1、4-3-3.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 1 of 7 任意四边形、梯形与相似模型任意四边形、梯形与相似模型 例题精讲例题精讲 板块一任意四边形模型 任意四边形中的比例关系任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理蝴蝶定理”)： 1243 :SSSS或者或者 1324 SSSS 1243 :AO OCSSSS 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边通过构造模型，一方面可以使不规则四边 形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系形的面积关系
2、与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系 【例【例 1】 图中的四边形土地的总面积是图中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了公顷，两条对角线把它分成了 4 个小三角形，其中个小三角形，其中 2 个小三角形个小三角形 的面积分别是的面积分别是 6 公顷和公顷和 7 公顷那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？公顷那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？ 【考点】任意四边形模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】在ABE，CDE中有AEBCED ，所以ABE，CDE的面积比为()AEEB:()CEDE同 理有ADE，BCE的面积比为():()AED
3、EBEEC所以有 ABE S CDE S= ADE S BCE S，也就是 说在所有凸四边形中，连接顶点得到 2 条对角线，有图形分成上、下、左、右 4 个部分，有：上、 下部分的面积之积等于左右部分的面积之积 即6 ABE S=7 ADE S，所以有ABE与ADE的面积 比为7:6， ABE S= 7 3921 67 公顷， ADE S= 6 3918 67 公顷 显然，最大的三角形的面积为 21 公顷 【答案】21 【例【例 2】 如图，某公园的外轮廓是四边形如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线，被对角线 AC、BD 分成四个部分，分成四个部分，AOB 面积为面积为 1 平方平
4、方 千米千米，BOC 面积为面积为 2 平方千米平方千米，COD 的面积为的面积为 3 平方千米平方千米，公园由陆地面积是公园由陆地面积是 692 平方千平方千 米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 【考点】任意四边形模型【难度】2 星【题型】解答 【关键词】小数报 【解析】根据蝴蝶定理求得3 121.5 AOD S 平方千米，公园四边形ABCD的面积是1231.57.5平 方千米，所以人工湖的面积是7.56.920.58平方千米 4-3-3.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 2 of 7 【答案】0.58 【例【例 3】 一个矩
5、形分成一个矩形分成 4 个不同的三角形个不同的三角形（如右图如右图） ，绿色三角形面积占矩形面积的绿色三角形面积占矩形面积的 15，黄色三角形的面黄色三角形的面 积是积是 21 平方厘米问：矩形的面积是多少平方厘米？平方厘米问：矩形的面积是多少平方厘米？ 【考点】任意四边形模型【难度】3 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第 7 题 【解析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的 50，而绿色三角形面积占矩形面积的 15，所以 黄色三角形面积占矩形面积的 501535已知黄色三角形面积是 21 平方厘米，所以矩形面 积等于 213560(平方厘米) 【答案】60 【巩固【巩固】如图如
6、图，四边形被两条对角线分成四边形被两条对角线分成 4 个三角形个三角形，其中三个三角形的面积已知其中三个三角形的面积已知，求求：三角形三角形BGC的面的面 积；积；:AG GC ？ 【考点】任意四边形模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】根据蝴蝶定理，123 BGC S ，那么6 BGC S ； 根据蝴蝶定理， :12 : 361:3AG GC 【答案】1:3 【例【例 4】 四边形四边形ABCD的对角线的对角线AC与与BD交于点交于点O(如图所示如图所示) 如果三角形如果三角形ABD的面积等于三角形的面积等于三角形BCD的的 面积的面积的 1 3 ，且，且2AO ，3DO ，那么，那么CO
7、的长度是的长度是DO的长度的的长度的_倍倍 【考点】任意四边形模型【难度】3 星【题型】填空 【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已 知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形看到题目中给出条 件:1:3 ABDBCD SS ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法又观察题目中给出的已 知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改 造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比再 应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比
8、，得出结果请老师注意比较两种解法，使学 生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题 解法一：:1:3 ABDBDC AO OCSS ，236OC ，:6:32:1OC OD 解法二：作AHBD于H，CGBD于G 1 3 ABDBCD SS ， 1 3 AHCG， 1 3 AODDOC SS ， 1 3 AOCO，236OC ， :6:32:1OC OD 【答案】2 倍 【例【例 5】 如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD的对角线交于的对角线交于O点，点，CEF、OEF、ODF、BOE的面积依次的面积依次是是 2、4、4 和和 6求：求：求求OCF的面积；的面积；求求G
9、CE的面积的面积 4-3-3.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 3 of 7 【考点】任意四边形模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】根据题意可知，BCD的面积为244616，那么BCO和CDO的面积都是1628， 所以OCF的面积为844； 由于BCO的面积为 8，BOE的面积为 6，所以OCE的面积为862， 根据蝴蝶定理，:2:41:2 COECOF EG FGSS ，所以:1:2 GCEGCF SSEG FG ， 那么 112 2 1233 GCECEF SS 【答案】 2 3 【例【例 6】 如图相邻两个格点间的距离是如图相邻两个格点间的距离是 1，则图中阴影三角形的面积为
10、，则图中阴影三角形的面积为 【考点】任意四边形模型【难度】4 星【题型】填空 【关键词】清华附中，入学测试题 【解析】连接AD、CD、BC则可根据格点面积公式，可以得到ABC的面积为： 4 112 2 ，ACD的 面积为： 3 313.5 2 ，ABD的面积为： 4 213 2 所以:2:3.54:7 ABCACD BO ODSS ， 所以 4412 3 471111 ABOABD SS 【答案】 12 11 【巩固】如图，每个小方格的边长都是【巩固】如图，每个小方格的边长都是 1，求三角形，求三角形ABC的面积的面积 【考点】任意四边形模型【难度】4 星【题型】解答 【解析】因为:2:5BD
11、 CE ，且BDCE，所以:2:5DA AC ， 5 25 ABC S 510 2 77 DBC S 【答案】 10 7 【例【例 7】 如图，边长为如图，边长为 1 的正方形的正方形ABCD中，中，2BEEC，CFFD，求三角形，求三角形AEG的面积的面积 ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? G ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? G 【考点】任意四边形模型【难度】4 星【题型】解答 4-3-3.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 4 of 7 【关键词】人大附中考题 【解析】连接EF 因为2BEEC，CFFD，所以 1111 () 23212 DEFA
12、BCDABCD SSS 因为 1 2 AEDABCD SS ，根据蝴蝶定理， 11 :6:1 2 12 AG GF ， 所以 6613 6 77414 AGDGDFADFABCDABCD SSSSS 所以 1322 21477 AGEAEDAGDABCDABCDABCD SSSSSS ， 即三角形AEG的面积是 2 7 【答案】 2 7 【例【例 8】 如图如图，长方形长方形ABCD中中，:2:3BE EC ，:1:2DF FC ，三角形三角形DFG的面积为的面积为2平方厘米平方厘米，求长求长 方形方形ABCD的面积的面积 ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? G ? A ? B
13、 ? C ? D ? E ? F ? G 【考点】任意四边形模型【难度】4 星【题型】解答 【解析】连接AE，FE 因为:2:3BE EC ，:1:2DF FC ，所以 3111 () 53210 DEFABCDABCD SSS 长方形长方形 因为 1 2 AEDABCD SS 长方形 ， 11 :5:1 2 10 AG GF ， 所以510 AGDGDF SS 平方厘米， 所以12 AFD S 平 方厘米因为 1 6 AFDABCD SS 长方形 ，所以长方形ABCD的面积是72平方厘米 【答案】72 【例【例 9】 如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD的边长为的边长为 10 厘米，厘米
14、，E为为AD中点，中点，F为为CE中点，中点，G为为BF中点，求三中点，求三 角形角形BDG的面积的面积 【考点】任意四边形模型【难度】4 星【题型】解答 【解析】设BD与CE的交点为O，连接BE、DF 由 蝴 蝶 定 理 可 知: BEDBCD EO OCSS ， 而 1 4 BEDABCD SS ， 1 2 BCDABCD SS ， 所 以 :1:2 BEDBCD EO OCSS ，故 1 3 EOEC 由于F为CE中点，所以 1 2 EFEC，故:2:3EO EF ，:1:2FO EO 由蝴蝶定理可知:1:2 BFDBED SSFO EO ，所以 11 28 BFDBEDABCD SSS
15、 ， 那么 111 10 106.25 21616 BGDBFDABCD SSS （平方厘米） 4-3-3.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 5 of 7 【答案】6.25 【例【例 10】如图如图，在在ABC中中，已知已知M、N分别在边分别在边AC、BC上上，BM与与AN相交于相交于O,若若AOM、ABO和和 BON的面积分别是的面积分别是 3、2、1，则，则MNC的面积是的面积是 【考点】任意四边形模型【难度】4 星【题型】填空 【解析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解 根据蝴蝶定理得 3 13 22 AOMBON MON AOB SS S S 设 MON S
16、x ，根据共边定理我们可以得 ANMABM MNCMBC SS SS ， 3 3 32 2 3 1 2 x x ，解得22.5x 【答案】22.5 【例【例 11】正六边形正六边形 123456 A A A A A A的面积是的面积是 2009 平方厘米，平方厘米， 123456 B B B B B B分别是正六边形各边的中点；那么分别是正六边形各边的中点；那么 图中阴影六边形的面积是图中阴影六边形的面积是平方厘米平方厘米 【考点】任意四边形模型【难度】4 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，6 年级。初赛 【解析】如图，设 62 B A与 13 B A的交点为O，则图中空白部分由6个与 23
17、A OA一样大小的三角形组成，只要求 出了 23 A OA的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积 连接 63 A A、 61 B B、 63 B A 设 116 AB B的面积为”1“，则 126 B A B面积为”1“， 126 A A B面积为”2“，那么 636 A A B面积为 126 A A B的 2倍，为”4“，梯形 1236 A A A A的面积为224212， 263 A B A的面积为”6“， 123 B A A的面积为2 根据蝴蝶定理， 126326 13 :1:6 B A BA A B BOA OSS ，故 2 3 6 16 A OA S 123 12 7
18、B A A S， 所以 231236 12 :12:1:7 7 A OAA A A A SS 梯形 ，即 23 A OA的面积为梯形 1236 A A A A面积的 1 7 ，故为六边形 123456 A A A A A A面积的 1 14 ，那么空白部分的面积为正六边形面积的 13 6 147 ，所以阴影部分面积为 3 200911148 7 (平方厘米) 【答案】1148 【例【例 12】如图如图，ABCD 是一个四边形是一个四边形，M、N 分别是分别是 AB、CD 的中点的中点如果如果ASM、MTB 与与DSN 的面的面 积分别是积分别是 6、7 和和 8，且图中所有三角形的面积均为整数
19、，则四边形，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形 ABCD 的面积为的面积为 4-3-3.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 6 of 7 【考点】任意四边形模型【难度】5 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级组，决赛，12 题 【解析】连接MN、AC、BD 由于M是AB的中点， 所以AMN与BMN的面积相等， 而MTB比ASM的面积大 1， 所以MSN 比MTN的面积大 1； 又由于N是CD的中点， 所以DMN的面积与CMN的面积相等， 那么CTN 的面积比DSN的面积大 1，所以CTN的面积为 9 假设MTN的面积为a，则MSN的面积为1a 根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知
20、ASD的 面积为 48 1a ，BTC的面积为 63 a 要使这两个三角形的面积为整数，a可以为 1，3 或 7 由于ADM的面积为ABD面积的一半，BCN的面积为BCD面积的一半， 所以ADM与BCN 的面积之和为四边形ABCD面积的一半，所以ADM与BCN的面积之和等于四边形BMDN的面 积，即： 4863 69718 1 aa aa ，得 4863 21 1 a aa 将1a 、 3、 7 分别代入检验， 只有7a 时等式成立， 所以MTN的面积为 7，MSN、ASD、BTC 的面积分别为 8、6、9 四边形 ABCD 的面积为6789260 小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数
21、”这个条件是多余的 【答案】60 【例【例 13】已知已知ABCD是平行四边形是平行四边形，:3:2BC CE ，三角形三角形ODE的面积为的面积为6平方厘米平方厘米。则阴影部分的面积则阴影部分的面积 是是平方厘米。平方厘米。 【考点】任意四边形模型【难度】4 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，6 年级，第五题 【解析】连接AC。由于ABCD是平行四边形，:3:2BC CE ，所以:2:3CE AD ，根据梯形蝴蝶定理， 22 :2 :23:23:34:6:6:9 COEAOCDOEAOD SSSS ， 所以6 AOC S （平方厘米） ，9 AOD S （平 方厘米） ，又6915 ABC
22、ACD SS （平方厘米） ，阴影部分面积为61521（平方厘米） 。 【答案】21 【例【例 14】正方形正方形 ABCD 边长为边长为 6 厘米，厘米，AE 1 3 AC，CF 1 3 BC。三角形。三角形 DEF 的面积为的面积为平方厘米。平方厘米。 【考点】任意四边形模型【难度】4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 13 题 4-3-3.任意四边形、梯形与相似模型 题库page 7 of 7 【解析】为 1 3 AEAC ,所以三角形ADE的面积为三角形ACD的 1 3 ，即正方形ABCD的 111 236 。因为 1 3 AEAC ， 1 CF 3 BC ， 所以三
23、角形CEF的面积为三角形ABC面积的 212 339 ， 所以四边形ABFE 的面积是三角形ABC面积的 27 1 99 ，即正方形面积的 177 2918 ，因为 1 CF 3 BC ，所以三角形 DCF的面积是正方形面积的 111 236 ， 所以三角形DEF的面积是正方形面积的 175 12 61818 ， 即 2 5 610 18 （平方厘米） 。 【答案】10 【例【例 15】如图如图 4，在三角形，在三角形 ABC 中，已知三角形中，已知三角形 ADE、三角形、三角形 DCE、三角形、三角形 BCD 的面积分别是的面积分别是 89、28、 26，那么三角形，那么三角形 DBE 的面积是的面积是。 【考点】任意四边形模型【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，复赛，第 8 题，5 分 【解析】根据题意可知，8928117 ADCADEDCE SSS ，所以:26:1172:9 BDCADC BD ADSS ， 那么:2:9 DBEADE SSBD AD ，故 2227 89(901)2019 9999 DBE S 【答案】 7 19 9
