1、 1 / 8 厦门市厦门市 2020191920202 20 0 学年（学年（下）高下）高二二 7 7 月质检月质检 数学数学试卷试卷 试卷分试卷分卷和卷和卷两部分卷两部分，满分满分 150150 分分 考试时间考试时间 120120 分钟分钟 第第卷（选择题卷（选择题 共共 5 50 0 分）分） 一、单选一、单选题：本题共题：本题共 8 8 个小题个小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4 40 0 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求只有一个是符合题目要求 的的在答题卷上相应题目的答题区域内作答在答题卷上相应题目的答题区域内作答 1若复数31zi
2、i，则z （ ） A2 2 B10 C2 5 D20 2某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法种数是（ ） A10 B30 C60 D125 3已知直线220 xy，经过椭圆的上顶点和右焦点，则椭圆的标准方程为（ ） A 2 2 1 5 x y B 22 1 53 xy C 2 2 1 4 x y D 22 +1 43 xy 4红铃虫是棉花的主要害虫之一，一只红铃虫的产卵数和温度有关，现收集了 7组观测数据，用 4种模型分别进行 拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到如下 4幅残差图，根据残差图，拟合效果最好的模型是 （ ） A模型一 B模型二 C模型
3、三 D模型四 5 6 1 x x 的展开式中的常数项是（ ） A20 B15 C 15 D 20 6抛掷一枚质地均匀的硬币 3次，出现正面次数多于反面次数的概率是（ ） A 3 8 B 1 2 C 5 8 D 2 3 2 / 8 7 某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，则此几何体的最长棱的长度 为（ ） A2 B2 2 C2 3 D12 8若对任意的aR，不等式 222 220 a eabab恒成立，则实数b的取值范围是（ ） A2 5b B 3+ln2b C 4+ln2b D 5+ln2b 二、多选题：本题共 2 小题，每小题 5 分共 10 分每小题给出的四
4、个选项中，有一个或多个选项是符合题目要 求的全部选对得 5 分，选对但不全得 3 分，选错或多选得 0 分 9对 300 名考生的数学竞赛成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A0.01a B成绩落在80,90的考生人数最多 C成绩的中位数大于 80 D成绩的平均分落在70,80 10函数 f x的导函数 fx的图象如图所示，则（ ） A 1 2 为 f x的零点 B2为 f x的极小值点 C f x在 1 ,2 2 上单调递减 D2f 是 f x的最小值 3 / 8 11已知 1 F， 2 F是双曲线 22 22 :10,0 xy Eab ab 的左右焦点，过
5、 1 F作倾斜角为 6 的直线分别交y轴与双 曲线右支于点M，P， 1 PMMF，下列判断正确的是（ ） A 21 3 PF F B 21 1 2 MFPF CE的离心率等于3 DE的渐近线方程为2yx 12正态分布0,1N的称为标准正态分布，通过查找标准正态分布表（见附表）可以确定服从标准正态分布的随机 变量的有关概率在这个表中，相应于 0 x的的值 0 x的是指总体取值小于 0 x的概率，即 00 xP Xx（见 下图） ；使用时，在标准正态分布表中的第一列查到 0 x的整数位与小数点后第一位，然后在第一行查到 0 x的小数点后 第二位，即可确定 0 x，例如：0.640.7389可以证明
6、，对任何一个正态分布 2 ,XN 来说，通过 X Y 转化成标准正态分布0,1YN，且有() a P XaP Y 下列选项正确的是（ ） A 00.5 B 00 1xx C若0,1N，则0.970.834P D若 2 3 2N，,则24P0.383 附表：标准正态分布表 0 x 4 / 8 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 100100 分）分） 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在答题卷上的相应题目的答题区域内作答分在答题卷上的相应题目的答题区域内作答 13在复平面内，复数 1 i i 对应的点位于第 _象限 14
7、平面内有6条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，共有_个交点（用数字作答） 15若实数x，y满足约束条件 1 1 7 x y xy ，则2zxy的最小值是_ 16我们知道：双曲线上任任意一点到两渐近线的距离之积是常数。若P是双曲线 2 2 :1 3 y E x 上一点，过P作E 的两渐近线的垂线，垂足分别为A、B，若 1 2 PA ，则PB ，AB 四四、解答题：本大题共、解答题：本大题共 6 6 小题小题，共共 7070 分解答题应写出文字说明分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤，在在答题卷上相应题目答题卷上相应题目 的答题区域内作答的答题区域内作答 17 （
8、12 分） 曲线 32 ( )1f xxaxbx在点(2, (2)f处的切线方程为915yx. （1）求, a b的值； （2）若( )f x在 3 ,3 2 的最值 5 / 8 18 （12 分） 2020年4月21日，习近平总书记向孩子们发出了文明其精神，野蛮其体魄的期许，某校为了了解全校学生体育 锻炼的情况，随机抽取200名学生进行调查，统计其每天参加锻炼时长（该校学生每天的锻炼时长都落在2080分 钟之间） ，得到小表： 每天锻炼的时长（分钟） 20 30， 30 40， 40 50， 50 60， 60 70， 7080， 人数 7 12 34 27 80 40 将每天锻炼时长落在6
9、080，的学生称为运动达人 1请根据上述表格的统计数据， 填写下面列联表， 并根据列联表判断是否有95的把握认为运动达人与性别有 关； 运动达人 非运动达人 合计 男生 100 女生 55 合计 200 2用分层抽样的方法从运动达人中抽取6名学生参加经验分享会，再从中随机抽取2名学生发言，求发言的学 生中至少有1名锻炼时长不低于70分钟的概率 参考公式： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中nabcd 参考数据： 2 0 P Kk 0.05 0.025 0.010 0 k 3.841 5.024 6.635 6 / 8 19.（12 分） 动圆P与圆 2 2 1 1 4 xy外切
10、,与直线 1 2 x 相切,记圆心P的轨迹为E, （1）求E的方程; （2）过点1,0F作直线l交E于,A B两点，若AB中点的纵坐标为 3 2 ,且AFFB1,求的值. 20. （12 分） 小夏经营一家夜市摊点，她准备参加当地为期5天的饮食文化节，期间每天获利与是否下雨有关:如果不下雨每天可 获利1000元，如果下雨每天将亏损200元，气象资料显示饮食文化节期间每天下雨的概率是0.2，且每天下雨与否 相互独立. 1求饮食文化节开始后，直到第3天才下雨的概率； 2在饮食文化节期间小夏获利的期望是多少？ 7 / 8 21.（12 分） 已知椭圆：201 4 2 22 b b yx 上的两点M,
11、N关于x轴对称，A是的左顶点， 点0 , 1S.当 2 7 MN时， 四边形ANSM是菱形. （1）求的方程； （2）连接NS并延长交于异于M的一点P，求证：直线MP过定点. 8 / 8 22. （12 分） 已知函数 2 1 ( )ln 2 f xxxaxaR的导函数为( )g x， （1）讨论( )g x的单调性； （2）证明：存在 1 0, 2 a ，使( )f x有且仅有一个零点. 1 / 15 厦门市厦门市 2020191920202 20 0 学年（学年（下）高下）高二二 7 7 月质检月质检 数学数学试卷试卷 试卷分试卷分卷和卷和卷两部分卷两部分，满分满分 150150 分分 考
12、试时间考试时间 120120 分钟分钟 第第卷（选择题卷（选择题 共共 5 50 0 分）分） 一、单选一、单选题：本题共题：本题共 8 8 个小题个小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4 40 0 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求只有一个是符合题目要求 的的在答题卷上相应题目的答题区域内作答在答题卷上相应题目的答题区域内作答 1若复数31zii，则z （ ） A2 2 B10 C2 5 D20 【答案】C 【解析】计算得42zi，根据复数模长公式可得 22 422 5z ，故选C. 【点评】本题考查复数模长公式的应用，属简单题. 2某校从5名同
13、学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法种数是（ ） A10 B30 C60 D125 【答案】C 【解析】根据排列公式可得 3 5 5 4 3A ，故选C. 【点评】本题考察计数原理知识，对排列公式有一定理解即可，属简单题. 3已知直线220 xy，经过椭圆的上顶点和右焦点，则椭圆的标准方程为（ ） A 2 2 1 5 x y B 22 1 53 xy C 2 2 1 4 x y D 22 +1 43 xy 【答案】A 【解析】易得椭圆的上顶点和右焦点分别为0,1和2,0，所以 222 5abc，选A. 【点评】本题考查椭圆基础知识，根据椭圆定义即可，属简单题. 2 / 15 4
14、红铃虫是棉花的主要害虫之一，一只红铃虫的产卵数和温度有关，现收集了 7组观测数据，用 4种模型分别进行 拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到如下 4幅残差图，根据残差图，拟合效果最好的模型是 （ ） A模型一 B模型二 C模型三 D模型四 【答案】 D 【解析】残差指的是实际观察值与估计值（拟合值）之间的差，易得模型四各个编号数据的残差值都比较小， 故答案选 D. 【点评】本题重点考查了残差的含义以及残差图，属于概念及图像理解题，难度比较小. 5 6 1 x x 的展开式中的常数项是（ ） A20 B15 C 15 D 20 【答案】 A 【解析】套用通项公式 616 2 1
15、66 ( 1)( 1) rrrrrr r TC xxCx ，要是常数项易得 r =3，再代入计算可得常数项为 20。故答案选 A. 【点评】本题重点考查了二项式定理通项的使用，属于基础题，难度比较小. 6抛掷一枚质地均匀的硬币 3次，出现正面次数多于反面次数的概率是（ ） A 3 8 B 1 2 C 5 8 D 2 3 【答案】 B 【解析】列举出所有情形；正正正，反正正，正反正，正正反，反反正，反正反，反反正，反反反，共 8 种，其中满 族条件的有 4 种，则出现正面次数多于反面次数的概率为 4 8 = 1 2 ，故选 B. 【点评】本题重点考查了列举法，属于基础题. 3 / 15 7 某几
16、何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，则此几何体的最长棱的长度 为（ ） A2 B2 2 C2 3 D12 【答案】C 【解析】由图可知，该几何体为底面是正方形，墙角型的四棱锥，可以补成边长为2的正方体，其最长棱为正方体的 体对角线，长度为 222 2 +2 +2 = 12=2 3，故答案选C. 【点评】本题考查三视图还原，属于基础题. 8若对任意的aR，不等式 222 220 a eabab恒成立，则实数b的取值范围是（ ） A2 5b B 3+ln2b C 4+ln2b D 5+ln2b 【答案】C 【解析】令 222 =220 x f xexbbx， 2 =22
17、2 x fxexb， 2 =420 x fxe，所以 fx在R上单 调递增；又+x ， +fx ；x， fx ，所以存在 0 x使得 0 =0fx，代入化简可得 0 2 0 x exb. f x在 0 ,x单调递减，在 0, x 上单调递增. 0 222 000 min 220 x f xf xexbbx 22 000 220bxxbbx 2 00 20 xbbx 00 42 20 xx ee，又 0 0f x，即 00 42 20 xx ee.令 0 2x te，则 2 20tt ，解得 5t （舍去） ，4t ，即 0 2 4 x te，即 0 ln2x . 0 22ln2 0 =ln2
18、x b exe4ln2，故选C. 【点评】本题考察了导数恒成立问题，利用“零点存在性定理”的核心在于“找点” ，而如何找点就要利用到二次导 和一次导得到的结论，再结合隐零点整体代入的思想，即可找到我们所需要的点，属于中难题. 4 / 15 二、多选题：本题共 2 小题，每小题 5 分共 10 分每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符合题目要 求的全部选对得 5 分，选对但不全得 3 分，选错或多选得 0 分 9对 300 名考生的数学竞赛成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A0.01a B成绩落在80,90的考生人数最多 C成绩的中位数大于 80 D成绩
19、的平均分落在70,80 【答案】AD 【解析】A.由0.020.0350.025101aa，得0.01a ，故 A 正确； B.根据频率分布直方图课看出成绩落在70,80考生比落在80,90考试频率大，故 B 错误； C.0.01 0.020.035100.5,故中位数落在70,80中，不大于 80，故 C 错误； D.平均分= 55 0.01 65 0.0275 0.03585 0.025+95 0.011075.5，故 D 正确. 【点评】本题考察必修三统计内容，要求能正确认识频率分布直方图且会计算中位数、平均数，属简单题. 10函数 f x的导函数 fx的图象如图所示，则（ ） A 1
20、2 为 f x的零点 B2为 f x的极小值点 C f x在 1 ,2 2 上单调递减 D2f 是 f x的最小值 【答案】BC 5 / 15 【解析】A.由导函数图象可知 1 2 为 fx的零点，不是 f x的零点，故 A 错误； B.由导函数图象在2x 左边导函数小于0，右边导函数大于0，且在 20 f ，所以 2为 f x的极小值点， 故 B 正确； C.在 1 ,2 2 x ， 0fx，所以 f x在 1 ,2 2 上单调递减，故 C 正确； D.由图象可知2，2都为 f x的极小值点,不能确定2f 即为函数的最小值，故 D 错误. 【点评】本题考察导数在函数中的应用，要求会通过导函数
21、图象还原原函数图象，并能准确判断极小值和最小值，属 简单题. 11已知 1 F， 2 F是双曲线 22 22 :10,0 xy Eab ab 的左右焦点，过 1 F作倾斜角为 6 的直线分别交y轴与双 曲线右支于点M，P， 1 PMMF，下列判断正确的是（ ） A 21 3 PF F B 21 1 2 MFPF CE的离心率等于3 DE的渐近线方程为2yx 【答案】BCD 【解析】 A：依题意得M为 1 PF中点，即MO为 12 PFF的中位线，所以 211 2 PF FMCF ，故 A 错误； B：在 12 Rt PFF中， 21 2 PF F ，M为 1 PF中点，故 21 1 2 MFP
22、F，故 B 正确； C：在 12 Rt PFF中， 12 6 PFF ， 12 2FFc，故 2 2 3 c PF ， 1 4 3 c PF ，由双曲线定义知 12 42 2 33 cc PFPFa，得3 c a ，故 C 正确； D：由 C 解析知 2 2 12 bc aa ，故E的渐近线方程为2yx ，故 D 正确. 【点评】本题考查双曲线定义，离心率计算方法，渐近线计算方法，并结合了特殊直角三角形三边比例关系，利用方 程思想进行求解，属于基础题 6 / 15 12正态分布0,1N的称为标准正态分布，通过查找标准正态分布表（见附表）可以确定服从标准正态分布的随机 变量的有关概率在这个表中，
23、相应于 0 x的的值 0 x的是指总体取值小于 0 x的概率，即 00 xP Xx（见 下图） ；使用时，在标准正态分布表中的第一列查到 0 x的整数位与小数点后第一位，然后在第一行查到 0 x的小数点后 第二位，即可确定 0 x，例如：0.640.7389可以证明，对任何一个正态分布 2 ,XN 来说，通过 X Y 转化成标准正态分布0,1YN，且有() a P XaP Y 下列选项正确的是（ ） A 00.5 B 00 1xx C若0,1N，则0.970.834P D若 2 3 2N，,则24P0.383 附表：标准正态分布表 0 x 【答案】ABD 【解析】 A 依题意得 00P X，有
24、图易知 00.5，故 A 正确； B 依题意得 00 xP Xx ，有图易知 00 1xx ，故 B 正确； C 依题意得0.9710.971 0.8340.1660P ，故 C 错误； D 依题意得 43 4()(0.5)0.6915 2 PP YP Y ， 23 2()(0.5)1 0.69150.3085 2 PP YP Y ， 24420.6915 0.30850.383PPP，故 D 正确. 【点评】 本题考查标准正态分布与非标准正态分布互化方法， 需要根据材料并结合标准正态分布图像找到互化的方法， 会查表并准确计算，属于中档题. 7 / 15 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 1
25、00100 分）分） 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在答题卷上的相应题目的答题区域内作答分在答题卷上的相应题目的答题区域内作答 13在复平面内，复数 1 i i 对应的点位于第 _象限 【答案】一 【解析】 2 2 11 11112 iiiiii iiii . 【点评】本题考察复平面问题，属于基础题. 14平面内有6条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，共有_个交点（用数字作答） 【答案】15 【解析】平面内有6条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，则两条直线相交于一点，共 2 6 15C . 【点
26、评】本题重点考察组合知识点，属于基础题. 15若实数x，y满足约束条件 1 1 7 x y xy ，则2zxy的最小值是_ 【答案】4 【解析】 如图，可采用带点法，把三个交点带入，直接求出最小值. 【点评】本题考查线性规划，属于基础题目. 8 / 15 16我们知道：双曲线上任任意一点到两渐近线的距离之积是常数。若P是双曲线 2 2 :1 3 y E x 上一点，过P作E 的两渐近线的垂线，垂足分别为A、B，若 1 2 PA ，则PB ，AB 【答案】 37 22 、 【解析】 双曲线上任一点到两渐近线的距离之积是常数 22 2 a b c ，若没有背住可通过特殊点实轴两端点求出， 22 2
27、 1 3 4 a b PA PB c ， 所以 3 2 PB ， 设PB与另一条渐近线交点为F，APFBOF， 所以APFFOB， 通过渐近线可知 0 60FOB，所以 0 60APF，在PAB中， 222 2cosABPAPBPA PBAPB，所以 7 2 AB 【点评】本题属于圆锥曲线中双曲线的渐近线与向量的相关知识结合，重点要理解向量的基本意义，属于中等题目. 9 / 15 四四、解答题：本大题共、解答题：本大题共 6 6 小题小题，共共 7070 分解答题应写出文字说明分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤，在在答题卷上相应题目答题卷上相应题目 的答题区域内作答的
28、答题区域内作答 17 （12 分） 曲线 32 ( )1f xxaxbx在点(2, (2)f处的切线方程为915yx. （1）求, a b的值； （2）若( )f x在 3 ,3 2 的最值 【答案】 （1）0,3ab ； （2）最大值为19，最小值为1； 【解析】 （1） 2 ( )32fxxaxb， 因为曲线 32 ( )1f xxaxbx在点(2, (2)f处的切线方程为915yx， 可得切点为(2,3)， 代入式子得(2)4293fab， (2) 4129fab ， 联立可得0,3ab ； （2）由(1)知 3 ( )31f xxx，求导得 2 ( )333(1)(1)fxxxx，令
29、( ) 0fx 可得 1 1x 或者 2 1x ， 当 3 , 1) 2 x ， ( ) 0fx ，( )f x单调递增， 当 1,1)x ， ( ) 0fx ，( )f x单调递减， 当1,3x， ( ) 0fx ， ( )f x单调递增， x 3 , 1) 2 1 ( 1,1) 1 (1,3 ( ) fx 0 0 ( )f x 递增 极大值 递减 极小值 递增 ( 1)319(3)ff，最大值为19， 317 (1)1() 28 ff ，最小值为1； 【点评】此题主要考查考生对导数求切线方程和导数求最值的理解和运用，属于基础题 第一问利用导数的几何意 义得出两个式子联立求出值； ；第二问利
30、用导数求解函数最值问题，最后记得把端点代入求值比较大小. 18 （12 分） 2020年4月21日，习近平总书记向孩子们发出了文明其精神，野蛮其体魄的期许，某校为了了解全校学生体育 锻炼的情况，随机抽取200名学生进行调查，统计其每天参加锻炼时长（该校学生每天的锻炼时长都落在2080分 钟之间） ，得到小表： 每天锻炼的时长（分钟） 2030， 30 40， 4050， 50 60， 60 70， 7080， 人数 7 12 34 27 80 40 将每天锻炼时长落在6080，的学生称为运动达人 10 / 15 1请根据上述表格的统计数据， 填写下面列联表， 并根据列联表判断是否有95的把握认
31、为运动达人与性别有 关； 运动达人 非运动达人 合计 男生 100 女生 55 合计 200 2用分层抽样的方法从运动达人中抽取6名学生参加经验分享会，再从中随机抽取2名学生发言，求发言的学 生中至少有1名锻炼时长不低于70分钟的概率 参考公式： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中nabcd 参考数据： 2 0 P Kk 0.05 0.025 0.010 0 k 3.841 5.024 6.635 【答案】 1没有95的把握认为运动达人与性别有关； 3 2 5 【解析】 1根据题意，补充完整列联表如下： 运动达人 非运动达人 合计 男生 65 35 100 女生 55 45 1
32、00 合计 120 80 200 根据列联表计算 2 2 200 65 45 55 3525 2.083 120 80 100 10012 K 因为2.0833.841，所以没有95的把握认为运动达人与性别有关； 2因为运动时长落在60 70，和7080，的人数之比是80 4021：， 所以6名同学中有4人运动时长落在60 70，有2人运动时长落在7080， 用A表示事件发言的同学中至少有1人运动时长不低于70分钟， 所以 1120 2424 22 66 93 155 C CC C P A CC 答：发言的学生中至少有1名锻炼时长不低于70分钟的概率为 3 5 . 【点评】本题第一小问考查了独
33、立性检验等知识，考察 2 K的运算求解能力，属于基础题；第二问考察了分层抽样的 相关知识以及超几何分布概率问题，考察相关知识点和逻辑推理能力，属于基础题. 11 / 15 19.（12 分） 动圆P与圆 2 2 1 1 4 xy外切,与直线 1 2 x 相切,记圆心P的轨迹为E, （1）求E的方程; （2）过点1,0F作直线l交E于,A B两点，若AB中点的纵坐标为 3 2 ,且AFFB1,求的值. 【答案】 （1） 2 4yx； （2）=4 【解析】 （1）设圆P的半径为r,P到直线 1 2 x 的距离为 1 d,P到直线1x 的距离为 2 d. 据题意, 121 11 , 22 PCrdr
34、 dd所以 2. PCd 根据抛物线的定义，点P的轨迹是抛物线，顶点为原点，=2P，对称轴为x轴 所以其轨迹方程为 2 4yx （2）据题意，设直线:1l xny，交点 1122 ,A x yB xy 则有 2 1 4 xny yx ，得 2 440yny 2 =1610n，根据韦达定理，有 12 12 =4 4 yyn y y 因为AB中点的纵坐标为 3 2 ，所以 12=4 =3 yyn，得 3 = 4 n 所以方程可化简为 2 340yy，解得两根分别为4和1. 因为AFFB，所以 1 2 AFy BFy 又因为1，所以 12 yy，故 1 =4y， 2 = 1y,所以=4 【点评】本题
35、考查直线的方程，抛物线的定义及轨迹方程，直线与圆锥曲线的关系等知识；考查运算求解能力，推理 论证能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想. 12 / 15 20. （12 分） 小夏经营一家夜市摊点，她准备参加当地为期5天的饮食文化节，期间每天获利与是否下雨有关:如果不下雨每天可 获利1000元，如果下雨每天将亏损200元，气象资料显示饮食文化节期间每天下雨的概率是0.2，且每天下雨与否 相互独立. 1求饮食文化节开始后，直到第3天才下雨的概率； 2在饮食文化节期间小夏获利的期望是多少？ 【答案】 10.128 23800 【解析】 1 记饮食文化节期间第1,2,3,4,5i
36、i 天下雨为事件 123 , I A AAA、 、是相互独立事件，记饮食文化节开 始后，直到第三天下雨为事件A，则 123 AAAA，从而 123 0.8 0.8 0.20.128P AP AP AP A 2记饮食文化节期间下雨的天数为随机变量X，小夏的获利为随机变量Y，则5,0.2XB， 所以5 0.21E X . 1000 5200YXX，即12005000YX ，则 120050003800E YE X 【点评】 本题考查事件的相互独立性、二项分布和数学期望等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力等；考 查化归与转化思想等. 13 / 15 21.（12 分） 已知椭圆：201 4 2
37、 22 b b yx 上的两点M,N关于x轴对称，A是的左顶点， 点0 , 1S.当 2 7 MN时， 四边形ANSM是菱形. （1）求的方程； （2）连接NS并延长交于异于M的一点P，求证：直线MP过定点. 【解析】 （1）由题知0 , 2A，0 , 1S，又四边形ANSM是菱形且 2 7 MN， 则 4 7 , 2 3 M或 4 7 , 2 3 M， 将点M的坐标带入椭圆1 4 2 22 b yx 中，得1 16 7 16 9 2 b ，解得1 2 b， 所以椭圆方程为1 4 2 2 y x . （2）设直线NS的方程为01 ttyx，由 1 4 1 2 2 y x tyx ，得0324
38、22 tyyt. 显然0，设 11, y xP， 22, y xN， 22, y xM， 则 4 2 2 21 t t yy， 4 3 2 21 t yy. 又直线MP的方程为 1 21 21 1 xx xx yy yy 若直线MP过定点，根据图象的对称性可知，定点在x轴上. 令0y，得 21 1221 yy yxyx x 4131 22 21 21 21 2121 yy yty yy yyyty 所以直线MP恒过定点0 , 4. 【点评】 本题考查椭圆的方程和性质， 直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识； 考查运算求解能力， 推理论证能力等； 考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等
39、. 14 / 15 22. （12 分） 已知函数 2 1 ( )ln 2 f xxxaxaR的导函数为( )g x， （1）讨论( )g x的单调性； （2）证明：存在 1 0, 2 a ，使( )f x有且仅有一个零点. 【解析】 （1）由题意，0,x， ln1 2g xxax ，则 1 2gxa x 0a ， 0gx ， g x在0,上单调递增 0a ，则当 1 0, 2 x a 时， 0gx ， g x单调递增，当 1 , 2 x a 时， 0gx ， g x单调递减 综上，当0a ， g x在0,上单调递增；当0a ， g x在 1 0, 2a 上单调递增， g x在 1 , 2a
40、上单调 递减 （2）当0,1x， 1 0, 2 a 时，ln0 xx， 2 1 0 2 ax，即( )0f x ，所以( )f x在0,1内无零点，只需要 考虑1,x 当1,x时， 2 ln1 ( )0 2 x f xa xx 令 2 ln1 ( ),1, 2 x g xx xx ， 233 1 ln1ln1 ( ) xxxx g x xxx 令 ln1,1,h xxxxx， ln0h xx ，故 h x在1,单调递减 又 343ln30h， 454ln40h ，所以存在唯一 0 3,4x ，使得 0000 ln10h xxxx ，即 0 0 1 ln1x x 此时 0 ()0g x，且当 0
41、 1,xx， ( ) 0g x ，( )g x单调递增；当 0, xx时， ( ) 0g x ，( )g x单调递减 所以 0 min0 22 0000 ln111 ( )() 22 x g xg x xxxx 15 / 15 因为 0 ()g x在 0 3,4x 上单调递减，所以 0 97 (), 32 18 g x ，所以 0 1 ()0, 2 g x 故存在 1 0, 2 a 使得 00 ()()0ag xf x 故存在 1 0, 2 a ，使( )f x有且仅有一个零点. 【点评】本题以初等函数的导数为命题背景，考查函数的单调性、最值及函数零点等知识；考察推理论证、运算求解 等数学能力；考查函数与方程、分类讨论、化归与转化等数学思想，考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心 素养.
