1、滁州市重点高中滁州市重点高中 2020-2021 学年高二下学期第三次月考学年高二下学期第三次月考 数学（文）数学（文） 试卷文试卷文数数 时间：120 分钟满分：150 分 一一、选择题选择题：本大题本大题 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有 一一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1设全集0, 1, 2, 3, 4U ，集合0, 1, 2M ，那么MCU为（） A 0B3, 4 C1, 2 D 2函数 3sin 1 x f x x 的部分图象大致是（） AB CD 3下列 4 个说法中正确的有（） 命题
2、“若 2 320 xx ，则1x ”的逆否命题为“若1x 则 2 320 xx ”； 若1sin, 0: 00 xxp，则1sin, 0:xxp； 若复合命题：“p q ”为假命题，则 p，q 均为假命题； “2x ”是“ 2 320 xx ”的充分不必要条件 ABCD 4函数( )|f xx xab是奇函数的充要条件是（） A1ab B0abCabD 22 0ab 5 已知函数xxf 2 log)(的值域是2 , 1 ， 则函数)()2()( 2 xfxfx的定义域为 （） A 2，2 B2，4C4，8D1，2 6已知函数 yf x可表示为 x 02x24x46x68x y 1234 则下列
3、结论正确的是（） A 43ffB fx的值域是1,2,3,4 C fx的值域是1,4D fx在区间4,8上单调递增 7已知 0.4 4a ， 0.6 1 2 b ， 2 2 1 2 log 4c ，则a，b，c的大小关系是（） AabcBcabCcbaDbca 8已知函数( ) 2 x f x x (0) (0) x x ，且( 2)(2)ff，则(4)f（） A2B4C8D16 9如图，某池塘里浮萍的面积 y（单位： 2 m）与时间t（单位：月）的关系为 t ya.关于 下列说法： 浮萍每月的增长率为 1；第 5 个月时，浮萍面积就会超过 2 30m； 浮萍每月增加的面积都相等；若浮萍蔓延到
4、 222 2,3,6mmm所经过的时间分别是 123 , ,t t t，则 123 ttt，其中正确的说法是（） ABCD 10已知函数 1 ( )(2) 2 x x f xx，若(1)( )f xf x，则x的取值范围是（） A 1 (, ) 2 B 1 (,) 2 C 1 ( ,) 2 D 1 (,) 2 11已知 ( )f x是定义在R上的且以 2 为周期的偶函数，当0 1x时， 2 ( )f xx，如果 直线y xa 与曲线( )yf x恰有两个不同的交点，则实数a的值为 （） A2 ()k kZB 1 22() 4 kkkZ或 C0D 1 22() 4 kkkZ或 12已知函数( )
5、(ln) x e f xkxx x ，若1x 是函数 ( )f x的唯一极值点，则实数k的取 值范围是（） A(, eB(, ) eC(,)eD 1 (, e 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置分，把答案填在答题卡的相应位置. 13设命题p：函数 2 lg21f xaxx的定义域为R；命题q：当 1 2 2 x ，时， 1 xa x 恒成立，如果命题“pq”为真命题，则实数a的取值范围是_ 14.若函数 2 ( ) 1 ax f x x 的图象关于点（1，1）对称，则实数a=_ 15已知函数( ),0,
6、1 x f xex，则( )(1)g xf x的值域为_. 16若直线0ykx k是曲线 32 2f xxx的一条切线，则k _ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17(本题 12 分)设ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，满足 1 sincossincos 2 aBCcBAb，且ab. （1）求角B的大小： （2）若1b ，BC边上的中线AM的长为 2 a ，求ABC的面积. 18(本题 12 分)如图所示，半圆弧AD所在平面与平面ABCD垂直，且M是弧AD
7、上异 于A，D的点，/ /ABCD，90ABC ，22ABCDBC. （1）求证:AM 平面BDM; （2）若M为弧AD的中点，且2AD ，求点C到平面BDM的距离. 19(本题 12 分)近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚某公司计划对未开通共 享单车的A县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以 及年使用人次进行了统计，得到了投放量x（单位：千辆）与年使用人次y（单位：千次） 的数据如下表所示，根据数据绘制投放量x与年使用人次y的散点图如图所示 x 1234567 y 611213466101196 （1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数
8、函数模型lgyabx或 指数函数模型(0,0) x yc dcd对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作 为投放量x与年使用人次y的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由） ，并求出y关 于x的回归方程； （2）已知每辆单车的购入成本为200元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次0.2元， 按用户每使用一次，收费1元计算，若投入8000辆单车，则几年后可实现盈利？ 参考数据： yv 7 1 ii i x y 7 1 ii i xv 0.54 10 62.141.54253550.123.47 其中lg ii vy， 1 1 7 n i i vv 参考公式：对于一组数据 11 ,u v
9、， 22 ,u v，, nn u v，其回归直线 vau的斜率 和截距的最小二乘估计公式分别为 1 22 1 n i i i n i i uvnu v unu ， a vu 20 (本题 12 分)设椭圆中心在坐标原点，) 1 , 0(),0 , 2(BA是它的两个顶点， 直线)0( kkxy 与AB相交于点 D，与椭圆相交于FE,两点 （）求椭圆的离心率； （）求四边形AEBF面积的最大值 21(本题 12 分)已知函数 x f xxe， lng xxx （1）令 h xfxeg x，求 h x的最小值； （2）若 21fxg xbx恒成立，求b的取值范围 选考题选考题：共共 10 分分.请
10、考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做如果多做，则按所做的则按所做的 第一题计分第一题计分. 22(本题 10 分)在平面直角坐标系中，曲线 1 C的参数方程为 2cos 3sin x y （为参数） ， 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 cos1 4 （1）写出曲线 1 C的普通方程和曲线 2 C的直角坐标方程； （2）已知点 (0, 1)P ，曲线 1 C与曲线 2 C相交于,A B两点，求 11 PAPB 23(本题 10 分)设函数 223fxxx 1解不等式： 7f x ； 2记函数 f x的最小
11、值为a，已知0m ，0n ，且2mna，求证： 12 2 mn 参考答案参考答案 1-5：BACDA6-10：BCDCA11-12:DA 13.)2 , 1 (14. 115., 1 e16. 1 8 k 17 （1） 6 B ； （2） 3 2 . 【分析】 （1）利用正弦定理进行边化角，再利用两角和的余弦公式整理可得 1 sin 2 B ，即可得解； （2）由向量的平行四边形法则可得2AM ABAC uuuruuu ruuu r ，同时平方，再结合余弦定理可推出 90BAC，求出 c 代入三角形面积公式即可得解. 【详解】 （1）因为 1 sincossincos 2 aBCcBAb， 由
12、正弦定理得 1 sinsincossinsincossin 2 ABCCBAB，又0,B， 故sin0B ，从而 1 sincossincossinsin 2 ACCAACB， 即 1 sin 2 B ；而ab，故B为锐角，所以 6 B . （2）因为AM为BC边上的中线，从而2AM ABAC uuuruuu ruuu r ， 1 2 AMa ， 所以有 22 2AMABAC ， 222 2cosabcbcBAC ， 又ABC中，有 222 2cosabcbcBAC ，从而cos0BAC， 所以90BAC，ABC为直角三角形， 在直角ABC中，因为1b ， 6 B ， 所以 3c ，ABC的面
13、积 13 sin 222 Sbc . 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，涉及两角和的余弦公式、向量的平行四边 形法则、向量数量积，属于中档题. 18 （1）证明见解析； （2） 2 2 . 【分析】 （1）先证明AMMD，再证明平面ADM 平面ABCD，证得AMDM，利用线面 垂直的判定定理可以证明AM 平面BDM （2）先证明 MBCDC BDM VV ，利用等体积法求点C到平面BDM的距离. 【详解】 解:（1）证明:取AB中点E，连接DE 因为2ABCD， 所以CDBE 因为/ /ABCD， 所以四边形BCDE是平行四边形 又CDBC，90ABC ， 所以四边形BCD
14、E是正方形 设1CD ， 则1BCDEBEAE，2AB ， 2BDAD ， 所以 222 BDADAB ，即BDAD 又平面ADM 平面ABCD，平面ADM 平面ABCDAD 所以BD 平面ADM， 又AM 平面ADM， 所以AMBD 因为AMDM， 又DMBDD， 所以AM 平面BDM （2）解:M为弧AD的中点， 由 1可知，ADM，ABD，BCD均为等腰直角三角形， 又2AD ， 所以可得2BD ， 2AMDMCBCD 因此2 ABD S，1 BCD S， 从而可得2 ABDBCD SS 所以2 MABDMBCD VV 由 1的结论AM 平面BDM可知， A到平面BDM的距离为AM 设点
15、C到平面BDM的距离为h 则 1 2 3 MABDA BDMBDM VVSAM 1 3 MBCDC BDMBDM VVSh 所以 12 22 hAM . 【点睛】 立体几何解答题的基本结构： (1)第一问一般是几何位置关系的证明，用判定定理； (2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离）.如果求体积（或求距离） ，常 用的方法有：(1) 直接法；(2)等体积法；(3) 补形法；(4)向量法. 19 （1） x yc d 适宜， 0.25 3.47 10 x y ； （2）6 年. 【分析】 （1）由散点图可判断 x yc d 适宜，设lg yv，则lglgvcxd，再根据参考数据
16、及 公式即可得解； （2）先将8x 代入得年使用人次，进而可得收益和总投资比较大小即可得解. 【详解】 （1）由散点图判断， x yc d 适宜作为投放量x与年使用人次y的回归方程类型 由 x yc d ，两边同时取常用对数得lglglglg x yc dcxd 设lg yv，则lglgvcxd 因为4x ，1.54v ， 7 2 1 140 i i x ， 7 1 50.12 ii i x v， 所以 7 1 7 22 1 7 lg 7 ii i i i x vx v d xx 2 50.127 4 1.547 0.25 1407 428 把(4,1.54)代入lglgvcxd，得lg0.5
17、4c ， 所以0.540.25vx，所以 lg0.540.25yx ， 则 0.54 0.250.25 103.47 10 xx y ， 故y关于x的回归方程为 0.25 3.47 10 x y （2）投入8千辆单车，则年使用人次为 0.25 8 3.47 10347 千人次， 每年的收益为347(10.2)277.6（千元） ， 总投资8000 20016000001600千元， 假设需要n年开始盈利，则277.61600n，即5.76n， 故需要6年才能开始盈利 【点睛】 关键点点睛：对于非线性回归方程的求解，一般要结合题意作变换，转化为线性回归方程来 求解，同时也要注意相应数据的变化.
18、20 （）解：依题设得椭圆的方程为 2 2 1 4 x y， 直线ABEF，的方程分别为22xy，(0)ykx k 2 分 如图，设 001122 ()()()D xkxE xkxF xkx，其中 12 xx， 且 12 xx，满足方程 22 (14)4kx，故21 2 2 1 4 xx k 由 6EDDF 知 0120 6()xxxx，得 0212 2 1510 (6) 77 7 1 4 xxxx k ； 由D在AB上知 00 22xkx，得 0 2 1 2 x k 所以 2 210 1 2 7 1 4 k k ， 化简得 0120 6()xxxx，解得 2 3 k 或 2 3 k 6 分
19、（）根据点到直线的距离公式和式知，点EF，到AB的距离分别为 2 11 1 2 222(1 21 4) 5 5(1 4) xkxkk h k ， 2 22 2 2 222(1 21 4) 5 5(1 4) xkxkk h k 9 分 又 2 215AB ，所以四边形AEBF的面积为 2 12 2 2 114(1 2 )1 44 () 52 221 4 5(1 4) kkk SAB hh k k 2 2 ， 当EF，即当 1 2 k 时，上式取等号所以S的最大值为2 2 【解析】 试题分析： （）由题意易得椭圆方程，直线AB的方程，再设 001122 (),( ,),(,)D xkxE x kx
20、F x kx， 12 ,x x满足方程，把 6EDDF 用坐标 表示出来得 0120 6()xxxx，又点D在直线AB上，则 00 22xkx，根据以上关系式 可解得k的值；（） 先求点 E、 F 到 AB 的距离， 再求AB， 则可得面积 12 1 () 2 SAB hh， 然后利用不等式求面积的最大值. 试题解析： （I）依题意，得椭圆的方程为 2 2 1 4 x y， 1 分 直线,AB EF的方程分别为22,(0)xyykx k， 2 分 如图设 001122 (),( ,),(,)D xkxE x kxF x kx，其中 12 xx， 12 ,x x满足方程且故， 由知 0120 6
21、()xxxx，得， 4 分 由点D在直线AB上知， 00 22xkx得， 5 分 ，化简得解得 3 8 k 或 1 2 k . 7 分 （II）根据点到直线的距离公式和式知，点 E、F 到 AB 的距离分别为 ， 8 分 ， 9 分 又，所以四边形 AEBF 的面积为 ， 11 分 当即当时，上式取等号，所以 S 的最大值为13 分 考点：1、椭圆的性质；2、直线与椭圆相交的综合应用；3、不等式. 21 （1）0； （2）,2 【分析】 （1）有题意知， ln x h xxee xx，0,x，根据导数求出函数的单调性，由 此可求出函数的最小值； （2）原不等式等价于 ln1 x xexx b
22、x 在 0,x上恒成立，令 ln1 x xexx t x x ， 求导得 2 2 ln x x ex tx x ， 令 2 ln x xx ex， 易得 x在 0,1存在唯一的零点 0 x，即 0 0 2 0e n0l x xx，得 00 1 ln 0 0 1 ln xx x ee x ，结合函数 x yxe 的单调性得 00 0 1 lnlnxx x ， 0 0 1 x e x ，由此可求出答案 【详解】 解： （1）有题意知， ln x h xxee xx，0,x， 1 111 xx e h xxeexe xx ， 当0,1x， 0h x ，即 h x在0,1上单调递减， 当1,x， 0h
23、 x ，即 h x在 1,上单调递增， 故 10h xh， h x的最小值为 0； （2）原不等式等价于ln21 x xexxbx， 即 ln1 x xexxbx ，在0,x上恒成立， 等价于 ln1 x xexx b x ，在 0,x上恒成立， 令 ln1 x xexx t x x ， 0,x， 2 2 ln x x ex tx x ， 令 2 ln x xx ex，则 x为0,上的增函数， 又当0 x 时， x ， 10e， x在0,1存在唯一的零点 0 x，即 0 0 2 0e n0l x xx， 由 000 1 ln 2 0 000 00 ln1 ln0ln xxx x x exx e
24、e xx ， 又有 x yxe在0,上单调递增， 00 0 1 lnlnxx x ， 0 0 1 x e x ， 0 000 0 min 0 ln1 2 x x exx t xt x x ， 2b ， b的取值范围是,2 【点睛】 本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性与最值， 考查计算能力， 考查转化与化归思 想，属于难题 22 （1） 22 +=1 43 xy ，10 xy ； （2） 3 2 . 【分析】 （1）将已知极坐标方程利用两角和的余弦公式展开，利用极直互化公式得到 2 C的直角坐标 方程，利用同角三角函数的平方关系消去参数的值，得到 1 C的普通方程； （2）写出以P为基点
25、的直线 2 C的参数方程，代入 1 C的普通方程，利用参数的几何意义， 结合韦达定理运算. 【详解】 （1）cos ,sinxy，2cos()= cossin1 4 , 2 C的直角坐标方程为10 xy ， 1 C的普通方程为 22 +=1 43 xy ； (2) 2 C的参数方程为 2 2 2 1 2 xt yt (t为参数)， 将曲线 2 C的参数方程代入 1 C的普通方程，整理得 2 78 2160tt . 令 12 =,PAtPBt，由韦达定理 12 1 2 8 2 + = 7 16 = 7 tt t t , 则有 2 1212121 2 24 +=()4 7 PAPBttttttt
26、t, 1 2 16 7 PAPBt t， +113 = 2 PAPB PAPBPAPB . 【点睛】 本题考查参数方程，普通方程，极坐标方程之间的互化，考查直线的参数方程的应用，关键 是要掌握直线参数方程中参数的几何意义. 23 （1） , 22, ； （2）见解析 【解析】 【分析】 1对 x 分三种情况讨论去绝对值； 2变形后用基本不等式证明本题考查了绝对值不等式的解法.属中档题 【详解】 解： 1223f xxx， 311 513 313 xx f xxx xx ， 当1x 时，不等式 7f x 即为317x ，解得，2x ， 当13x 时，不等式 7f x 即为57x，解得23x， 当3x 时，不等式 7f x 即为317x ，解得3x 综上所述，不等式 7f x 的解集为 , 22, 2证明：由 1可知，4a ， 24mn，即 2 1 4 mn ， 121121414 24422 444 mnm n mn mnmnnmnm ， 即 12 2 mn 【点睛】 绝对值不等式的解法： 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
