1、重庆市重庆市 2020 年年中考中考 数学试题（数学试题（A 卷）卷） 一、选择题一、选择题 1.下列各数中，最小的数是（） A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 有理数的大小比较法则：正数大于 0，负数小于 0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小 【详解】3012 ， 最小的数是-3， 故选：A 【点睛】本题考查有理数的大小比较，属于基础应用题，只需熟练掌握有理数的大小比较法则，即可完成 2.下列图形是轴对称图形的是（） A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【详解】解：A、是轴对称图形，故
2、本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误； 故选：A 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合 3.在今年举行的第 127 届“广交会”上，有近 26000 家厂家进行“云端销售”其中数据 26000 用科学记数法表 示为（） A. 3 26 10 B. 3 2.6 10C. 4 2.6 10 D. 5 0.26 10 【答案】C 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移
3、动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原 数的绝对值1 时，n 是负数 【详解】 4 2.62600010 ， 故选：C 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案， 其中第个图案中有 1 个黑色三角形， 第个图案中有 3 个黑色 三角形，第个图案中有 6 个黑色三角形，按此规律排列下去，则第个图案中黑色三角形的个数为 （） A. 10B. 15 C. 18D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】 根
4、据前三个图案中黑色三角形的个数得出第 n 个图案中黑色三角形的个数为 1+2+3+4+n，据此可得第 个图案中黑色三角形的个数 【详解】解：第个图案中黑色三角形的个数为 1， 第个图案中黑色三角形的个数 31+2， 第个图案中黑色三角形的个数 61+2+3， 第个图案中黑色三角形的个数为 1+2+3+4+515， 故选：B 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第 n 个图案中黑色三角形 的个数为 1+2+3+4+n 5.如图，AB 是O的切线，A 切点，连接 OA，OB，若 20B，则AOB的度数为（） A. 40B. 50C. 60 D. 70 【答案】D
5、【解析】 【分析】 根据切线的性质可得90OAB，再根据三角形内角和求出AOB. 【详解】AB 是O的切线 90OAB 20B 18070AOBOABB 故选 D. 【点睛】本题考查切线的性质，由切线得到直角是解题的关键. 6.下列计算中，正确的是（） A. 235 B. 222 2 C. 236 D.2 3 23 【答案】C 【解析】 【分析】 根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案 【详解】解：A 2与3不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； B2 与 2不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； C 23236 ，此选项计算正确； D2 3与2 不是同类二次根式，
6、不能合并，此选项错误； 故选：C 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概 念 7.解一元一次方程 11 (1)1 23 xx 时，去分母正确的是（） A.3(1)12xx B.2(1)1 3xx C.2(1)63xxD.3(1)62xx 【答案】D 【解析】 【分析】 根据等式的基本性质将方程两边都乘以 6 可得答案 【详解】解：方程两边都乘以 6，得： 3（x+1）62x， 故选：D 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质 8.如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别是(1,2)A，
7、(1,1)B，(3,1)C，以原点为位似中心， 在原点的同侧画DEF，使DEF与ABC成位似图形，且相似比为 2：1，则线段 DF 的长度为（） A. 5 B. 2C. 4D.2 5 【答案】D 【解析】 【分析】 把 A、C 的横纵坐标都乘以 2 得到 D、F 的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段 DF 的长 【详解】解：以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF，使DEF 与ABC 成位似图形，且相似比为 2：1， 而 A（1，2） ，C（3，1） ， D（2，4） ，F（6，2） ， DF 22 2642 =2 5， 故选：D 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换
8、是以原点为位似中心，相似比为 k，那 么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k 9.如图，在距某居民楼 AB 楼底 B 点左侧水平距离 60m 的 C 点处有一个山坡，山坡 CD 的坡度（或坡比） 1:0.75i ， 山坡坡底 C 点到坡顶 D 点的距离45mCD ， 在坡顶 D 点处测得居民楼楼顶 A 点的仰角为 28， 居民楼 AB 与山坡 CD 的剖面在同一平面内，则居民楼 AB 的高度约为（） （参考数据：sin280.47 ，cos280.88 ，tan280.53 ） A. 76.9mB. 82.1mC. 94.8mD. 112.6m 【答案】B 【解析】 【分析】 构造直角三角形
9、，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出 DE、EC、BE、DF、AF，进而求 出 AB 【详解】解：如图，由题意得，ADF28，CD45，BC60， 在 RtDEC 中， 山坡 CD 的坡度 i1：0.75， DE EC 1 0.75 4 3 ， 设 DE4x，则 EC3x， 由勾股定理可得 CD5x， 又 CD45，即 5x45， x9， EC3x27，DE4x36FB， BEBC+EC60+2787DF， 在 RtADF 中， AFtan28DF0.538746.11， ABAF+FB46.11+3682.1， 故选：B 【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，掌握坡比的意义和直
10、角三角形的边角关系是正确计算的前提 10.若关于 x 的一元一次不等式结 31 3 2 x x xa 的解集为xa；且关于y的分式方程 34 1 22 yay yy 有 正整数解，则所有满足条件的整数 a 的值之积是（） A. 7B. 14 C. 28D. 56 【答案】A 【解析】 【分析】 不等式组整理后，根据已知解集确定出 a 的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负 整数解，确定出 a 的值，求出之和即可 【详解】解：解不等式 31 3 2 x x ，解得 x7， 不等式组整理的 7x xa ， 由解集为 xa，得到 a7， 分式方程去分母得：ya3y4y2，即 3y2
11、a， 解得：y +2 3 a ， 由 y 为正整数解且 y2，得到 a1，7， 177， 故选：A 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键 11.如图，三角形纸片 ABC，点 D 是 BC 边上一点，连接 AD，把ABD沿着 AD 翻折，得到AED，DE 与 AC 交于点 G，连接 BE 交 AD 于点 F.若DGGE，3AF ，2BF ，ADG的面积为 2，则点 F 到 BC 的距离为() A. 5 5 B. 2 5 5 C. 4 5 5 D. 4 3 3 【答案】B 【解析】 【分析】 首先求出ABD 的面积根据三角形的面积公式求出 DF，设
12、点 F 到 BD 的距离为 h，根据 1 2 BDh 1 2 BFDF，求出 BD 即可解决问题 【详解】解：DGGE， SADGSAEG2， SADE4， 由翻折可知，ADBADE，BEAD， SABDSADE4，BFD90， 1 2 （AF+DF）BF4， 1 2 （3+DF）24， DF1， DB 22 BFDF 22 12 5， 设点 F 到 BD 的距离为 h， 则 1 2 BDh 1 2 BFDF， h 2 5 5 ， 故选：B 【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所 学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题 12.如图，在
13、平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点与坐标原点重合，点 E 是 x 轴上一点，连 接 AE若 AD 平分OAE，反比例函数(0,0) k ykx x 的图象经过 AE 上的两点 A，F，且AF EF， ABE的面积为 18，则 k 的值为（） A. 6B. 12 C. 18D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】 先证明 OBAE，得出 SABE=SOAE=18，设 A 的坐标为（a， k a ） ，求出 F 点的坐标和 E 点的坐标，可得 SOAE= 1 2 3a k a =18，求解即可 【详解】解：如图，连接 BD， 四边形 ABCD 为矩形，O 为对角线， AO=
14、OD， ODA=OAD， 又AD 为DAE 的平分线， OAD=EAD， EAD=ODA， OBAE， SABE=18， SOAE=18， 设 A 的坐标为（a， k a ） ， AF=EF， F 点的纵坐标为 2 k a ， 代入反比例函数解析式可得 F 点的坐标为（2a， 2 k a ） ， E 点的坐标为（3a，0） ， SOAE= 1 2 3a k a =18， 解得 k=12， 故选：B 【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，矩形的性质，平行线的判定，得出 SABE=SOAE=18 是解题关 键 二、填空题二、填空题 13.计算： 0 (1)| 2| _ 【答案】3 【解析】 【分
15、析】 根据零指数幂及绝对值计算即可 【详解】 0 (1)| 2| 1+2=3 ； 故答案为 3 【点睛】本题比较简单，考查含零指数幂的简单实数混合运算，熟记公式 0 (01)xx是关键 14.若多边形的内角和是外角和的 2 倍，则该多边形是_边形. 【答案】六 【解析】 【分析】 设这个多边形的边数为n，根据内角和公式和外角和公式，列出等式求解即可 【详解】设这个多边形的边数为n， 2 1802 360n ， 解得：6n ， 故答案为：六 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，是基础知识要熟练掌握内角和公式和外角和公式 15.现有四张正面分别标有数字1，1，2，3 的不透明卡片，它们除数字
16、外其余完全相同，将它们背而面朝 上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回 ，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取 的数字分别记为 m，n，则点 P（m，n）在第二象限的概率为_ 【答案】 3 16 【解析】 【分析】 画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点 P（m，n）在第二象限的结 果数，然后根据概率公式求解 【详解】解：画树状图为： 共有 16 种等可能的结果数，其中点 P（m，n）在第二象限的结果数为 3， 所以点 P（m，n）在第二象限的概率 3 16 故答案为： 3 16 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所
17、有等可能的结果 n，再从中选出符合 事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率也考查了点的坐标 16.如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，对角线 AC 的中点为 O，分别以点 A，C 为圆心，以 AO 的长为半 径画弧，分别与正方形的边相交则图中的阴影部分的面积为_ （结果保留） 【答案】4 【解析】 【分析】 根据图形可得S2 ABCD SS 阴影扇形，由正方形的性质可求得扇形的半径，利用扇形面积公式求出扇形的面 积，即可求出阴影部分面积 【详解】由图可知， S2 ABCD SS 阴影扇形， 2 24 ABCD S， 四边形 ABCD 是正方形
18、，边长为 2， =2 2AC ， 点 O 是 AC的中点， OA= 2， 2 90( 2) 3602 S 扇形 , S2=4- ABCD SS 阴影扇形 ， 故答案为：4 【点睛】本题考查了求阴影部分面积，扇形面积公式，正方形的性质，解题的关键是观察图形得出 S2 ABCD SS 阴影扇形 17.A，B 两地相距 240 km，甲货车从 A 地以 40km/h 的速度匀速前往 B 地，到达 B 地后停止，在甲出发的 同时，乙货车从 B 地沿同一公路匀速前往 A 地，到达 A 地后停止，两车之间的路程 y（km）与甲货车出发 时间 x（h）之间的函数关系如图中的折线CDDEEF所示其中点 C 的
19、坐标是 0 240， ，点 D 的坐标 是 2.4 0，则点 E 的坐标是_ 【答案】 4,160 【解析】 【分析】 先根据 CD 段的求出乙货车的行驶速度，再根据两车的行驶速度分析出点 E 表示的意义，由此即可得出答 案 【详解】设乙货车的行驶速度为/akm h 由题意可知，图中的点 D 表示的是甲、乙货车相遇 点 C 的坐标是0,240，点 D 的坐标是2.4,0 此时甲、乙货车行驶的时间为2.4h，甲货车行驶的距离为40 2.496()km，乙货车行驶的距离为 24096144()km 1442.460(/ )akm h 乙货车从 B 地前往 A 地所需时间为240604( )h 由此
20、可知，图中点 E 表示的是乙货车行驶至 A 地，EF 段表示的是乙货车停止后，甲货车继续行驶至 B 地 则点 E 的横坐标为 4，纵坐标为在乙货车停止时，甲货车行驶的距离，即40 4 160 即点 E 的坐标为(4,160) 故答案为：(4,160) 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，读懂函数图象是解题关键 18.火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三 种方式经营，6 月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为 3：5：2随着促进消费政策的出 台，该火锅店老板预计 7 月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的
21、2 5 ，则摆摊的 营业额将达到 7 月份总营业额的 7 20 ，为使堂食、外卖 7 月份的营业额之比为 8：5，则 7 月份外卖还需增 加的营业额与 7 月份总营业额之比是_ 【答案】 1 8 【解析】 【分析】 先根据题意设出相应的未知数，再结合题目的等量关系列出相应的方程组，最后求解即可求得答案 【详解】解：设 6 月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为 3k，5k，2k，7 月份总增加的营 业额为 m，则 7 月份摆摊增加的营业额为 2 5 m，设 7 月份外卖还需增加的营业额为 x 7 月份摆摊的营业额是总营业额的 7 20 ，且 7 月份的堂食、外卖营业额之比为 8：5
22、， 7 月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为 8：5：7， 设 7 月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为 8a，5a，7a， 由题意可知： 3 38 5 55 2 27 5 kmxa kxa mka ， 解得： 1 2 5 2 15 ka xa ma ， 5 1 2 857208 a x aaaa ， 故答案为： 1 8 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据题意设出相应的未知数，结合题目中的等量关系列 出方程组是解决本题的关键 三、解答题三、解答题 19.计算： （1） 2 ()(2 )xyx xy；（2） 2 2 9 1 369 mm mmm 【答案】 （1） 2
23、2 2xy； （2） 3 3m 【解析】 【分析】 （1）利用完全平方公式和整式乘法展开后合并同类型即可； （2）先把分子分母因式分解，然后按顺序计算即可； 【详解】 （1）解：原式 222 22xxyyxxy 22 2xy （2）解：原式 2 3(3) 3(3)(3) mmm mmm 2 3(3) 3 (3)(3) m mmm 3 3m 【点睛】本题考查整式的运算和分式的混合运算，熟记运算法则是解题的关键 20.为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测 试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取 20 名学生的测试成绩（满分 10 分，6 分及
24、 6 分以上为合格）进 行整理、描述和分析，下面给出了部分信息 七年级 20 名学生的测试成绩为： 7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6 七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8 分及以上人数所占百分比如下表所示： 年级平均数众数中位数8 分及以上人数所占百分比 七年级7.5a745% 八年级7.58bc 八年级 20 名学生的测试成绩条形统计图如图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中的 a，b，c 的值； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一 条理由即可
25、） ； （3）该校七、八年级共 1200 名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是 多少？ 【答案】 （1）7a ，7.5b ，50%c ； （2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由：根据以上数据， 七、八年级的平均数相同，八年级的众数、中位数、8 分及以上人数所占百分比比七年级的高； （3）估计参 加此次测试活动成绩合格的人数有 1080 人 【解析】 【分析】 （1）七年级 20 名学生的测试成绩的众数找出现次数最多的即可得出 a 的值，由条形统计图即可得出八年 级抽取的学生的测试成绩的中位数，八年级 8 分及以上人数除以总人数 20 人即可得出 c 的值； （
26、2）分别比较七年级和八年级的平均数、众数、中位数、8 分及以上人数所占百分比即可得出结论； （3） 用七八年级的合格总人数除以总人数 40 人， 得到这两个年级测试活动成绩合格的百分比， 再乘以 1200 即可得出答案 【详解】解： （1）七年级 20 名学生的测试成绩的众数是：7， 7a ， 由条形统计图可得，八年级抽取的学生的测试成绩的中位数是： 78 7.5 2 ， 7.5b ， 八年级 8 分及以上人数有 10 人，所占百分比为：50% 50%c ， （2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由：根据以上数据，七、八年级的平均数相同，八年级的众数、 中位数、8 分及以上人数所占百分比比七
27、年级的高； （3）七年级合格人数：18 人， 八年级合格人数：18 人， 1818 1200100%1080 40 人， 答：估计参加此次测试活动成绩合格的人数有 1080 人 【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数，条形统计图等知识，熟练掌握平均数的求法，众数、中位数 的概念是解决本题的关键 21.如图， 在平行四边形ABCD中， 对角线AC，BD相交于点O， 分别过点A，C作AE BD，CFBD， 垂足分别为E，FAC平分DAE （1）若50AOE，求ACB的度数； （2）求证：AECF 【答案】 （1）40ACB； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）利用三角形内角和定理求出EAO，
28、利用角平分线的定义求出DAC，再利用平行线的性质解决问 题即可 （2）证明 ()AEOCFO AASD D 可得结论 【详解】 （1）解：AEBD， 90AEO， 50AOE=Q， 40EAO =， CA平分DAE， 40DACEAO = =， 四边形ABCD是平行四边形， / /ADBC， 40ACBDAC ， （2）证明：四边形ABCD是平行四边形， OAOC， AEBD，CFBD， 90AEOCFO = =， AOECOF， ()AEOCFO AAS D D ， AECF= 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关的知 识点 22.在初中阶
29、段的函数学习中， 我们经历了列表、 描点、 连线画函数图象， 并结合图象研究函数性质的过程 以 下是我们研究函数 2 6 1 x y x 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题 （1）请把下表补充 完整，并在图中补全 该函数图象； x 54321012345 2 6 1 x y x 15 13 24 17 12 5 303 12 5 24 17 15 13 （2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的括号内打“”，错误的在 相应的括号内打“”； 该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为 y 轴；() 该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当1x 时，函数
30、取得最大值 3；当1x 时，函数 取得最小值3；() 当1x 或1x 时，y 随 x 的增大而减小；当11x 时，y 随 x 的增大而增大；() （3）已知函数21yx的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 2 6 21 1 x x x 的解集 （保留 1 位小数，误差不超过 0.2） 【答案】 （1） 9 5 ， 9 5 ； （2） ； （3）x1 或0.3x1.8 【解析】 【分析】 （1）代入 x=3 和 x=-3 即可求出对应的 y 值，再补全函数图象即可； （2）结合函数图象可从增减性及对称性进行判断； （3）根据图象求解即可 【详解】解： （1）当 x=-3 时， 2
31、 618 911 x y x 9 5 ， 当 x=3 时， 2 618 911 x y x 9 5 ， 函数图象如下： （2）由函数图象可得它是中心对称图形，不是轴对称图形； 故答案为： ， 结合函数图象可得：该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当1x 时，函数取得最大值 3； 当1x 时，函数取得最小值3； 故答案为： ， 观察函数图象可得：当1x 或1x 时，y 随 x 的增大而减小；当11x 时，y 随 x 的增大而增大； 故答案为： （3）1x ，0.281.78( 0.280.21.780.2)xx 2 6 21 1 x x x 时， 2 (1) 2310 xxx 得 1
32、1x ， 2 317 1.8 4 x ， 3 317 0.3 4 x ， 故该不等式的解集为： x1 或0.3x1.8 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象， 利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键 23.在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用 整数的除法运算来研究一种数“差一数” 定义：对于一个自然数，如果这个数除以 5 余数为 4，且除以 3 余数为 2，则称这个数为“差一数” 例如：14524 ，14342 ，所以 14 是“差一数”； 19534 ，但19361 ，所以 19
33、 不是“差一数” （1）判断 49 和 74 是否为“差一数”？请说明理由； （2）求大于 300 且小于 400 的所有“差一数” 【答案】 （1）49 不是“差一数”， 74 是“差一数”，理由见解析； （2）314、329、344、359、374、389 【解析】 【分析】 （1）直接根据“差一数”的定义计算即可； （2） 根据“差一数”的定义可知被 5 除余 4 的数个位数字为 4 或 9； 被 3 除余 2 的数各位数字之和被 3 除余 2， 由此可求得大于 300 且小于 400 的所有“差一数” 【详解】解： （1）49594 ；493161， 49 不是“差一数”， 74514
34、4；743242， 74 是“差一数”； （2）“差一数”这个数除以 5 余数为 4， “差一数”这个数的个位数字为 4 或 9， 大于 300 且小于 400 的符合要求的数为 304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、359、 364、369、374、379、384、389、394、399， “差一数”这个数除以 3 余数为 2， “差一数”这个数的各位数字之和被 3 除余 2， 大于 300 且小于 400 的所有“差一数”为 314、329、344、359、374、389 【点睛】此题主要考查了带余数的除法运算，本题用逐步增加条件的方法依此
35、找到满足条件的所有数是解 决本题的关键 24.为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技 小组对 A、B 两个玉米品种进行实验种植对比研究去年 A、B 两个品种各种植了 10 亩收获后 A、B 两个 品种的售价均为 2.4 元/kg，且 B 品种的平均亩产量比 A 品种高 100 千克，A、B 两个品种全部售出后总收入 为 21600 元 （1）求 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？ （2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计 A、B 两个品种平 均亩产量将在去年的基础上分别增加 a%和 2a%由
36、于 B 品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基 础上上涨 a%，而 A 品种的售价保持不变，A、B 两个品种全部售出后总收人将增加 20 % 9 a，求 a 的值 【答案】 （1）A 品种去年平均亩产量是400、B 品种去年平均亩产量是 500 千克； （2）10 【解析】 【分析】 （1）设 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是 x、y 千克，根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据题意分别表示 A 品种、B 品种今年的收入，利用总收入等于 A 品种、B 品种今年的收入之和，列 出一元二次方程求解即可得到答案 【详解】 （1）设 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是 x、
37、y 千克，由题意得 100 2.4 102.4 1021600 yx xy ， 解得 400 500 x y 答：AB 两个品种去年平均亩产量分别是 400、500 千克 （2）根据题意得： 20 24 400 1%24 1%500 12 %21600 1% 9 aaaa 令 a%=m，则方程化为： 20 24 400 124 1500 1221600 1 9 mmmm 整理得 10m2-m=0， 解得：m1=0（不合题意，舍去） ，m2=0.1 所以 a%=0.1，所以 a=10， 答：a 的值为 10 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，掌握列方程或方程组解应用题
38、的方 法与步骤是解题的关键 25.如图， 在平面直角坐标系中， 已知抛物线 2 yxbxc与直线 AB 相交于 A， B 两点， 其中3, 4A ， 0, 1B （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点 P 为直线 AB 下方抛物线上的任意一点，连接 PA，PB，求 PAB 面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移 2 个单位长度得到抛物线 2 1111 0ya xb xc a，平移后的抛物线与原抛物 线相交于点 C，点 D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 E，使以点 B，C，D，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 【 答
39、案 】（ 1 ） 2 41yxx；（ 2 ） PAB 面 积 最 大 值 为 27 8 ；（ 3 ） 存 在 ， 1234 ( 12)( 346)( 346),(13)EEEE， 【解析】 【分析】 （1）将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）设 AB ykxb，求得解析式，过点 P 作 x 轴得垂线与直线 AB 交于点 F，设点 2 ,41P a aa ，则 ( ,1)F a a ， 1 | 2 PABBA SPFxx 2 3327 228 a ，即可求解； （3）分 BC 为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可 【详解】解： （1）抛物线过( 3, 4)A ，(
40、0, 1)B 934 1 bc c 4 1 b c 2 41yxx （2）设 AB ykxb，将点3, 4A (0, 1)B代入 AB y 1 AB yx 过点 P 作 x 轴得垂线与直线 AB 交于点 F 设点 2 ,41P a aa ，则 ( ,1)F a a 由铅垂定理可得 1 | 2 PABBA SPFxx 2 3 141 2 aaa 2 3 3 2 aa 2 3327 228 a PAB 面积最大值为 27 8 （3） （3）抛物线的表达式为：yx24x1（x2）25， 则平移后的抛物线表达式为：yx25， 联立上述两式并解得： 1 4 x y ，故点 C（1，4） ； 设点 D（2
41、，m） 、点 E（s，t） ，而点 B、C 的坐标分别为（0，1） 、 （1，4） ； 当 BC 为菱形的边时， 点 C 向右平移 1 个单位向上平移 3 个单位得到 B，同样 D（E）向右平移 1 个单位向上平移 3 个单位得到 E （D） ， 即21s 且 m3t或21s 且 m3t， 当点 D 在 E 的下方时，则 BEBC，即 s2（t1）21232， 当点 D 在 E 的上方时，则 BDBC，即 22（m1）21232， 联立并解得：s1，t2 或4（舍去4） ，故点 E（1，2） ； 联立并解得：s-3，t-4 6，故点 E（-3，-46）或（-3，-46） ； 当 BC 为菱形的
42、的对角线时， 则由中点公式得：1s2 且41mt， 此时，BDBE，即 22（m1）2s2（t1）2， 联立并解得：s1，t3， 故点 E（1，3） ， 综上，点 E 的坐标为： （1，2）或( 346)，或( 346)，或（1，3） 存在， 1234 ( 12)( 346)( 346),(13)EEEE， 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计 算等，其中（3） ，要注意分类求解，避免遗漏 26.如图，在Rt ABC中，90BAC ，ABAC，点 D 是 BC 边上一动点，连接 AD，把 AD 绕点 A 逆时针旋转 90，得到 AE，连接
43、 CE，DE点 F 是 DE 的中点，连接 CF （1）求证： 2 2 CFAD； （2）如图 2 所示，在点 D 运动的过程中，当2BDCD时，分别延长 CF，BA，相交于点 G，猜想 AG 与 BC 存在的数量关系，并证明你猜想的结论； （3）在点 D 运动的过程中，在线段 AD 上存在一点 P，使PAPBPC的值最小当PAPBPC的 值取得最小值时，AP 的长为 m，请直接用含 m 的式子表示 CE 的长 【答案】 （1）证明见解析； （2） 3 2BCAG ； （3） 33 2 CEm 【解析】 【分析】 （1）先证BADCAE，可得ABDACE45，可求BCE90，由直角三角形的性质
44、和等腰直 角三角形的性质可得结论； （2）由（1）得ABDACE ，CEBD，45ACEABD ，推出 454590DCBBCAACE ，然后根据现有条件说明 在RtDCB中， 2222 5DECDCECDBDCD ， 点A， D， C， E四点共圆， F为圆心， 则CFAF， 在Rt AGC中，推出 2222 182 5 42 AGCGACCDCDCD，即可得出答案； （3）设点 P 存在，由费马定理可得120APBBPCCPA ，设 PD 为a， 得出 3BDa ， 3ADBDa ，得出 3ama ，解出 a，根据BDCE即可得出答案 【详解】解： （1）证明如下：90BACDAE ， B
45、ADCAE， ABAC，ADAE， 在ABD和ACE中 BADCAE ABAC ADAE ， ABDACE ， 45ABDACE， 90DCEACBACE ， 在RtADE中，F 为 DE 中点（同时ADAE） ，45ADEAED ， AFDE，即Rt ADF为等腰直角三角形， 2 2 AFDFAD ， CFDF， 2 2 CFAD； （2）由（1）得ABDACE ，CEBD，45ACEABD ， 454590DCBBCAACE ， 在RtDCB中， 2222 5DECDCECDBDCD ， F 为 DE 中点， 15 22 DEEFDECD， 在四边形 ADCE 中，有90CAGDCE ，1
46、80CZGDCE， 点 A，D，C，E 四点共圆， F 为 DE 中点， F 为圆心，则CFAF， 在Rt AGC中， CFAF， F 为 CG 中点，即CG 2CF5CD ， 2222 182 5 42 AGCGACCDCDCD， 即 3 2BCAG ； （3）设点 P 存在，由费马定理可得120APBBPCCPA ， 60BPD， 设 PD 为a， 3BDa ， 又 3ADBDa ， 3ama ， ( 31)ma 31 m a 又BDCE 33 = 2 CEm 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质， 锐角三角函数等知识，灵活运用所学知识是解本题的关键
