1、6-1-5.和倍问题（二）.题库教师版page 1 of 6 6-1-5.6-1-5.和倍问题（二和倍问题（二） 教学目标教学目标 1. 学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题 2. 掌握寻找和倍的方法解决问题 知识点拨知识点拨 知识点说明： 和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题 解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题 规律，正确迅速地列式解答。 和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数 就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小
2、数，再求大数. 和倍问题的数量关系式是：和倍问题的数量关系式是： 和(倍数+1)=小数 小数倍数=大数或和一小数=大数 如果要求两个数的差，要先求1份数： l份数(倍数1)=两数差. 解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。 例题精讲例题精讲 【例【例 1】一家三口人一家三口人， 三人年龄之和是三人年龄之和是72岁岁， 妈妈和爸爸同岁妈妈和爸爸同岁， 妈妈的年龄是孩子的妈妈的年龄是孩子的4倍倍， 三人各是多少岁？三人各是多少岁？ 【考点】和倍问题【难度】2 星【题型】填空 【解析】妈妈的年龄是孩子的4倍，爸爸和妈妈同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的4倍，把孩子
3、的年龄作为1 倍数，已知三口人年龄和是72岁，那么孩子的年龄为：72(144 =8）(岁)，妈妈的年龄是： 8432(岁)，爸爸和妈妈同岁为32岁 【答案】孩子的年龄为8岁，爸爸妈妈的年龄为32岁 【例【例 2】三只小猫去钓鱼三只小猫去钓鱼，它们共钓上它们共钓上 36 条鱼条鱼，其中黑猫和花猫钓到的鱼的条数是白猫钓到的鱼的条数的其中黑猫和花猫钓到的鱼的条数是白猫钓到的鱼的条数的 5 倍，花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的倍，花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的 2 倍少倍少 9 条。黑猫钓上条。黑猫钓上条鱼。条鱼。 【考点】和倍问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级
4、，二试，第 8 题 【解析】白猫钓到 36（5+1）6 条，花猫和黑猫共钓 30 条花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的 2 倍少 9 条，那么就比黑猫钓到的 2 倍多 3 条，黑猫钓到（30-3）39 条 【答案】9 【例【例 3】甲、乙、丙三人的年龄和为甲、乙、丙三人的年龄和为 30 岁，乙的年龄是甲、丙年龄和的一半乙（岁，乙的年龄是甲、丙年龄和的一半乙（）岁）岁 【考点】和倍问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，四年级，初赛 【解析】由题意可知，甲丙的年龄和是乙的 2 倍，那么三人的年龄和就是乙的 3 倍，故乙的年龄为30310 岁。 【答案】10岁 【例【例 4】红红、
5、黄黄、蓝三个纸盒里共有彩票蓝三个纸盒里共有彩票 56 张张其中红色纸盒里的彩票是黄色纸盒的其中红色纸盒里的彩票是黄色纸盒的 2 倍倍，蓝色纸盒里的彩蓝色纸盒里的彩 票是红色纸盒的票是红色纸盒的 2 倍，红、黄、蓝三个纸盒里各有多少张彩票倍，红、黄、蓝三个纸盒里各有多少张彩票? 6-1-5.和倍问题（二）.题库教师版page 2 of 6 【考点】和倍问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】以黄色纸盒的彩票数为 1 倍数，红纸盒是这样的 2 倍，蓝纸盒是红纸盒的 2 倍，也就是黄纸盒的 4 倍，一共就是(1+2+4)倍，这样就能建立起彩票总数与总倍数之间的对应关系，从而求出黄纸盒里有 几张彩票5
6、6(1+2+4)=8(张)黄纸盒里的彩票数；82=16(张)红纸盒里的彩票数 ； 162=32(张)蓝纸盒里的彩票数。 【答案】黄纸盒里有8张，红纸盒里有16张，蓝纸盒里有32张。 【例【例 5】在一道减法算式中，已知被减数、减数、差的和是在一道减法算式中，已知被减数、减数、差的和是240，而减数是差的，而减数是差的5倍求差是多少？倍求差是多少？ 【考点】和倍问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】引导学生分析被减数、减数、差三者之间的关系， 并认识它们之间的转化 我们先看下面一道简单的减法算式： 15 10=5 被减数减数差 被减数、减数、差这三个数有下面的关系： 被减数=差+减数，如15=
7、5+10 这道题中，被减数、减数、差的和是15+5+10=30， 30是被减数的2倍，30215，就得被减数，也就是 减数与差的和，这样题目就转化为：“已知减数与差的和 是15，减数是差的2倍”，按照和倍问题的解题方法，就可求出差是：15(21)5 列式：减数与差的和是多少？ 2402120 差是多少？120(51)20 【答案】20 【例【例 6】被除数、除数、商被除数、除数、商 3 个数的和是个数的和是 212。已知商是。已知商是 2，被除数和除数各是多少？，被除数和除数各是多少？ 【考点】和倍问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】由商是 2，可得被除数与除数的和为：212-2=210；
8、且被除数是除数的 2 倍。 把除数看着 1 份，两数和对应的份数是 3 份，除数为：210（2+1）=70； 被除数为：702=140。 【答案】被除数140，除数70 【例【例 7】两个正整数相除两个正整数相除，商是商是7，余数是余数是5，如果被除数如果被除数、除数都扩大到原来的除数都扩大到原来的4倍倍，那么被除数那么被除数、除数除数、 商、余数的和等于商、余数的和等于1039原来的被除数是原来的被除数是，除数是，除数是 【考点】和倍问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】小机灵杯，数学竞赛，五年级，复赛 【解析】被除数、除数都扩大到原来的4倍，它们的商还是7、余数为5420，所以被除数与
9、除数的和为 10392071012，而此时被除数比除数的7倍大20，所以除数为(101220)(71)124，所以 原来的除数为124431，被除数原来为31 75222 【答案】被除数222，除数31 【例【例 8】学校买来篮球、足球、排球共学校买来篮球、足球、排球共49个，其中篮球的个数是足球的个，其中篮球的个数是足球的3倍排球比足球多倍排球比足球多4个问学校买个问学校买 来的篮球、足球、排球各多少个？来的篮球、足球、排球各多少个？ 【考点】和倍问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】可引导学生，让他们自己画图来分析，强调和与对应的份数，教师辅导指正 从线段图上可以看出，把足球的个数看作1
10、份数，篮球的个数是3份数，如果排球少买4个，也是l份 数，这时三种球一共(494)个，总份数是(131)，就可先求出足球的个数，再分别求篮球和排球 的个数 如果排球减少4个，三种球一共多少个？49445(个) 6-1-5.和倍问题（二）.题库教师版page 3 of 6 足球多少个？45(131)9(个) 篮球多少个？ 9327(个) 排球多少个？9+4=13(个) 【答案】足球9个，篮球27个，排球13个。 【巩固】【巩固】 一筐苹果一筐苹果、 一筐梨一筐梨、 一筐香蕉共重一筐香蕉共重112千克千克 已知苹果的重量是梨的已知苹果的重量是梨的3倍倍， 香蕉的重量比梨少香蕉的重量比梨少3千克千克
11、 一一 筐苹果、一筐梨、一筐香蕉各重多少千克？筐苹果、一筐梨、一筐香蕉各重多少千克？ 【考点】和倍问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】梨的重量是：(1123)(1 13)23 （千克） 苹果的重量是：23 369（千克） 香蕉的重量是：23320（千克） 【答案】苹果69千克，梨23千克，香蕉20千克。 【巩固】【巩固】 玩具厂生产红玩具厂生产红、 黄黄、 白气球共白气球共125个个， 其中红气球的个数是黄气球的其中红气球的个数是黄气球的3倍倍， 白气球比黄气球少白气球比黄气球少25个个 问问 三种气球各生产了多少个？三种气球各生产了多少个？ 【考点】和倍问题【难度】3 星【题型】解答 【
12、解析】黄气球：(12525)(31 1)30 （个） ；红气球：30390（个） ；白气球：30255（个） 【答案】黄气球30个，红气球90个，白气球5个。 【例【例 9】小红家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多小红家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，比白鸡少只，比白鸡少18只白鸡的只数是黄鸡的只白鸡的只数是黄鸡的2倍，白鸡、黄鸡倍，白鸡、黄鸡、 黑鸡一共有多少只黑鸡一共有多少只? 【考点】和倍问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】黄鸡多少只？18(21)18(只) 白鸡多少只？ 18236(只) 黑鸡多少只？18135(只) 白鸡、黄鸡、黑鸡共多少只？ 1836559(只) 【答案】59只 【例【例
13、 10】商店运来橘子商店运来橘子、苹果苹果、香蕉共香蕉共 53 千克千克，橘子的重量是苹果的橘子的重量是苹果的 3 倍少倍少 3 千克千克，香蕉的重量是苹果香蕉的重量是苹果 的的 2 倍多倍多 2 千克，橘子重多少千克千克，橘子重多少千克? 【考点】和倍问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】我们可以把苹果的重量看作 1 份，如下图： 如果橘子重量增加 3 千克，正好是苹果重量的 3 倍， 香蕉的重量减少 2 千克，正好是苹果重量的 2 倍， 这时三种水果的总重量变为：533254(千克)， 正好是苹果重量的(132)倍， 苹果有 (5332)(132) 5469(千克)，橘子有 93324(
14、千克) . 【答案】24千克 【巩固】【巩固】 果园里有桃树果园里有桃树、 梨树梨树、 苹果树共苹果树共 552 棵棵.桃树比梨树的桃树比梨树的 2 倍多倍多 12 棵棵， 苹果树比梨树少苹果树比梨树少 20 棵棵， 求桃树求桃树、 梨树和苹果树各有多少棵？梨树和苹果树各有多少棵？ 【考点】和倍问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】下图可以看出桃树比梨树的 2 倍多 12 棵，苹果树比梨树少 20 棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵 数为标准、作为 1 份数容易解答. 6-1-5.和倍问题（二）.题库教师版page 4 of 6 又知三种树的总数是 552 棵.如果给苹果树增加 20 棵，那么
15、就和梨树同样多了；再从桃树里减少 12 棵，那么就相当于梨树的 2 倍了，而总棵树则变为 552+20-12=560（棵） ，相当于梨树棵数的 4 倍。 梨树的棵数： （55220-12）（112）=5604=140（棵） ，桃树的棵数：140212=292（棵） ， 苹果树的棵数： 140-20=120（棵） ，桃树、梨树、苹果树分别是 292 棵、140 棵和 120 棵。 【答案】桃树、梨树、苹果树分别是 292 棵、140 棵和 120 棵 【巩固】【巩固】 某养殖厂养鸡某养殖厂养鸡、鸭鸭、鹅共鹅共 1462 只只，鸡的只数比鸭的鸡的只数比鸭的 4 倍多倍多 132 只只，鹅的只数比鸭
16、的鹅的只数比鸭的 2 倍少倍少 70 只只这这 个养殖厂养的鸡、鸭、鹅各有多少只？个养殖厂养的鸡、鸭、鹅各有多少只？ 【考点】差倍问题【难度】1 星【题型】解答 【解析】我们把鸭的只数看作 1 份，鸡的只数看作 4 份，鹅的只数看作 2 份，鸡、鸭、鹅的总只数就相当于 鸭的：14 +27(份)而鸡、鸭、鹅的总只数可以看作：1462132 701400(只)用总只数除 以总份数，先求出鸭的只数，再求鸡和鹅的只数 鸭的只数：(146213270)(142)14007200(只)； 鸡的只数：2004 132800 132932(只)； 鹅的只数：20027040070330(只) 【答案】鸭200
17、只，鸡932只，鹅330只 【例【例 11】有有 100 块糖，分给甲乙丙三位小朋友，甲比乙多分了块糖，分给甲乙丙三位小朋友，甲比乙多分了 3 块，乙比丙多分了块，乙比丙多分了 5 块，三位小朋友各块，三位小朋友各 分得多少块糖分得多少块糖? 【考点】和倍问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】此题从两个数量扩展到三个数量已知甲比乙多分了 3 块，乙比丙多分了 5 块，从线段图上可以清 楚地看出： 甲比丙多分了 358(块)如果甲少拿 7 块，乙少拿 5 块，那么糖的总数就要减少 8513(块)， 总共就是 1001387(块)87 块相当于丙所有的糖块数的 3 倍，由此可以算出甲乙丙三人各自
18、糖 块的数量丙：100(35)5329(块)；乙：29534(块)；甲：34337(块)。 【答案】甲37块，乙34块，丙29块。 【例【例 12】王奶奶家养了鸡、鸭、鹅共王奶奶家养了鸡、鸭、鹅共 250250 只，其中鸭比鹅的只，其中鸭比鹅的 2 2 倍少倍少 1010 只，鸡比鸭的只，鸡比鸭的 3 3 倍多倍多 2020 只。王奶只。王奶 奶养了奶养了_只鸡，只鸡，_只鸭，只鸭，_只鹅。只鹅。 【考点】和倍问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 8 题 【解析】鹅比鸭的一半多5只， 所以如果将多出少的去掉和补上一共有250-20-5=225， 所以鸭有225 （
19、3+1+0.5） =50 只，鸡有 502+5=30 只，鹅有 503+20=170 只. 【答案】鸡30只，鸭50只，鹅170只 【例【例 13】甲、乙、丙三个小朋友共有甲、乙、丙三个小朋友共有73块巧克力，如果丙吃掉块巧克力，如果丙吃掉3块，那么乙和丙的巧克力就一样多；如块，那么乙和丙的巧克力就一样多；如 果乙给甲果乙给甲2块巧克力，那么甲的巧克力就是乙的块巧克力，那么甲的巧克力就是乙的2倍，丙原有倍，丙原有块巧克力块巧克力 【考点】和倍问题【难度】3 星【题型】填空 6-1-5.和倍问题（二）.题库教师版page 5 of 6 【关键词】IMC，国际数学邀请赛，新加坡，四年级，复赛 【解
20、析】方法一：由题意可知，丙比乙多3块，所以如果乙给甲两块巧克力，则丙比乙多5块，此时乙的巧克 力数为(735)(1 12)17 （块） ，丙原有172322（块） 。 方法二：如果丙吃掉3块，那么乙与并的糖就一样多，说明丙比乙多3块；如果乙给甲2块糖，那么 甲的糖就是乙的糖的2倍，即甲的糖加2是乙的糖减2后的2倍，说明甲的糖是丙的糖的2倍少 2226块所以，乙有(7336)(1 12)19 块糖，丙193=22（块） 【答案】22块 【例【例 14】甲甲、乙乙、丙丙 3 数之和是数之和是 183，乙比丙的乙比丙的 2 倍少倍少 4，甲比丙的甲比丙的 3 倍多倍多 7，求甲求甲、乙乙、丙三数各丙
21、三数各 是多少？是多少？ 【考点】和倍问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】我们把丙数看作一份，画出线段图如下： 假如我们给乙数添上 4 凑成 2 份，甲数减去 7 凑成 3 份，则这时候三个数的总和为： 183+4-7=180，和对应的份数为：1+2+3=6。所以，一份数即丙数为：1806=30； 乙数为：302-4=56；甲数为：303+7=97。 【答案】甲97，乙56，丙30 【例【例 15】甲甲、乙乙、丙三所小学学生人数的总和为丙三所小学学生人数的总和为 1999，已知甲校学生人数的已知甲校学生人数的 2 倍倍，乙校学生人数乙校学生人数减减 3、丙校学生人数加、丙校学生人数加 4
22、都是相等的。问：甲、乙、丙各校学生人数是多少都是相等的。问：甲、乙、丙各校学生人数是多少? 【考点】和倍问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第 8 题 【解析】(199934)(122)400， 40023803，40024796，甲、乙、丙三校的人数分别为 400，803，796。 【答案】甲、乙、丙三校的人数分别为 400，803，796。 【例【例 16】549 是甲是甲、乙乙、丙丙、丁丁 4 个数的和个数的和.如果甲数加上如果甲数加上 2，乙数减少乙数减少 2，丙数乘以丙数乘以 2，丁数除以丁数除以 2 以后，则以后，则 4 个数相等个数相等.求求 4 个数各是多少
23、？个数各是多少？ 【考点】和倍问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】下图可以看出， 丙数最小.由于丙数乘以 2 和丁数除以 2 相等， 也就是丙数的 2 倍和丁数的一半相等， 即丁数相当于丙数的 4 倍.乙减 2 之后是丙的 2 倍，甲加上 2 之后也是丙的 2 倍.根据这些倍数关系， 可以先求出丙数，以丙数为一份量，再分别求出其他各数。 丙数是： （5492-2）（2214）=5499=61，甲数是：612-2=120，乙数是：6122=124 丁数是：614=244，验算：120+12461+244=5491202=122 124-2=122612122 2442122 【答案】甲120
24、，乙124，丙61，丁224 【例【例 17】四年级有甲、乙、丙、丁四个班四年级有甲、乙、丙、丁四个班不算甲班，其余三个班的总人数是不算甲班，其余三个班的总人数是 131 人；不算丁班，其余人；不算丁班，其余 三个班的总人数是三个班的总人数是 134 人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少 1 人人问：这四个班共有问：这四个班共有 多少人？多少人？ 【考点】和倍问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】由题意，乙、丙、丁三个班总人数为 131 人，甲、乙、丙三个班总人数为 134 人，于是可以看出， 甲班比丁班多 3 个人又因为乙、丙两班的总人数
25、比甲、丁两班的总人数少 1 人，也就是说乙、丙 两班总人数是丁班的 2 倍还多 2 人从而可以求出丁班的人数为： 6-1-5.和倍问题（二）.题库教师版page 6 of 6 (1312)343（人） 因此这四个班的总人数为13443177（人） 【答案】177人 【例【例 18】有几个同学想称一下体重有几个同学想称一下体重，可是秤的秤砣不齐可是秤的秤砣不齐，只能称只能称 50 千克以上的重量千克以上的重量，他们只好每人都和他们只好每人都和 其他人合称一次，共得到以下其他人合称一次，共得到以下 10 个数据（单位：千克个数据（单位：千克） ：75、78、79、80、81、82、83、84、86
26、、 88问：问：有几名同学？有几名同学？他们的重量各是多少千克？他们的重量各是多少千克？ 【考点】和倍问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】首先 2 5 54210C，也就是说 5 个同学两两合称才恰好需要称 10 次，所以有 5 个同学 设这 5 个同学的体重从小到大依次为A、B、C、D、E 则有75AB，78AC，88DE，86CE； 757879808182838486884204ABCDE 则204758841C千克；784137A千克；864145E千克；753738B千克； 884543D千克 即他们的体重分别为 37 千克、38 千克、41 千克、43 千克、45 千克 【关键
27、词】5 名同学，体重分别为 37 千克、38 千克、41 千克、43 千克、45 千克 【例【例 19】有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有 3 张张相同颜色的卡片上写相同的自相同颜色的卡片上写相同的自 然数然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数不同颜色的卡片上写不同的自然数老师把这老师把这12张卡片发给张卡片发给 6 名同学名同学，每人得到两张颜色不每人得到两张颜色不 同的卡片然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和同的卡片然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和六名同学交上来的答案分别六名同学交上来的答案分别
28、 为为：92，125，133，147，158，191老师看完老师看完 6 名同学的答案后说名同学的答案后说，只有一名同学的答案错了只有一名同学的答案错了问问： 四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少？四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少？ 【考点】和倍问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】迎春杯，初赛 【解析】根据题意可知，6 名同学每人都得到给定的 4 个数中的某 2 个，而从 4 个数中选取 2 个不同的数共 有 2 4 6C种不同的方法而 6 名同学所给的 6 个答案中只有 1 个错误，有 5 个是正确的，而且这 5 个正确的答案互不相同，所以这 5 名同学所拿到的两个数也互不相同而总
29、共只有 6 种不同情况， 所以给出错误答案的那名同学所拿到的两个数与其他 5 名同学所拿到的两个数的情况也都不相 同那么本题相当于：有四个数a、b、c、d(abcd)，每次从中取出两个数，计算它们的和， 得到六个和：92，125，133，147，158，191，其中只有一个是错误的，求a的值 由取法可知，得到的六个和可以两两匹配，即ab与cd，ac与bd，ad与bc，互相匹 配的两个和的和是相等的，都等于abcd而题中的 6 个数中，92191125158283，可 见283abcd，那么六个和数中 133 和 147 都可能是错误的 如果 147 是错误的，那么 133 是正确的，另一个正确的和数为283 133150，根据a、b、c、d的 大小顺序， 可得92ab，191cd，125ac，158bd， 而ad与bc分别为 133 和 150 再 由15892250abbd得2502adb，所以ad是偶数，那么150ad，得50b， 进而得925042a即四种颜色卡片上所写各数中最小数是 42 如果 133 是错误的，那么 147 是正确的，同样分析可知，此时四种颜色卡片上所写各数中最小数是 35 【关键词】35
