1、 1 高中数学易错、易混、易忘题分类汇编 “会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何 解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学 生在考试中常见的 66 个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、 怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实 存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考 中乘风破浪，实现自已的理想报负。 【易错点 1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维
2、不全面。 高中数学易错、易混、易忘题分类汇编 “会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何 解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学 生在考试中常见的 66 个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、 怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实 存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考 中乘风破浪，实现自已的理想报负。 【易错点 1】忽视空集是任何非空集合的子集导致
3、思维不全面。 例1、 设例1、 设 2 |8150Ax xx=+=，|10Bx ax= =，若，若ABB=I，求实数 a 组成的集 合的子集有多少个？ 【易错点分析】此题由条件 ，求实数 a 组成的集 合的子集有多少个？ 【易错点分析】此题由条件ABB=I易知易知BA，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极 易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的 a 值产生漏解现象。 解析：集合 A 化简得 ，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极 易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的 a 值产生漏解现象。 解析：集合 A 化简得3,5A =，由，由ABB=I知知BA故（）当故（）当B=时，即方程时
4、，即方程10ax =无 解，此时 a=0 符合已知条件（）当 无 解，此时 a=0 符合已知条件（）当B时，即方程时，即方程10ax =的解为 3 或 5，代入得的解为 3 或 5，代入得 1 3 a =或或 1 5 。 综上满足条件的 a 组成的集合为 。 综上满足条件的 a 组成的集合为 1 1 0, 3 5 ，故其子集共有，故其子集共有 3 28=个。 个。 【知识点归类点拔】 （【知识点归类点拔】 （1） 在应用条件 AB） 在应用条件 ABABAB时， 要树立起分类讨论的数学思想，时， 要树立起分类讨论的数学思想， 将集合是空集的情况优先进行讨论 将集合是空集的情况优先进行讨论 （2
5、）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限 制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数 学语言）和自然语言之间的转化如：学语言）和自然语言之间的转化如：() 22 ,|4Ax yxy=+=， () ()() 22 2 ,|34Bx yxyr=+=，其中，其中0r ,若,若AB=I求 r 的取值范围。将集合所表达求 r
6、的取值范围。将集合所表达 的数学语言向自然语言进行转化就是：集合 A 表示以原点为圆心以 2 的半径的圆，集合 B 表示以（3，4）的数学语言向自然语言进行转化就是：集合 A 表示以原点为圆心以 2 的半径的圆，集合 B 表示以（3，4） 为圆心，以 r 为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径 r 的取值范围。思维马上就可利为圆心，以 r 为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径 r 的取值范围。思维马上就可利 用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。 用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。 【练 1】已知集合
7、【练 1】已知集合 2 |40Ax xx=+=、() 22 |2110Bx xaxa=+ =，若，若BA， 则实数 a 的取值范围是 ， 则实数 a 的取值范围是 。答案：。答案：1a =或或1a 。 。 【易错点 2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。 【易错点 2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。 例 2、已知例 2、已知() 2 2 21 4 y x+=,求,求 22 xy+的取值范围 【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于 x 的函数最值求解，但极易忽略 x、 y 满足 的取值范围 【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转
8、化为关于 x 的函数最值求解，但极易忽略 x、 y 满足() 2 2 21 4 y x+=这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。 这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。 2 解析：由于解析：由于() 2 2 21 4 y x+=得得(x+2)(x+2) 2 2=1- =1- 4 2 y 1，1，-3x-1-3x-1从而从而x2+y2=-3x2-16x-12= + 3 28 因此当因此当x=-1x=-1时时x x 2 2+y +y 2 2有最小值1, 当x=- 有最小值1, 当x=- 3 8 时，时，x x 2 2+y +y 2 2有最大值 有最大值 3 28 。
9、 故。 故x x 2 2+y +y 2 2的取值范围是1, 的取值范围是1, 3 28 【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件() 2 2 21 4 y x+=对 x、y 的限制，对 x、y 的限制， 显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3x-1，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3x-1，22y 。此外本题还可通过三角换元。此外本题还可通过三角换元 转化为三角最值求解。 转化为三角最值求解。 【练 2】 （05 高考重庆卷）若动点（x,y）在曲线【练 2】 （05 高考重庆卷）若动点（x,
10、y）在曲线 22 2 1 4 xy b +=()0b 上变化，则上变化，则 2 2xy+的最大值为 （） （A） 的最大值为 （） （A） () () 2 4 04 4 24 b b b b + （B）（B） () () 2 4 02 4 22 b b b b + （C）（C） 2 4 4 b +（D）（D）2b 答案：A 【易错点 3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。 答案：A 【易错点 3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。 例3、 例3、 ( ) 21 12 x x a f x = + 是 R 上的奇函数， （1）求 a 的值（2）求的反函数
11、是 R 上的奇函数， （1）求 a 的值（2）求的反函数( ) 1 fx 【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。 解析： （1）利用 【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。 解析： （1）利用( )()0f xfx+=（或（或( )00f=）求得 a=1. （2）由 ）求得 a=1. （2）由1a =即即( ) 21 21 x x f x = + ，设，设( )yf x=,则,则()211 x yy= +由于由于1y故故 1 2 1 x y y + = ， 1 1 2 log y y x + =，而，而
12、( ) 21 21 x x f x = + () 2 11,1 21 x = + 所以所以( )() 1 1 1 2 log11 x x fxx + = 【知识点归类点拔】 （【知识点归类点拔】 （1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函 数的解析式后表明（若反函数的定义域为数的解析式后表明（若反函数的定义域为 R 可省略） 。可省略） 。 （2）应用）应用 1( ) ( )fbaf ab =可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解
13、但应注意其自变量和 函数值要互换。函数值要互换。 【练【练 3】（】（2004 全国理）函数全国理）函数( )()1 11f xxx= +的反函数是（）的反函数是（） A、() 2 221yxxx=+ B、() 2 221yxxx=+ C、() 2 21yxx x= 即函数的定义域为即函数的定义域为()()1,00,1U定义域关于原点对称， 在定义域下 定义域关于原点对称， 在定义域下( ) () 2 lg 1x f x x = 易证易证()( )fxf x= 即函数为奇函数。 即函数为奇函数。 【知识点归类点拔】 （【知识点归类点拔】 （1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不
14、充分条件，因此在判断）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断 函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。 （2）函数）函数( )f x具有奇偶性，则具有奇偶性，则( )()f xfx=或( )()f xfx= 是对定义域内是对定义域内 x 的恒等式。常的恒等式。常 常利用这一点求解函数中字母参数的值。 常利用这一点求解函数中字母参数的值。 【练 5】判断下列函数的奇偶性：练 5】判断下列函数的奇偶性： ( ) 22 44f xxx=+( )() 1 1 1 x f xx x + = ( ) 1sincos 1sincos x
15、x f x xx + = + 答案：既是奇函数又是偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数 答案：既是奇函数又是偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数 【易错点 6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。 【易错点 6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。 例例6、 函数、 函数( ) 22 21 2 11 log 22 x x f xxx + = 或的反函数为的反函数为( ) 1 fx ， 证明， 证明( ) 1 fx 是奇函数且在 其定义域上是增函数。 是奇函数且在 其定义域上是增函数。 【思维分析】可求【思维分析】可求( ) 1 fx 的表达式，再证明
16、。若注意到的表达式，再证明。若注意到( ) 1 fx 与与( )f x具有相同的单调性和奇偶性， 只需研究原函数 具有相同的单调性和奇偶性， 只需研究原函数( )f x的单调性和奇偶性即可。的单调性和奇偶性即可。 解析：解析：() 212121 212121 222 logloglog xxx xxx fx + + = ( )f x= ，故，故( )f x为奇函数从而为奇函数从而( ) 1 fx 为 奇函数。 又令 为 奇函数。 又令 212 1 2121 x t xx = + 在在 1 , 2 和和 1 , 2 + 上均为增函数且上均为增函数且 2 log t y =为增函数， 故 为增函数
17、， 故( )f x在在 1 , 2 和和 1 , 2 + 上分别为增函数。 故上分别为增函数。 故( ) 1 fx 分别在分别在()0,+和和(),0上分别为 增函数。 上分别为 增函数。 【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论： （【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论： （1）定义域上的单调函数必有反函数。 （）定义域上的单调函数必有反函数。 （2）奇函数）奇函数 的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。 （的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。 （3） 定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。） 定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。 （4）周期函
18、数不存在反函数（）周期函数不存在反函数（5）原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即）原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即 1( ) ( )fbaf ab =。 【练【练 6】 （】 （1） （） （99 全国高考题）已知全国高考题）已知( ) 2 xx ee f x = ，则如下结论正确的是（），则如下结论正确的是（） 5 A、 ( )f x是奇函数且为增函数是奇函数且为增函数 B、( )f x 是奇函数且为减函数是奇函数且为减函数 C、 ( )f x是偶函数且为增函数是偶函数且为增函数 D、 ( )f x是偶函数且为减函数是偶函数且为减函数 答案：答案：A （2）
19、（） （2005 天津卷）设天津卷）设( ) 1 fx 是函数是函数 ( )()() 1 1 2 xx f xaaa =的反函数，则使的反函数，则使( ) 1 1fx 成立的成立的x 的取值范围为（）A、的取值范围为（）A、 2 1 (,) 2 a a + B、 B、 2 1 (,) 2 a a C、 C、 2 1 (, ) 2 a a a D、 D、( ,)a + 答案： 答案：A （1a 时，时， ( )f x 单调增函数，所以单调增函数，所以 ( )( )()( )( ) 2 11 1 111 2 a fxffxfxf a = .） 【易错点【易错点 7】证明或判断函数的单调性要从定义出
20、发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。 例例 7、试判断函数、试判断函数( )()0,0 b f xaxab x =+的单调性并给出证明。的单调性并给出证明。 【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义 12 ,xD xD()()()()() 1212 f xf xf xf x ，()()() 12 1212 12 ax xb f xf xxx x x = 由 于由 于 12 0 xx 故
21、当故 当 12 , b x x a + 时时()() 12 0f xf x，此时函数，此时函数( )f x在在, b a + 上增函数，同理可证 函数 上增函数，同理可证 函数( )f x在在0, b a 上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数在上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数在,0 b a 为减函数，在为减函数，在 , b a 为增函数。综上所述：函数为增函数。综上所述：函数( )f x在在, b a 和和, b a + 上分别为增函数，在上分别为增函数，在 0, b a 和和,0 b a 上分别为减函数上分别为减函数. 【知识归类点拔】 （1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式
22、、求参数的范围、最值等问题中，应【知识归类点拔】 （1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应 引起足够重视。 引起足够重视。 （2）单调性的定义等价于如下形式：（2）单调性的定义等价于如下形式：( )f x在在, a b上是增函数上是增函数 ()() 12 12 0 f xf x xx ，( )f x在在 , a b上是减函数 上是减函数 ()() 12 12 0 f xf x xx 是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意本题中不是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意本题中不 能说能说( )f x在在, b a U, b a + 上为
23、增函数， 在上为增函数， 在0, b a U,0 b a 上为减函数,在叙上为减函数,在叙 述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“”和“或”，述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“”和“或”， 【练【练 7】 （】 （1） （潍坊市统考题）（潍坊市统考题）( )() 1 0 x f xaxa ax =+（1）用单调性的定义判断函数）用单调性的定义判断函数( )f x在在 ()0,+上的单调性。 （ 上的单调性。 （2）设）设( )f x在在01x的最小值为的最小值为( )g a，求，求( )yg a=的解析式。的解析式。 答案： （答案： （1）函数在）函数在 1 ,
24、a + 为增函数在为增函数在 1 0, a 为减函数。 （为减函数。 （2）( ) () () 1 21 01 a ayg a aa = 且且( ) x x ea f x ae =+为为 R 上的偶函数。 （上的偶函数。 （1）求）求 a 的值（的值（2）试判断函数在）试判断函数在 ()0,+上的单调性并给出证明。上的单调性并给出证明。 答案： （答案： （1）1a =（2）函数在）函数在()0,+上为增函数（证明略） 上为增函数（证明略） 【易错点【易错点 8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要
25、条件误作充要条件使用，导致错误 结论。结论。 例例 8、 （、 （2004 全国高考卷）已知函数全国高考卷）已知函数( ) 32 31f xaxxx=+上是减函数，求上是减函数，求 a 的取值范围。的取值范围。 【易错点分析】【易错点分析】( )()()0,fxxa b是是( )f x在在(), a b内单调递减的充分不必要条件，在解题过程 中易误作是充要条件，如 内单调递减的充分不必要条件，在解题过程 中易误作是充要条件，如( ) 3 f xx= 在在 R 上递减，但上递减，但( ) 2 30fxx= 。 解 析 ： 求 函 数 的 导 数解 析 ： 求 函 数 的 导 数( ) 2 361
26、fxaxx=+（ 1 ） 当） 当( )0fx时 ，时 ，( )f x是 减 函 数 ， 则是 减 函 数 ， 则 ( )() 2 3610fxaxxxR=+ 故故 0 0 a 解 得解 得3a 时， 在 时， 在 R 上存在一个区间在其上有上存在一个区间在其上有( )0fx，所以当，所以当3a 时，函数时，函数( )f x不是减函数，综上，所求不是减函数，综上，所求 a 的取值范围是的取值范围是(, 3 。 7 【知识归类点拔】若函数【知识归类点拔】若函数( )f x可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明： 0)( x f与
27、与)(xf为增函数的关系为增函数的关系:0)( x f能推出能推出)(xf为增函数，但反之不一定。如函数为增函数，但反之不一定。如函数 3 )(xxf=在在),(+上单调递增，但上单调递增，但0)( x f，0)( x f是是)(xf为增函数的充分不必要条为增函数的充分不必要条 件。件。0)( x f时，时，0)( x f与与)(xf为增函数的关系为增函数的关系:若将若将0)(= x f的根作为分界点，因为规定的根作为分界点，因为规定 0)( x f，即抠去了分界点，此时，即抠去了分界点，此时)(xf为增函数，就一定有为增函数，就一定有0)( x f。当。当0)( x f时，时， 0)( x
28、f是是)(xf为增函数的充分必要条件。 为增函数的充分必要条件。 0)( x f与与)(xf为增函数的关系为增函数的关系:)(xf为增函数，为增函数， 一定可以推出一定可以推出0)( x f，但反之不一定，因为，但反之不一定，因为0)( x f，即为，即为0)( x f或或0)(= x f。当函数在。当函数在 某个区间内恒有某个区间内恒有0)(= x f，则，则)(xf为常数，函数不具有单调性。为常数，函数不具有单调性。0)( x f是是)(xf为增函数的为增函数的 必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上必要不充分条件。函数的单调性是函数一
29、条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上 三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单 调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。 因此本题在第一步后再对因此本题在第一步后再对3a = 和和3a 进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分 条件
30、或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意 思维的严密性。思维的严密性。 【练【练 8】 （】 （1） （） （2003 新课程）函数新课程）函数 2 yxbxc=+()()0,x+是是单调函数的充要条件是（）是是单调函数的充要条件是（） A、0b B、0b C、0b D、0b 0 , b0 , a+b=1,求(a+、 已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+ a 1 ) ) 2 2+(b+ +(b+ b 1 ) ) 2 2的最小值。 的最小值。 错解
31、 :(a+错解 :(a+ a 1 ) ) 2 2+(b+ +(b+ b 1 ) ) 2 2=a =a 2 2+b +b 2 2+ + 2 1 a + + 2 1 b +42ab+42ab+ ab 2 +44+44 ab ab 1 +4=8(a+4=8(a+ a 1 ) ) 2 2+(b+ +(b+ b 1 ) ) 2 2的最小 值是 8 【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了基本不等式 a 的最小 值是 8 【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了基本不等式 a 2 2+b +b 2 22ab，第一次等号成立的条件是 a=b= 2ab，第一次等号成立的条件是 a=b= 2 1 , , 8 第
32、二次等号成立的条件 ab=第二次等号成立的条件 ab= ab 1 ，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8 不是最小值。 解析：原式= a ，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8 不是最小值。 解析：原式= a 2 2+b +b 2 2+ + 2 1 a + + 2 1 b +4=( a+4=( a 2 2+b +b 2 2)+( )+( 2 1 a + + 2 1 b )+4=(a+b)+4=(a+b) 2 2-2ab+ ( -2ab+ ( a 1 + + b 1 ) ) 2 2- - ab 2 +4 =(1-2ab)(1+ +4 =(1-2ab)(1+ 22 1 ba )+4 由
33、 ab()+4 由 ab( 2 ba + ) ) 2 2= = 4 1 得： 1-2ab1- 得： 1-2ab1- 2 1 = = 2 1 ,且,且 22 1 ba 16， 1+16， 1+ 22 1 ba 17 原式 17 原式 2 1 17+4=17+4= 2 25 (当且仅当 a=b= (当且仅当 a=b= 2 1 时，等号成立)(a+时，等号成立)(a+ a 1 ) ) 2 2+(b+ +(b+ b 1 ) ) 2 2的最小值是 的最小值是 2 25 。 。 【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三【知识归类点拔】在应用重要不等式求解
34、最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三 相等” ，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。相等” ，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。 【练 9】（97 全国卷文 22 理 22） 甲、 乙两地相距 s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地， 速度不得超过 c km/h , 已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（km/h）的平 方成正比，比例系数为 b;固定部分为 a 元。 （1） 把全程运输成本 y（元）表示为速度 v（km/h）的函数，并指出这个函
35、数的定义域； （2） 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 答案为: （1） 【练 9】（97 全国卷文 22 理 22） 甲、 乙两地相距 s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地， 速度不得超过 c km/h , 已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（km/h）的平 方成正比，比例系数为 b;固定部分为 a 元。 （1） 把全程运输成本 y（元）表示为速度 v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域； （2） 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 答案为: （1） ()() 2 0 s ybvavc v =+1 时，若使 复
36、合而成的，根据复合函数的单调性的判断方 法（1）当 a1 时，若使( ) 2 log axx a f x =在在2,4上是增函数，则上是增函数，则( ) 2 xaxx=在在2,4上是增函 数且大于零。故有 上是增函 数且大于零。故有 ( ) 1 2 2 2420 a a = 解得 a1。 （2）当 a1。 （2）当 a 不等式组无解。综上 所述存在实数 a1 使得函数 不等式组无解。综上 所述存在实数 a1 使得函数( ) 2 log axx a f x =在在2,4上是增函数 上是增函数 【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二【知识归类点
37、拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二 次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的 9 范围 （大于范围 （大于 1 还是小于还是小于 1） ， 特别在解决涉及指、 对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想 （对） ， 特别在解决涉及指、 对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想 （对 数型函数还要注意定义域的限制） 。数型函数还要注意定义域的限制） 。 【练【练 10】 （】 （1） （黄岗三月
38、分统考变式题）设） （黄岗三月分统考变式题）设0a ，且，且1a 试求函数试求函数 2 log 43 a yxx=+的的单调 区间。 的的单调 区间。 答案：当答案：当01a函数在函数在 3 1, 2 上单调 递增在 上单调 递增在 3 ,4 2 上单调递减。上单调递减。 （2） （） （2005 高考天津） 若函数高考天津） 若函数( ) ()() 3 log0,1 a f xxaxaa=在区间在区间 1 (,0) 2 内单调递增， 则内单调递增， 则a的 取值范围是（） 的 取值范围是（）A、 1 ,1) 4 B、 3 ,1) 4 C、 9 ( ,) 4 + D、 9 (1, ) 4 答案
39、：答案： B. （记. （记( ) 3 g xxax=， 则， 则( ) 2 3gxxa=当当1a 时， 要使得时， 要使得( )f x是增函数， 则需有是增函数， 则需有( )0gx 恒成立，所以恒成立，所以 2 13 3 24 a = .矛盾.排除 C、D 当.矛盾.排除 C、D 当01a时，要使时，要使( )f x是函数，则需有是函数，则需有( )0gx = .排除 A） 【易错点 11】 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性 .排除 A） 【易错点 11】 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性 例 11、已知例 11、已知 1 sinsin 3 xy+=求求 2 sincosyx的
40、最大值 【易错点分析】此题学生都能通过条件 的最大值 【易错点分析】此题学生都能通过条件 1 sinsin 3 xy+=将问题转化为关于将问题转化为关于sin x的函数，进而利用换 元的思想令 的函数，进而利用换 元的思想令sintx=将问题变为关于 t 的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成 错解， 解析：由已知条件有 将问题变为关于 t 的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成 错解， 解析：由已知条件有 1 sinsin 3 yx=且且 1 sinsin1,1 3 yx= （结合（结合sin1,1x ）得）得 2 sin1 3 x， 而， 而 2 sin
41、cosyx= = 1 sin 3 x 2 cos x= = 2 2 sinsin 3 xx=令令 2 sin1 3 txt = 则原式=则原式= 2 22 1 33 ttt 根据二次函数配方得：当根据二次函数配方得：当 2 3 t = 即即 2 sin 3 x = 时，原式取得最大值时，原式取得最大值 4 9 。 。 【知识点归类点拔】“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高【知识点归类点拔】“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高 学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”，解数学题时，把某个式子看成一学
42、生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”，解数学题时，把某个式子看成一 个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和 设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标 准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理
43、。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的 变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的 形式，把复杂的计算和推证简化。 形式，把复杂的计算和推证简化。 10 【练 11】 （1） （高考变式题）设【练 11】 （1） （高考变式题）设a0a0，000 求，000 求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2af(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a 2 的最大值 和最小值。 答案：f(x)的最小值为2a 的最大值 和最小值。 答
44、案：f(x)的最小值为2a 2 222aa 1 2 ，最大值为，最大值为 1 2 0 2 2 22 2 1 2 2 2 2 () () axax 3 2 的解集是的解集是(4,b)，(4,b)，则则a_，b_。 a_，b_。 答案：答案： 1 ,36 8 ab=（提示令换元（提示令换元xt=原不等式变为关于 t 的一元二次不等式的解集为原不等式变为关于 t 的一元二次不等式的解集为( ) 2, b） ） 【易错点【易错点 12】已知】已知 n S求求 n a时, 易忽略 n的情况 时, 易忽略 n的情况 例例 12、 （、 （2005 高考北京卷）数列高考北京卷）数列 n a前前 n 项和项和
45、 n s且且 11 1 1, 3 nn aas + =。 （。 （1）求）求 234 ,a a a的值及数列的值及数列 n a的通项公式。的通项公式。 【易错点分析】此题在应用【易错点分析】此题在应用 n s与与 n a的关系时误认为的关系时误认为 1nnn ass =对于任意对于任意 n 值都成立，忽略了对值都成立，忽略了对 n=1 的情况的验证。易得出数列的情况的验证。易得出数列 n a为等比数列的错误结论。为等比数列的错误结论。 解 析 ： 易 求 得解 析 ： 易 求 得 234 1416 , 3927 aaa=。 由。 由 11 1 1, 3 nn aas + =得得() 1 1 2
46、 3 nn asn =故故 () 11 111 2 333 nnnnn aassan + =得得() 1 4 2 3 nn aan + =又又 1 1a =， 2 1 3 a =故该数列从第 二项开始为等比数列故 故该数列从第 二项开始为等比数列故 () () 2 11 1 4 2 3 3 n n n a n = = 。 【知识点归类点拔】对于数列【知识点归类点拔】对于数列 n a与与 n s之间有如下关系：之间有如下关系： () () 1 1 1 2 n nn sn a ssn = = 利用两者之间的关系利用两者之间的关系 可以已知可以已知 n s求求 n a。 但注意只有在当。 但注意只有
47、在当 1 a适合适合() 1 2 nnn assn =时两者才可以合并否则要写分段函数时两者才可以合并否则要写分段函数 的形式。的形式。 【练【练 12】（】（2004 全国理） 已知数列全国理） 已知数列 n a满足满足()() 11231 1,2312 nn aaaaanan =+K 则数列则数列 n a的通项为的通项为 。 答案： （将条件右端视为数列答案： （将条件右端视为数列 n na的前的前 n-1 项和利用公式法解答即可）项和利用公式法解答即可） () () 11 ! 2 2 n n a n n = = 11 【易错点 13】 利用函数知识求解数列的最大项及前 n 项和最大值时易
48、忽略其定义域限制是正整数集或其子【易错点 13】 利用函数知识求解数列的最大项及前 n 项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子 集（从 1 开始） 集（从 1 开始） 例 13、等差数列例 13、等差数列 n a的首项的首项 1 0a ，前 n 项和，前 n 项和 n s，当，当lm时，时， ml ss=。问 n 为何值时。问 n 为何值时 n s最大? 【易错点分析】等差数列的前 n 项和是关于 n 的二次函数，可将问题转化为求解关于 n 的二次函数的最大 值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。 解析：由题意知 最大? 【易错点分析】等差数列的前 n 项和是关于 n
49、的二次函数，可将问题转化为求解关于 n 的二次函数的最大 值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。 解析：由题意知 n s= =( ) () 2 11 1 222 n n dd f nnadnan =+=+ 此函数是以 n 为变量的二次函 数，因为 此函数是以 n 为变量的二次函 数，因为 1 0a ，当，当lm时，时， ml ss=故故0d 即此二次函数开口向下，故由即此二次函数开口向下，故由( )( )f lf m=得当得当 2 lm x + =时时( )f x取得最大值，但由于取得最大值，但由于nN + ，故若，故若lm+为偶数，当为偶数，当 2 lm n + =时，时，
50、n s最大。 当 最大。 当lm+为奇数时，当为奇数时，当 1 2 lm n + =时时 n s最大。 最大。 【知识点归类点拔】数列的通项公式及前 n 项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从 1 开始）上【知识点归类点拔】数列的通项公式及前 n 项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从 1 开始）上 的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前 n 项和公的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前 n 项和公 式是关于 n 的二次函数且没有常数项，反之满足形如式是关于 n 的二次函数且没有常数项，反之
