1、2021 数学核心考点 47 题 核心考点题型核心考点题型 1:1:不等关系不等关系 例例 1:（2020 天津 6）设 0.8 0.7 0.7 1 3,log0.8 3 abc ，则, ,a b c的大小关系为() AabcBb acCbcaDcab 例例 2:（2019新课标，理 6）若ab，则() A()0ln abB33 ab C 33 0abD| |ab 例例 3:（2017 山东）若0ab ，且1ab ，则下列不等式成立的是 A 2 1 log 2a b aab b B 2 1 log 2a b aba b C 2 1 log 2a b aab b D 2 1 log 2a b a
2、ba b 核心考点题型核心考点题型 2:2:函数的图像函数的图像 例例 4:4:函数 2 2 2 2 (1) ln 2(1) x yx x 的部分图象是 AB CD 例例 5:5:函数 2 1 sin 1 x x e f x 的图象大致形状为（） A B C D 核心考点题型核心考点题型 3:3:函数的单调性与奇偶性函数的单调性与奇偶性 例例 6:6:【2020 年新高考全国卷】若定义在R的奇函数 f(x)在(0),单调递减，且 f(2)=0，则满足 (10)xf x的 x 的取值范围是 A)1,13, B3, 1 ,0 1 C)1,01, D1,031, 例例 7:7:已知函数 f x是定义
3、域为R的偶函数，当0 x 时， 2 2fxxx，则 0 xf x 的解集为 （） A 2,00,2 B 2,02, C , 20,2 D, 22, 核心考点题型核心考点题型 4:4:切线方程求解切线方程求解 例例 8:已知函数 2 ( ) x f xx e，则 f x在1x 处的切线斜率为_. 例例 9:【2020 年高考全国卷理数】函数 43 ( )2f xxx的图像在点(1(1)f，处的切线方程为 A2 1yx B21yx C2 3yxD21yx 例例 10:【2020 年高考全国 III 卷理数】若直线 l 与曲线 y=x和 x2+y 2=1 5 都相切，则 l 的方程为 Ay=2x+1
4、By=2x+ 1 2 Cy= 1 2 x+1Dy= 1 2 x+ 1 2 核心考点题型核心考点题型 5:5:导数的综合运用导数的综合运用 例例 11:11:已知函数 2 ( )ln x f xexx与函数 2 ( )2 x g xexax 的图象上存在关于 y 轴对称的点，则 实数 a 的取值范围为（） A(, e B( , 1 C 1 (, 2 D 1 (, e 例例 12:12:已知函数 f（x）cosx，若 x1， 2 ,00, 44 x 时，有 12 22 21 ()()f xf x xx ，则（） Ax1x2Bx1x2C 22 12 xxD 22 12 xx 核心考点题型核心考点题型
5、 6:6:排列组合及二项式定理排列组合及二项式定理 例例 13:13:教育改革的核心是课程改革，新课程改革的核心理念就是教育以人为本，即一切为了每一位学生 的发展为满足新课程的三维目标要求，某校开设A类选修课 4 门，B类选修课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有（） A24 种B48 种C32 种D64 种 例例 14:14:【2020 年高考全国卷理数】 2 5 ()()xx y x y的展开式中 x3y3的系数为 A5B10 C15D20 核心考点题型核心考点题型 7:7:平面向量模长，角度的运算平面向量模长，角度的运算-不要忘记开方！不要忘记
6、开方！ 例例 15:15:已知向量a 、b 满足1a ，2b ， 1a b ，则2ab （） A2B2 2C2 3D2 5 例例 16:16: 【2020 年高考全国 III 卷理数】 6.已知向量 a， b 满足| 5a ，| 6b ，6a b ， 则cos ,=a ab A 31 35 B 19 35 C 17 35 D 19 35 核心考点题型核心考点题型 8:8:平面向量建系思想平面向量建系思想-能建系就建系能建系就建系 例例 17:17:在ABC中，90 ,4,3CACBC，点 P 是AB的中点，则CB CP （） A 9 4 B4C 9 2 D6 例例 18:18:在边长为 ? 的
7、正方形 ?th? 中，? 为 th 的中点，点 ? 在线段 ?t 上运动，则?h ? ? ? ? 的取值范围 是() A ? ? ?B? ? ? C ? ? ? ? ? D? 例例 19:19:【2020 年新高考全国卷】已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则AP AB 的取值范 围是 A()2,6B()6,2 C()2,4D()4,6 核心考点题型核心考点题型 9:9:三角函数三角函数 例例 20:20:【2020 年高考全国卷理数】已知()0,，且3cos28cos5，则sin A 5 3 B 2 3 C 1 3 D 5 9 例例 21:21:函数 cos 3 6
8、f xx 在0，的零点个数为_ 例例 22:22:【2020 年高考全国卷理数】设函数 ( )cos() 6 f xx在，的图像大致如下图，则 f（x）的 最小正周期为 A 10 9 B 7 6 C 4 3 D 3 2 核心考点题型核心考点题型 10:10:解三角形解三角形 例例 23:【2020 年高考全国 II 卷理数】 ABC 中，sin2Asin2Bsin2C= sinBsinC （1）求 A； （2）若 BC=3，求ABC周长的最大值 例例 24:在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 3,2,45acB （1）求sinC的值； （2）在边 BC 上取一点 D，
9、使得 4 cos 5 ADC ，求tanDAC的值 . 核心考点题型核心考点题型 11:11:等差数列等差数列+ +等比数列等比数列 例例 25:25:已知数列 n a的前n项和 n S满足 2 n Sn，记数列 1 1 nn a a 的前n项和为 n T， * nN则使得 20 41 n T 成立的n的最大值为（） A17B18C19D20 例例 26:26:【2020 年高考全国 II 卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中 心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一 层的第一环比上一层的最后一环多
10、9 块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) A3699 块B3474 块C3402 块D3339 块 例例 27:27:【2019 年高考全国 III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列 n a的前 4 项和为 15，且 531 34aaa，则 3 a A16B8 C4D2 核心考点题型核心考点题型 12:12:数列综合解答题数列综合解答题 例例 28:28:【2019 年高考全国 II 卷理数】已知数列an和bn满足 a1=1，b1=0， 1 434 nnn aab ， 1 434 nnn bba . （1）证明：an
11、+bn是等比数列，anbn是等差数列； （2）求an和bn的通项公式. 核心考点题型核心考点题型 13:13:立体几何中的外接球问题立体几何中的外接球问题 例例 29:29:四面体ABCD的顶点A，B，C，D在同个球面上，AD平面ABC， 2 6 3 AD ，2AB ， 3AC ，60CAB，则该四面体的外接球的表面积为（） A6B 14 3 C12D 16 3 例例 30:30:【2020 年高考全国 II 卷理数】已知ABC 是面积为 9 3 4 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面 上.若球 O 的表面积为 16，则 O 到平面 ABC 的距离为 A 3 B 3 2 C1D 3 2
12、例例 31:31:【2020 年高考全国卷理数】已知, ,A B C为球O的球面上的三个点， 1 O为ABC的外接圆， 若 1 O的面积为4， 1 ABBCACOO，则球O的表面积为 A64B48 C36D32 核心考点题型核心考点题型 14:14:立体几何多选问题立体几何多选问题 例例 32:32:已知四面体ABCD的所有棱长均为 2，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异 于A，B的动点有下列结论： 线段MN的长度为 1； 若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线； MFN的余弦值的取值范围为 5 0, 5 ； FMN周长的最小值为 21 其
13、中正确结论的个数为（） A1B2C3D4 核心考点题型核心考点题型 15:15:双曲线的渐近线双曲线的渐近线 例例 33:33:双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、 右焦点分别为 1 F、 2 F，P是双曲线C上一点， 2 PFx轴， 12 3 tan 4 PFF，则双曲线的渐近线方程为（） A2 0 xyB20 xy C30 xy D30 xy 核心考点题型核心考点题型 16:16:圆锥曲线离心率圆锥曲线离心率 例例 34:34:已知抛物线 2 1: 4Cyx 的焦点与椭圆 22 2 2 :1(0) 3 xy Ca a 的一个焦点重合，则 2 C的离心率 为（） A
14、 1 4 B 1 2 C 3 4 D 3 2 例例 35:35:已知点 1 F， 2 F分别是双曲线C： 2 2 2 10 y xb b 的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲 线C的右支上，且满足 12 2FFOP， 21 tan5PF F，则双曲线C的离心率的取值范围为（） A 17 1, 3 B 26 1, 4 C1, 5 D1,2 核心考点题型核心考点题型 17:17:三角函数多选题三角函数多选题 例例 36:36:关于函数( )4sin 6 f xx 有如下四个命题： ( )f x的最小正周期为 2； ( )f x的图象关于点 7 ,0 6 对称； 若f axf ax，则a的最小值为
15、 2 3 ； ( )f x的图象与曲线 125 0 6 yx x 共有 4 个交点 其中所有真命题的序号是_ 核心考点题型核心考点题型 18:18:抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦 例例 37:37:已知点 O为坐标原点， 抛物线 2 3yx与过焦点的直线交于 A， B 两点， 则OA OB 等于_. 核心考点题型核心考点题型 19:19:直线与圆直线与圆 例例 38:38:【2020 年高考全国卷理数】已知M： 22 2220 xyxy，直线l：220 xy，P 为l上的动点，过点P作M 的切线,PA PB，切点为,A B，当| |PMAB最小时，直线AB的方程 为 A21 0 xy B210
16、xy C21 0 xy D210 xy 例例 3939： 【2020 年高考全国卷理数】 若过点 （2， 1） 的圆与两坐标轴都相切， 则圆心到直线230 xy 的距离为 A 5 5 B 2 5 5 C 3 5 5 D 4 5 5 例例 40:40:【2020 年高考北京】已知半径为 1 的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为 A 4B 5 C 6D 7 核心考点题型核心考点题型 20:20:空间向量与立体几何空间向量与立体几何 例例 41:41:如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，BD 平面 1 ABC，其垂足 D 落在直线 1 BC上 （1）求证： 1 ACBC； （2
17、） 若 P 是线段 AB 上一点， 3BD ，2BCAC， 三棱锥 1 BPAC 的体积为 3 3 ，求二面角 1 PBCA的平面角的余弦值 核心考点题型核心考点题型 21:21:解析几何定点问题解析几何定点问题 例例 42:42:在平面直角坐标系中，己知圆心为点 Q 的动圆恒过点(1,0)F，且与直线1x 相切，设动圆的圆 心 Q 的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点 F 的两条直线 1 l、 2 l与曲线相交于 A、B、C、D 四点，且 M、N 分别为AB、CD的中点.设 1 l 与 2 l的斜率依次为 1 k、 2 k，若 12 1kk ，求证：直线 MN 恒过定点. 核心考
18、点题型核心考点题型 22:22:函数与导数函数与导数 例例 43:43:定义可导函数( )yf x在 x 处的弹性函数为( ) ( ) x fx f x ，其中( ) fx为 ( )f x的导函数在区间 D 上，若函数 ( )f x的弹性函数值大于 1，则称( )f x在区间 D 上具有弹性，相应的区间 D 也称作( )f x的弹 性区间 （1）若( )1 x r xex，求( )r x的弹性函数及弹性函数的零点； （2）对于函数( )(1)ln x f xxextx（其中 e 为自然对数的底数） （）当0t 时，求 ( )f x的弹性区间 D； （）若 ( )1f x 在（i）中的区间 D
19、上恒成立，求实数 t 的取值范围 例例 44:44:已知函数 2 ( )()R a f xxaxa x . （1）当1a 且1x 时，求函数 ( )f x的单调区间； （2）当 2 e e +1 a 时，若函数 2 ( )( )lng xf xxx的两个极值点分别为 12 ,xx， 证明： 12 2 4 0 |()()| e1 g xg x 核心考点题型核心考点题型 23:23:离散型随机变量离散型随机变量 例例 45:45:2020 年，全球 70 多亿人口受影响、30 余万人的生命被夺走。一场来势汹汹的新冠肺炎疫情，成 为二战结束以来最严重的全球公共卫生突发事件。面对肆虐的疫情，人们寄希望
20、于今早开发出有效的疫 苗，摆脱病毒带来的威胁。如今，多国在研发领域按下“快进键”，中国不仅在进度上是“第一梯队”，更 提出新冠疫苗研发完成并投入使用后，将作为全球公共产品。现某科研团队为了考察某种药物预防疾病 的效果，进行动物试验，得到如下列联表。 患病未患病总计 服用药1045 没服用药50 总计30 （1）请将上面的列联表补充完整； （2）能否有 97.5%的把握认为药物对预防疾病有效？说明你的理由； （3）为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取 10 只，设其中未服用药的动物数为只， 求的分布列与期望. 下面的临界值表供参考: 2 P Kk0.150.100.050.025
21、0.0100.0050.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 （参考公式 2 2 n adbc K abcdacbd 其中nabcd ） 例例 46:46:【2020 年高考全国卷理数】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行 下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其 中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束. 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 1 2 ， （1）求甲连胜四场的概
22、率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 例例 47:47:某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加为调查该地区某种野生 动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区， 调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，20)，其中 xi和 yi分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和 这种野生动物的数量，并计算得 20 1 60 i i x ， 20 1 1200 i i y ， 20 2 1 )8(0 i i xx ， 20 2 1 )9000( i i yy ， 20 1 )()800( ii i yyxx （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的 平均数乘以地块数）； （2）求样本(xi，yi) (i=1，2，20)的相关系数（精确到 0.01）； （3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大为提高样本的代表性以获得该地区这种野 生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由 附：相关系数 1 22 11 ) ( () () ( ) ii i n i n i i n i xy r xy xy xy ， 21.414
