，由边长为 1
22、 的小三角形拼成，其中边长为的小三角形拼成，其中边长为 4 的三角形有的三角形有_个。个。 【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯五年级一试第 16 题，5 分) 【解析】1+2+3=6 【答案】6个 【例【例 17】右图是半个正方形，它被分成一个一个小的等腰直角三角形，图中，正方形有右图是半个正方形，它被分成一个一个小的等腰直角三角形，图中，正方形有个个， 三角形有三角形有个。个。 7-8-2.几何计数（二）.题库教师版page8of10 【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第 7 题 【解析】正方形 10 个,角形
23、18+15+4+4+1=42 【答案】正方形10个，三角形42个 【例【例 18】如图，连接一个正六边形的各顶点问图中共有多少个等腰三角形如图，连接一个正六边形的各顶点问图中共有多少个等腰三角形(包括等边三角形包括等边三角形)？ 【考点】复杂的几何计数【难度】4 星【题型】解答 【关键词】华杯赛 【解析】【解析】【解析】【解析】本题需要分类进行讨论 先考虑其中的等边三角形 图中，六边形的每1个顶点是某个小号等边三角形的顶点，而且，每个小号等边三角形，有且仅有 一个顶点是六边形的一个顶点，既然六边形有6个顶点，所以图中有6个小号三角形； 图中，六边形的每一条边是某个中号等边三角形的一条边，而且，
24、每个中号等边三角形有且仅有 一条边是六边形的一条边，既然六边形有6条边，所以图中有6个中号等边三角形； 图中，大号等边三角形有2个； 再考虑其中非等边的等腰三角形 图中非等边的等腰三角形，按照面积大小分类有3种类型，见图 其中小号的等腰三角形有6个，因为这类三角形均以六边形的一条边为其边长，并且，六边形的每一 条边只唯一对应一个小号等腰三角形，而正六边形有6条边，所以有6个小号等腰三角形； 中号的等腰三角形有12个，因为每个中号等腰三角形的长边都是六边形的一条非直径的弦，并且， 以非直径的弦为长边的三角形有2个，如图，这样的弦共有6条，所以有12个中号等腰三角形； 大号的等腰三角形有6个，因为
25、每个大号等腰三角形的长边都是六边形的一条直径，每条直径上都对 应有2个大号三角形，如图，共有3条直径，所以有6个大号等腰三角形 那么图中共有662612638个等腰三角形 【答案】38个 【例【例 19】图中有图中有个正方形，有个正方形，有个三角形。个三角形。 7-8-2.几何计数（二）.题库教师版page9of10 【考点】复杂的几何计数【难度】4 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第 14 题 【解析】【解析】【解析】【解析】边线是水平或垂直方向的正方形共有 222222 65432191(个)，形如的正方形有 4 个， 所以共有正方形91495(个) (如何保证没有其它的斜正方形了
26、？如右图，擦去横线和竖线，只 留下斜线，就一目了然了) 此题也可以计算不同面积的正方形各有多少个，以面积大小数正方形，记最小的正方形面积为 1； 则面积为 1 的正方形的个数为 36；面积为 2 的正方形的个数为 4；面积为 4 的正方形的个数为 25； 面积为 9 的正方形的个数为 16；面积为 16 的正方形的个数为 9；面积为 25 的正方形的个数为 4； 面积为 36 的正方形的个数为 1所以，共有364251694195 (个)正方形 第 2 问。方法 1：以图中的最小的直角三角形为计数基本单位数三角形： 只有 1 个基本图形单位的三角形共 72 个； 由 2 个基本图形单位组成的三
27、角形共 37 个； 由 4 个基本图形单位组成的三角形共 30 个； 由 8 个基本图形单位组成的三角形共 4 个； 由 9 个基本图形单位组成的三角形共 10 个； 由 16 个基本图形单位组成的三角形共 2 个； 所以图中共有三角形 72+37+30+4+10+2=155（个）。 方法 2：依三角形的斜边的长度数三角形。 （1）斜边和水平线成 45 度角的三角形，记这类三角形最小的斜边的长度为 1： 长度为 3 的斜边共有：5 条；长度为 4 的斜边共有：1 条。 因为图中这类斜边每条带有 2 个三角形，所以共有 2（36+15+5+1）=114（个）。 （2）斜边水平的三角形，从上向下：
28、 斜边在第一条线有 2 个；斜边在第二条线有 4 个；斜边在第三条线有 4 个；斜边在第四条线有 5 个； 斜边在第五条线有 2 个；斜边在第六条线有 2 个；斜边在第七条线有 2 个； 所以这种类型的三角形共有 21 个。 （3）斜边为垂直线的三角形，从左向右：斜边在第一条线有 2 个；斜边在第二条线有 2 个；斜边在 第三条线有 5 个；斜边在第四条线有 3 个；斜边在第五条线有 3 个；斜边在第六条线有 4 个；斜边 在第七条线有 1 个，所以这种类型的三角形共有 20 个。共有 114+21+20=155（个）三角形。 【答案】95个正方形，155个三角形 【例【例 20】将右图中的将
29、右图中的 2007(即阴影部分即阴影部分)分成若干个分成若干个 12 的小长方形，共有的小长方形，共有种分法种分法 7-8-2.几何计数（二）.题库教师版page10of10 【考点】复杂的几何计数【难度】5 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级，初赛，15 题 【解析】下图中用斜线标出的部分是只存在唯一分法的部分，也就是说，实际上只需要考虑未用斜线连接的 阴影部分，先把这些方框标记上字母，以便分析 取A为出发点，此时有 2 种分法：AB或者AD，应分别进行讨论： 第一次划分AB，那么C只能连F，进而可以唯一划分出GH，DE，WX，这个时候，方块I和 方块S又出现了 2 种划分方法， 可以
30、取I点继续分析： 首先划分IJ， 进而可以唯一划分出LK、MN、 OP、UV，剩下由RSQT组成的正方形没有划分，易知这样一个正方形有 2 种划分方法，所以 “AB-IJ”有 2 种划分方法；然后划分IV，进而可以唯一划分出JK、LM、NO,剩下由RSQTPU 组成的32的长方形，易知这样一个长方形有 3 种划分方法，所以“AB-IV”有 3 种划分方法； 所以划分AB共有 5 种划分方法； 第一次划分AD，那么可以唯一确定WX，AD下面的EBFC也出现一个22的正方形可以有 2 种划分方法，然后，可以唯一确定GH，方块I又出现 2 种划分方法，与上面的分析类似，可知， 划分AD有5210种划分方法； 所以，一共有51015种划分方法 【答案】15种 【例【例 21】如右图是一个跳棋棋盘，请你算算棋盘上共有多少个棋孔？如右图是一个跳棋棋盘，请你算算棋盘上共有多少个棋孔？ 【考点】复杂的几何计数【难度】3 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，试题，第 3 题 【解析】把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形，如下图。平行四边形中棋孔数为 9981，每个小 三角形中有 10 个棋孔。所以棋孔的总数是 81104121(个) 答：共有 121 个棋孔 【答案】121个棋孔
