1、 第1页/共4页 2023 北京丰台高一（下）期末 数 学 2023.07 第一部分 （选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知向量(1 2)=a,(2)k=,b.若ab，则实数k=（A）1（B）1（C）4（D）4（2）设i是虚数单位，则1ii=（A）1i+（B）1i（C）1i+（D）1 i （3）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，终边关于原点O对称.若角的终边与单位圆O交于点25()33P,，则cos=（A）23（B）23（C）53（D）53（4）已知4sin5=，(0)
2、2,，则sin()4=（A）210（B）210（C）7 210（D）7 210（5）数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，在该书的第五卷“三斜求积”中，提出了由三角形的三边直接求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”把以上这段文字写成公式，就是2222221()42cabSc a+=（其中S为三角形面积，a为小斜，b为中斜，c为大斜）.在ABC中，若2a=，3b=，3c=，则ABC的面积等于（A）24 （B）22 （C）34 （D）32（6）已知mn，是两条不重合直线，是两个不重合平面，则下列说法正
3、确的是（A）若mn，n，则m （B）若，m，则m （C）若，n，mn，则m （D）若，m，m，则m （7）将函数cos2yx=图象上的点()6Pm，向右平移个单位长度得到点 P.若 P位于函数(0)s s 第2页/共4页 cos(2)6yx=的图象上，则（A）12m=，的最小值为12 （B）12m=，的最小值为6 （C）32m=，的最小值为12 （D）32m=，的最小值为6（8）如 图，在 四 边 形ABCD中，ABCD,3AB=,2CD=,3AD=,90BAD=.若P为线段AB上一动点，则CP DP 的最大值为（A）2（B）3（C）6（D）7（9）如图，在正方形123SG G G中，E F,
4、分别为边12GG，23G G的中点.现沿线段SE，SF 及EF把这个正方形折成一个四面体，使123G G G,三点重合，重合后的点记为G.在该四面体GSEF中，作GO 平面SEF，垂足为O，则O是SEF的（A）垂心 （B）内心 （C）外心 （D）重心（10）如图，已知直线12ll，A为12l l,之间一定点，并且点A到1l的距离为 2，到2l的距离为 1.B为直线2l上一动点，作ACAB，且使AC与直线1l交于点C，则ABC面积的最小值为（A）1（B）32（C）2（D）4 第二部分 （非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。（11）已知某圆柱的底面半径长
5、为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积为 （12）某运动员射击一次，命中10环的概率为0.2，命中9环的概率为0.4，则他射击一次命中的环数不超过8的概率为 （13）在 复 平 面 内，O是 原 点，向 量1OZ 对 应 的 复 数 是12iz=，向 量2OZ 对 应 的 复 数 是22i()zaa=R.若12OZOZ ，则a=（14）若函数()sincos()f xxx=+在区间()4 2，上单调递增，则常数的一个取值为 （15）如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，M，N分别为线段1BD AD,上的 ssss 第3页/共4页 动点，给出下列四个结论：当M为线段BD的中点时，
6、M，N两点之间距离的最小值 为2；当N为线段1AD的中点时，三棱锥11NMB D的体积为定值；存在点M，N，使得MN 平面1ABC；当M为靠近点B的三等分点时，平面1D AM截该正方体所得截面的周长为2 52 22+.其中所有正确结论的序号是 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题 14 分）在中，3 cossin0bAaB=.（）求A；（）若2c=，且的面积为3 3，求a的值.（17）（本小题 14 分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，1D D,分别为棱11AC AC,的中点.（）求证：1AD平面1BDC；（）再从条件、条件这两个
7、条件中选择一个作为已知，求证：平面1BDC 平面11ACC A.条件：1BDAD；条件：BABC=注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 （18）（本小题 15 分）已知函数()sin()f xAx=+(00|)2A,的部分图象如图所示.（）求的解析式；（）设函数()()2cos2g xf xx=+，求在区间02,上的最 大值以及取得最大值时x的值 ABCABC()f x()g x 第4页/共4页 （19）（本小题 14 分）在新高考背景下，北京高中学生需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这 6 个科目中选择 3 个科目学习并参加相应的等级性考试.为提前了解学生的选科意愿，某校
8、在期中考试之后，组织该校高一学生进行了模拟选科.为了解物理和其他科目组合的人数分布情况，某教师整理了该校高一（1）班和高一（2）班的相关数据，如下表：其中高一（1）班共有40名学生，高一（2）班共有38名学生.假设所有学生的选择互不影响.（）从该校高一（1）班和高一（2）班所有学生中随机选取 1人，求此人在模拟选科中选择了“物理+化学”的概率；（）从表中选择“物理+思想政治”的学生中随机选取 2 人参加座谈会，求这 2 人均来自高一（2）班的概率；（）该校在本学期期末考试之后组织高一学生进行了第二次选科，现从高一（1）班和高一（2）班各随机选取 1 人进行访谈，发现他们在第二次选科中都选择了“
9、物理+历史”.根据这一结果，能否认为在第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化？说明理由.（20）（本小题 15 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，M为棱PC的中点，平面ABM 与棱PD交于点N.（）求证：N为棱PD的中点；（）若平面PAD平面ABCD，42ABAD=,，PAD为等边三角形，求四棱锥PABMN的体积 （21）（本小题 13 分）设非零向量()kkkxy=,，()kkkyx=,(*)k，并定义2121kkkkkkxy+=,.（）若12(1 2)(32)=,，求123,|；（）写出12kkk+,|(*)k 之间的等量关系，并证明；（）若121=，求证：集合*
10、kk 是有限集.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）第 1 页 共 5 页 丰台区 20222023 学年度第二学期期末练习 高一数学参考答案 2023.07 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A B D A C A C 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 114 120.4 131 14（答案不唯一）15（注：15 题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分.)
11、三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16（本小题 14 分）解：（）因为3 cossin0bAaB，所以由正弦定理得3sincossinsin0BAAB.因为(0)B，所以sin0B，所以3cossin0AA，即tan3A.又(0)A，所以3A.6 分（）由（）知，3A，因为2c，的面积为3 3，所以由1sin2SbcA得12 sin3 323b，解得6b.由余弦定理2222cosabcbcA得22262262cos3a，解得228a，所以2 7a.14 分 17（本小题 14 分）解：（）因为
12、三棱柱111ABCA BC是直三棱柱，所以四边形11ACC A是平行四边形.因为D，1D分别为棱AC，11AC的中点，所以11=AD C D，且AD11C D，所以四边形11ADC D是平行四边形，于是1AD1C D.ABC 第 2 页 共 5 页 又1AD平面1BDC，1C D平面1BDC，所以1AD平面1BDC.7 分（）选：由（）知，1AD1C D，且1BDAD，所以1BDC D.因为直三棱柱111ABCA BC，所以1C C 平面ABC.又BD 平面ABC，所以1BDC C.因为111=C DC C C，所以BD 平面11ACC A.因为BD 平面1BDC，所以平面1BDC平面11AC
13、C A.14 分 选：因为BABC，且D为棱AC的中点，所以BDAC.因为直三棱柱111ABCA BC，所以1C C 平面ABC.又BD 平面ABC，所以1BDC C.因为1=ACC C C，所以BD 平面11ACC A.因为BD 平面1BDC，所以平面1BDC平面11ACC A.14 分 18（本小题 15 分）解：（）由图可得2A，且41234T，所以T ，即2，所以()2sin(2)f xx.又()=23f，所以2sin(2)23，即+2()32kkZ，所以+26()kk Z.又|2，所以6，故()2sin(2)6f xx.8 分（）因为()()2cos2g xf xx，第 3 页 共
14、5 页 所以()3sin2cos22cos2g xxxx 3sin2cos2xx 2sin(2)6x.因为02x，所以72666x，所以当262x，即6x时，()g x有最大值为 2.15 分 19（本小题 14 分）解：（）依题意得高一（1）班和高一（2）班学生共有403878人，即该随机试验的样本空间有 78 个样本点.设事件A“此人在模拟选科中选择了物理+化学”，则事件A包含101525个样本点，所以25()78P A.3 分（）依题意得高一（1）班选择“物理+思想政治”的学生有 2 人，分别记为1A，2A；高一（2）班选择“物理+思想政治”的学生有 3 人，分别记为1B，2B，3B.该
15、随机试验的样本空间可以表示为：12A A，11AB，12AB，13AB，21A B，22A B，23A B，12B B，13B B，23B B，即()10n .设事件B“这 2 人均来自高一（2）班”，则12BB B，13B B，23B B，所以()3n B，故()3()()10n BP Bn.9 分（）设事件C“从高一（1）随机选取 1 人，此人在第二次选科中选择了物理+历史”，事件D“从高一（2）班随机选取 1 人，此人在第二次选科中选择了物理+历史”，事件E“这两人在第二次选科中都选择了物理+历史”.假设第二次选科中选择“物理+历史”的人数没有发生变化，则由模拟选科数据可知，1()40P
16、 C，1()38P D.所以111()()()()40381520P EP CDP C P D.答案示例 1：可以认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生变化.理由如下：第 4 页 共 5 页()P E比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为第二次选科中选择“物 理+历史”的人数发生了变化.答案示例 2：无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否发生变化.理由如下：事件E是随机事件，()P E虽然比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，所以无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否有变化.14 分 20（本小题 15 分）解：（）因为四边形ABCD是矩形
17、，所以ABCD.又AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以AB平面PCD.因为AB 平面ABMN，平面ABMN平面=PCD MN，所以ABMN，即MNCD.又M为棱PC的中点，所以N为棱PD的中点.7 分（）因为四边形ABCD是矩形，所以ABAD.因为平面PAD 平面ABCD，AB 平面ABCD，平面PAD平面=ABCD AD，所以AB 平面PAD，所以ABAN，ABPD.因为PAD为等边三角形，N为棱PD的中点，所以PDAN.因为=ABAN A，所以PD 平面ABMN，即点P到平面ABMN的距离为PN.因为2AD，所以=1PN.连接AM，则四边形ABMN的面积=AMBAMNS SS1=()3
18、 32ABMNAN，所以四棱锥PABMN的体积13=3331V.15 分 21（本小题 13 分）解：（）因为12(1 2)(32),，所以222212|125|3(2)13 ,.依题意得2(2,3)，所以3213213 1(2)21,(2)1(3)28xy ，即3(1,8)，所以223|(1)(8)65 .5 分（）12|kkk,的等量关系是21|kkk(*)k.证明如下：依题意得2222111|,kkkkkkxyxy,ABCDMNP 第 5 页 共 5 页 所以2222222222221111111|kkkkkkkkkkkkkkxyxyx xx yxyy y.因为111(,)kkkyx，所
19、以21112111kkkkkkkkkkkkkkxxxyyyx yxy,即21111(,)kkkkkkkkkx xy yx yxy，所以2221111|()()kkkkkkkkkx xy yx yxy 222222221111kkkkkkkkx xx yxyy y，故21|kkk.9 分（）由（）及12|1得3|1 .依此类推得|1k (*)k，可设(cossin)kkk,，则111(cossin)kkk,，111(sincos)kkk,.依题意得，2111121111coscossinsincos()sincoscossinsin()kkkkkkkkkkkkkkkkkkxy,所以211(cos()sin()kkkkk,.同理得31111(cos()sin()(cos()sin()kkkkkkkkk,，41111(cos()()sin()()(cos()sin()kkkkkkkkk,，51111(cos()()sin()()(cos()sin()kkkkkkkkk ,，61111(cos()()sin()()(cossin)kkkkkkkkk ,.所以6kk(*)k.综上，集合*kk 是有限集.13 分 （若用其他方法解题，请酌情给分）（若用其他方法解题，请酌情给分）
