1、1 无锡市普通高中 2021 年春学期高一期终教学质量抽测建议卷 数学 202106 命题单位：江阴市教师发展中心制卷单位：江阴市教师发展中心 注意事项及说明：本卷考试时间为 120 分钟，全卷满分为 150 分 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1复数 5 2i 的共轭复数是 A2iB2iC2iD2i 2 为了解某地区的中小学生的视力情况， 拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查， 事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生 视力情况差
2、异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 A抽签法抽样B按性别分层抽样 C按学段分层抽样 D随机数表法抽样 3 设四边形ABCD为平行四边形， 若点M， N满足BM3MC ，DN2NC ，MNABADxy ， 则 A 1 3 x ， 1 4 y B 1 4 x ， 1 3 y C 1 3 x ， 1 4 y D 1 3 x ， 1 4 y 4已知一个半径为 R 的半球，其体积为 V1，一个底面半径和高都等于 R 的圆柱，挖去一 个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积为 V2，下列 说法正确的是 AV1V2BV1V2CV1V2D不确定 5ABC 的内角 A，B，
3、C 的对边分别为 a，b，c，若 C 6 ，c3，则 2 2sinAsinB ab 的 值为 A2B2 3C6D6 3 6设平面向量a ，b 满足a 12，b (2，5)，a b 18，则b 在a 方向上的投影向量为 A 1 2 b B 1 8 b C 1 2 a D 1 8 a 7设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中错误的是 A若 m，mn，n，则 B若，m，则 m C若 mn，m，n，则 D若 mn，则 m 与所成的角和 n 与所成的角相等 8已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c若 tanB2tanC，b1，则ABC 2 面积的最大值为 A 3
4、8 B 1 4 C 6 4 D 3 4 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 A“第一枚硬币正面向上” ，事件 B“第二枚硬币 反面向上” ，下列结论中正确的是 AA 与 B 互为对立事件BA 与 B 为相互独立事件 CA 与 B 相等DP(A)P(B) 10下面四个命题中，真命题为 A若复数 z 满足zR，则 zRB若复数 z 满足 z2R，则 zR C若复数 12 zz，则 1122 zzzzD若复数 12 zz，则 12 zz 11有两位
5、射击运动员在一次射击测试中各射靶 10 次，每次命中的环数如下： 甲78795491074 乙9578768677 下列说法中正确的是 A甲、乙这次射击成绩的极差相同B甲、乙这次射击皮绩的平均值相同 C这次射击中乙比甲的成绩稳定D甲的射击成绩的第 60 百分位数为 7.5 12设正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 4，E 为线段 A1D1的中点，F 为线段 CC1上的一 个动点，则 A存在点 F，使 B1DEF B直线 AF 与平面 A1ADD1所成角为定值 C平面 AEF 截正方体的截面可能是五边形 D当点 F 与点 C1重合时，平面 AEF 截正方体的截面面积为8 6 三、填空题（本
6、大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13设 m 为实数，复数 m(3i)(2i)在复平面内所对应的点位于第四象限，则 m 的取值 范围为 14 若平面向量a ，b ，c 两两的夹角相等， 且a 1，b 1，c 3， 则abc 15 立德中学数学兴趣小组设计了一个方案来测量学校操场旗杆顶端距离地面的高度， 具体 步骤如下：设旗杆与地面交于 O 点，在 O 点的正西方 A 点测得旗杆顶端 P 的仰角 为 45，在 O 点南偏东 60的 B 点处测得点 P 的仰角为 60，测得 A，B 两点处的 距离为4 21米，则该旗杆顶端距离地面的高度为米 16
7、已知一个底面边长为4 3，侧棱长为 6 的正三棱锥，则此三棱锥的侧面与底面所成二 面角的余弦值为，此三棱锥内切球的半径为 3 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 我国是世界上严重缺水的国家之一， 城市缺水问题较为突出 某市政府为了减少水资源 的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准 X用水量不超过 X 的部分按平价收费，超出 X 的部分按议价收费为了确定一个较为合 理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年 4000 户居民用户的
8、月均 用水量数据（单位：吨） ，并根据获得的数据制作了频率分布表： （1）求 m，n，p，q 的值及所获得数据中“月均用水量不低于 30 吨”发生的频率； （2）若在第 4、5、6 组用分层抽样的方法随机抽取 6 户做问卷调查，并在这 6 户中任 选 2 户进行座谈会，求这 2 户中恰有 1 户是“月均用水量不低于 50 吨”的概率 18 （本小题满分 12 分） 已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，平面向量m (ac，b)，n (ac，b2a)，m n （1）求角 C 的大小； （2）现给出三个条件：c4；(2ca)cosBbcosA；a2bccosAaccosB24
9、请 从中选择两个条件求出ABC 的面积 4 19 （本小题满分 12 分） 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，AB平面 PAD，ABCD，PDAD，E 是线段 PB 中点，F 是线段 DC 上的点，且 DF 1 2 AB，PHAD，且 PHADH （1）证明：EF平面 PAD； （2）比较PBH 与PBA 的大小，并说明理由 20 （本小题满分 12 分） 设 1 z是虛数， 21 1 4 zz z 是实数，且2 2 z1 （1）求 1 z的实部的取值范围； （2）若 1 1 2 2 z z ，求 2 2 z的最小值 5 21 （本小题满分 12 分） 有甲、乙、丙、丁四支足球队到某地集训，
10、该地只有一块训练场地，商定摸球决定哪支 球队先使用场地摸球办法如下：盒中共放有大小形状相同的四个球，其中有三个白球、一 个黑球 进行不放回的摸球，直到摸到黑球为止若第一次摸到黑球，则甲队先使用；第二次摸 到黑球，则乙队先使用；第三次摸到黑球，则丙队先使用；最后一次才摸到黑球，则丁队先 使用 （1）这种摸球办法是否公平？请说明理由； （2）若改为放回摸球，是否公平？请说明理由 6 22 （本小题满分 12 分） 已知在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 为直角梯形，且满足 ADAB，AD 4，AB2，BCD135，BB12，E，F 分别是线段 AB，BC 的中点 （1）求证：平
11、面 A1BD平面 A1AF； （2）棱 AA1上是否存在点 G，使 EG平面 A1FD，若存在，确定点 G 的位置，若不存 在，请说明理由 7 无锡市普通高中 2021 年春学期高一期终教学质量抽测建议卷 数学 202106 命题单位：江阴市教师发展中心制卷单位：江阴市教师发展中心 注意事项及说明：本卷考试时间为 120 分钟，全卷满分为 150 分 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1复数 5 2i 的共轭复数是 A2iB2iC2iD2i 【答案】D 【解析】 55(2i)
12、 2i 2i(2i)(2i) ，故共轭复数为 2i，选 D 2 为了解某地区的中小学生的视力情况， 拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查， 事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生 视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 A抽签法抽样B按性别分层抽样 C按学段分层抽样 D随机数表法抽样 【答案】C 【解析】由于男女生视力情况差异不大，但是小学、初中、高中三个学段的学生视力情况差 异较大，故采用按学段分层抽样的方法，选 C 3 设四边形ABCD为平行四边形， 若点M， N满足BM3MC ，DN2NC ，MNABADxy ， 则 A 1
13、3 x ， 1 4 y B 1 4 x ， 1 3 y C 1 3 x ， 1 4 y D 1 3 x ， 1 4 y 【答案】A 【解析】 11 MNMCCNABAD 34 ，故选 A 4已知一个半径为 R 的半球，其体积为 V1，一个底面半径和高都等于 R 的圆柱，挖去一 个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积为 V2，下列 说法正确的是 AV1V2BV1V2CV1V2D不确定 【答案】B 【解析】 33 1 142 233 VRR， 23 2 12 (1) 33 VR RR，故 V1V2，选 B 5ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 C
14、6 ，c3，则 2 2sinAsinB ab 的 值为 8 A2B2 3C6D6 3 【答案】B 【解析】 23 22 3 2sinAsinBsin sin 6 abc R C ，故选 B 6设平面向量a ，b 满足a 12，b (2，5)，a b 18，则b 在a 方向上的投影向量为 A 1 2 b B 1 8 b C 1 2 a D 1 8 a 【答案】D 【解析】b 在a 方向上的投影向量 1811 12128 a ba aa aa ，故选 D 7设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中错误的是 A若 m，mn，n，则 B若，m，则 m C若 mn，m，n，则 D若 m
15、n，则 m 与所成的角和 n 与所成的角相等 【答案】C 【解析】选项 C 中，直线 m，n 必须有一条是平面，的交线，才能保证，故 C 错误 8已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c若 tanB2tanC，b1，则ABC 面积的最大值为 A 3 8 B 1 4 C 6 4 D 3 4 【答案】A 【解析】因为 tanB2tanC，所以 sinBcosC2cosBsinC，两边同时加上 cosBsinC 得，sinA 3cosBsinC，即 a3ccosB(*)，故 cosB 3 a c ，sinB 2 2 1 9 a c ，把 cosB 222 2 acb ac 代入 (
16、*)并化简得 222 33cba， 即 22 33ca， 2224 2 11133 sin1 22929 aaca SacBac c ， 由、得 42 49 6 aa S ，当 2 9 8 a 时，S 有最大值为 3 8 ，选 A 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 A“第一枚硬币正面向上” ，事件 B“第二枚硬币 反面向上” ，下列结论中正确的是 AA 与 B 互为对立事件BA 与 B 为相互独立事件 CA 与 B 相等DP(A)P(B)
17、【答案】BD 9 【解析】A，B 为独立事件，且 P(A)P(B) 1 2 ，故选 BD 10下面四个命题中，真命题为 A若复数 z 满足zR，则 zRB若复数 z 满足 z2R，则 zR C若复数 12 zz，则 1122 zzzzD若复数 12 zz，则 12 zz 【答案】AC 【解析】 当 zi 时， z21R， 但 z 不是实数， B 错误； 取 1 34iz ， 2 34iz ， 则 12 zz 5，但是 12 zz ，D 错误故选 AC 11有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶 10 次，每次命中的环数如下： 甲78795491074 乙9578768677 下列说法中正确的是
18、 A甲、乙这次射击成绩的极差相同B甲、乙这次射击皮绩的平均值相同 C这次射击中乙比甲的成绩稳定D甲的射击成绩的第 60 百分位数为 7.5 【答案】BCD 【解析】甲的极差是 6，乙的极差是 4，故 A 错误； 甲的平均数是 7，乙的平均数是 7，故 B 正确； 由于此次射击甲的方差乙的方差，故乙的成绩比较稳定，C 正确； 1060%6， 故甲的第 60 百分位数是将甲的成绩从小到大排列后的第 6 和第 7 个数的平均 数，计算得 7.5，故 D 正确 故选 BCD 12设正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 4，E 为线段 A1D1的中点，F 为线段 CC1上的一 个动点，则 A存在点
19、F，使 B1DEF B直线 AF 与平面 A1ADD1所成角为定值 C平面 AEF 截正方体的截面可能是五边形 D当点 F 与点 C1重合时，平面 AEF 截正方体的截面面积为8 6 【答案】AC 【解析】当 F 为 CC1中点时，有 B1DEF，A 正确； 当点 F 与点 C 重合时，直线 AF 与平面 A1ADD1所成角的正切值为 1，当点 F 与点 C1重合 时，直线 AF 与平面 A1ADD1所成角的正切值为 2 2 ，故 B 错误； 当 F 为 CC1中点时，平面 AEF 截正方体的截面是五边形，C 正确； 过 F 作 AE 的平行线交 BC 于点 G， 平行四边形 AEFG 为所截
20、的面， 则 S4 22 2 +48 5， 故 D 错误 故选 AC 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13设 m 为实数，复数 m(3i)(2i)在复平面内所对应的点位于第四象限，则 m 的取值 10 范围为 【答案】 2 1 3 m 【解析】m(3i)(2i)3m2(m1)i，该复数在复平面内表示的点的坐标为(3m2， m1)，因为该点在第四象限，故 3m20，m10，解得 2 1 3 m 14 若平面向量a ，b ，c 两两的夹角相等， 且a 1，b 1，c 3， 则abc 【答案】1 或 4 【解析】平面向量a ，b ，c
21、 两两的夹角相等，包括两种情况，一是两两夹角为 0，二是 两两夹角为 120， 当两两夹角为 0时，1abc ； 当两两夹角为 120时， 222 222abcabca ba cb c 4 15 立德中学数学兴趣小组设计了一个方案来测量学校操场旗杆顶端距离地面的高度， 具体 步骤如下：设旗杆与地面交于 O 点，在 O 点的正西方 A 点测得旗杆顶端 P 的仰角 为 45，在 O 点南偏东 60的 B 点处测得点 P 的仰角为 60，测得 A，B 两点处的 距离为4 21米，则该旗杆顶端距离地面的高度为米 【答案】12 【解析】设 OBx，则 OAOP3x，AOB150， 则 AB2OA2OB2
22、2OAOBcos150，故 22 3 336323() 2 xxx x ，即 336 7x2，故 x248，x4 3，OP3x12 16已知一个底面边长为4 3，侧棱长为 6 的正三棱锥，则此三棱锥的侧面与底面所成二 面角的余弦值为，此三棱锥内切球的半径为 【答案】 6 6 ， 2 302 5 5 【解析】如图正三棱锥 PABC，O 是底面 ABC 的重心，PDO 即为所求二面角的平面角， 易知 OD 1 2 3 CD ，PD2 6，故 cosPDO 26 62 6 OD PD ，PDO 的平分线与 PO 的交点 G 即为该正三棱锥内切球的球心，根据角平分线定理可知 OGOD OPODPD ，
23、 22 52 302 5 522 6 OP OD OG ODPD 11 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 我国是世界上严重缺水的国家之一， 城市缺水问题较为突出 某市政府为了减少水资源 的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准 X用水量不超过 X 的部分按平价收费，超出 X 的部分按议价收费为了确定一个较为合 理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年 4000 户居民用户的月均 用水量数据（单位：吨） ，并根据获得的数据制作了
24、频率分布表： （1）求 m，n，p，q 的值及所获得数据中“月均用水量不低于 30 吨”发生的频率； （2）若在第 4、5、6 组用分层抽样的方法随机抽取 6 户做问卷调查，并在这 6 户中任 选 2 户进行座谈会，求这 2 户中恰有 1 户是“月均用水量不低于 50 吨”的概率 【解析】解： （1）由题意得 m4000(0.04610)1840，n0.046100.46，p0.018 100.0018，q40000.00624，所获数据中“月均用水量不低于 30 吨”发生的频率为 0.0180.0120.0060.036 （2）用分层抽样的方法在第 4、5、6 组随机抽取 6 户做回访调查的
25、人数分别为 3，2，1， 设上述 6 户为 a，b，c，d，e，f（其中“月均用水量不低于 50 吨”的 1 户为 f） ，在这 6 户 中任选 2 户进行采访，该实验的样本空间有 15 个样本点，具体为： 记这两户中恰有 1 户是“月均用水量不低于 50 吨”为事件 A， 因为， 所以， 答：在这 6 户中任选 2 户进行座谈会，这 2 户中恰有 1 户是“月均用水量不低于 50 吨”的 概率为 1 3 18 （本小题满分 12 分） 已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，平面向量m (ac，b)，n 12 (ac，b2a)，m n （1）求角 C 的大小； （2）现给
26、出三个条件：c4；(2ca)cosBbcosA；a2bccosAaccosB24请 从中选择两个条件求出ABC 的面积 【解析】解： （1）因为m n ，即，所以， 因为，所以 （2）选， 由正弦定理及(2ca)cosBbcosA 得， 所以，所以，由代入数据得，得 b2 6， 因为， 于是 1162 sin42 662 3 224 SbcA 19 （本小题满分 12 分） 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，AB平面 PAD，ABCD，PDAD，E 是线段 PB 中点，F 是线段 DC 上的点，且 DF 1 2 AB，PHAD，且 PHADH （1）证明：EF平面 PAD； （2）比较PBH
27、 与PBA 的大小，并说明理由 【解析】证明： （1）取 PA 的中点为 G，连接 DG，EG，点 E，G 是棱 PB，PA 的中点， 所以 EGAB，EG 1 2 AB，因为 DFAB，DF 1 2 AB， 所以 DFEG，DFEG，即四边形 DFGE 为平行四边形， 所以 DGEF， 因为 DG平面 PAD，EF平面 PAD， 所以 EF平面 PAD； （2）因为 AB平面 PAD，PH面 PAD，所以 PHAB， 又 PHAD，ABADA， 所以 PH平面 ABCD， 即PBH 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角， 13 因为 AB平面 PAD，所以 PAAB，即 cosPBA A
28、B PB ， 因为 cosPBH BH PB ，在PDA 中，PDAD，所以 H 与 A 不重合， 在ABH 中，ABBH，所以PBAPBH 20 （本小题满分 12 分） 设 1 z是虛数， 21 1 4 zz z 是实数，且2 2 z1 （1）求 1 z的实部的取值范围； （2）若 1 1 2 2 z z ，求 2 2 z的最小值 【解析】解： （1）设 则 因为 2 z是实数，所以， 所以由2 2 z1 得，所以 1 z的实部的取值范围是； （2）， 因为，所以， 因为，所以， 所以当，即时， 2 2 z取到最小值 21 （本小题满分 12 分） 有甲、乙、丙、丁四支足球队到某地集训，该
29、地只有一块训练场地，商定摸球决定哪支 球队先使用场地摸球办法如下：盒中共放有大小形状相同的四个球，其中有三个白球、一 个黑球 进行不放回的摸球，直到摸到黑球为止若第一次摸到黑球，则甲队先使用；第二次摸 到黑球，则乙队先使用；第三次摸到黑球，则丙队先使用；最后一次才摸到黑球，则丁队先 使用 （1）这种摸球办法是否公平？请说明理由； 14 （2）若改为放回摸球，是否公平？请说明理由 【解析】解： （1）设事件 A 表示不放回摸球中第 i(1i4，iN)次摸到黑球， 所以，四次摸到黑球的概率相等，是公平的； （2）设事件 B 表示有放回摸球中第 i(1i4，iN)次摸到黑球， 所以，四次摸到黑球的概
30、率不相等，是不公平的 22 （本小题满分 12 分） 已知在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 为直角梯形，且满足 ADAB，AD 4，AB2，BCD135，BB12，E，F 分别是线段 AB，BC 的中点 （1）求证：平面 A1BD平面 A1AF； （2）棱 AA1上是否存在点 G，使 EG平面 A1FD，若存在，确定点 G 的位置，若不存 在，请说明理由 【解析】解： （1）证明：在直角梯形 ABCD 中，过点 C 作 CHAD 于 H， 由 ADAB，AD4，AB2，BCD135， 得CHD 为等腰直角三角形，所以 ABCH 为正方形， 所以 BF1，DABABF，所以
31、BAFAOB， 所以BAF ABDADBABD90， 从而得到 DBAF， 在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1面 ABCD，DB面 ABCD， 所以 DBAA1，又因为 AFAA1A，所以 DB面 AA1F，因为 BD面 A1BD， 所以平面 A1BD平面 A1AF； （2）存在点 G，且 AG 3 4 ，使得 EG平面 A1FD， 则在 AD 上取点 M，使 AM 3 8 AD 3 2 ， 此时 tanAMEtanADF，所以 EMDF， 在平面 ADD1A1中， 1 AGAM AAAD ，所以 MGA1D， 此时由 EMDF，DF平面 A1FD，EM平面 A1FD，得 EM平面 A1FD， 由 MGA1D，MG平面 A1FD，得 MG平面 A1FD， 15 又 MGEMM，所以平面 EMG平面 A1FD，故 EG平面 A1FD
