1、1 扬州市2020-2021学年第二学期期末模拟卷 高一数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若 32 ai i 为纯虚数，则实数a的值为（） A 3 2 B 2 3 C 2 3 D 3 2 2.已知ABC的内角所对的边分别为，若，则的形状为（） A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰或直角三角形 3.甲乙两队进行羽毛球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军， 若甲队每局获胜的概率为 1 3 ，则甲队获得冠军的概率为（） A 4 9 B 5 9 C 2 3 D 7
2、9 4.已知直线, a b和平面, ，则下列命题正确的是（） A若/ / ,ab b，则/ /aB若,ab b，则a C若,a，则aD若/ / ,a，则/ /a 5.已知向量 ),1, 1 (),1 , 2(ba 则a在b上的投影向量为（） A)2, 2( B) 1, 1 ( C) 2 1 , 2 1 (D ) 2 2 , 2 2 ( 6.某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（） A 3 2 B 2 2 C 3 3 D 3 4 7.已知ABC中，7:5:3sin:sin:sinCBA， 315S ,则边长 c （） A 2 7 B.7C.14D. 37
3、 8.在ABC中，点O是BC的三等分点，2OCOB ，过点O的直线分别交直线,AB AC于点,E F，且 ,(0,0)ABmAE ACnAF mn ，若 1t mn 的最小值为 8 3 ，则正数t的值为（） A1B2C 8 3 D 11 3 2 二、选择题：本题共 4 小题。每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选 对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9.抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 4,5,6”为事件 A,“向上的点数是 1,2”为事件 B,“向上的点数是 1,2,3”为事件 C,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件
4、 D,则下列关于事件 A，B，C，D 判断正确的有（） :AA 与 B 是对立事件:BA 与 C 是互斥事件也是对立事件 ：CA 与 D 是互斥事件：DC 与 D 不是对立事件也不是互斥事件 10.下列关于复数说法正确的有：（） :A纯虚数不可以比较大小；:B若0 2 z z，则iz2 ：C若非 0 复数Rzz 21 ，则 21 zz ：D已知i2是关于x的方程0 2 baxx的根，则5b 11.已知ABC中，13, 4, 1BCACAB，D在BC上，AD为BAC的角平分线，E为AC的中点， 则下列结论正确的有：（） :A3BE:BABC的面积为13 ：C4:1:DCBD：D 5 34 AD
5、12.如图，在棱长为 1 的正方体中，下列结论正确的是（） :A异面直线AC与 1 BC所成的角为 60 :B直线 1 AB与平面 11D ABC所成角为 45 ：C二面角 1 ABCB的正切值为2 ：D四面体 11 DABC的外接球的体积为 3 2 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知 1 sincos 63 ，则cos 2 3 _ 14.如图， 一次飞行训练中， 地面观测站观测到一架参阅直升机以72 2千米/小时的速度在同一高度向正东飞行， 如图，第一次观测到该飞机在北偏西 60的方向上，1 分钟后第二次观测到该飞机在北偏东 75的方向上，仰 角为 30
6、，则直升机飞行的高度为_千米（观测站高度忽略不计，结果保留根号） 3 15.已知直三棱柱 111 ABCABC中，AB1，BC2，90ABC ，其外接球的表面积为 9，则该三棱柱的 侧棱长为_ 16.已知锐角三角形ABC中，若)( 2 caab，则 A B _； BaAb Aa coscos sin 的取值范围为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （1）已知复数Raaiaz, 0,，i 为虚数单位，且复数 2 z z 为实数求z. （2）已知复数z满足143iz，求iz9的取值范围. 18.已知向量 33 cos,sin,cos,
7、sin 2222 xx axxb ，且0, 2 x ，求： （1）求|ab 的取值范围； （2）若( )2 |f xa bab 的最小值为 3 2 ，求实数的值 4 19. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知D为边BC的中点， 19 2 AD ， 2 (12sin)(2)cos 2 C abcA，3b . （1）求角A的大小； （2）求ABC的面积. 20. 某重点中学 100 位学生在市 统考中的理科综合分数，以160,180，180,200，200,220， 220,240，240,260，260,280，280,300分组的频率分布直方图如图 （1）求直方图中x的值；
8、 （2）求理科综合分数的众数和中位数； （3）在理科综合分数为240,260，260,280，280,300的三组学生中，用分层抽样的方法抽取 6 名学 生，再一次性从中选出 2 人参加竞赛，求从260,280，280,300里各抽一人的概率？ 5 21. 如图， 三棱锥PABC的底面是等腰直角三角形， 其中2ABAC，PAPB， 平面PAB 平面ABC， 点E，F，M，N分别是AB，AC，PC，BC的中点 （1）证明：平面EMN 平面PAB； （2）当PF与平面ABC所成的角为 3 时，求四棱锥APMNB的体积 22.随着二胎开放，儿童数量渐增，某市决定充分利用城市空间修建口袋儿童乐园，如图
9、所示：在直径为20m的 半圆O空地上，设置扇形区域OMB作为大人体息区，规划两个三角形区域做成小喷泉区（OAB区域）和沙坑 滑梯区（ABC区域），其中A为直径MN延长线上一点，且20mOA，B为半圆周上一动点，以AB为 边作等边ABC （1）若等边ABC的边长为a，AMB，试写出a关于的函数关系式； （2）问AMB为多少时，儿童游玩区OACB的面积最大？这个最大面积为多少？ 6 扬州市 2020-2021 学年第二学期期末模拟卷 高一数学 一、单选题 1-4:CDBD5-8:CDCB 二、多选题 9：BD10:AD11:ACD12：ACD 三、填空题 13. 9 7 14. 5 32 15.2
10、16.) 2 2 2 1 ( , 2， 四、解答题 17.（1）因为 zai(a0)，所以 z 2 z ai 2 ai ai 2 ai aiai ai 2 22 1 ai a 22 22 1 11 a ai aa ， 由于复数 z 2 z 为实数，所以 1 2 2 1a 0， 因为 a0，解得 a1，因此，z1i， iz1 （2）1412， 18.解：（1）由题意，向量 33 cos,sin,cos, sin 2222 xx axxb ， 可得 33333 cos,sincos , sincoscossinsincos()cos2 2222222222 xxxxxx a bxxxxx ， 又由
11、 2222 33 cossin1,(cos )( sin)1 2222 xx axxb 所以 22 |21 12cos222cos22cosababa bxxx . cos0,1tx ， |0 2， ab 7 （2）由（1）可得( )2 | cos24 cos ,0, 2 f xa babxx x ， 即 2 ( )cos24 cos2cos4 cos1,0, 2 f xxxxxx ， 令cos0,1tx，所以 2 241,0,1yttt， 对称轴为t， 若0，则 min 1y ，不符合题意； 若1，则 min 3 14 2 y ，解得 5 8 （舍去）； 若01，则 2 min 3 12 2
12、 y ，解得 1 2 ， 综上可得： 1 2 . 19.（1）由 2 12sin2cos 2 C abcA 可得cos2cosaCbcA， 由正弦定理得sin cos2sinsincosACBCA， sin coscos sin2sin cosACACBA， sinsin2sin cosACBBA， 又sin0B ， 1 cos 2 A ， 0A， 3 A . （2）延长AD至E，使2AEAD，连接CE，则/ /ABEC，且CEABc 8 在ACE中， 219AEAD ， 3ACb ， 2 3 ACEA ， 由余弦定理得 222 2 2cos 3 AEbcbc ， 即 2 1993cc ， 整
13、理得 2 3100cc ， 解得2c 或5c （舍去）. 1133 3 sin3 2 2222 ABC SbcA . 20.（1）0.0075 （2）理科综合分数的众数是 220240 230 2 ， 0.0020.00950.011200.450.5， 理科综合分数的中位数在220,240内，设中位数为a， 则0.0020.00950.011200.01252200.5a， 解得224a ，即中位数为224 （3）分层抽样比例1:2:3，则概率为 15 2 5 1 6 2 5 2 6 1 21.（1）证明：由题意可得，ABAC， 点E，N分别是AB，BC的中点， 故ENAC，故ENAB， 平
14、面PAB 平面ABC，交线为AB 故EN 平面PAB EN在平面EMN内， 故平面EMN 平面PAB； （2）连结PE，由PAPB，点E是AB的中点，可知PEAB， 9 再由平面PAB 平面ABC，可知PE 平面ABC， 连结EF，可知PFE就是直线PF与平面ABC所成的角， 于是tan3 PE PFE EF ， 22 336PEEFAEAF 因为PAPB，E是AB中点，故PEAB， 又平面PAB 平面ABC，故PE 平面ABC， 即点P到平面ABC的距离为 6PE 点M是PC中点，故点M到平面ABC的距离为 6 2 d ， 11 33 A PMNBP ABCMANCABCANC VVVPE
15、Sd S 11161 62 22 1 32322 2 666 362 即四棱锥APMNB的体积为 6 2 22.（1）AMB，2AOB， 在AOB中，ABa=，20OA，10OB ，2AOB， 10 由余弦定理可得 222 2cos500400cos2aOAOBOA OBAOB ， 所以， 10 54cos2a ，其中0, 2 ； （2） 1 10 20sin2100sin2 2 AOB S ， 2 3 25 3 54cos2 4 ABC SAB ， 所以，100sin225 3 54cos2100sin2100 3cos2125 3 AOBABCOACB SSS 四边形 200sin 2125 3 3 ， 0 2 ，则 2 2 333 ， 当2 32 时，即当 5 12 时，四边形OACB的面积取最大值 2 200 125 3 m.
