1、1-3-2.多位数计算.题库教师版page 1 of 8 多位数计算多位数计算 教学目标教学目标 多位数的运算在奥数计算体系里面一般都扮演难题角色，因为多位数计算不仅能体现普通数字四则运 算的一切考法，还有自身的“独门秘籍”，那就是“数字多的数不出来”，只能依靠观察数字结构发现数字规 律的方式掌握多位数的整体结构，然后再确定方法进行解题。 多位数的主要考查方式有 1.用带省略号的描述方式进行多位数的具体值四则计算 2.计算多位数的各个位数字之和 知识点拨知识点拨 一、多位数运算求精确值的常见方法 1. 利用 9 9999101 k k 个 ，进行变形 2. “以退为进”法找规律递推求解 二、多
2、位数运算求数字之和的常见方法 M k9 999.9 个 的数字和为 9k(其中 M 为自然数，且 M k9 999.9 个 )可以利用上面性质较快的获得结果 例题精讲例题精讲 模块一、多位数求精确值运算 【例【例 1】 计算：计算： 200720073 555 333 个5个 【考点】多位数计算之求精确值【难度】3 星【题型】计算 【解析】这道题目，你会发现无规律可循.这时我们就要从找规律这个思想里走出来，将 20073 333 个 乘以 3 凑 出一个 20073 999 个 ，然后在原式乘以 3 的基础上除以 3，所以 原式 2007520079 555 9993 个个2007520070
3、 5550003 个个 （1-1） 200752007020075 555000 5553 个个个 （-） 2007420065 55544453 个个668185668148 185185184814814815 个个 【答案】 668185668148 185185184814814815 个个 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算： 2007820073 888 333 个个 【考点】多位数计算之求精确值【难度】3 星【题型】计算 【解析】这道题目，你会发现无规律可循.这时我们就要从找规律这个思想里走出来，将 20073 333 个 乘以 3 凑 1-3-2.多位数计算.题库教师版
4、page 2 of 8 出一个 20079 999 个 ，然后在原式乘以 3 的基础上除以 3，所以 原式 2007820079 888 9993 个个2007820070 8880003 个个 （1-1） 200782007020078 888000 8883 个个个 （-） 20061 20068 888711123 个 个668296668037 296296295703703704 个个 【答案】 668296668037 296296295703703704 个个 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算计算 20043 3333 59049 个 【考点】多位数计算之求精确值【难度】3
5、星【题型】计算 【解析】我们可以把 20043 3333 个 转化为 2004 99993 个9 ，进而可以进行下一步变形，具体为： 原式 20043 3333 59049 个20042004 99993 590499999 19683 个9个9 20040 2004019999 (100001) 196831968300.0196831968299.9980317 个 个个 【答案】 19999 1968299.9980317 个 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算计算 200420083 66669333.3 个6个 的乘积是多少？的乘积是多少？ 【考点】多位数计算之求精确值【难度】3
6、星【题型】计算 【解析】我们可以将原题的多位数进行 9 9999101 k k 个 的变形： 原式= 20043 3333 个2008 23 3 3333 个3 = 20043 3333 个2008 23 9999 个9 = 2003 199998 个9 （ 2008 100001 个0 ）= 2003 199998 个9 2008 10000 个0 - 2003 199998 个9 = 2003920030 199997999800002 个个 . 【答案】 2003920030 199997999800002 个个 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】快来自己动手算算快来自己动手算算 2007
7、1 200792007920077 111 999999777 个 个个个 （） 3的结果看谁算得准？的结果看谁算得准？ 【考点】多位数计算之求精确值【难度】3 星【题型】计算 【解析】本题是提取公因数和凑整的综合。 原式 20071 2007920077 999(111777) 个 个个 =3 2007920078 999 888 个个 =3 2007020078 0001)888 个个 =(13 20072007020078 888000888) 个8个个 =(3 20061 20068 88871112 个 个 =3 668296668037 296296295703703704 个个
8、【答案】 668296668037 296296295703703704 个个 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算计算 200892008820086 999 888666 个个个 【考点】多位数计算之求精确值【难度】3 星【题型】计算 【解析】本题着重是给大家一种凑的思想，除数是 20086 666 个 ，所以需要我们的被除数也能凑出 20086 666 个 这就需要我们根据乘法的性质来计算了。所以： 原式 200822008320086 3 3334222666 个个个 20081 2008620086 34 111 666666 个 个个 20084 3444 个 2007 13332
9、 个3 1-3-2.多位数计算.题库教师版page 3 of 8 【答案】 2007 13332 个3 【例【例 2】 请你计算请你计算 200892008920089 9999991999 个个个 结果的末尾有多少个连续的零？结果的末尾有多少个连续的零？ 【考点】多位数计算之求精确值【难度】3 星【题型】计算 【解析】同学们观察会发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，可以引导学生按照两种思路给学生展开 方法一：是学生喜欢的从简单情况找规律 99=81；9999=9801 ；999999=998001；99999999=99980001； 所以： 2008920089 999999 个个200
10、792007 99980001 个个0 原式 20079200720089 99980001+1999 个个0个40160 1000 个 方法二： 观察一下你会发现， 两个乘数都非常大，不便直接相乘， 其中 999很接近 1 000， 于是我们采用添项凑整，简化运算。 原式 20080200892008020089 100019991000999 个个个个 =（） 2008920080200892008020089 9990009991000999 个个个个个 200892008020080 9990001000 个个个40160 1000 个 所以末尾有 4016 个 0 【答案】4016
11、个 0 【例【例 3】 计算计算 1998219982 22222222 个个 的积的积 【考点】多位数计算之求精确值【难度】3 星【题型】计算 【解析】我们先还是同上例来凑成 k9 9999 个 ； 1998219982 22222222 个个 1998219989 2 99992222 9 个个 1998219980 2 1000012222 9 个个 1998419980 1 1000014444 9 个个 199841998419980 1 444400004444 9 个个个 1997419975 1 4444355556 9 个个 、 我们知道 94 4444 个 能被 9 整除，
12、商为：049382716又知 1997 个 4，9 个数一组，共 221 组，还剩 下 8 个 4，则这样数字和为 84=32,加上后面的 3，则数字和为 35，于是再加上 2 个 5，数字和为 45，可以被 9 整除 8 4444355 个4 能被 9 整除，商为 04938271595；我们知道5555 9个5 能被 9 整除， 商为：061728395；这样 9 个数一组，共 221 组，剩下的 1995 个 5 还剩下 6 个 5，而 6 个 5 和 1 个、6，数字和 36，可以被 9 整除55556 6个5 能被 9 整除，商为 0617284于是，最终的商为： 220049382
13、716221061728395 49382716049382716049382716049382715950617283950617283950617284 个个 【答案】 220049382716221061728395 49382716049382716049382716049382715950617283950617283950617284 个个 【例【例 4】 计算：计算： 12345679 12345679012345679012345679 81 99个0 【考点】多位数计算之求精确值【难度】3 星【题型】计算 【解析】原式 000000001 12345679 100000000
14、1000000001 81 99个 000000001 999999999 1000000001000000001 99个 999999999 999999999999999999 100个 1-3-2.多位数计算.题库教师版page 4 of 8 【答案】 999999999 999999999999999999 100个 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】12345679012345679 81 【考点】多位数计算之求精确值【难度】3 星【题型】计算 【关键词】武汉，明心奥数 【解析】原式(12345679 100000000012345679)81 12345679 1000 000 00
15、1 81 999999999 1000 000 001 189 999 个 【答案】 189 999 个 【例【例 5】 求求 20073 333333.33.3 个 的末三位数字的末三位数字. 【考点】多位数计算之求精确值【难度】3 星【题型】计算 【解析】原式的末三位和每个数字的末三位有关系，有 2007 个 3，2006 个 30，2005 个 300 ， 则200732006302005 300602160180601500667701 ，原式末三位数字为 701 【答案】701 模块二、多位数求数字之和 【例【例 6】 求求3333333 6666666乘积的各位数字之和乘积的各位数
16、字之和. 【考点】多位数计算之求数字和【难度】3 星【题型】计算 【解析】方法一：本题可用找规律方法： 36=18； 33 66 =2178；333 666 =221778；3333 6666 =22217778； 所以： 36 33.366.6 n个n个 27 22.2177.78 (n-1)个(n-1)个 ，则原式数字之和26176863 原式99999992222222 (100000001)2222222 222222200000002222222 22222217777778 所以，各位数字之和为7963 【答案】63 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】求求 111 111 999 9
17、99 乘积的各位数字之和。乘积的各位数字之和。 【考点】多位数计算之求数字和【难度】3 星【题型】计算 【解析】观察可以发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，其中 999 999 很接近 1 000 000, 于是我们 采用添项凑整，简化运算。 原式=111111(1000000-1) =1111111000000-1111111 =111111000000-111111 =111110888889 数字之和为9654 【答案】54 【例【例 7】 如果如果 20103 333333333A 个 ，那么，那么 A 的各位数字之和等于的各位数字之和等于。 【考点】多位数计算之求数字和【难度】3
18、星【题型】计算 【关键词】学而思杯，5 年级 【解析】 20103 103033033303330A 个 ，所以 201033 2010 9333033333327300A 个2006个 次 ， 3 668370 333273009370370370369700A 2006个 个 ，数字和为 668 10256705. 1-3-2.多位数计算.题库教师版page 5 of 8 【答案】6705 【例【例 8】 若若 10041520083 151515 3333a 个个 ，则整数，则整数a的所有数位上的数字和等于（的所有数位上的数字和等于（） （A）18063（B）18072（C）18079（
19、D）18054 【考点】多位数计算之求数字和【难度】3 星【题型】选择 【关键词】第十三届，华杯赛 【解析】 10041520083 151515 3333a 个个10045100320089 50505059999 个 和个0个100451003020080 50505051000001 个 和个个 （） 100450200701004510030 50505050000005050505 个个个 和个100350100449 50505050494949495 个个 所以整数a的所有数位上的数字和1003 51004(49)518072 【答案】 （B）18072 【巩固】【巩固】【巩固】
20、【巩固】计算计算66666666725 2004个62003个6 的乘积数字和是多少的乘积数字和是多少? 【考点】多位数计算之求数字和【难度】4 星【题型】计算 【解析】我们还是利用9999100001 k个9k个0 ，来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成9999 k个9 ， 于是我们就创造条件使用： 6666 2004个6 6666725 2003个6 2004 2 9999 3 个9 2004 2 (99991)25 3 个9 = 2 3 （100001 2004个0 ） 2 3 （10000 2004个0 ）+125 = 1 3 1 3 210000 2004个0 -22（1000
21、0 2004个0 ）+125= 25 9 410000 4008个0 -210000 2004个0 -2 = 100 9 9999 4008个9 - 50 9 2004 9999 个9 =100 4008 1111 个1 -50 2004 1111 个1 = 4008120045 11110055550 个个 = 120045 1111055550 2004个个 所以原式的乘积为 120045 1111055550 2004个个 ，那么原式乘积的数字和为 12004+52004=12024 【答案】12024 【例【例 9】 试求试求 1993123999999 乘积的数字和为多少乘积的数字和
22、为多少? 【考点】多位数计算之求数字和【难度】3 星【题型】计算 【解析】我们可以先求出 1993123 的乘积， 再计算与(10000001)的乘积， 但是 1993123 还是有点繁琐 设 1993123=M，则(1000123)123000M(2000123=)246000，所以 M 为 6 位数，并且末位不 是 0；令 Mabcdef 则 M999999M（1000000-1）1000000M-M 000000abcdef-abcdef 1 999999abcdeff +1abcdef 1 999999abcdeffabcdef+1 1 9999991abcdeffabcdef 那 么
23、 这 个 数 的 数 字 和 为 ： a+b+c+d+e+(f 1)+(9 a)+(9 b)+(9 c)+(9 d)+(9 e)+(9 f+1)=96=54所以原式的计算结果的数字和为 54 【答案】54 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】下面是两个下面是两个 1989 位整数相乘：位整数相乘： 1989119891 111.11 111.11 个个 。那么乘积的各位数字之和是多少。那么乘积的各位数字之和是多少? 【考点】多位数计算之求数字和【难度】4 星【题型】计算 【解析】解法一： 1-3-2.多位数计算.题库教师版page 6 of 8 在算式中乘以 9，再除以 9，则结果不变因为 198
24、91 111.11 个 能被 9 整除，所以将一个 19891 111.11 个 乘以 9， 另一个除以 9，使原算式变成： 198991988 999.99 123456790.012345679 个共位数 = 198901988 1000.001123456790.012345679 个共位数 （） = 1988198901988 123456790.012345679000.00123456790.012345679 共位数个共位数 = 19881980 123456790.012345679123456789876543209.987654320987654321 共位数共位数 得 到
25、 的 结 果 中 有 19809=220 个 “123456790” 和 “987654320” 及 一 个 “12345678” 和 一 个 “987654321”，所以各位数之和为： 1234567922098765432220（）（） +1234567898765432117901（）（） 解法二： 19891198911989198911989 1 111.11 111.11999.99 111.11999.99 9 N 个个个9个个9 ，其中 N 1989 999.99 个9 所以 1989119891 111.11 111.11 个个 的各个位数字之和为：91989=17901 【
26、答案】17901 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】试求试求 999 9999999 . 999999999999 256个512个1024个 乘积的数字和为多少乘积的数字和为多少? 【考点】多位数计算之求数字和【难度】4 星【题型】计算 【解析】设 99 9999999 . 99999999M 256个512个 则原式表示为 9 9999M 1024个 。 注意到 999999999999999 9 9999 256个 9 9999 512个 M， 则 M10100100013100000000 2560 10000 个 0 10000 512个 0 10000 k个 其中 k=1+2+4+8
27、+16+512=1024l=1023 即 M 0 10000 1023个 ，即 M 最多为 1023 位数，所以满足的使用条件，那么 M 与 9 9999 1024个 乘积的数字和 为 10249=102401024=9216原式的乘积数字和为 9216 【答案】9216 【例【例 10】计算：计算： 6707899 78978929999 个2009个 结果的各位数字之和是结果的各位数字之和是 【考点】多位数计算之求数字和【难度】3 星【题型】计算 【解析】原式 6707890 789789300001 个2009个 6699360670789 66993669102 23693693670
28、000789789 236936935910210211 个2009个个 个6个 各位数字之和是23669 185966931 1 =6702114070 【答案】14070 模块三、多位数运算中的公因式 【例【例 11】（1） 20082008200920092008200920092008 2008200820082009200920092009200920092008 20082008 个个个个 （2） 2009200920084100 20092009200941004100410041 个个 1-3-2.多位数计算.题库教师版page 7 of 8 【考点】多位数计算之提取公因式【难
29、度】3 星【题型】计算 【解析】原式 200720080001200720080001 2008 10001000100012009 10001000100012009 10 001000100012008 1000100010001 个0001个个0001个 0 原式 2008000120094100 2009 1000100010001410041004100100 个个 （） 2008000120080001 10001000100012009 1000100010001 个个 （41） 200941 49 【答案】049 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算（计算（1）20092009
30、20092008200820082008200820092009 （2）20072007200722302230223 【考点】多位数计算之提取公因式【难度】3 星【题型】计算 【解析】（1）原式2009 100010002008 100012008 100010001 2009 10 0010 （2）原式(2007 100010001)(223 100010001)20072239 【答案】 （1）0（2）9 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算：333 332332333332333333332 【考点】多位数计算之提取公因式【难度】3 星【题型】计算 【关键词】我爱数学夏令营 【解
31、析】原式333 (3323323321)332(333333333 1) 333 (332 1001001 1)332(333 1001001 1) 333332 665 【答案】665 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算： 20085112008512 512511511511512511 512512512511 个个 【考点】多位数计算之提取公因式【难度】3 星【题型】计算 【解析】原式 20095112009512 5125115115111511(5125125121) 个个 （）- 20080012008001 512511 1001001001512511 512 100
32、1001001511 个个 5125111023 【答案】1023 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算计算： （1998+19981998+199819981998+ 19981998 个 199819981998）（1999+19991999+199919991999 19981999 个 199919991999）1999 【考点】多位数计算之提取公因式【难度】3 星【题型】计算 【解析】 19981998 个 1998199819981998 19981001 个 100110011001 原式1998（1+10001+100010001+ 19981001 个 10011001100
33、1）1999 （1+10001+100010001+ 19981001 个 100110011001） 19991998199919991998. 【答案】1998 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算：5555566666744445666666155555 【考点】多位数计算之提取公因式【难度】3 星【题型】计算 1-3-2.多位数计算.题库教师版page 8 of 8 【关键词】小学奥林匹克 【解析】原式555556666665555544445666666155555 (5555544445)666666100000 66666500000 【答案】66666500000 【例【
34、例 12】计算：计算： 341344134441344444444134444444441 2389 275277527775277777777527777777775 。 【考点】多位数计算之提取公因式【难度】3 星【题型】计算 【关键词】学而思杯，6 年级 【解析】 34131 1131 27525 1125 ， 344131 11131 277525 11125 ， 3444131 111131 2777525 111125 ， 3444444444131 111111111131 2777777777525 111111111125 ，即这9个数都等于 31 25 ， 原式 31 (1239) 25 279 5 【答案】 279 5
