1、 第1页/共8页 2023 北京朝阳高一（下）期末 数 学 20237（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 50 分）和非选择题（共 100 分）两部分 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第一部分（选择题 共 50 分）一、选择题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1.计算2(2i)=A.1 B.-2 C.-4 D.4 2.已知(3,2),(5,1)AB,若ACCB=,则点C的坐标为 A.1(1,)2 B.3(1,)2 C.1(1,)2 D.3(1,)2 3.在
2、如图所示的正方体1111ABCDABC D中，异面直线11AC与BD所成角的大小为 A.120 B.90 C.60 D.45 4.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，则下列事件是对立事件的是 A.“都是白球”与“至少有一个白球”B.“恰有一个白球”与“都是红球”C.“都是白球”与“都是红球”D.“至少有一个白球”与“都是红球”5.已知两条不同直线,a b和平面，若a，则“”是“ab”的 A充分而而不必要条件 B必要而而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6.甲、乙两人射击，甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.5，如果甲、乙两人各射击一次，恰有一人命中的概率为 A.0.3 B
3、.0.4 C.0.5 D.0.6 7.已知函数的部分图象如图所示，则()6f=A.32 B.22 C.0 D.22 8.已知一组不全相同的数据123,nx xxx的平均数为x，方差为2s，在这组数据中加入一个数x后得到一组新数据，其平均数为x，方差为2s，则()sin()(0)f xx=+，第2页/共8页 Axx B 22ss Cxx D 22ss 9.堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著九章算术商功.如图 1,把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）.如图 2,再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个,以矩形为底,另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下
4、的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.则图 2 中的阳马与图 1 中的长方体的体积比是 A.16 B.13 C.12 D.23 9 题图 1 9 题图 2 10.设M为平面四边形ABCD所在平面内的一点，MA=a，MB=b，MC=c，MD=d.若+=+acbd且=a cb d，则平面四边形ABCD一定是（）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.梯形 第二部分（非选择题 共 100 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 11.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，复数1iz=+对应的点为Z，则OZ=.12.某地区有高中生 3000 人，初中生 6000 人，小学生 60
5、00 人.教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本量为 150，那么在高中生中抽取了 人.13.在ABC中，8,7,3abc=,则B=_；tan()AC+=_.14.把函数()sin(2)3f xx=+图象上的所有点向右平行移动6个单位长度得到函数()g x的图象，则()g x的一个对称中心坐标为_.15.如图，在ABC中，设4,ABBCa=，B的平分线和AC交于D点，点E在线段BC上，且满足:3:2BE EC=,设12AEk ABk AC=+（1k,2k R），则12kk+=；当a=时，DEAB.16.如
6、图 1，四棱锥PABCD是一个水平放置的装有一定量水的密闭容器（容器材料厚度不计），底面ABCD为平行四边形，现将容器以棱AB为轴向左侧倾斜到图 2 的位置，这时水面恰好经过CDEF，其中,E F分别为棱,PA PB的中点，在倾斜过程中，给出以下四个结论：没有水的部分始终呈棱锥形 DCEAB 第3页/共8页 有水的部分始终呈棱柱形 棱AB始终与水面所在平面平行 水的体积与四棱锥PABCD体积之比为5:8 其中所有正确结论的序号为 .三、解答题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17.（本小题（本小题 13 分）分）已知函数()2sin22 3cosxfxx=+.(
7、)求函数()f x的最小正周期；()求函数()f x在区间40，上的最大值和最小值.18.（本小题（本小题 13 分）分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示.两种养殖方法的箱产量相互独立.()求频率分布直方图中a的值；()用频率估计概率，从运用新、旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，估计两个网箱的箱产量都不低于 55 kg 的概率；（）假定新、旧网箱养殖方法网箱数不变，为了提高总产量，根据样本中两种养殖法的平均箱产量，该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适？（直接写出结果）
8、第16题图1 第 16 题图 2 第4页/共8页 19.（本小题（本小题 14 分）分）在ABC中，已知sin3sinAB=，6C=.()求证：bc=；()在3ac=；sin3cA=；2cab=这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，求b和ABC的面积 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20.(本小题本小题 15 分分)已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABCD，90DAB=，12CDAB=，平面PAD平面ABCD，M是PB的中点()求证：CD 平面PAD；()求证：CM 平面PAD；（）设棱PC与平面ADM交于点N，求PNNC的值 21.（本小题（本小题 15
9、 分）分）设*,m nN，已知由自然数组成的集合1212,()nnSa aaaaa=，集合12,mS SS是S的互不相同的非空子集，定义nm数表：111212122212mmnnnmxxxxxxxxx=，其中1,0,ijijijaxaSS=设12(1,2,)(),iiiimd axnixx=+=，令()d S是12(),(),()nd ad ad a中的最大值（）若3m=，1,2,3S=，且101011100=，求213,S SS及()d S；（）若1,2,Sn=，集合12,mS SS中的元素个数均相同，若()3d S=，求n的最小值；（）若7m=，1,2,7S=，集合712,S SS中的元素
10、个数均为 3，且(17)ijSSij，求证：()d S的最小值为3 第5页/共8页 参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 5分，共 50 分）（1）C （2）A （3）B （4）D （5）C（6）C （7）B （8）D （9）B （10）C 二、填空题（共 6 小题，每小题 5分，共 30 分）（11）2 （12）30 （13）3,3.（14）(0,0)(答案不唯一)（15）1，83 （16）三、解答题（共 5 小题，共 70 分）（17）（本小题共本小题共 13 分）分）解：（）()sin23(1 cos2)f xxx=+sin23cos23xx=+2sin(2)33x=+，T=.6
11、 分（）因为当0,4x时，52,336x+，所以当23x+=56时，即当x=4时，f(x)取到最小值，最小值为()134f=+；当232x+=，即当12x=时，f(x)取到最大值，最大值为()2312f=+.13分（18）（）（本小题共本小题共 13 分）分）解：()由5(0.0040.0080.0100.0200.0440.046)1a+=，所以0.068.a=.4 分()设事件 A、B 分别表示：从运用新、旧网箱养殖方法的水产品中随机抽取一个网箱，其箱产量不低于55kg，用频率估计概率，则()(0.0200.012 2)50.22P A=+=，()(0.0460.0100.008)50.3
12、2P B=+=.因为 A、B 相互独立，所以()()()0.22 0.320.0704P ABP A P B=.10 分（）新养殖法 .13 分（19）（）（本小题共本小题共 14 分）分）解：()由sin3sinAB=，根据正弦定理可得3ab=.第6页/共8页 又因为6C=，由余弦定理得：2223cos22abcCab+=.将3ab=代入该式，得到22cb=，即cb=.8.8 分分()选 由3ac=，且bc=，所以233b=，1b=,则1c=.由6C=得6B=,则23A=.13sin24ABCSbcA=.14 分 选 根据cb=，所以6CB=，23A=.因为sin3cA=，所以2 3c=,即
13、2 3b=.1sin3 32ABCSbcA=.14 分（20）（本小题共 15 分）解：（）因为90DAB=，所以ABAD.又/AB CD，所以CDAD.因为平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD=，CD 平面,ABCD 所以CD 平面PAD.5 分（）取PA中点G，连接,DG MG，因为MG，分别是,PB PA的中点，所以1,2MGAB MGAB=.又ABCD，所以CDMG.因为12CDAB=,所以CDMG=.所以四边形CDGM是平行四边形，所以CMDG.且DG 平面PAD，CM 平面PAD，所以CM 平面PAD.11 分 第7页/共8页 （）延长BC与AD交于点E，连接PE.
14、因为EBC,BC 平面PBC，所以E平面PBC，因为EAD,AD 平面ADM，所以E平面ADM，所以平面PBC平面.ADMME=ME交PC于点N,故N为PC与平面ADM的交点.在PBE中，PC为BE边的中线，EM为PB边的中线，所以2PNNC=.15 分（21）（本小题共 15 分）解：（）1321,3,2,1,2SSS=，()2d S=.4分（）设iaS使得()()3id ad S=，则12()iiiimmd axxx+=+，所以3m 所以1,2,Sn=至少有 3 个元素个数相同的非空子集 当1n=时，1S=，其非空子集只有自身，不符题意 当2n=时，1,2S=，其非空子集只有1,2,1,2
15、，不符题意 当3n=时，1,2,3S=，元素个数为 1的非空子集有1,2,3，元素个数为 2 的非空子集有1,2,2,3,1,3 当123,1,2,3S SS=时，(1)(2)(3)1ddd=，不符题意 当123,1,2,2,3,1,3S SS=时，(1)(2)(3)2ddd=，不符题意 当4n=时，1,2,3,4S=，令1231,21,1,3,4SSS=，则111100010001=，()(1)3d Sd=所以n的最小值为4.9 分（）由题可知，|1,17jijSi xi=，记|jS为集合(1,2,),7jSj=中的元素个数，则127|3jjjjxSxx+=+=为数表第j列之和 因为127(1,2,)(),7iiidxiixx=+=是数表第i行之和，所以1271|(1)(2)(7)|73|2|ddSSdS=+=+=第8页/共8页 因为()()(1,2,7)d id S i=，所以21(1)(2)(7)7()dddd S=+所以()3d S 当12341,2,3,1,4,5,2,4,61,6,7,SSSS=，5673,4,7,3,5,6,2 5,7SSS=时，1110000100100110001100101100010001100110100010101=，()3d S=所以()d S的最小值为3.15 分
