1、1 连云港市连云港市 20192020 学年第二学期高一年级期末调研考试学年第二学期高一年级期末调研考试 数学试题 20207 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1 22 cossin 88 A 2 4 B 2 4 C 2 2 D 2 2 2不等式 2 8x 的解集是 A(2 2，2 2)B(，2 2)(2 2，) C(4 2，4 2)D(，4 2)(4 2，) 3若从甲，乙，丙，丁 4 位同学中选出 3 名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是 A 1 4 B 1 3 C 2
2、 3 D 3 4 4某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄 之间的关系，将该校不小于 35 岁的 80 名教师 按年龄分组，分组区间为35，40)，40，45)， 45，50)，50，55)，55，60，由此得到频率 分布直方图如图，则这 80 名教师中年龄小于 45 岁的人数有第 4 题 A45B46C48D50 5过圆 x2y25 上一点 M(1，2)作圆的切线 l，则 l 的方程是 A230 xyB250 xyC250 xyD250 xy 6两条平行直线 6x4y50 与 y 3 2 x 的距离是 A 13 13 B 13 26 C 5 13 13 D 5 13 26 7如图，在三棱锥
3、 SABC 中，SBSCABACBC4，SA 2 3，则异面直线 SB 与 AC 所成角的余弦值是 2 A 1 8 B 1 8 C 1 4 D 1 4 第 7 题 8圆 22 2220 xyxy的圆心为 C，直线 l 过点(0，3)且与圆 C 交于 A，B 两点， 若ABC 的面积为3，则满足条件的直线 l 的条数为 A1B2C3D4 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9在 4 件产品中，有一等品 2 件，二等品 1 件（一等品与二等品都是正品） ，次品 1 件，现 从中任
4、取 2 件，则下列说法正确的是 A两件都是一等品的概率是 1 3 B两件中有 1 件是次品的概率是 1 2 C两件都是正品的概率是 1 3 D两件中至少有 1 件是一等品的概率是 5 6 10关于异面直线 a，b，下列四个命题正确的有 A过直线 a 有且仅有一个平面，使 b B过直线 a 有且仅有一个平面，使 b C在空间存在平面，使 a， b D在空间不存在平面，使 a，b 11正方体的外接球与内切球上各有一个动点 M，N，若线段 MN 的最小值为31，则 A正方体的外接球的表面积为12B正方体的内切球的体积为 3 C正方体的棱长为 1D线段 MN 的最大值为31 12 瑞士著名数学家欧拉在
5、 1765 年提出定理： 三角形的外心、 重心、 垂心位于同一直线上 这 条直线被后人称为三角形的“欧拉线” 在平面直角坐标系中作ABC，ABAC4， 点 B(1，3)，点 C(4，2)，且其“欧拉线”与圆 M： 222 (3)xyr相切，则下列 结论正确的是 3 A圆 M 上点到直线 xy30 的最小距离为2 2 B圆 M 上点到直线 xy30 的最大距离为3 2 C若点(x，y)在圆 M 上，则 x3y 的最小值是 32 2 D圆 22 (1)()8xaya与圆 M 有公共点，则 a 取值范围是12 2，12 2 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分其中第 16
6、 题共有 2 空，第一个 空 2 分，第二个空 3 分；其余题均为一空， 每空 5 分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13已知两点 A(3，2)，B(8，12)，则直线 AB 的一般式方程为 14用半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥筒的高为3，则半圆形纸片的半径为 15设 cosxt，用 t 的代数式表示 cos2x，用 t 的代数式表示 cos3x 16在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S，且满足 a2(bc)2S， bc2，则 S 的最大值是 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 1
7、7 （本小题满分 10 分） 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A60，b1，SABC3 （1）求 c 的值； （2）求 sinC 的值 18 （本小题满分 12 分） 已知 tan() 1 3 ，tan2 （1）求 tan； （2）求 sin2 19 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )(3)2f xaxax（其中 aR） （1）当 a1 时，解关于 x 的不等式( )0f x ； （2）若( )1f x 的解集为 R，求实数 a 的取值范围 4 20 （本小题满分 12 分） 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 DD1的中点，求证： （
8、1）BD1平面 EAC； （2）平面 EAC平面 AB1C 21 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C：x2y24x2aya20 （1）若圆 C 与 x 轴相切，求实数 a 的值； （2）若 M，N 为圆 C 上不同的两点，过点 M，N 分别作圆 C 的切线 l1，l2，若 l1与 l2 相交于点 P，圆 C 上异于 M，N 另有一点 Q，满足MQN60，若直线 l：xy60 上 存在唯一的一个点 T，使得TP2OC ，求实数 a 的值 5 22 （本小题满分 12 分） 已知梯形 ABCD 中，AB1，A60，ABC90，CBD45，如图（1）所 示现将ABC 沿边
9、 BC 翻折至ABC，记二面角 ABCD 的大小为 （1）当90时，如图（2）所示，过点 B 作平面与 AD 垂直，分别交 AC，AD 于 点 E，F，求点 E 到平面 ABF 的距离； （2）当30时，如图（3）所示，求二面角 ACDB 的正切值 江苏省连云港市 20192020 学年第二学期高一年级期末调研考试 数学试题 20207 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1 22 cossin 88 A 2 4 B 2 4 C 2 2 D 2 2 答案：C 考点：二倍角的余弦
10、公式 解析： 22 2 cossincos(2) 8882 ，故选 C 2不等式 2 8x 的解集是 A(2 2，2 2)B(，2 2)(2 2，) C(4 2，4 2)D(，4 2)(4 2，) 答案：B 考点：一元二次不等式 6 解析： 2 8x ，2 2x 或2 2x ，故选 B 3若从甲，乙，丙，丁 4 位同学中选出 3 名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是 A 1 4 B 1 3 C 2 3 D 3 4 答案：D 考点：古典概型 解析：P 3 4 ，故选 D 4某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄 之间的关系，将该校不小于 35 岁的 80 名教师 按年龄分组，分组区间为35，
11、40)，40，45)， 45，50)，50，55)，55，60，由此得到频率 分布直方图如图，则这 80 名教师中年龄小于 45 岁的人数有第 4 题 A45B46C48D50 答案：C 考点：频率分布直方图 解析：(0.0800.040) 5 8048 ，故选 C 5过圆 x2y25 上一点 M(1，2)作圆的切线 l，则 l 的方程是 A230 xyB250 xyC250 xyD250 xy 答案：B 考点：圆的切线方程 解析：根据切线方程公式可得切线方程为25xy ，即250 xy，故选 B 6两条平行直线 6x4y50 与 y 3 2 x 的距离是 A 13 13 B 13 26 C
12、5 13 13 D 5 13 26 答案：D 考点：两平行直线间的距离公式 解析：根据两平行间的距离公式可得 22 55 13 26 6( 4) d ，故选 D 7如图，在三棱锥 SABC 中，SBSCABACBC4，SA 2 3，则异面直线 SB 与 AC 所成角的余弦值是 7 A 1 8 B 1 8 C 1 4 D 1 4 第 7 题 答案：A 考点：异面直线所成的角 解析：取 AB、BC、SC、SA 的中点分别为 D、E、F、G， 则EFG 就是异面直线 SB 与 AC 所成的角或补角， 首先可判断出三角形 SAE 是等边三角形，求得三角形 SAE 高 EG3， FGFE2， 所以 44
13、91 cosEFG 2 2 28 ， 故异面直线 SB 与 AC 所成角的余弦值是 1 8 ，故选 A 8圆 22 2220 xyxy的圆心为 C，直线 l 过点(0，3)且与圆 C 交于 A，B 两点， 若ABC 的面积为3，则满足条件的直线 l 的条数为 A1B2C3D4 答案：D 考点：直线与圆相交 解析：圆 22 2220 xyxy化为标准方程为 22 (1)(1)4xy， 则 1 CA CB cosACB2sinACB3 2 ，ACB60或 120， 故圆心到直线 AB 的距离为 1 或3，当 l 斜率不存在时，符合题意， 当 l 斜率为 k 时，设直线为3ykx， 2 2 1 k
14、d k 1 或3， 解得 k 3 4 ，或 6 1 2 ，综上所述，共有 4 条，故选 D 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9在 4 件产品中，有一等品 2 件，二等品 1 件（一等品与二等品都是正品） ，次品 1 件，现 从中任取 2 件，则下列说法正确的是 8 A两件都是一等品的概率是 1 3 B两件中有 1 件是次品的概率是 1 2 C两件都是正品的概率是 1 3 D两件中至少有 1 件是一等品的概率是 5 6 答案：BD 考点：几何概型 解析：两件都是一等品的概率
15、 1 6 ，故 A 错误；两件中有 1 件是次品的概率为 1 2 ，故 B 正确； 两件都是正品的概率是 1 2 ，故 C 错误；两件中至少有 1 件是一等品的概率是 5 6 ，故 D 正确故选 BD 10关于异面直线 a，b，下列四个命题正确的有 A过直线 a 有且仅有一个平面，使 b B过直线 a 有且仅有一个平面，使 b C在空间存在平面，使 a， b D在空间不存在平面，使 a，b 答案：BCD 考点：空间中的位置关系 解析：当直线 ab，过直线 a 有无数个平面，能使 b，故 A 错误； 异面直线 a，b，过直线 a 有且仅有一个平面，使 b，故 B 正确； 异面直线 a，b，在空间
16、存在平面，使 a， b，故 C 正确； 如果 a，b，则 ab，即直线 a，b 共面，反之异面直线 a，b，在空间不存 在平面，使 a，b故 D 正确故选 BCD 11正方体的外接球与内切球上各有一个动点 M，N，若线段 MN 的最小值为31，则 A正方体的外接球的表面积为12B正方体的内切球的体积为 3 C正方体的棱长为 1D线段 MN 的最大值为31 答案：AD 9 考点：正方体的外接球与内切球 解析：设正方体棱长为 a，则 31 3 1 22 aa，解得 a2， 正方体外接球半径为3，内切球半径为 1， 正方体外接球表面积为 2 4 ( 3)12，故 A 正确； 内切球体积为 3 44
17、1 = 33 ，故 B 错误； 正方体的棱长为 2，故 C 错误； 线段 MN 的最大值为31，故 D 正确故选 AD 12 瑞士著名数学家欧拉在 1765 年提出定理： 三角形的外心、 重心、 垂心位于同一直线上 这 条直线被后人称为三角形的“欧拉线” 在平面直角坐标系中作ABC，ABAC4， 点 B(1，3)，点 C(4，2)，且其“欧拉线”与圆 M： 222 (3)xyr相切，则下列 结论正确的是 A圆 M 上点到直线 xy30 的最小距离为2 2 B圆 M 上点到直线 xy30 的最大距离为3 2 C若点(x，y)在圆 M 上，则 x3y 的最小值是 32 2 D圆 22 (1)()8
18、xaya与圆 M 有公共点，则 a 取值范围是12 2，12 2 答案：ACD 考点：与圆有关的位置关系 解析：取 BC 中点 D( 3 2 ， 1 2 )， 5 1 5 BC k ，1 AD k，故直线 AD 为 xy10， 故 2 2 2 rd，求得圆心 M 到直线 xy30 的距离为3 2， 故圆 M 上点到直线 xy30 的最小距离为2 2， 最大距离为4 2， 所以 A 正确， B 错误； 设32 cosx，2siny，则332cos6sinxy 32 2sin() 6 ， 10 则 x3y 的最小值是 32 2，故 C 正确； 22 2(2)3 2aa，解得12 212 2a ，故
19、 D 正确故选 ACD 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分其中第 16 题共有 2 空，第一个 空 2 分，第二个空 3 分；其余题均为一空， 每空 5 分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13已知两点 A(3，2)，B(8，12)，则直线 AB 的一般式方程为 答案：240 xy 考点：直线的两点式、一般式 解析： 23 1228 3 yx ，化为一般式为240 xy 14用半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥筒的高为3，则半圆形纸片的半径为 答案：2 考点：圆锥的侧面展开图 解析：半圆形纸片做成的圆锥，母线是底面半径的 2 倍，由于圆锥筒的高为3，故半圆形 纸片的
20、半径为 2 15设 cosxt，用 t 的代数式表示 cos2x，用 t 的代数式表示 cos3x 答案： 2 21t ， 3 43tt 考点：三角恒等变换 解析： 22 cos22cos121xxt ， 2223 cos3cos2 cos2sincos(21)2(1)43xxxxxtttttt 16在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S，且满足 a2(bc)2S， bc2，则 S 的最大值是 答案： 4 17 考点：余弦定理，解三角形 解析： 2222 1 ()sin2cos 2 abcbcAbcbcA， 化简得sin4cos4AA ，又 22 sincos1AA
21、， 解得cos1A （舍） ，或 15 cos 17 A ，则 8 sin 17 A， 11 2 11844 sin(2)(1) 22171717 SbcAbbb ， 当 b1 时，S 有最大值为 4 17 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A60，b1，SABC3 （1）求 c 的值； （2）求 sinC 的值 解：（1）在ABC中， 1 sin3 2 ABC SbcA ， 所以 13 3 22 b c ，所以4c ；
22、（2）在ABC中，由余弦定理得： 222 2cosabcbcA 所以 22 1 142 1 413 2 a ，所以13a ， 在ABC中，由正弦定理得： sinsin ac AC ， 所以 sin2 39 sin 13 cA C a 18 （本小题满分 12 分） 已知 tan() 1 3 ，tan2 （1）求 tan； （2）求 sin2 解：（1） tan()tan tan=tan() 1tan()tan ， 因为 1 tan() 3 ，tan2 ，所以tan=7 （2） 222 2sincos2tan sin22sincos sincostan1 ， 12 因为tan2 ，所以 4 si
23、n2 5 19 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )(3)2f xaxax（其中 aR） （1）当 a1 时，解关于 x 的不等式( )0f x ； （2）若( )1f x 的解集为 R，求实数 a 的取值范围 解：（1）当1a 时，由( )0f x 得， 2 420 xx ， 所以 2 420 xx ，所以不等式的解集为(62)( 62) U，； （2）因为( )1f x解集为R，所以 2 (3)21axax在R恒成立， 当0a 时，得321x，不合题意； 当0a时，由 2 (3)30axax 在R恒成立， 得 2 0 (3)120 a aa ， 所以9 6 296 2a 20 （
24、本小题满分 12 分） 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 DD1的中点，求证： （1）BD1平面 EAC； （2）平面 EAC平面 AB1C 证明：（1）连接 BD 交 AC 与 O，连接 OE， 因为 O 是 BD 中点，E是棱 1 DD的中点， 所以 OEBD1，又 BD1平面EAC，OE平面EAC， A1 B1 B1D1 A B C D E O 13 所以 1 BD平面EAC； （2）方法一：连接 11 BOB E，,设正方体边长为 1 在AEC中,EAEC,O是AC中点，得OEAC,同理 1 OBAC,故 1 EOB为 1 EACB所成二面角的平面角, 在 1 EO
25、B中, 3 2 OE , 1 6 2 BO , 1 3 2 B E 得 222 11 OEB EBO 故 1=90 EOB 故平面EAC平面 1 ABC 法二：连接 1 AB,在正方体 1111 ABCDABC D中， 11 A D 面 11 ABB A， 1 AB 面 11 ABB A,得 11 A D 1 AB 11 ABB A是正方形，得 1 AB 1 AB,又 1111 ABADA, 得 1 AB 面 11 ABD, 1 BD 面 11 ABD,故 1 AB 1 BD OE 1 BD得 1 OEAB， 在AEC中,EAEC,O是AC中点，得OEAC 又 1 ABACAI,得OE 面 1
26、 ABC，OE平面EAC 故平面EAC平面 1 ABC. 21 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C：x2y24x2aya20 （1）若圆 C 与 x 轴相切，求实数 a 的值； （2）若 M，N 为圆 C 上不同的两点，过点 M，N 分别作圆 C 的切线 l1，l2，若 l1与 l2 相交于点 P，圆 C 上异于 M，N 另有一点 Q，满足MQN60，若直线 l：xy60 上 存在唯一的一个点 T，使得TP2OC ，求实数 a 的值 解：（1）圆C的方程可以化为： 22 (2)()4xya， 所以圆心 ( 2)Ca ， ，半径为 2, 14 因为圆C与x轴相切，所以
27、| | 2a ，所以2a （2）因为点MN，在圆C上，且60MQN o ， 所以120MCN o ， 因为PMPN，分别是圆C的切线， 所以4PC ，即点P在以C为圆心，4为半径的圆上， 所以点P的轨迹方程为 22 (2)()16xya， 设 00 ()T xy，()P mn， 由 2TPOC uu ruuu r 得， 00 ()2( 2)mxnya， 所以 0 0 4 2 mx nya ，即 0 0 4 2 mx nya ，所以 22 00 (2)()16xya， 因为直线l 60 xy 上一存在唯一点T，使得 2TPOC uu ruuu r ， 所以 22 00 00 (2)()16 60
28、 xya xy 只有一组解， 所以 |26| 4 2 a ，所以 44 2a 22 （本小题满分 12 分） 已知梯形 ABCD 中，AB1，A60，ABC90，CBD45，如图（1）所 示现将ABC 沿边 BC 翻折至ABC，记二面角 ABCD 的大小为 （1）当90时，如图（2）所示，过点 B 作平面与 AD 垂直，分别交 AC，AD 于 点 E，F，求点 E 到平面 ABF 的距离； （2）当30时，如图（3）所示，求二面角 ACDB 的正切值 解：（1）因为平面A BC平面BCD，平面A BC I平面BCDBC， 15 CDBC，CD平面BCD， 所以CD平面A BC，又BE 平面A
29、BC，所以CDBE， 因为A DBEF 平面，BEBEF 平面，所以A DBE 又CDA DDI，CDA DA CD，平面， 所以BEA CD 平面，又A CA CD 平面，所以BEA C， 在Rt A BC中， 3 = 2 A B BC BE A C ， 又A BCBCD平面平面，A BCBCDBCI平面平面，A BBC，A BA BC 面 所以A BBCD 平面，又BDBCD 平面，所以A BBD， 在Rt A BD中， 6 7 A B BD BF A D ，所以 22 1 7 A FA BA F ， 在Rt BEF中， 22 3 2 7 EFBFBE， 设点E到平面A BF的距离为d，因
30、为 ABEFEA BF VV ，所以 11 33 BEF A BF SA FSd ， 所以 6 8 d ； （2）过点B作直线l/CD，过A作A Hl交l于点H因为CDBC，所以lBC， 又因为A BBC，所以A BH就是二面角ABCD的平面角， 所以30A BH，因为1A B ，所以 1 2 A H ， 过点H作HQ CD 交CD于点Q，连接 A Q， 因为BCA B，BCl，lA BBI，所以BCA BH 平面， 又BCBCD 平面，所以BCDA BH平面平面 又因为BCDA BHlI平面平面，A Hl，A HA BH 平面 所以A HBCD 平面， 因为HQ CD ，所以CDA HQ平面， 因为A QA CD平面，所以 CDA Q ， 所以 A QH 是二面角ACDB 的平面角， A B C D Q H l 16 在 Rt A QH 中， 3 tan 6 A H A QH HQ =， 所以二面角ACDB 的正切值为 3 6
