1、1.4不等关系与不等式不等关系与不等式 考试要求1.掌握等式的性质.2.会比较两个数(式)的大小.3.理解不等式的性质，掌握不等式 性质的简单应用 1两个实数比较大小的方法 (1)作差法 ab0ab ab0ab ab0a1ab a b1ab a b1a0) 2不等式的基本性质 性质性质内容特别提醒 对称性abbb，bcac 可加性abacbc 可乘性 ab c0 acbc 注意 c 的符号 ab c0 acb cd acbd 同向同正可乘性 ab0 cd0 acbd 可乘方性ab0anbn(nN，n1)a，b 同为正数 可开方性 ab0 n a n b(nN，n2) a，b 同为正数 微思考
2、1两个正数 a，b，如果 ab，则 n a与 n b的大小关系如何？ 提示如果 ab0，则 n a n b. 2非零实数 a，b，如果 ab，则1 a与 1 b的大小关系如何？ 提示如果 ab0 且 ab，则1 a0b，则1 a 1 b. 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)两个实数 a，b 之间，有且只有 ab，ab，ab，则 acbc.() (3)若a b1，则 ab.( ) (4)若1 a 1 b0，则 ba0.( ) 题组二教材改编 2若 M(x3)2，N(x2)(x4)，则有() AMNBMN CM0， 所以 MN. 3若 ab0，cd0 B.a
3、c b d b c D.a d b c 答案D 解析cd0， 0dc， 又 0ba， bdac， 又cd0，bd cd ac cd，即 b c a d. 4比较两数的大小： 7 10_ 3 14. 答案 解析( 7 10)2172 70，( 3 14)2172 42， ( 7 10)2( 3 14)2， 7 10 3 14. 题组三易错自纠 5(多选)下列命题为真命题的是() A若 ab0，则 ac2bc2 B若 ababb2 C若 ab0 且 c c b2 D若 ab 且1 a 1 b，则 ab0 答案BCD 解析当 c0 时， 不等式不成立， A 中命题是假命题；ab， aab，ab， b
4、b2， a2abb2，B 中命题是真命题；ab0a2b200 1 a2 1 b2， c c b2，C 中命题是真命题； 1 a 1 b 1 a 1 b0 ba ab 0，ab，ba0，ab0， D 中命题是真命题，故选 BCD. 6已知1a2，3b5，则 ab 的取值范围是_ 答案(6,5) 解析3b5，5b3， 又1a2，6abNBMN CM0，所以 MN. (2)若 aln 3 3 ，bln 4 4 ，cln 5 5 ，则() AabcBcba CcabDbae 时，f(x)0，函数 f(x)单调递减， 因为 e34f(4)f(5)， 即 cba. (3)ee与 ee的大小关系为_ 答案e
5、eee 解析 ee ee e e e e e， 又 0e 1,0e1， e e1，即ee ee1，即 e e0，y0，M x2 x2y，N 4xy 5 ，则 M 和 N 的大小关 系为() AMNBM0， y0， 所以 MN x2 x2y 4xy 5 x 24xy8y2 5x2y x2y 24y2 5x2y 0， 即 MN. (2)已知 Me 2 0201 e2 0211，N e2 0211 e2 0221，则 M，N 的大小关系为_ 答案MN 解析方法一MNe 2 0201 e2 0211 e2 0211 e2 0221 e 2 0201e2 0221e2 02112 e2 0211e2 0
6、221 e 2 020e2 0222e2 021 e2 0211e2 0221 e2 020e12 e2 0211e2 02210. MN. 方法二令 f(x) ex1 ex+11 1 ee x+1111 e ex+11 1 e 11 e ex+11 ， 显然 f(x)是 R 上的减函数， f(2 020)f(2 021)， 即 MN. 题型二 不等式的基本性质 例 2 (1)(2020新乡模拟)已知 a，b，c，d 均为实数，则下列命题正确的是() A若 ab，cd，则 ac0，bcad0，则c a d bb，cd，则 adbc D若 ab，cd0，则a d b c 答案C 解析若 0ab,
7、0cd，则 ac0，bcad0，则bcad ab 0，即c a d b0，故选项 B 错误；若 ab，cd，则dc，所以 adbc，故选项 C 正确；若 cd0， 则1 d 1 c0，若 ab0，则 a d b c，故选项 D 错误 (2)(多选)若1 a 1 b0，则下列不等式正确的是( ) A. 1 ab0 Ca1 ab 1 b Dln a2ln b2 答案AC 解析由1 a 1 b0，可知 ba0. A 中，因为 ab0，所以 1 ab0.故有 1 ab 1 ab，即 A 正确； B 中，因为 baa0.故b|a|，即|a|b0，故 B 错误； C 中，因为 ba0，又1 a 1 b 1
8、 b0，所以 a 1 ab 1 b，故 C 正确； D 中，因为 baa20，而 yln x 在定义域(0， )上单调递增，所以 ln b2ln a2，故 D 错误 思维升华 判断不等式的常用方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前 提条件 (2)利用特殊值法排除错误答案 (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数 函数、幂函数等函数的单调性来比较 跟踪训练 2 (1)若 2m2n，则下列结论一定成立的是() A.1 m 1 n Bm|m|n|n| Cln(mn)0Dm-n2n， 可取 m2，n1，可得
9、 ACD 不成立 (2)(多选)设 ba0，cR，则下列不等式中正确的是() A 11 22 abB.1 a 1 b C.a2 b2 a b Dac3 1 b； 因为a2 b2 a b 2ba b2b0，所以 a2 b2 a b； 当 c0 时，ac3bc3，所以 D 不成立 题型三 不等式性质的综合应用 例 3 (1)已知1x4,2y3， 则 xy 的取值范围是_， 3x2y 的取值范围是_ 答案(4,2)(1,18) 解析1x4,2y3，3y2， 4xy2. 由1x4,2y3，得33x12,42y6， 13x2y18. (2)已知 3a8,4b9，则a b的取值范围是_ 答案 1 3，2
10、解析4b9，1 9 1 b 1 4， 又 3a8，1 93 a b 1 48， 即1 3 a b2. 若将本例(1)中条件改为1xy4,2xy3，求 3x2y 的取值范围 解设 3x2ym(xy)n(xy)， 则 mn3， mn2， m5 2， n1 2. 即 3x2y5 2(xy) 1 2(xy)， 又1xy4,2xy3， 5 2 5 2(xy)10,1 1 2(xy) 3 2， 3 2 5 2(xy) 1 2(xy) 23 2 ， 即3 23x2ybc,2abc0，则c a的取值范围是( ) A3c a1 B1c a 1 3 C2c a1 D1c abc,2abc0， 所以 a0，cbc，
11、 所以2acc，解得c a3， 将 b2ac 代入 bc 中，得2acc， 即 ac，得c a1，所以3 c a1. (2)已知 0 2，则的取值范围是_ 答案 0， 2 解析0 2， 20， 又 0 2， 2 2， 又0，即 00”是“a2b20”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分又不必要条件 答案A 解析a b0 a b0ab0a2b2， 但 a2b20 a b0， 所以“ a b0”是“a2b20”的充分不必要条件 2已知非零实数 a，b 满足 ab，则下列命题成立的是() Aa2b2Bab2a2b C. 1 ab2 1 a2b D.b a a b 答案C 解
12、析若 abb2，故 A 不成立； 若 ab0， ab， 则 a2b a b，故 D 不成立，由不等式的性质知，C 正确 3如果 xy0，那么下列不等式成立的是() Ay2x2xyBx2y2xy Cx2xyxyy2 答案D 解析x2y2(xy)(xy)， xy0，x0， xy0，x2y2， 又 xyy2y(xy)， xy0， y(xy)0，y20， x2xy，综上，x2xyy2. 4已知 a1(0,1)，a2(0,1)，记 Ma1a2，Na1a21，则 M 与 N 的大小关系是() AMN CMND不确定 答案B 解析MNa1a2(a1a21) a1a2a1a21(a11)(a21)， 又 a1
13、(0,1)，a2(0,1)， a110，a210，即 MN0，MN. 5(多选)已知 cba，且 acacBc(ba)0 Ccb2ab2Dac(ac)0 答案ABD 解析由 cba 且 ac0 且 cc 且 a0 知 baca，故 A 一定成立； ba0 且 c0，故 B 一定成立； 当 b0 时，cb2ab20，故 C 不一定成立； 又 ac0 且 ac0，ac(ac)cdf，abfcde，aecfBbef CcefDbec 答案ABD 解析因为 abcdef，abecdf， 所以 ecce，所以 ec， 又因为 abcdef，abffc，所以 cf， 所以 ecf，所以 C 错误； 又因为
14、 aeb，所以 ab，eec，bef，bcf 均成立，所以 ABD 正确. 7已知 Mx2y2z2，N2x2y2z，则 M_N(填“”“ 解析MNx2y2z22x2y2z (x1)2(y1)2(z1)2330， 故 MN. 8已知非零实数 a，b 满足 ab，则下列结论正确的是_(填序号) 1 ab3；2a2b；ln a2ln b2. 答案 解析当 a0，b0 1 b，故不正确； 由函数 yx3，y2x的单调性可知，正确； 当 a1，b1 时，ln a2ln b2ln 10，故不正确 9近来鸡蛋价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别 为 a 元/斤、b 元/斤，家庭
15、主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买 3 斤鸡蛋，家庭 主妇乙每周买 10 元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优 惠)_(在横线上填甲或乙即可) 答案乙 解析由题意得甲购买产品的平均单价为3a3b 6 ab 2 ，乙购买产品的平均单价为 20 10 a 10 b 2ab ab，由条件得 ab. ab 2 2ab ab ab2 2ab0， ab 2 2ab ab， 即乙的购买方式更优惠 10 (2021浙江宁海中学月考)已知等比数列a1， a2， a3， a4满足 a1(0,1)， a2(1,2)， a3(2,3)， 则 a4的取值范围是_ 答案(2 2，9) 解
16、析设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为 q， 由 a1(0,1)，a2(1,2)，a3(2,3)可知， 0a11，1a1q2，2a1q23， 由可得 1q2，即 q 2或 q1， 所以 2q0，试比较 a b2 b a2与 1 a 1 b的大小 解 a b2 b a2 1 a 1 b ab b2 ba a2 (ab) 1 b2 1 a2abab 2 a2b2 . ab0，(ab)20， abab 2 a2b2 0. a b2 b a2 1 a 1 b. 12(1)若 bcad0，bd0，求证：ab b cd d ； (2)已知 cab0，求证： a ca b cb. 证明(1)bcad，
17、1 bd0， c d a b， c d1 a b1， ab b cd d . (2)cab0，ca0，cb0. ab0，1 a0，c a c b， ca a 0，cb0， a ca b cb. 13(多选)若 0ac1，则() A. b c a1 B.ca ba c b Cca 1ba1 Dlogcac1，b c1.0a b c 01，故正确 对于 B，若ca ba c b，则 bcabbcac，即 a(cb)0，这与 0ac1 矛盾，故错误 对于 C，0a1，a1c1，ca 1ba1，故错误 对于 D，0ac1，logcay， yz， 2zx， 且 x，y，z 均为正整数 当 z4 时，8x
18、y4，x 的最大值为 7，y 的最大值为 6，故女学生人数的最大值为 6. xyzx 2，当 x3 时，条件不成立，当 x4 时，条件不成立，当 x5 时，5yz 5 2，此时 z3，y4. 该小组人数的最小值为 12. 15已知实数 a，b，c 满足 bc64a3a2，cb44aa2，则 a，b，c 的大小关系为 () AabcBbca CbcaDba0， ba，a1635， 153647163547173645. (1)若两组数 a1，a2与 b1，b2，且 a1a2，b1b2，则 a1b1a2b2a1b2a2b1是否成立，试证明 (2)若两组数 a1，a2，a3与 b1，b2，b3且 a1a2a3，b1b2b3，对 a1b3a2b2a3b1，a1b2 a2b1a3b3，a1b1a2b2a3b3进行大小顺序(不需要说明理由) 解(1)成立，证明如下： a1b1a2b2(a1b2a2b1)a1(b1b2)a2(b2b1)(a1a2)(b1b2)， 又 a1a2，b1b2，(a1a2)(b1b2)0，即 a1b1a2b2a1b2a2b1. (2)a1b3a2b2a3b1a1b2a2b1a3b3a1b1a2b2a3b3.
