1、7-4-2.排列之捆绑法.题库教师版page1of4 7-4-2.7-4-2.排列排列之捆绑法之捆绑法 教学目标教学目标 1.使学生正确理解排列的意义； 2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列； 3.掌握排列的计算公式； 4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等 知识要点知识要点 一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就 是排列问题在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而
2、且与各事物所在的先后顺序有关 一般地，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中 取出m个元素的一个排列 根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同如果 两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺 序不同，它们也是不同的排列 排列的基本问题是计算排列的总个数 从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m个 元素的排列数，我们把它记做 m n P 根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成： 步骤1：从n个不同
3、的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法； 步骤2：从剩下的(1n )个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n )种方法； 步骤m：从剩下的(1)nm个元素中任取一个元素排在第m个位置，有11nmnm（）(种)方法； 由乘法原理，从n个不同元素中取出m个元素的排列数是121nnnnm（） （）（），即 12.1 m n Pn nnnm（）（）（），这里，mn，且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共 有m个因数相乘 二、排列数 一般地，对于mn的情况，排列数公式变为123 2 1 n n Pnnn （） （） 表示从n个不同元素中取n个元素排成一列所构成排列的排列数这种n个排列全
4、部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列式子右边是从n开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n， 读做n的阶乘，则 n n P还可以写为：! n n Pn，其中!123 2 1nnnn （） （） 例题精讲例题精讲 在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些 物体当作一个整体捆绑在一起进行计算 【例【例 1】 4 个男生个男生 2 个女生个女生 6 人站成一排合影留念人站成一排合影留念， 有多少种排法？如果要求有多少种排法？如果要求 2 个女生紧挨着排在正中间有个女生紧挨着排在正中间有 7-4-2.排列之捆绑法.题库教师版
5、page2of4 多少种不同的排法？多少种不同的排法？ 【考点】排列之捆绑法【难度】2 星【题型】解答 【解析】 4 男 2 女 6 人站成一排相当于 6 个人站成一排的方法，可以分为六步来进行，第一步，确定第一 个位置的人，有 6 种选择；第二步，确定第二个位置的人，有 5 种选择；第三步，排列第三个位置 的人，有 4 种选择，依此类推，第六步，最后一个位置只有一种选择根据乘法原理，一共有 65432 1720 种排法 根据题意分为两步来排列第一步，先排 4 个男生，一共有432 124 种不同的排法；第二 步， 将 2 个女生安排完次序后再插到中间一共有 2 种方法 根据乘法原理， 一共有
6、24248种排法 【答案】72048 【巩固】【巩固】 4 男男 2 女女 6 个人站成一排合影留念，要求个人站成一排合影留念，要求 2 个女的紧挨着有多少种不同的排法？个女的紧挨着有多少种不同的排法？ 【考点】排列之捆绑法【难度】2 星【题型】解答 【解析】分为三步： 第一步：4 个男得先排，一共有432 124 种不同的排法； 第二步：2 个女的排次序一共有 2 种方法； 第三步：将排完次序的两名女生插到排完次序的男生中间，一共有 5 个位置可插 根据乘法原理，一共有2425240 种排法 【答案】240 【例【例 2】 将将 A、B、C、D、E、F、G 七位同学在操场排成一列，其中学生七
7、位同学在操场排成一列，其中学生 B 与与 C 必须相邻请问共有多少必须相邻请问共有多少 种不同的排列方法？种不同的排列方法？ 【考点】排列之捆绑法【难度】2 星【题型】解答 【关键词】2007 年，台湾，第十一届，小学数学世界邀请赛 【解析】（法1）七人排成一列，其中B要与C相邻，分两种情况进行考虑 若B站在两端，B有两种选择，C只有一种选择，另五人的排列共有 5 5 P种，所以这种情况有 5 5 2 1240P 种不同的站法 若B站在中间，B有五种选择，B无论在中间何处，C都有两种选择 另 五人的排列共有 5 5 P种，所以这种情况共有 5 5 521200P 种不同的站法 所以共有2401
8、2001440种不同的站法 （法2）由于B与C必须相邻，可以把B与C当作一个整体来考虑，这样相当于6个元素的全排列， 另外注意B、C内部有2种不同的站法， 所以共有 6 6 21440P种不同的站法 【答案】1440 【巩固】【巩固】6 名小朋友名小朋友、 、 、 、 、ABCDEF站成一排，若站成一排，若，AB两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？若两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？若 、AB两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？ 【考点】排列之捆绑法【难度】3 星【题型】解答 【解析】若 A、B 两人必须站在一起，那么可以用“捆绑”的思想考虑，甲和
9、乙两个人占据一个位置，但在这个 位置上，可以甲在左乙在右，也可以甲在右乙在左因此站法总数为 25 25 PP=2120=240（种） A、 B 两个人不能相邻与 A、 B 两个人必须相邻是互补的事件， 因为不加任何条件的站法总数为 6 6 P=720 （种） ，所以 A、B 两个人不能相邻的站法总数为 720-240=480（种） 【答案】480 【例【例 3】 某小组有某小组有 12 个同学，其中男少先队员有个同学，其中男少先队员有 3 人，女少先队员有人，女少先队员有4人，全组同学站成一排，要求女少人，全组同学站成一排，要求女少 先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少种？
10、先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少种？ 【考点】排列之捆绑法【难度】3 星【题型】解答 【解析】把4个女少先队员看成一个整体，将这个整体与不是少先队员的5名同学一块儿进行排列，有 6 6 65432 1720P (种)排法然后在七个空档中排列3个男少先队员，有 3 7 76P 5210 (种)排法，最后4个女少先队员内部进行排列，有 4 4 432 124P (种)排法由乘法原 理，这样的排法一共有720210243628800(种) 【答案】3628800 【例【例 4】 学校乒乓球队一共有学校乒乓球队一共有 4 名男生和名男生和 3 名女生某次比赛后他们站成一排照相，
11、请问：名女生某次比赛后他们站成一排照相，请问： 7-4-2.排列之捆绑法.题库教师版page3of4 （1）如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？）如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？ （2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？ 【考点】排列之捆绑法【难度】3 星【题型】解答 【解析】 (1)要求男生不能相邻，则可以先排女生，然后把男生插进女生之间的空位里因为有 3 名女生，考 虑到两端也可以放人，所以一共有四个空位则站法总数为： 34 34 PP624144（种） (2)根据题意，采用捆绑法，将所有女生看成一个整体，
12、则站法总数为： 53 53 PP1206720（种） 【答案】(1)144(2)720 【例【例 5】 书架上有书架上有 4 本不同的漫画书，本不同的漫画书，5 本不同的童话书，本不同的童话书，3 本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同 类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法？类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法？ 【考点】排列之捆绑法【难度】3 星【题型】解答 【解析】每种书内部任意排序，分别有432 1 ，5432 1 ，32 1种排法，然后再排三种类型的 顺序，
13、有32 1种排法，整个过程分 4 步完成432 1 5432 1 32 1 32 1103680 种，一共有 103680 种不同排法 方法一：首先将漫画书和童话书全排列，分别有432 124 、5432 1120 种排法，然 后将漫画书和童话书捆绑看成一摞， 再和 3 本故事书一起全排列， 一共有5432 1120 种排法， 所以一共有24 120 120345600种排法 方法二：首先将三种书都全排列，分别有 24、120、6 种排法，然后将排好了顺序的漫画书和童话书， 整摞得先后插到故事书中，插漫画书时有 4 个地方可以插，插童话书时就有 5 个地方可插，所以一 共有24 1206543
14、45600 种排法 【答案】103680345600 【例【例 6】 四年级三班举行六一儿童节联欢活动四年级三班举行六一儿童节联欢活动整个活动由整个活动由 2 个舞蹈个舞蹈、2 个演唱和个演唱和 3 个小品组成个小品组成请问请问：如如 果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？ 【考点】排列之捆绑法【难度】2 星【题型】解答 【解析】要求同类型的节目连续演出，则可以应用“捆绑法”先对舞蹈、演唱、小品三种节目做全排列， 再 分别在各类节目内部排列具体节目的次序因此出场顺序总数为： 3223 3223 PPPP=144（种）
15、 【答案】144 【例【例 7】 停车站划出一排停车站划出一排12个停车位置，今有个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起个空车位连在一起， 一共有多少种不同的停车方案一共有多少种不同的停车方案? 【考点】排列之捆绑法【难度】2 星【题型】解答 【解析】把4个空车位看成一个整体，与8辆车一块进行排列，这样相当于9个元素的全排列，所以共有 9 9 362880P 【答案】362880 【例【例 8】 a，b，c，d，e 五个人排成一排，五个人排成一排，a 与与 b 不相邻，共有多少种不同的排法？不相邻，共有多少种不同的排法？ 【考点】排
16、列之捆绑法【难度】2 星【题型】解答 【解析】解法一：插空法，先排c，d，e，有 3 3 P种排法 在c，d，e三个人之间有 2 个空，再加上两端，共有 4 个空，a，b排在这 4 个空的位置上，a与b 就不相邻，有 2 4 P种排法根据分步计数乘法原理，不同的排法共有 32 34 P P72（种） 解法二：排除法，把a，b当作一个人和其他三个人在一起排列，再考虑a与b本身的顺序，有 42 42 P P 种排法总的排法为 5 5 P总的排法减去a与b相邻的排法即为a与b不相邻的排法，应为 542 542 PP P72（种） 【答案】72 【巩固】【巩固】 8 人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，
17、而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法？人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法？ 【考点】排列之捆绑法【难度】3 星【题型】解答 7-4-2.排列之捆绑法.题库教师版page4of4 【解析】n人的环状排列与线状排列的不同之处在于： 123n a a aa、 231n a aa a、 3412n a aa a a、 11nn a aa 在线状排列里是n个不同的排列，而在环状排列中是相同的排列所以，n个不同的元素的环状排 列数为 1 1 P P n nn n n 甲、乙两人必须相邻，可把他们看作是 1 人（当然，他们之间还有顺序） ，总排列数为 26 26 P P从中扣 除甲、乙相邻且乙、丙也相邻（注意，这和甲、乙、丙三人相邻是不同的如甲在乙、丙之间合于 后者，但不合于前者）的情况 25 25 P P种所以，符合题意的排法有 2625 2625 P PP P1200（种） 【答案】1200
