1、2021 年山东省菏泽市中考数学试卷年山东省菏泽市中考数学试卷 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 8 个小题个小题，每小题每小题 3 分分，共共 24 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只 有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.） 1 （3 分）如图，数轴上点 A 所表示的数的倒数为（） A3B3CD 2 （3 分）下列等式成立的是（） Aa3+a3a6Baa3a3 C （ab）2a2b2D （2a3）24a6 3 （3 分）如果不等式组的解集为 x2，那么 m 的取值范围是（） Am2
2、Bm2Cm2Dm2 4 （3 分）一副三角板按如图方式放置，含 45角的三角板的斜边与含 30角的三角板的 长直角边平行，则的度数是（） A10B15C20D25 5 （3 分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（） A12B18C24D30 6 （3 分）在 2021 年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了 10 名男生的引体向上成绩， 将这组数据整理后制成如下统计表： 成绩（次）1211109 人数（名）1342 关于这组数据的结论不正确的是（） A中位数是 10.5B平均数是 10.3 C众数是 10D方差是 0.81 7 （3 分）关于 x 的方程（k1）
3、2x2+（2k+1）x+10 有实数根，则 k 的取值范围是（） Ak且 k1Bk且 k1CkDk 8 （3 分）如图（1） ，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 在第一象限，且 BCx 轴，直线 y 2x+1 沿 x 轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形 ABCD 截得的线段长为 a，直线 在 x 轴上平移的距离为 b，a、b 间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形 ABCD 的面 积为（） AB2C8D10 二二、填空题填空题（本大题共本大题共 6 个小题个小题，每小题每小题 3 分分，共共 18 分分，只要求把最后结果填写在答题卡只要求把最后结果填写在答题卡 的相应区域内）的相应区域
4、内） 9 （3 分）2021 年 5 月 11 日，国家统计局、国务院第七次全国人口普查领导小组办公室对 外发布：截至 2020 年 11 月 1 日零时，全国人口共约 1410000000 人数据 1410000000 用科学记数法表示为 10 （3 分）因式分解：a3+2a2a 11 （3 分）如图，在 RtABC 中，C30，D、E 分别为 AC、BC 的中点，DE2，过 点 B 作 BFAC，交 DE 的延长线于点 F，则四边形 ABFD 的面积为 12 （3 分）如图，在ABC 中，ADBC，垂足为 D，AD5，BC10，四边形 EFGH 和 四边形 HGNM 均为正方形，且点 E、
5、F、G、N、M 都在ABC 的边上，那么AEM 与 四边形 BCME 的面积比为 13 （3 分）定义：a，b，c为二次函数 yax2+bx+c（a0）的特征数，下面给出特征数为 m，1m，2m的二次函数的一些结论：当 m1 时，函数图象的对称轴是 y 轴； 当 m2 时，函数图象过原点；当 m0 时，函数有最小值；如果 m0，当 x 时，y 随 x 的增大而减小其中所有正确结论的序号是 14 （3 分）如图，一次函数 yx 与反比例函数 y（x0）的图象交于点 A，过点 A 作 ABOA，交 x 轴于点 B；作 BA1OA，交反比例函数图象于点 A1；过点 A1作 A1B1A1B 交 x 轴
6、于点 B；再作 B1A2BA1，交反比例函数图象于点 A2，依次进行下去，则点 A2021的横坐标为 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 78 分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内） 15 （6 分）计算： （2021）0|3|+4cos30（） 1 16 （6 分）先化简，再求值：1+，其中 m，n 满足 17 （6 分）如图，在菱形 ABCD 中，点 M、N 分别在 AB、CB 上，且ADMCDN，求 证：BMBN 18 （6 分）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于 A 处的济南舰突然发现北偏西 30 方向上的 C 处有一可疑舰艇，济
7、南舰马上通知位于正东方向 200 海里 B 处的西安舰，西 安舰测得 C 处位于其北偏西 60方向上，请问此时两舰距 C 处的距离分别是多少？ 19 （7 分）列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克 22 元； 小李：当销售价为每千克 38 元时，每天可售出 160 千克；若每千克降低 3 元，每天的销 售量将增加 120 千克 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润 3640 元，又要尽可能让 顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 20 （7 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OAB
8、C 的两边 OC、OA 分别在坐标轴上，且 OA2，OC4，连接 OB反比例函数 y（x0）的图象经过线段 OB 的中点 D， 并与 AB、BC 分别交于点 E、F一次函数 yk2x+b 的图象经过 E、F 两点 （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式； （2） 点P 是 x 轴上一动点， 当 PE+PF的值最小时， 点 P 的坐标为 21 （10 分）2021 年 5 月，菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机抽 取了部分参加 15 米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个 等级，学校绘制了如下不完整的统计图根据图中提供的信息解答下列问题： （1）请
9、把条形统计图补充完整； （2） 合格等级所占百分比为%； 不合格等级所对应的扇形圆心角为度； （3）从所抽取的优秀等级的学生 A、B、C中，随机选取两人去参加即将举办的学校运 动会，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到 A、B 两位同学的概率 22 （10 分）如图，在O 中，AB 是直径，弦 CDAB，垂足为 H，E 为上一点，F 为弦 DC 延长线上一点，连接 FE 并延长交直径 AB 的延长线于点 G，连接 AE 交 CD 于点 P， 若 FEFP （1）求证：FE 是O 的切线； （2）若O 的半径为 8，sinF，求 BG 的长 23 （10 分）在矩形 ABCD 中，BCCD，
10、点 E、F 分别是边 AD、BC 上的动点，且 AE CF，连接 EF，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，点 C 落在点 G 处，点 D 落在点 H 处 （1）如图 1，当 EH 与线段 BC 交于点 P 时，求证：PEPF； （2）如图 2，当点 P 在线段 CB 的延长线上时，GH 交 AB 于点 M，求证：点 M 在线段 EF 的垂直平分线上； （3）当 AB5 时，在点 E 由点 A 移动到 AD 中点的过程中，计算出点 G 运动的路线长 24 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax2+bx4 交 x 轴于 A（1，0） 、 B（4，0）两点，交 y 轴于点 C （1
11、）求该抛物线的表达式； （2）点 P 为第四象限内抛物线上一点，连接 PB，过点 C 作 CQBP 交 x 轴于点 Q，连 接 PQ，求PBQ 面积的最大值及此时点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线 yax2+bx4 向右平移经过点（，0）时，得到新抛 物线 ya1x2+b1x+c1，点 E 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点 F，使得 以 A、P、E、F 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在， 请说明理由 参考： 若点 P1（x1， y1） 、 P2（x2， y2） ， 则线段 P1P2的中点 P0的坐标为 （，） 2021 年山东省菏泽
12、市中考数学试卷年山东省菏泽市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 8 个小题个小题，每小题每小题 3 分分，共共 24 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只 有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.） 1 （3 分）如图，数轴上点 A 所表示的数的倒数为（） A3B3CD 【解答】解：点 A 表示的数为3， 3 的倒数为， 故选：C 2 （3 分）下列等式成立的是（） Aa3+a3a6Baa3a3 C （ab）2a2b2D （2a3）24a6
13、 【解答】解：Aa3+a32a3，故本选项不合题意； Baa3a4，故本选项不合题意； C （ab）2a22ab+b2，故本选项不合题意； D （2a3）24a6，故本选项符合题意； 故选：D 3 （3 分）如果不等式组的解集为 x2，那么 m 的取值范围是（） Am2Bm2Cm2Dm2 【解答】解：解不等式 x+54x1，得：x2， 不等式组的解集为 x2， m2， 故选：A 4 （3 分）一副三角板按如图方式放置，含 45角的三角板的斜边与含 30角的三角板的 长直角边平行，则的度数是（） A10B15C20D25 【解答】解：如图： ABCD， BADD30， BAE45， 453015
14、 故选：B 5 （3 分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（） A12B18C24D30 【解答】解：由三视图可得，几何体是空心圆柱，其小圆半径是 1，大圆半径是 2， 则大圆面积为：224，小圆面积为：12， 故这个几何体的体积为：64624618 故选：B 6 （3 分）在 2021 年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了 10 名男生的引体向上成绩， 将这组数据整理后制成如下统计表： 成绩（次）1211109 人数（名）1342 关于这组数据的结论不正确的是（） A中位数是 10.5B平均数是 10.3 C众数是 10D方差是 0.81 【解答】解：根据题
15、目给出的数据，可得： 中位数是10（分） ， 平均数为：10.3， 10 出现了 4 次，出现的次数最多， 众数是 10； 方差是：（1210.3）2+3（1110.3）2+4（1010.3）2+2（910.3）20.81 这组数据的结论不正确的是 A 故选：A 7 （3 分）关于 x 的方程（k1）2x2+（2k+1）x+10 有实数根，则 k 的取值范围是（） Ak且 k1Bk且 k1CkDk 【解答】解：当 k10，即 k1 时，此方程为一元二次方程 关于 x 的方程（k1）2x2+（2k+1）x+10 有实数根， （2k+1）24（k1）2112k30， 解得 k； 当 k10，即 k
16、1 时，方程为 3x+10，显然有解； 综上，k 的取值范围是 k， 故选：D 8 （3 分）如图（1） ，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 在第一象限，且 BCx 轴，直线 y 2x+1 沿 x 轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形 ABCD 截得的线段长为 a，直线 在 x 轴上平移的距离为 b，a、b 间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形 ABCD 的面 积为（） AB2C8D10 【解答】解：如图所示，过点 B、D 分别作 y2x+1 的平行线，交 AD、BC 于点 E、F 由图象和题意可得 AE431，CF871，BEDF，BFDE743， 则 AB2，BCBF+CF3+14
17、， 矩形 ABCD 的面积为 ABBC248 故选：C 二二、填空题填空题（本大题共本大题共 6 个小题个小题，每小题每小题 3 分分，共共 18 分分，只要求把最后结果填写在答题卡只要求把最后结果填写在答题卡 的相应区域内）的相应区域内） 9 （3 分）2021 年 5 月 11 日，国家统计局、国务院第七次全国人口普查领导小组办公室对 外发布：截至 2020 年 11 月 1 日零时，全国人口共约 1410000000 人数据 1410000000 用科学记数法表示为1.41109 【解答】解：14100000001.41109， 故答案为：1.41109 10 （3 分）因式分解：a3+
18、2a2aa（a1）2 【解答】解：原式a（a22a+1） a（a1）2 故答案为：a（a1）2 11 （3 分）如图，在 RtABC 中，C30，D、E 分别为 AC、BC 的中点，DE2，过 点 B 作 BFAC，交 DE 的延长线于点 F，则四边形 ABFD 的面积为8 【解答】解：D、E 分别为 AC、BC 的中点， DE 是ABC 的中位线， DEAB，DEAB， AB2DE，DFAB， 又BFAC， BFAD， 四边形 ABFD 是平行四边形， ABBE， S平行四边形ABFDABBE， DE2， AB224， 在 RtABC 中， C30， AC2AB248， BC4， BEBC2
19、， S平行四边形ABFD428， 故答案为 8 12 （3 分）如图，在ABC 中，ADBC，垂足为 D，AD5，BC10，四边形 EFGH 和 四边形 HGNM 均为正方形，且点 E、F、G、N、M 都在ABC 的边上，那么AEM 与 四边形 BCME 的面积比为1：3 【解答】解：四边形 EFGH 和四边形 HGNM 均为正方形， EFEHHM，EMBC， AEMABC， ， ， EF， EM5， AEMABC， （）2， S四边形BCMESABCSAEM3SAEM， AEM 与四边形 BCME 的面积比为 1：3， 故答案为：1：3 13 （3 分）定义：a，b，c为二次函数 yax2+
20、bx+c（a0）的特征数，下面给出特征数为 m，1m，2m的二次函数的一些结论：当 m1 时，函数图象的对称轴是 y 轴； 当 m2 时，函数图象过原点；当 m0 时，函数有最小值；如果 m0，当 x 时，y 随 x 的增大而减小其中所有正确结论的序号是 【解答】解：由特征数的定义可得：特征数为m，1m，2m的二次函数的表达式为 y mx2+（1m）x+2m 此抛物线的的对称轴为直线 x， 当 m1 时，对称轴为直线 x0，即 y 轴故正确； 当 m2 时，此二次函数表达式为 y2x2x，令 x0，则 y0， 函数图象过原点，故正确； 当 m0 时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故正确；
21、 m0， 对称轴 x，抛物线开口向下， 在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小 即 x时，y 随 x 的增大而减小 故错误 故答案为： 14 （3 分）如图，一次函数 yx 与反比例函数 y（x0）的图象交于点 A，过点 A 作 ABOA，交 x 轴于点 B；作 BA1OA，交反比例函数图象于点 A1；过点 A1作 A1B1A1B 交 x 轴于点 B；再作 B1A2BA1，交反比例函数图象于点 A2，依次进行下去，则点 A2021的横坐标为+ 【解答】解：如图，分别过点 A，A1，A2，作 x 轴的垂线，垂足分别为 C，D，E， 一次函数 yx 与反比例函数 y（x0）的图象交于点 A， 联
22、立，解得 A（1，1） ， ACOC1，AOC45， ABOA， OAB 是等腰直角三角形， OB2OC2， A1BOA， A1BD45， 设 BDm，则 A1Dm， A1（m+2，m） ， 点 A1在反比例函数 y上， m（m+2）1，解得 m1+， （m1，负值舍去） ， A1（+1，1） ， A1B1A1B， BB12BD22， OB12 B1A2BA1， A2B1E45， 设 B1Et，则 A2Et， A2（t+2，t） ， 点 A2在反比例函数 y上， t（t+2）1，解得 t+， （t，负值舍去） ， A2（，） ， 同理可求得 A3（2+，2） ， 以此类推，可得点 A2021的
23、横坐标为+ 故答案为：+ 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 78 分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内） 15 （6 分）计算： （2021）0|3|+4cos30（） 1 【解答】解：原式1（23）+44 12+3+24 0 16 （6 分）先化简，再求值：1+，其中 m，n 满足 【解答】解：原式1+ 1 ， ， mn， 则原式6 17 （6 分）如图，在菱形 ABCD 中，点 M、N 分别在 AB、CB 上，且ADMCDN，求 证：BMBN 【解答】证明：四边形 ABCD 为菱形， ADCDABBC，AC 在AMD 和CND 中， ，
24、 AMDCND（ASA） AMCN， ABAMBCCN， 即 BMCN 18 （6 分）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于 A 处的济南舰突然发现北偏西 30 方向上的 C 处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向 200 海里 B 处的西安舰，西 安舰测得 C 处位于其北偏西 60方向上，请问此时两舰距 C 处的距离分别是多少？ 【解答】解：过点 C 作 CDBA 的延长线于点 D，如图 由题意可得：CAD60，CBD30DCA， BCACADCBD603030 即BCACBD， ACAB200（海里） 在 RtCDA 中，CDsinCADAC100（海里） 在 RtCDB 中，CB2
25、CD200（海里） 故位于 A 处的济南舰距 C 处的距离 200 海里， 位于 B 处的西安舰距 C 处的距离 200海 里 19 （7 分）列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克 22 元； 小李：当销售价为每千克 38 元时，每天可售出 160 千克；若每千克降低 3 元，每天的销 售量将增加 120 千克 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润 3640 元，又要尽可能让 顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 【解答】解：设降低 x 元，超市每天可获得销售利润 3640 元，由题
26、意得， （38x22） （160+120）3640， 整理得 x212x+270， x3 或 x9 要尽可能让顾客得到实惠， x9， 售价为 38929 元 答：水果的销售价为每千克 29 元时，超市每天可获得销售利润 3640 元 20 （7 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边 OC、OA 分别在坐标轴上，且 OA2，OC4，连接 OB反比例函数 y（x0）的图象经过线段 OB 的中点 D， 并与 AB、BC 分别交于点 E、F一次函数 yk2x+b 的图象经过 E、F 两点 （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）点 P 是 x 轴上一动点，当 PE+PF 的
27、值最小时，点 P 的坐标为（，0） 【解答】解： （1）四边形 OABC 为矩形，OABC2，OC4， B（4，2） 由中点坐标公式可得点 D 坐标为（2，1） ， 反比例函数 y（x0）的图象经过线段 OB 的中点 D， k1xy212， 故反比例函数表达式为 y 令 y2，则 x1；令 x4，则 y 故点 E 坐标为（1，2） ，F（4，） 设直线 EF 的解析式为 ykx+b，代入 E、F 坐标得： ，解得： 故一次函数的解析式为 y （2）作点 E 关于 x 轴的对称点 E，连接 EF 交 x 轴于点 P，则此时 PE+PF 最小如图 由 E 坐标可得对称点 E（1，2） ， 设直线
28、EF 的解析式为 ymx+n，代入点 E、F 坐标，得： ，解得： 则直线 EF 的解析式为 y， 令 y0，则 x 点 P 坐标为（，0） 故答案为： （，0） 21 （10 分）2021 年 5 月，菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机抽 取了部分参加 15 米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个 等级，学校绘制了如下不完整的统计图根据图中提供的信息解答下列问题： （1）请把条形统计图补充完整； （2）合格等级所占百分比为30%；不合格等级所对应的扇形圆心角为36度； （3）从所抽取的优秀等级的学生 A、B、C中，随机选取两人去参加即将举办的学校运
29、 动会，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到 A、B 两位同学的概率 【解答】解： （1）抽取的学生人数为：1240%30（人） ， 则优秀的学生人数为：3012936（人） ， 把条形统计图补充完整如下： （2）合格等级所占百分比为：930100%30%， 不合格等级所对应的扇形圆心角为：36036， 故答案为：30，36； （3）优秀等级的学生有 6 人，为 A、B、C、D、E、F， 画树状图如图： 共有 30 种等可能的结果，恰好抽到 A、B 两位同学的结果有 2 种， 恰好抽到 A、B 两位同学的概率为 22 （10 分）如图，在O 中，AB 是直径，弦 CDAB，垂足为 H，E
30、为上一点，F 为弦 DC 延长线上一点，连接 FE 并延长交直径 AB 的延长线于点 G，连接 AE 交 CD 于点 P， 若 FEFP （1）求证：FE 是O 的切线； （2）若O 的半径为 8，sinF，求 BG 的长 【解答】解： （1）如图，连接 OE， OAOE， AAEO， CDAB， AHP90， FEFP， FPEFEP， A+APHA+FPE90， FEP+AEO90FEO， OEEF， FE 是O 的切线； （2）FHGOEG90， G+EOG90G+F， FEOG， sinFsinEOG， 设 EG3x，OG5x， OE4x， OE8， x2， OG10， BG1082
31、23 （10 分）在矩形 ABCD 中，BCCD，点 E、F 分别是边 AD、BC 上的动点，且 AE CF，连接 EF，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，点 C 落在点 G 处，点 D 落在点 H 处 （1）如图 1，当 EH 与线段 BC 交于点 P 时，求证：PEPF； （2）如图 2，当点 P 在线段 CB 的延长线上时，GH 交 AB 于点 M，求证：点 M 在线段 EF 的垂直平分线上； （3）当 AB5 时，在点 E 由点 A 移动到 AD 中点的过程中，计算出点 G 运动的路线长 【解答】 （1）证明：如图 1 中， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， DEFEFB， 由翻
32、折变换可知，DEFPEF， PEFPFE， PEPF （2）证明：如图 2 中，连接 AC 交 EF 于 O，连接 PM，PO AECF， EAOFCO， AECF，AOECOF， AEOCFO（AAS） ， OEOF， PEPF， PO 平分EPF， PEPF，ADBC，AEFC， EDBF， 由折叠的性质可知 EDEH，所以 BFEH， PEEHPFBF， PBPH， PHMPBM90，PMPM， RtPMHRtPMB（HL） ， PM 平分EPF， PM，O 共线， POEF，OEOF， 点 M 在线段 EF 的垂直平分线上 （3）如图 3 中，由题意，点 E 由点 A 移动到 AD 中
33、点的过程中，点 G 运动的路径是图 中弧 BC 在 RtBCD 中，tanCBD， CBD30， ABOOAB60， AOB 是等边三角形， OAODOBOCAB5，BOC120， 点 G 运动的路径的长 故答案为： 24 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax2+bx4 交 x 轴于 A（1，0） 、 B（4，0）两点，交 y 轴于点 C （1）求该抛物线的表达式； （2）点 P 为第四象限内抛物线上一点，连接 PB，过点 C 作 CQBP 交 x 轴于点 Q，连 接 PQ，求PBQ 面积的最大值及此时点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线 yax2+bx4 向
34、右平移经过点（，0）时，得到新抛 物线 ya1x2+b1x+c1，点 E 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点 F，使得 以 A、P、E、F 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在， 请说明理由 参考： 若点 P1（x1， y1） 、 P2（x2， y2） ， 则线段 P1P2的中点 P0的坐标为 （，） 【解答】解： （1）由题意得：，解得， 故抛物线的表达式为 yx23x4； （2）由抛物线的表达式知，点 C（0，4） ， 设点 P 的坐标为（m，m23m4） ， 设直线 PB 的表达式为 ykx+t， 则，解得， CQBP， 故设直线 CQ 的表达式为
35、 y（m+1）x+p， 该直线故点 C（0，4） ，即 p4， 故直线 CQ 的表达式为 y（m+1）x4， 令 y（m+1）x40，解得 x，即点 Q 的坐标为（，0） ， 则 BQ4， 设PBQ 面积为 S， 则 SBQ（yP）（m23m4）2m2+8m， 20，故 S 有最大值， 当 m2 时，PBQ 面积为 8， 此时点 P 的坐标为（2，6） ； （3）存在，理由： 将抛物线 yax2+bx4 向右平移经过点（，0）时，即点 A 过改点，即抛物线向右平 移了+1个单位， 则函数的对称轴也平移了个单位，即平移后的抛物线的对称轴为+3，故设点 E 的坐标为（3，m） ， 设点 F（s，t） ， 当 AP 是边时， 则点 A 向右平移 3 个单位向下平移 6 个单位得到点 P， 同样点 F（E）向右平移 3 个单位向下平移 6 个单位得到点 E（F）且 AEPF（AFPE） ， 则或， 解得或， 故点 F 的坐标为（3，）或（3，2） ； 当 AP 是对角线时， 由中点坐标公式和 APEF 得：， 解得或， 故点 F 的坐标为（3，3+）或（3，3） ； 综上，点 F 的坐标为（3，3+）或（3，3）或（3，）或（3，2）
