1、教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 1 公式法计算公式法计算 知识点拨知识点拨 一、常用公式 1. (1) 123 2 nn n ； 2. 2222 (1)(21) 123 6 nnn n ； 3. 22 2 3333 (1) 123123 4 nn nn ； 4. 2 13572112311321nnnnn ； 5.等比数列求和公式： 0111 111 (1) 1 n n n a q Sa qa qa q q (1q )； 6.平方差公式： 22 ababab； 7.完全平方公式： 2 22 2abaabb， 2 22 2abaabb； 用文字表述为：两数和(或差)的平方，等
2、于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍， 两条公式也可以合写在一起： 2 22 2abaabb为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾 平方，2倍乘积在中央” 二、常用技巧 1.1001abcabcabc； 2.10101abababab； 3. 1 0.142857 7 ， 2 0.285714 7 ， 3 0.428571 7 ， 4 0.571428 7 ， 5 0.714285 7 ， 6 0.857142 7 ； 4. 11 1111 1111123321 nn n 个个 ，其中9n 例题精讲例题精讲 一、前n项和 【例【例 1】 2222 13519 【考点】公式法
3、之求和公式【难度】2 星【题型】计算 【解析】 2222 13519 2222222 (12319 )(2418 ) 222 1 1920394129 6 （） 1 24709 10 19 6 教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 2 24702852185 【答案】2185 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】 22222222222 1245781011131416 【考点】公式法之求和公式【难度】3 星【题型】计算 【解析】原式 22222222 (1216 )(3691215 ) 222222222 16 173356 11 (1216 )3(12345 )9 66 1496
4、4951001 【答案】1001 【例【例 2】 计算：计算：36496481400 【考点】公式法之求和公式【难度】3 星【题型】计算 【解析】原式 2222 67820 222222222 1232012345 11 2021 4156 11 66 2870552815 【答案】2815 【例【例 3】 计算：计算： 33333333 13579111315 【考点】公式法之求和公式【难度】3 星【题型】计算 【解析】原式 333333333 123414152414 2 2 333 15151 8127 4 22 57600 278 4 8128 【答案】8128 【巩固】【巩固】【巩固
5、】【巩固】计算：计算： 3333 13599_ 【考点】公式法之求和公式【难度】3 星【题型】填空 【解析】与公式 2 2 2 333 1 1212 4 nn nn 相比， 3333 13599缺少偶数项，所以可以 先补上偶数项 原式 3333333 12310024100 223333 1 10010121250 4 22322 11 10010125051 44 222 5010125112497500 【答案】12497500 【例【例 4】 计算：计算： 333 1232006 1232006 【考点】公式法之求和公式【难度】3 星【题型】填空 教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生
6、无怨无悔。 3 【解析】原式 2 1232006 1232006 1232006 1 200620061 2 2013021 【答案】2013021 【例【例 5】 计算：计算：2004200320032002200220012001 20002 1 。 【考点】公式法之求和公式【难度】3 星【题型】填空 【关键词】西城实验 【解析】原式200322001 2321 2 213520012003 21200310022 2008008 其中也可以直接根据公式 2 135721nn得出 2 135200120031002 【答案】2008008 【例【例 6】 计算：计算： 22222 1 22
7、33418 191920 【考点】公式法之求和公式【难度】3 星【题型】计算 【解析】分拆 (21) 232 222，(3 1) 232 333再用公式 原式 323232333222 (22 )(33 ).(2020 )(123.20 )(123. .20 ) 22 11 20212021 4141230 46 【答案】41230 【例【例 7】 对自然数对自然数a和和n，规定，规定 1nn a naa ，例如，例如 2 3 23312 ，那么：，那么： 1 22 23 299 2 _； 2 12 22 32 99 _ 【考点】公式法之求和公式【难度】3 星【题型】填空 【解析】原式 222
8、99 1122339999 2222 1239912399 1 99 100 1994950 6 3283504950333300 原式 1021329998 22222222 0129812399 22222222 01298 22223 99 213 99 323 【答案】333300 99 323 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】看规律看规律 32 11， 332 123， 3332 1236，试求，试求 33.3 6714 【考点】公式法之求和公式【难度】3 星【题型】计算 【关键词】人大附中 【解析】原式 33.333.3 1214125 22 1231412345 22 10515
9、10515 1051590 12010800 【答案】10800 教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 4 【例【例 8】 计算：计算： 23456 111111 1 333333 【考点】公式法之求和公式【难度】3 星【题型】计算 【解析】法一：利用等比数列求和公式。 原式 7 1 11 3 1 1 3 7 13264 11 32729 法二：错位相减法 设 23456 111111 1 333333 S 则 2345 11111 331 33333 S ， 6 1 33 3 SS，整理可得 364 1729S 法三：本题与例 3 相比，式子中各项都是成等比数列，但是例 3 中
10、的分子为 3，与公比 4 差 1， 所 以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项 的分子变得也都与公比差 1由于公比为 3，要把分子变为 2，可以先将每一项都乘以 2 进行算，最 后再将所得的结果除以 2 即得到原式的值 由题设， 23456 222222 22 333333 S ，则运用“借来还去”的方法可得到 6 1 23 3 S ， 整理得到 364 1729S 【答案】 364 1729 【例【例 9】 计算计算 765243342567 22323232323233 的值的值。 （已知（已知 7 32187， 8 36561， 9 319683，
11、 10 359049， 7 2128， 8 2256， 9 2512， 10 21024） 【考点】公式法之求和公式【难度】3 星【题型】计算 【解析】注意到式子的特点是从第一个加数开始，每一个加数比前一个加数2的指数减少1，3的指数增加1. 所以每一个加数是前一个加数的 3 2 倍，如果将题中加数按原来的顺序排列起来就是一个公比为 3 2 的 等比数列，于是按照错位减法进行运算即可。 记 765243342567 22323232323233S , 8 65243342567 33 2323232323233 22 S 8 7 33 2 222 S SS，那么 88 326561256630
12、5S ，即原式的值为6305. 【答案】6305 【例【例 10】 1111111111 135791113151719 2481632641282565121024 【考点】公式法之求和公式【难度】3 星【题型】填空 【关键词】浙江省，小学数学活动课夏令营 【解析】原式 1111111111 1357911 13151719 2481632641282565121024 10 10 11 1 22 1 1 1910 1 2 1 2 11023 1001100 21024 教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 5 【答案】 1023 1001024 【解析】【解析】【解析】【解析
13、】计算：计算： 333333 4166425610244096 【考点】公式法之求和公式【难度】3 星【题型】填空 【解析】原式 2345666 33333311 () 44444444 234556 3333311 () 4444444 6 3114095 () 4444096 【答案】 4095 4096 【解析】【解析】【解析】【解析】 3333 2416_ 248512 【考点】公式法之求和公式【难度】3 星【题型】填空 【解析】原式 3333 24616 248512 111 212383 24512 1509 723174 512512 【答案】 509 74 512 【例【例 1
14、1】计算：计算： 23456 234567 1 333333 【考点】公式法之求和公式【难度】4 星【题型】计算 【解析】设算式的值为S，那么 2345 34567 332 33333 S ， 23456 32435465767 3321 333333 SS ， 即 123456 111117 24 333333 S ， 故 612345 1422222 48 333333 S ，则 56 114 481 33 S ， 所以 666 14317 499 333 S ， 6 9171636 443729 S 【答案】 1636 729 二、平方差与完全平方公式 【例【例 12】 2 314159
15、2631415925 31415927_； 22 123487662468 8766_ 【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2 星【题型】填空 【关键词】浙江省，小学数学活动课夏令营 教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 6 【解析】观察可知 31415925 和 31415927 都与 31415926 相差 1，设31415926a ， 原式 222 1111aaaaa 原式 22 123487662 1234 8766 2 2 1234876610000 100000000 【答案】1100000000 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】2009200920082
16、008 【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2 星【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，初赛 【解析】方法一：原式200920081200912008 200920082009200920082008 200920084017 方法二：原式 22 =20092008 = 2009+200820092008 =4017 1 =4017 【答案】4017 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】3737263 3763 63 【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2 星【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，初赛 【解析】原式 2 2 376310010000 【答案】1000
17、0 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算：31431.462868.668.6686。 【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，6 年级，决赛 【解析】题目分析：答案为 100000。记原式为 X，则 10X=314314+628686+686686 =3142+2314686+6862 =(314+686)2=1000000，所以，X=100000。 【答案】100000 【例【例 13】有一串数有一串数1，4，9，16，25，36它们是按一定规律排列的它们是按一定规律排列的，那么其中第那么其中第1990个数与第个数与第1991 个数相差多
18、少？个数相差多少？ 【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2 星【题型】填空 【解析】这串数中第1990个数是 2 1990，而第1991个数是 2 1991，它们相差 22 19911990(1991 1990)(1991 1990)1991 19903981 【答案】3981 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】ab、代表任意数字，若代表任意数字，若()()ababaabb，这个公式在数学上称为平方差公式根据公，这个公式在数学上称为平方差公式根据公 式，你来巧算下列各题吧式，你来巧算下列各题吧 98 10267736428 2293 31 【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难
19、度】2 星【题型】计算 【解析】这个公式可以给我们的计算带来很多便利,在以后的奥数学习中会经常遇到,同学们最好记住哦.我们 教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 7 就依据公式()()ababaabb来进行下面的计算: 98 102(1002)(1002)100 100221000049996 6773(703)(703)70703 3490094891 6428232282(302)(302)2(303022)1792 2293 3123 (301)(301)6(9001)540065394 【答案】9996489117925394 【例【例 14】计算：计算：11 1912
20、1813 1714 16 【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级组，决赛 【解析】本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式 原式 22222222 154153152151 22222 1541234 90030870 其中 2222 1234可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式 222 1 12121 6 nn nn进行计算 【答案】870 【例【例 15】20078.5 8.51.5 1.5101600.3 【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，初赛 【解析】原式2007
21、8.51.58.51.5101600.3 2007108.51.5101600.3 200771600.312.50.312.2 【答案】12.2 三、公式综合运用 【例【例 16】计算：计算：1 43 75 1099 151 【考点】公式法之综合运用【难度】3 星【题型】填空 【关键词】仁华学校 【解析】观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列，被乘数依次为 1，3，5，99， 乘数依次为 4，7，10，151，根据等差数列的相关知识，被乘数可以表示为21n ，乘数可以 表示为31n ，所以通项公式为 2 213161nnnn所以， 原式 222 6 11 16221650501
22、 222 61250125050 1 5051 101505150 2 256225 另解：如果不进行通项归纳，由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等，可以先将这个差变 为相等再进行计算 原式 1 3 89 141520297302 6 教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 8 1 335995151552972975 6 2222 1 33 59951515 52972975 6 2222 1 391529753915297 6 2222 1 9135995 313599 6 2222 35 1359913599 22 而 2222 13599和13599都是我们非常熟悉的
23、 222222222222 13599123100246100 11 100 101 20145051 101 66 1 100 101201 102 6 1 99 100 101 6 166650， 2 13599502500， 所以原式 35 1666502500256225 22 小 结 ： 从 上 面 的 计 算 过 程 中 可 以 看 出 ， 2222 1 1359999 100 101 6 ， 而 1 1 22399 10099 100 101 3 ， 所以有 2222 1359921 22399 100 【答案】256225 【例【例 17】计算：计算： 222222 11111
24、1 24 234520211121210 【考点】公式法之综合运用【难度】4 星【题型】填空 【解析】 222 1624 1212122122nn nnnnn 11 12 2212122nnnn ， 所以， 222222 111 1121210 111111 12 23344556202121 22 ， 所以原式 111111111 2412 2345202123344556202121 22 111111 12 23344556202121 22 111111 12 23342122 教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 9 11 12 222 6 6 11 5 511 【答案
25、】 5 511 【例【例 18】计算：计算： 2222222 1234200520062007 【考点】公式法之综合运用【难度】3 星【题型】计算 【关键词】北京二中，入学测试 【解析】原式 2222222 2007200654321 (20072006)(20072006)(20052004)(20052004)(32)(32)1 2007200620052004321 1 2007120072015028 2 【答案】2015028 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算计算 222222222 123456. 171819 【考点】公式法之综合运用【难度】3 星【题型】计算 【解析】这个题
26、目重新整理得： 222222222 1(32 )(54 )(76 ).(1918 ) 1(32)(32)(54)(54).(1918)(1918) 13254. 1918 1234. 171819 20910190 【答案】190 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算：202019 1918 1817 17221 1 【考点】公式法之综合运用【难度】3 星【题型】计算 【解析】做这道题的时候， 可能有些以前记住了 20 以内平方数的同学就高兴了， 但是其实并不需要， 大家看， 利用平方差公式：202019 19(2019)(2019)2019，18 1817 171817， 221 12
27、1 于是，原式2019181721 201202210（） 【答案】210 【例【例 19】1 3243 59 11 【考点】公式法之综合运用【难度】3 星【题型】计算 【解析】原式21213 1 31101 101 222 2131101 222 2222 23109 1231010 10 11 21 10375 6 【答案】375 【例【例 20】计算：计算：11 2912281921 【考点】公式法之综合运用【难度】3 星【题型】填空 【解析】原式 222222 209208201 2222 209129 教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 10 1 36009 10 1
28、93315 6 【答案】3315 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算：1 992983 974951 【考点】公式法之综合运用【难度】3 星【题型】填空 【解析】观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式 原式 5049504950485048501501 222222 50495048501 2222 50491249 2222 50491249 2 1 5049495099 6 2 50494925 33 492510033 49256782075 【答案】82075 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】50 5049 5148 5247 5346 54_ 【考点】
29、公式法之综合运用【难度】3 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级 【解析】原式 2 50501501502502503503504504 22222222222 50501501502503504 5250014916 125003012470 【答案】12470 【例【例 21】计算：计算：1 992973 9550 1 【考点】公式法之综合运用【难度】3 星【题型】计算 【解析】原式(999731)(9731)(31)1 2222 504921 1 5051 10142925 6 【答案】42925 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算：1 4924734525 1 【考点】
30、公式法之综合运用【难度】3 星【题型】填空 【解析】原式4947147451311 2222 252421 1 252651 6 5525 【答案】5525 【例【例 22】计算：计算：1 232343458 9 10 教师寄语教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 11 【考点】公式法之综合运用【难度】3 星【题型】计算 【解析】原式 2222 221331441991 3333 23492349 2 123912349 2 45451980 【答案】1980 【例【例 23】计算：计算： 22222222 (246100 )(13599 ) 12391098321 【考点】公式法之综合运用【难度】3 星【题型】计算 【解析】原式 22222222 2 (21 )(43 )(65 )(10099 ) 10 (21)(21)(43)(43)(65)(65)(10099)(10099) 100 12349910050501 50 1001002 【答案】 1 50 2
