1、1 扬州市2020-2021学年第二学期期末模拟卷 高二数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数 2 ( )sinf xxx在0，上的平均变化率为（） A1B2CD2 2.已知随机变量X服从正态分布 2 4,N，且80.8P X ，则04PX等于（） A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5 3. 若 4 名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报 1 项，则不同的报名方式有（） A. 34种B. 43种C. 3 3 A种D. 3 4 A种 4.下列大小关系正确的是（） A. 2.8 loge
2、ln2.8B. 0.20.2 0.40.3C. e eD.ln33ln 5.抛掷甲、 乙两颗骰子， 若事件 A： “甲骰子的点数大于 4”； 事件 B： “甲、 乙两骰子的点数之和等于 7”， 则(|)P B A 的值等于（） A. 18 1 B. 9 1 C. 6 1 D. 3 1 6. 1227 272727 SCCC除以9的余数为（） A. 1B. 3C. 5D. 7 7.在直三棱柱 111 ABCABC中， 底面是腰长为 2 的等腰直角三角形，90ACB， 3 1 CC， 若点M为 11 AB 的中点，则直线AM与直线 1 CB所成的角的余弦值为（） A. 7 35 B. 7 5 C.
3、 5 1 D. 5 5 8.己知定义在R上的函数)(xf的导函数为)(x f ，满足0)(2)(xfxf，且1)0(f，则不等式 x exf 2 )( 的解集为（） A.), 0( B.), 1 ( C.)0(，D.) 1(， 2 二、选择题：本题共 4 小题。每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选 对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9.已知三个正态分布密度函数 2 2 2 1 ,1,2,3 2 i i x i i fxexR i 的图象如 图所示，则下列结论正确的是（） A. 123 B. 123 C. 123 D. 123
4、 10.随机变量的分布列是： 123 P a b 1 6 若 5 3 E，随机变量的方差为 V，则下列结论正确的有（） A. 7 21 3 EB. 1 3 a ， 1 2 b C. 5 9 VD.95V 11.关于排列组合数，下列结论正确的是（） A.CC mn m nn B. 1 1 CCC mmm nnn C. 1 1 AA mm nn m D. 1 1 AAA mmm nnn m 12.已知函数 1 ( )lnf xx x ，则（） A.函数 ( )f x的递减区间是(，1) B. 函数 ( )f x在(e，)上单调递增 C.函数 ( )f x的最小值为 1 D. 若( )( )()f
5、mf n mn，则 mn2 3 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.欧拉公式cossin i ei 将自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cos和sin联系在一起，充分体 现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”.若复数z满足 i eizi ，则z _ 14.一个袋中装有 6 个红球和 4 个白球，这些球除颜色外完全相同，现从袋中任意取出 3 个球，至少有 2 个红球 的概率为_（用数字作答）. 15.设函数 32 1f xxaxax为奇函数，则曲线 yf x在点1x 处的切线方程为_ 16.如图，ABC中， 90BAC， 30ABC,ABD中， 90ADB，
6、45ABD， 且1AC将ABD沿边AB折叠后， （1）若二面角DABC为直二面角，则直线CD 与平面ABC所成角的正切值为_；（2）若二面角DABC的大小为 150， 则线段CD的长为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （1）求复数 232019 1 iiii z i 的值. （2）已知复数z满足143iz，求iz9的取值范围. 18. 已知(31)nx的展开式中，第 5 项与第 3 项的二项式系数之比为 14：3. （1）求正整数 n 及二项式系数的最大项。 （2）若 2 012 (31)n n n xaa xa xa x，求 1
7、 | n i i a . 4 19. 根据教育部中小学生艺术素质测评办法，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江苏省中考将 增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围.为初步了解学生家长对艺术素质 测评的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下： 得分30,4040,5050,6060,7070,8080,9090,100 男性4912131163 女性122211042 （1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低 于60分）两类，完成22列联表，并判断是否有99%的
8、把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与 “性别”有关？ （2） 以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率.现在再随机抽取3名学 生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为X，求X的概率分布列和数学期望. 不太了解比较了解合计 男性 女性 合计 附： 2 2 n adbc abcdacbd ，nabcd. 临界值表： 2 0 Px0.150.100.050.0250.0100.0050.001 0 x2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 5 20.已知函数 2 ( ) x f xexa，xR的图象在点0 x 处的切线为
9、ybx （1）求函数 ( )f x的解析式； （2）设 2 ( )( )g xf x +xx，求证：( )0g x ； （3）若 ( )f x k x 对任意的(0,)x恒成立，求实数k的取值范围 21. 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，已知A1AC60，BAC45，A1BA1AAC2，AB 2. （1）求证：平面 ACC1A1平面 ABC； （2）求二面角 B1A1BC 大小的余弦值. 22. 略 6 扬州市 2020-2021 学年第二学期期末模拟卷 高二数学 一、单选题 1-5:CBAC6-8:CCAA 二、多选题 9：BD10:AC11:ABD12：BCD 三、填空题 13. 2
10、 2 14. 3 2 15.24 xy16.2 7 21， 四、解答题 17.（1）i 2 1 2 1 （2）1412， 18.解：（1）由第 5 项与第 3 项的二项式系数之比为 143 得 4 2 (1)(2)(3 14(2)(3)14 1 2 3 4 (1) 3123 1 2 n n n nnn Cnn n n C ） ， ()() 1050nn-+=，所以10n ，5n （舍）. 二项式系数最大项： 55 10 3xC； （2）由10n 得， 10210 01210 (31)xaa xa xa x， 当0 x 时，代入式得 0 1a ； 因为 12310123910 1 n i i a
11、aaaaaaaaa ， 所以，令1x 得， 10 0123910 4aaaaaa， 所以 10 1 10 =41 i i a . 7 19.（1）由题意得列联表如下： 不太了解比较了解合计 男性253358 女性53742 合计3070100 2 的观测值 2 2 10025 3733 5 11.291 30 70 42 58 . 因为11.29110.828，所以有99.9%的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关； （2）由题意得该校1名学生家长“比较了解”的概率为 707 10010 ， 7 3,10XB ， 3 3 73 1010 kk k P XkC ，0k 、1、2、3
12、， 即X的概率分布列如下表所示： X0123 P 27 1000 189 1000 441 1000 343 1000 所以 721 3 1010 E X . 20.（1） 2 ( ),( )2 xx f xexa fxex，由已知得 (0)10 (0)1 fa fb ，解得 1 1 a b ， 故 2 ( )1 x f xex. （2） 2 ( )( )1 x g xf xxxex，( )10 x g xe 得0 x 当 (,0)x 时，( )0g x ，( )g x单调递减； 当(0,)x时，( )0g x ，( )g x单调递增 min ( )(0)0g xg，从而 2 ( )f xxx
13、 ,即 0g x 8 （3）令 2 ) ( ) 1( x f x h x x e x x ，0 x ， 2 222 21(1)1 ( )( ) ( ) xxx x exexxex xfxf x h x xxx ， 由（2）可知当(0,)x时，10 x ex 恒成立， 令( )0h x ，得1x ；( )0h x 得01x ( )h x的增区间为(1,)，减区间为(0,1)， min ( )(1)2h xhe， min ( )(1)2kh xhe，实数k的取值范围为(,2)e. 21.（1）取AC中点O，连结 1 AO，BO， 在 1 A AC中， 1 2A AAC， 1 60A AC ，所以
14、1 A AC为正三角形， 因为O为AC中点，所以 1 AOAC， 1 3AO ； 在OAB中， 2AB ， 1 1 2 AOAC， 45BAC ， 所以，由余弦定理得 22 2cos451OBAOABAO AB 所以， 222 11 4ABAOOB，所以 1 AOOB， 又 1 AOAC，OBACOI，OB 平面ABC，AC 平面ABC， 所以 1 AO 平面ABC， 因为 1 AO 平面 11 ACC A，所以平面 11 ACC A 平面ABC. 9 （2）在OAB中， 2AB ，1AOOB， 故 222 ABAOOB，所以AOOB，又 1 AOAC， 1 AOOB， 分别以OB，OC， 1
15、 OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,如上图， 则 (0, 1,0)A ，(1,0,0)B， 1(0,0, 3) A，(0,1,0)C 因为 11 (0,1, 3)AABB ，所以 11 (1,1, 3)OBOB BB ， 所以 1 (1,0,3)AB ， ( 1,1,0)BC ， 设平面 11 AB B的法向量为 1111 ( ,)nx y z ur ， 所以， 11 11 0, 0, nAB n B B 即 11 11 30, 30, xz yz 令 1 3z ，解得 1 3x ， 1 3y ，所以 1 (3, 3, 3)n 设平面 1 ABC的法向量为 2222 (,)nx y z ， 所以， 21 2 0, 0, nAB nBC 即 22 22 30, 0, xz xy 令 2 3z ，解得 2 3x ， 2 3y ，所以 2 (3,3, 3)n 所以 1 21n ， 2 21n ， 12 3n n uu r ， 所以 12 12 12 31 cos, 72121 n n n n n n ， 所以，二面角 11 BABC的余弦值为 1 7 .
