1、4循环小数 教材第 33 页循环小数例 7、例 8 及相关内容。 本节课的内容先是教材第 33 页例 7,循环小数是在学生学习了小数除法的意 义,小数除法的计算法则及商的近似数的基础上进行教学的。这部分内容概念比 较多,也比较抽象,是教学的一个难点。教材创设王鹏赛跑的情境,通过解决“王鹏 平均每秒跑多少米”的问题,让学生在解决问题的计算中,发现这道题无论除到小 数点后面多少位,都除不尽。引导学生仔细观察竖式,会发现余数不断重复出现, 商也不断重复出现;接着通过例 8 呈现除不尽时商的两种情况:一是从某一位起不 断重复出现某一个数字;二是从某一位起几个数字依次不断重复出现。由此引出 循环小数的概
2、念。 1.理解循环小数、有限小数、无限小数的意义。 2.通过求商,使学生感受到循环小数的特点,从而理解循环小数的概念, 了解循环小数的简便记法。 3.经历循环小数的认识过程,体验探究发现的学习方法。 4.在学习活动中,感受数学知识的无穷奥秘,感受发现知识的快乐,激发学习 的兴趣。 【重点】 理解循环小数、有限小数、无限小数的意义。 【难点】 能正确判断循环小数的循环节,学会用简便记法表示循环小数。 【教师准备】PPT 课件,口算卡片若干张。 1.通过讲故事,引导学生理解“依次不断重复出现”的意义。 师:同学们想听故事吗? 预设 生:想! 师:好的,老师给你们讲一个故事:从前有座山,山里有座庙,
3、庙里有个老和尚, 正在给小和尚讲故事说:从前有座山,山里有座庙,庙里有个老和尚,正在给小和尚 讲故事说:。 预设 生:老师,这个故事是讲不完的。 师:为什么? 预设 生:因为它老是在重复。 师:这种“依次不断重复”的情况叫做循环。 师:你在生活中见过像这种依次不断重复出现的现象吗? 预设 生 1:见过,例如:春、夏、秋、冬。 生 2:每周都是从星期一到星期日这样重复出现的。 师:是的,在生活中有很多这样不断重复出现的现象。同学们你们知道吗?在 数学中也有像这样不断重复出现的数,你们想认识吗? 预设 生:想! 2.初步感知循环小数。 (1)PPT 课件出示教材第 33 页例 7 情境图。 (2)
4、引导学生观察情境图,说出图意,并找到数学信息,独立列出算式。 (3)学生列式:40075。 独立用竖式计算这个算式,老师巡视。 (4)说一说在计算过程中你发现了什么。 把一位学生计算的竖式在展台上进行展示。(或在全班独立计算时,请一名学 生板演) 师:根据自己的计算,再观察上面的竖式,你发现了什么? 预设 生:这个算式的余数不断重复出现“25”;商的小数部分也不断重复出现“3”。 师:像这样继续除下去,能除完吗? 预设 生:可能永远也除不完。 3.引出课题。 揭示课题:怎样表示这种永远也除不完的商?这种商有些什么特点?这节课我 们就来研究这个问题。(板书课题:循环小数) 从以往的教学情况看:本
5、节课的概念多,难度大,学生学习起来不免 觉得枯燥,学习的兴致不高。那么怎样解决这一问题呢?我想,既然数学是如此的 严肃,最好尽量把数学课弄得有点趣味化。因此,我就借助这个古老的故事来引入 新课,激发学生的学习兴趣。 1.老师谈话:在我们的生活中,有很多事物总是依次不断重复出现,如:春、夏、 秋、冬,每周从星期一到星期日,每年从 1 月到 12 月我们把这种现象称作循 环。其实在我们学习的数学知识中,有一些数也有这样的现象。 2.口算下面各题。(用口算卡片出示) 103=206= 307=159= 师:上面的四道题有一个共同的特点,就是有余数,同学们想一想,如果商不写 成有余数的形式,又该怎样表
6、示呢? 学生计算上面的题(每组计算其中一道题)。 预设 生 1:老师,怎么总是除不完呀! 生 2:余数总是一个相同的数,商也是一个相同的数。 师:也就是说算式中的数在不断重复出现,有循环的现象。今天我们就来研究 具有这样特点的数。(板书课题:循环小数) 根据生活中学生熟悉的现象,让他们先理解“循环”的意义,再通过计 算,发现在计算中也会出现依次不断重复出现的现象,从而将“循环”这一抽象的概 念迁移到数学知识中。 比一比,看谁算得快。 女生组:24358 男生组:103203 公布比赛结果,女生组获胜。 师:从这两组的结果,你发现了什么? 预设 生:女生组的算式都能除尽,男生组的算式都除不尽。
7、师:这些除不尽的算式有一些什么特点呢?今天我们就一起来研究一下吧!(板 书课题:循环小数) 通过计算,直接进入新知的学习,可以为后面的学习留出更多时间。 一、认识循环小数。 引导学生观察竖式,进行思考:为什么商的小数部分总是重复出现“3”,它和每 次出现的余数有什么关系? 预设 生:当余数重复出现时,商就要重复出现。 师:如果继续除,商的下一位应该商几?为什么? 预设 生:还是要商 3,因为余数还是 25。 师:你能想出一个方法来表示永远除不尽的商吗? 学生在老师的引导下思考,回答。 生:可以用省略号来表示。 (老师板书:40075=5.333) 老师小结:省略号表示后面有无数个“3”,所以这
8、里的商表示精确值,用“=”号连 接。 二、PPT 课件出示第 33 页例 8。 先计算,再说一说这些商的特点。 2818=78.611= 1.让学生独立计算,老师巡视。 2.展示学生竖式: 3.引导学生观察,并说出商的特点。 预设 生 1:第 1 题的余数都重复出现 10,商重复出现 5。 生 2:第 2 题的余数重复出现 5 和 6,商则重复出现 4 和 5。 师:想一想,如果继续除下去各题的商会是多少呢? 预设 生:第 1 题还是“5”,第 2 题的商还是按照“4,5”重复出现。 师:在除的过程中,能否不除这么多,就能确定商是多少? 预设 生:能,只要发现余数第二次重复出现,就不必再除了,
9、也就可以确定商 是多少。 师:请大家比较一下,这两道题的商有什么相同的地方?有什么不同的地方 呢? 预设 生:这两题的商都是无限的,重复出现相同数字,但是第 1 题的商从第一 位开始就不断重复出现,并且只有 1 个数字“5”在不断重复出现;而第 2 题的商从第 2 位开始不断重复出现,并且有 2 个数字“4”和“5”在不断重复出现。 老师小结:我们所说的重复也叫做循环,像 5.333,1.555和 7.14545这 样小数部分有一个数字或者几个数字依次不断重复出现的小数,就是循环小数。 通过学生的计算,一步一步引领学生认识循环小数,使学生对这一概 念有一个清晰的认识。 三、认识循环节。 自学问
10、题。 循环小数有什么特点?在循环小数里,依次不断重复出现的数字叫什么?循环 小数还可以怎样表示呢? 师:请同学们带着这几个问题自主学习教材第 3334 页的知识。 学生自学后,指名回答。 预设 生 1:一个数的小数部分,从某一位起,一个数字或几个数字依次不断重 复出现,这样的小数叫做循环小数。 生 2:一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字,就是这个循环小数 的循环节。 生 3:5.333的循环节是 3;1.555的循环节是 5;7.14545的循环节是 45。 生 4:写循环小数时,可以只写第一个循环节,并在这个循环节的首位和末位数 字上面各记一个圆点。 生 5:例如 5.333写作
11、 5.3 ; 1.555写作 1.5 ; 7.14545写作 7.145 。 老师小结:今后在计算小数除法时,如果遇到除不尽的情况可以根据要求取商 的近似值,也可以用循环小数表示除得的商。 练习 1 1.教材第 34 页“做一做”第 1 题。 学生自主完成,集体订正。 2.教材第 34 页“做一做”第 2 题。 学生自主完成,小组交流并讨论:两个数相除,如果不能得到整数商,所得的商 会有哪些情况? 预设 生 1:商是小数。 生 2:商是循环小数。 生 3:商有的能够除尽,有的除不尽。 老师就此引出有限小数和无限小数的概念。 小数部分的位数有限的小数是有限小数。 如 0.9375 是有限小数;小
12、数部分的 位数无限的小数是无限小数。如 0.2142857是无限小数。 (老师一边说一边用 PPT 课件出示,学生读一读) 师:现在我们认识的小数比以前又扩充了,又增加了无限小数,而循环小数就 是无限小数中的一种。 【参考答案】1.1.5 1.7 46 0.105 3 2.2.08 1 2.0821.256.9 6 6.97 练习 2 完成相关习题。 1.这节课学习了哪些知识? 预设 生 1:学习了循环小数。 生 2:认识了循环节,有限小数,无限小数。 2.你学得怎样? 学生进行自我评价。 作业 1 教材第 36 页练习八第 4,5,6,7,9 题。 作业 2 完成相关习题。 循环小数 例 7
13、40075=5.333例 82818=1.555 78.611=7.14545 5.333的循环节是 3;1.555的循环节是 5;7.14545的循环节是 45。 在循环小数这节课时,用学生都很熟悉的简短诙谐的故事“从前有座山, 山里有座庙,庙里有个老和尚,正在给小和尚讲故事说:从前有座山,山里有座庙,庙 里有个老和尚,正在给小和尚讲故事说:这个故事讲得完吗?为什么讲不完呢?” 这样导入新课引出重复出现,很好地吸引了学生的注意力,也非常自然地进入了新 课教学。 同时,我提出了问题:生活中还有像这样依次不断重复出现,无穷无尽的现象 吗?你能举例吗?通过学生举生活中有关循环现象的例子,不仅体现数
14、学与生活的 密切联系,也让学生感知什么是“依次不断重复出现”“谁在循环”,这样,有效地分解 了教学难点。 由于循环小数是学生第一次接触,学生感到比较陌生,应该继续加强练习,在 循环小数的练习设计中,对于循环小数的简写形式可以让学生多练习,同时也可以 增加循环小数与无限不循环小数的区分,使学生更清晰地理解循环小数。以上这 些是本节课存在的问题。 再教此内容时,可以在认识循环小数后布置学生自学,然后让学生对下面的小 数进行分类,并说说你的分类依据是什么。你有什么发现? 7.25550.66 3.14159261.7272 1.817170.6175 5.3141625.646646 67 的商的小
15、数点后面 1000 个数字的和是多少? 名师点拨67=0.8 57142 ,在一个循环节里,数字和 =8+5+7+1+4+2=27,1000 里有多少个 6,所求数字的和就有多少个 27。 解答67=0.8 57142 10006=1664 1000 个数字的和=16627+8+5+7+1=4503 【知识拓展】在这类周期性问题里,关键是找到规律性的周期,例如:“已知 2007 年 1 月 1 日正好是星期一,那么 2007 年 6 月 1 日是星期几?”这里的周期就 是 7,2007 年是平年,从 1 月 1 日到 6 月 1 日一共是 152 天,152 天里有 21 个星期 余 5 天,
16、所以是星期五。 纯小数和纯循环小数 整数部分是零的小数,称为纯小数。循环部分 从小数部分第一位开始的循环小数,称为纯循环小数。纯小数和纯循环小数 关于“纯”的含义是不同的。纯小数小于 1,纯循环小数可以小于 1 也可以大于 1。 近似数 在人类的生产生活中,常常遇到各种各样的数据。有的数据是与实际完全符 合的准确数,例如,某班有45个学生;一个小区评选出34户书香之家;一个星期有7 天,一年有 12 个月,这里的 45,34,7,12 就是准确数。还有一些数据只是与实际 数比较接近,这样的数叫做近似数。 测量物体的长度、质量等时,由于工具的限制必然产生误差,所得的结果都是 近似数。例如用直尺量得课桌面的长度是 88 cm,用秤称出水果的质量是 4.5 千 克这里的 88 cm,4.5 千克都是近似数。 在对大的数目进行统计时,一般也是取近似数。例如,某城市有 73 万人口,某 工厂上半年完成产值 48 千万元。这里的 73 万,48 千万也是近似数。 计算中也经常遇到近似数,例如 230.667,560.833,这里的 0.667 和 0.833 也是近似数。
