1、8.1直线的方程直线的方程 考试要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直 线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的 计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式 及一般式) 1直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，把 x 轴所在的直线绕着交点按 逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与 x 轴 平行或重合的直线的倾斜角为 0. (2)范围：直线 l 倾斜角的范围是0，180) 2斜率公式 (1)若直线
2、 l 的倾斜角90，则斜率 ktan . (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上且 x1x2，则 l 的斜率 ky2y1 x2x1. 3直线方程的五种形式 名称方程适用范围 点斜式yy0k(xx0)不含直线 xx0 斜截式ykxb不含垂直于 x 轴的直线 两点式 yy1 y2y1 xx1 x2x1(x 1x2，y1y2)不含直线 xx1和直线 yy1 截距式 x a y b1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用 微思考 1直线的倾斜角越大，斜率越大对吗？ 提示不对设直线的倾斜角为，斜率为 k. 的大小00909090
3、0不存在k0 k 的增减性随的增大而增大随的增大而增大 2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？ 提示“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是 一个非负数应注意过原点的特殊情况是否满足题意 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置() (2)若直线的斜率为 tan ，则其倾斜角为.() (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等() (4)经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 ykxb 表示() 题组二教材改编 2若过点 M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则
4、 m 的值为() A1B4 C1 或 3D1 或 4 答案A 解析由题意得 m4 2m1，解得 m1. 3已知直线斜率的绝对值等于 1，则直线的倾斜角为_ 答案 4或 3 4 解析由|k|tan |1 知 tan 1， 4或 3 4 . 4已知三点 A(3，1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，则实数 m 的值为_ 答案2 解析因为 A，B，C 三点在同一直线上，所以 kABkBC，即21 03 42 m0，故 m2. 题组三易错自纠 5(多选)下列说法正确的是() A有的直线斜率不存在 B若直线 l 的倾斜角为，且90，则它的斜率 ktan C若直线 l 的斜率为 1，则它的倾斜角为
5、3 4 D截距可以为负值 答案ABD 6过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_ 答案3x2y0 或 xy50 解析当截距为 0 时，直线方程为 3x2y0； 当截距不为 0 时，设直线方程为x a y a1， 则2 a 3 a1，解得 a5.所以直线方程为 xy50. 题型一 直线的倾斜角与斜率 例 1 (1)已知两点 A(1,2)，B(m,3)，且 m 3 3 1， 31 ，则直线 AB 的倾斜角的取值 范围是() A. 6， 2B. 2， 2 3 C. 6， 2 2， 2 3D. 6， 2 3 答案D 解析当 m1 时， 2； 当 m1 时，k 1 m1(， 3 3 3 ，
6、 ， 6， 2 2， 2 3 . 综合知直线 AB 的倾斜角的取值范围是 6， 2 3 . (2)(2021安阳模拟)已知点 A(1,3)，B(2，1)若直线 l：yk(x2)1 与线段 AB 相交， 则 k 的取值范围是() Ak1 2 Bk2 Ck1 2或 k2 D2k1 2 答案D 解析直线 l：yk(x2)1 经过定点 P(2,1)， kPA31 122，k PB11 22 1 2， 又直线 l：yk(x2)1 与线段 AB 相交， 2k1 2. 本例(2)直线 l 改为 ykx，若 l 与线段 AB 相交，则 k 的取值范围是_ 答案 ，1 2 3，) 解析直线 l 过定点 P(0,
7、0)， kPA3，kPB1 2，k3 或 k 1 2. 思维升华 (1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法 (2)倾斜角和斜率范围求法：图形观察(数形结合)；充分利用函数 ktan 的单调性 跟踪训练 1 (1)(2021宿州模拟)若图中直线 l1，l2，l3的斜率分别为 k1，k2，k3，则() Ak1k2k3Bk3k1k2 Ck3k2k1Dk1k3k2 答案D 解析因为直线 l2， l3的倾斜角为锐角， 且直线 l2的倾斜角大于直线 l3的倾斜角， 所以 0k3k2. 直线 l1的倾斜角为钝角，斜率 k10，所以 k1k30， 12k0 k0，b0)， 则2 a 1 b1. 又2 a 1
8、b2 2 ab 1 2ab4，当且仅当 2 a 1 b 1 2，即 a4，b2 时，AOB 面积 S 1 2ab 有 最小值为 4. 此时，直线 l 的方程是x 4 y 21. 本例中，当 MAMB 取得最小值时，求直线 l 的方程 解方法一由本例知 A 2k1 k ，0 ，B(0,12k)(k0，b0，2 a 1 b1. MAMB|MA |MB | MA MB (a2，1)(2，b1) 2(a2)b12ab5 (2ab) 2 a 1 b 52 b a a b 4， 当且仅当 ab3 时取等号，此时直线 l 的方程为 xy30. 思维升华 (1)直线过定点问题可以利用直线点斜式方程的结构特征，
9、对照得到定点坐标 (2)求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得 多边形面积 (3)求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或 基本不等式求解 跟踪训练 2 已知直线 l：kxy12k0(kR) (1)证明：直线 l 过定点； (2)若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围； (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A，交 y 轴正半轴于 B，AOB 的面积为 S(O 为坐标原点)，求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程 (1)证明直线 l 的方程可化为 k(x2)(1y)0， 令 x20， 1y0， 解得 x2， y1.
10、 无论 k 取何值，直线 l 总经过定点(2,1) (2)解由方程知，当 k0 时直线在 x 轴上的截距为12k k ，在 y 轴上的截距为 12k，要 使直线不经过第四象限，则必须有 12k k 2， 12k1， 解得 k0； 当 k0 时，直线为 y1，符合题意，故 k 的取值范围是0，) (3)解由题意可知 k0，再由 l 的方程， 得 A 12k k ，0 ，B(0,12k) 依题意得 12k k 0， 解得 k0. S1 2OAOB 1 2| 12k k |12k|1 2 12k2 k 1 2 4k1 k41 2(224)4， “”成立的条件是 k0 且 4k1 k，即 k 1 2，
11、 Smin4，此时直线 l 的方程为 x2y40. 课时精练课时精练 1(2021清远期末)倾斜角为 120且在 y 轴上的截距为2 的直线方程为() Ay 3x2By 3x2 Cy 3x2Dy 3x2 答案B 解析斜率为 tan 120 3，利用斜截式直接写出方程，即 y 3x2. 2(2020菏泽模拟)若平面内三点 A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则 a 等于() A1 2或 0B.2 5 2 或 0 C.2 5 2 D.2 5 2 或 0 答案A 解析由题意知 kABkAC，即a 2a 21 a 3a 31 ， 即 a(a22a1)0，解得 a0 或 a1 2. 3(2
12、021广东七校联考)若过点 P(1a,1a)和 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数 a 的 取值范围是() A(2,1)B(1,2) C(，0)D(，2)(1，) 答案A 解析由题意知2a1a 31a 0，即a1 2a0，解得2a0，c0Ba0，c0 Ca0Da0，c0，在 y 轴上的截距 c0. 5直线 2xcos y30 6， 3的倾斜角的取值范围是 () A. 6， 3B. 4， 3 C. 4， 2D. 4， 2 3 答案B 解析直线 2xcos y30 的斜率 k2cos ， 因为 6， 3 ，所以1 2cos 3 2 ， 因此 k2cos 1， 3 设直线的倾斜角为，则有 t
13、an 1， 3 又0，)，所以 4， 3 ， 即倾斜角的取值范围是 4， 3 . 6(多选)在下列四个命题中，错误的有() A坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B直线倾斜角的取值范围是0，) C若一条直线的斜率为 tan ，则此直线的倾斜角为 D若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 tan 答案ACD 解析对于 A，当直线与 x 轴垂直时，直线的倾斜角为 90，斜率不存在，A 错误； 对于 B，直线倾斜角的取值范围是0，)，B 正确； 对于 C，一条直线的斜率为 tan ，此直线的倾斜角不一定为，C 错误； 对于 D，一条直线的倾斜角为时，它的斜率为 tan 或不存在，D 错误 故选
14、 ACD. 7(多选)若直线过点 A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线 l 的方程为() Axy10Bxy30 C2xy0Dxy10 答案ABC 解析当直线经过原点时，斜率为 k20 102， 所求的直线方程为 y2x，即 2xy0； 当直线不过原点时， 设所求的直线方程为 xyk， 把点 A(1,2)代入可得 12k， 或 12k， 求得 k1，或 k3，故所求的直线方程为 xy10，或 xy30. 综上知，所求的直线方程为 2xy0，xy10， 或 xy30. 8(多选)垂直于直线 3x4y70，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 6 的直线在 x 轴上 的截距是() A4B
15、4 C3D3 答案CD 解析设直线方程是 4x3yd0，分别令 x0 和 y0，得直线在两坐标轴上的截距分别是 d 3， d 4，所以 6 1 2| d 3| d 4|d 2 24.所以 d12，则直线在 x 轴上的截距为 3 或3. 9直线 l 过(1，1)，(2,5)两点，点(1 011，b)在 l 上，则 b 的值为_ 答案2 023 解析直线 l 的方程为y1 51 x1 21， 即y1 6 x1 3 ，即 y2x1. 令 x1 011，得 y2 023，b2 023. 10设直线 l 的方程为 2x(k3)y2k60(k3)，若直线 l 的斜率为1，则 k_； 若直线 l 在 x 轴
16、、y 轴上的截距之和等于 0，则 k_. 答案51 解析因为直线 l 的斜率存在，所以直线 l 的方程可化为 y 2 k3x2，由题意得 2 k3 1，解得 k5.直线 l 的方程可化为 x k3 y 21，由题意得 k320，解得 k1. 11已知三角形的三个顶点 A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，则 BC 边上中线所在的直线方程为 _ 答案x13y50 解析BC 的中点坐标为 3 2， 1 2 ，BC 边上中线所在直线方程为 y0 1 20 x5 3 25 ，即 x13y 50. 12 (八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为 2， 则该正方形的两条邻边所在直线的 斜率分别为
17、 答案 1 3，3 解析方法一设正方形一边所在直线的倾斜角为，其斜率 ktan . 则其中一条对角线所在直线的倾斜角为 4，其斜率为 tan 4 .依题意知：tan 4 2， 即 tan tan 4 1tan tan 4 tan 1 1tan 2，tan 1 3， 正方形一边的斜率 k1 3，可知相邻一边所在直线的斜率为3. 方法二正方形两条相邻边与对角线的夹角为 4 ， 设正方形的边所在直线的斜率为 k， 则由夹角公式得 tan 4| k2 12k|k1 3或 k3. 13已知 P(3,2)，Q(3,4)及直线 axy30.若沿PQ 的方向延长线段 PQ 与直线有交点(不 含 Q 点)，则
18、a 的取值范围是_ 答案 7 3， 1 3 解析直线 l：axy30 是过点 A(0，3)的直线系，斜率为参变数a，易知 PQ，QA， l 的斜率分别为：kPQ1 3，k AQ7 3，k la.若 l 与 PQ 延长线相交，由图可知 kPQklkAQ，解 得7 3a 1 3. 14已知数列an的通项公式为 an 1 nn1(nN *)，其前 n 项和 Sn9 10，则直线 x n1 y n1 与坐标轴所围成的三角形的面积为_ 答案45 解析由 an 1 nn1可知 a n1 n 1 n1， 所以 Sn 11 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n 1 n1 1 1 n1， 又知 Sn 9
19、10，所以 1 1 n1 9 10，所以 n9. 所以直线方程为 x 10 y 91，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)，所以直线与坐标轴所围成的三 角形的面积为1 210945. 15(多选)已知直线 xsin ycos 10(R)，则下列命题正确的是() A直线的倾斜角是 B无论如何变化，直线不过原点 C直线的斜率一定存在 D当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于 1 答案BD 解析根据直线倾斜角的范围为0，)，而R，所以 A 不正确；当 xy0 时，xsin ycos 110，所以直线必不过原点，B 正确；当 2时，直线斜率不存在，C 不正确； 当直线和两坐
20、标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为 S1 2| 1 sin | 1 cos | 1 |sin 2|1，所以 D 正确 16 如图， 射线 OA， OB 分别与 x 轴正半轴成 45和 30角， 过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA， OB 于 A，B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y1 2x 上时，则直线 AB 的方程是_ 答案(3 3)x2y3 30 解析由题意可得 kOAtan 451， kOBtan(18030) 3 3 ， 所以直线 lOA：yx，lOB：y 3 3 x. 设 A(m，m)，B( 3n，n)， 所以 AB 的中点 C m 3n 2 ，mn 2， 由点 C 在直线 y1 2x 上，且 A，P，B 三点共线得 mn 2 1 2 m 3n 2 ， m0 3n1n0m1， 解得 m 3，所以 A( 3， 3) 又 P(1,0)，所以 kABkAP 3 31 3 3 2 ， 所以 lAB：y3 3 2 (x1)， 即直线 AB 的方程为(3 3)x2y3 30.
