1、绝密启用前 2020-2021 学年深圳高一下学期数学期末调研考前模拟 数学 本试卷 22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要 求的。求的。 1设集合| 24Axx ，2,3,4,5B ，则 RA B （） A 2B4,5C3,4D2,3 【答案】B |24 RA x xx 或，则4,5 RA B 2已知2iz ，则 iz z （） A62iB42iC62iD42i 【答案】C i2i22i =62i
2、z z 3已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（） A3B2 3C6D4 3 【答案】B 底面圆周长2 3C ,2 32 3ll 4下列区间中，函数 7sin 6 f xx 单调递增的区间是（） A0 2 ，B, 2 C 3 , 2 D 3 ,2 2 【答案】D 7sin 6 f xx 图像7sinyx右移 6 得到，故在 3 ,2 2 上单调递增 5古代将圆台称为古代将圆台称为“圆亭圆亭”， 九章算术中九章算术中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一即一 圆台形建筑物，下底周长圆台形建筑物，下底周
3、长3丈，上底周长丈，上底周长2丈，高丈，高1丈，则它的体积为（丈，则它的体积为（） A. 19 8立方丈 立方丈B. 19 立方丈 立方丈C. 19 8 立方丈立方丈D. 19 立方丈立方丈 【答案】【答案】B 【解析】由题意得，下底半径【解析】由题意得，下底半径 3 2 R （丈（丈） ，上底半径，上底半径 21 2 r （丈（丈） ，高，高1h （丈（丈） ， 所以它的体积为所以它的体积为 22 22 113131 1 3322 Vh RrRr 所以所以 19 V (立方丈立方丈). 故选：故选：B. 6已知二次函数已知二次函数12 2 axxy在区间在区间)3,2(内是单调函数，则实数内
4、是单调函数，则实数a的取值范围是的取值范围是 A2a或或3aB32 aC3a或或2aD23a 【答案】【答案】A 函数对称轴为函数对称轴为x a ，要使函数在区间，要使函数在区间)3,2(内是单调，可知内是单调，可知2a或或3a，故选，故选 A 7 如图所示如图所示， 在平面四边形在平面四边形ABCD中中，ADCD， 6ADCD ，ACBC， o 60B ， 现将现将ACD 沿沿AC边折起，并连接边折起，并连接BD，当三棱锥，当三棱锥DABC的体积最大时，其外接球的表面积为（的体积最大时，其外接球的表面积为（） A.4B.8C.12D.16 【答案】【答案】D 【解析】因为【解析】因为ABC的
5、面积不变，要使体积最大，需的面积不变，要使体积最大，需 D 到平面到平面 ABC 的距离最大，的距离最大， 即当平面即当平面 ACD平面平面 ABC 时，体积最大，时，体积最大， 因为因为ACD等腰直角三角形等腰直角三角形， 取取 AC中中点点E,则则 DE平平面面ABC， 高高为为DE= 3最大 最大， AC=2 3， 则则RtABC 中中 o 60B ， BC=2， AB=4， 所以所以 EB= 7， ， 故故 RtBDE中中 BD= 10， ， 所以所以ABD中中 222 ADBDAB ， 即得空间中即得空间中 o 90ADBACB 即即 AB 为球为球的直径，故半径直径，故半径 22
6、416RAB ，所以外接球的表面积，所以外接球的表面积 2 416SR . 故选：故选：D. 8 ABC 的内角的内角 A， B， C 的对边分别为的对边分别为 a， b， c， 已知已知 2ab2ccosB 若若 CD 是角是角 C 的平分线的平分线， AD2 7， DB 7，求 ，求 CD 的长的长 A3B2C2 2D3 2 【答案】【答案】B 222 1 22 cos22cos 223 acb abcBabcCC ac 如图，由角平分线定理或正弦定理可知如图，由角平分线定理或正弦定理可知 1 2 CBBD CAAD ，设，设CDx,则有则有 111 sinsinsin 232323 ax
7、bxab 解得解得 CD=2，故选，故选 B 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题。每小题小题。每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全题目要求。全 部选对的得部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9已知角, ，满足，则下列结论正确的是（） Asin( )sin Bcos( )cos Csinsin 22 Dcossin 22 【答案】AD 因为 ，所以sin()sin()sin，coscoscos ， 22 ，sinsincos 2222 ，co
8、scossin 2222 BC 错，AD 正确 10一个正八面体，八个面分别标以数字 1 到 8，任意抛掷一次这个正八面体，把它与地面接触的面上的数 字记为X， 则1,2,3,4,5,6,7,8X ， 定义事件：1,2,3,4AX X， 事件：1,5,6,7BX X， 事件：1,5,6,8CX X，则下列判断正确的是（） A1P ABB 3 8 P BC C P ABCP A P B P CDA，B，C两两相互独立 【答案】BC 由题意，1,2,3,4,5,6,7,8 ，card( )=8，card( )=card( )=card( )=4ABC， card( )41 ( ) card( )8
9、2 A P A ，同理， 1 ( )( ) 2 P BP C， 由card( + )=7A B，则 card()7 () card()8 AB P AB ，故 A 错误； 由card()=3BC，则 card()3 () card( )8 BC P BC ，故 B 正确； 由card()=1ABC，则 card()1 () card( )8 ABC P ABC ，而 1 8 P A P B P C ，故 C 正确； 因为 3 8 P BCP B P C， 1 8 P ACP A P C， 1 8 P ABP A P B，所以事件A， B，C不两两相互独立，故 D 错误. 【解题反思】 易错点睛
10、：对于两个事件A，B，可将对应的积事件AB看成一个事件，利用古典概型的概率公式 card() () card( ) AB P AB 计算，一般地，对于两个事件A，B，概率公式为 P ABP A P B A， 使用概率的计算公式，必须注意前提条件： 对于两个事件A，B，有 P ABP AP BP AB； 当A，B为互斥事件时，有 P ABP AP B. 若事件A，B，C，有 P ABCP A P B P C时，不一定有A，B，C两两相互独立. 11 已知ABC是边长为 1 的等边三角形， 点 D 是边 AC 上， 且 3ACAD ， 点 E 是 BC 边上任意一点 （包 含 B，C 点） ，则A
11、E BD 的取值可能是（） A 5 6 B 1 6 C0D 1 6 【答案】AB 设0,1BEBC ， 因为 3ACAD ，所以 1 3 BDBAADACAB ， 又因为1AEABBEABBCABACABABAC ， 所以 221 1 33 1 1 3 AE BDAC ABACABACABABCAC ABA ， 所以 1 1 632 AE BD ， 所以 152 1 63263 AE BD ， 又因为0,1，所以 5251 , 6366 ， 12已知四边形ABCD是等腰梯形（如图 1） ，3AB ，1DC ，45BAD，DEAB将ADE沿 DE折起，使得AEEB（如图 2） ，连结AC，AB，
12、设M是AB的中点.下列结论中正确的是（） ABCADB点E到平面AMC的距离为 6 3 C/EM平面ACDD四面体ABCE的外接球表面积为5 【答案】BD 因为DEAB，45BAD， 所以ADE为等腰直角三角形，过 C 做CFAB，交 AB 于 F，如图所示： 所以ADEBCF，即 AE=BF，又3AB ，1DC ， 所以1AEEFFBDECF，则 = 2ADBC ， 对于 A：因为AEEB，AEDE，,BE DE 平面 BCDE， 所以AE平面 BCDE，BC 平面 BCDE， 所以AEBC， 若BCAD，且,AE AD 平面 ADE， 则BC 平面 ADE， 所以BC DE 与已知矛盾，所
13、以 BC 与 AD 不垂直，故 A 错误； 对于 B：连接 MC，如图所示， 在DECRt中，DE=DC=1，所以 2EC ，又 = 2BC ，EB=2， 所以 222 ECBCEB ，所以ECBC， 又因为AEBC，,AE EC 平面 AEC， 所以BC 平面 AEC，AC 平面 AEC， 所以BCAC，即ABC为直角三角形， 在Rt AEC中，1,2AEEC，所以 3AC ， 因为M是AB的中点， 所以AMC的面积为Rt ABC面积的一半，所以 116 32 224 AMC S ， 因为,DEAE DEEB， 所以 DE 即为两平行线 CD、EB 间的距离， 因为 E AMCC AEM V
14、V ，设点 E 到平面AMC的距离为 h， 则 11 33 AMEAMC SDESh ，即 1116 1 1 1 3234 h ， 所以 6 3 h ，所以点E到平面AMC的距离为 6 3 ，故 B 正确； 对于 C：因为/EB DC，EB 平面 ADC，DC 平面 ADC， 所以/EB平面 ADC， 若/EM平面ACD，且,EBEME EB EM平面 AEB， 所以平面 ACD/平面 AEB，与已知矛盾，故 C 错误. 对于 D：因为ECBC，所以BCE的外接圆圆心为 EB 的中点， 又因为AEEB，所以ABE的外接圆圆心为 AB 的中点 M， 根据球的几何性质可得：四面体ABCE的外接球心
15、为 M， 又 E 为球上一点，在ABE中， 15 22 EMAB 所以外接球半径 5 2 RME , 所以四面体ABCE的外接球表面积 2 5 445 4 SRppp=，故 D 正确. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13已知函数 3 22 xx f xxa 是偶函数，则a 【答案】1 3 22 xx fxxa ， 33 22=22 xxxx fxf xfxxaxa ，故1a 14平面内非零向量 a，b，c，有3a ，4b ，0a b ，且2cab ，则c 的最大值为_ 【答案】7 【解析】方法一几何法：构造圆，如下，则c的
16、最大值为 7 方法二向量不等式：方法二向量不等式： 向量不等式补充向量不等式补充： mnmnmn 反向 同向 ，mnmnmn 反向 同向 记mc，nab，由mnmnmn 则有cabcabcab，即525cc， 则 25237 37 252 cc c cc . 15已知函数( )1f xx， 2 ( )2 x g xa 若对任意 1 3,4x ，存在 2 3,1x ，使 12 ()()f xg x，则 实数 a 的取值范围是_ 【答案】a3 依题意只需 1 min2min ()()f xg x 1 3,4,x f(x)单增，则 min ( )(3)4.f xf 当 2 2 3,1 , ( )2x
17、xg xa ，即|x2|取最小时，有 2min ()g x|x 2|0，3，则 0 2min ()21g xaa a14a3 16已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上， 点,D E分别是PB，BC的中点，3PA ，2PDDE， 2 2,13PEAD，17AE ，则球O的表面积为_ 【答案】41 画图解形，通过已知条件用勾股逆定理得到 3 组垂直关系， PAE，ADE，PCB 为直角三角形，ADDE，AEBC，PCPB， ADDEADPC PCPB PCPAB PCAD 面 ， AEBCAB5APBP4R41 表面积为41. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70
18、 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17(10 分)已知复数 3 2 i z i （i是虚数单位） （I）求复数 z 的模长； （）若 2 1( ,)zazbi a bR 求, a b的值 【答案】 解： （I） 32355 1 2225 iiii zi iii ，所以 2 2 112z （）因为 2 1( ,)zazbi a bR ，即 2 111iaibi ，所以 21aba ii ， 所以 1 21 ab a 解得 3 4 a b 18 （12 分）如图，在ABC中，2AB ，3AC ， 60BAC ， 2DBAD ， 2CEEB
19、. （1）求CD的长； （2）求AB DE 的值 【答案】18解（1） 2DBAD ， 1 3 ADAB ， 1 3 CDADACABAC ， 2AB ，3AC ，60BAC ， 1 cos602 33 2 AB ACABAC . 222 222 1121267 ()233 393939 CDABACABABACAC 67 | 3 CD 67 3 CD.6 分 （2） 2CEEB ， 1 3 BEBC ， 212111 333333 DEDBBEABBCABACABABAC ， 2 2 1111117 23 3333333 AB DEABABACABAB AC 12 分 19（12 分） 为了
20、解某市家庭用电辑的情况， 该市统计部门随机调查了 200 户居民去年一年的月均用电量 （单 位：kW h） ，并将得到数据按如下方式分为 9 组：0,40)，40,80)，320,360，绘制得到如下的 频率分布直方图： （1）试估计抽查样本中用电量在160,200)的用户数量； （2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居 民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档 月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数：范围用左开右闭区间表示） （3）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在
21、样本中月均用电量为0,40)和320,360的两组居民用 户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同分组的概率 解： （1）由直方图可得，样本落在0,40)，40,80)，80,120)，120,160)的频率分别为 0.02，0.15，0.27， 0.23，落在200,240)，240,280)，280,320)，320,360的频率分别为 0.09，0.06，0.04，0.01. 因此，样本落在160,200)的频率为 1(0.020.150.270.230.090.060.040.01)0.13 样本中用电量在160,200)的用户数为200 0.1326. （2）因为0.020.15
22、0.270.230.67，0.020.150.270.230.130.8， 为了使75%的居民缴费在第一档，只需75%对应的用电量位于160,200)内， 于是 0.750.67 16040185 0.80.67 ， 又0.020.150.270.230.130.090.060.95， 所以95%对应的用电量为 280. 所以第二档的范围可确定为(185,280. （3）由题可知，样本中用电量在0,40)的用户有 4 户，设编号分别为 1，2，3，4；在320,360的用户有 2 户，设编号分别为a，b，则从 6 户中任取 2 户的样本空间为： 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1, 1,
23、2,3 , 2,4 , 2, 2, 3,4 , 3, 3, 4, 4,ababababa b ， 共有 15 个 样本点. 设事件A “走访对象来自不同分组”， 则(1, ),(1, ),(2, ),(2, ),(3, ),(3, ),(4, ),(4, )Aabababab， 所以( )8n A ，从而 ( )8 ( ) ( )15 n A P A n . 20.（12 分）在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 函数() 12 yf x 的图象关于原点对称； 函数)(xfy 的图象关于直线 2 3 x 对称 已知函数( )4sin()(0,0) 2 f xx ，)(xf的图象
24、相邻两条对称轴的距离为 2 ，. （1）求函数)(xf的解析式； （2）求函数( ) ( )cos2g xf xx 在, 12 6 上的取值范围. 【答案】 解：函数 )sin(4)(xxf 的图象相邻两条对称轴的距离为 2 22 T ,即T -1 分 2 2 T -2 分 )2sin(4)(xxf (1)若补充条件函数() 12 yf x 的图象关于原点对称. ） 6 2sin(4) 12 (2sin4) 12 ( xxxfy -3 分 Zkk, 6 即Zkk, 6 2 0 6 1 时，k-5 分 函数)(xf 的解析式为) 6 2sin(4)( xxf-6 分 若补充条件函数 )(xfy
25、的图象关于直线 2 3 x 对称 )2sin(4)(xxf 的图象关于直线 2 3 x 对称 1) 3 2 2(sin -3 分 Zkk, 23 4 Zkk, 6 5 2 0 6 1 时，k-5 分 函数)(xf 的解析式为) 6 2sin(4)( xxf-6 分 (2)由(1)得) 6 2sin(4)( xxf xxxxfxg2cos) 6 2sin(42cos)()( xxx2cos)2cos22sin32(-7 分 xxx2cos22cos2sin32 2 -8 分 14cos4sin3xx 1) 6 4sin(2 x-9 分 612 x 6 5 6 4 6 x-10 分 1) 6 4s
26、in( 2 1 x 31) 6 4sin(20 x-11 分 函数( )( )cos2g xf xx 在, 12 6 上的取值范围是3 , 0-12 分 2121 （12 分）如图，在半圆柱 W 中，AB 为上底面直径，DC 为下底面直径，AD 为母线，ABAD2， 点 F 在 AB上，点 G 在 DC上，BFDG1，P 为 DC 的中点 （1）求三棱锥 ADGP 的体积； （2）求直线 AP 与直线 BF 所成角的余弦值； （3）求二面角 AGCD 的正切值 【答案】 解： （1）由题意知，DPG 为正三角形，DPDGPG1， 所以 13 1 1 sin60 24 DGP S ， 因为 AD
27、 为圆柱的母线， 所以 AD平面 DCG， 所以 13 = 36 A DGPDGP VSAD （2）过 F 点作圆柱的母线 FH 交 DC于 H 因为 FH 与 BC 均为圆柱的母线，所以 FHBC 且 FHBC， 所以四边形 BCHF 为平行四边形，所以 FBHC 且 FBHC1，所以PCH 为 正三角形， 又因为DPG 为正三角形，所以HCPGPD60，CHGP， 所以 BFCHGP，所以APG 为直线 AP 与 BF 所成的角， 在APG 中，AG 5,GP1，AP 5, 所以由余弦定理知： 222 15 cos 2102 5 APGPAG APG AP GP . 所以直线 AP 与直线
28、 BF 所成角的余弦值为 5 10 （3）因为 AD平面 DCG，CG?平面 DCG，所以 CGAD， 又因为 CGDG，ADDGD， 所以 CG平面 ADG， 所以 CGAG，CGDG，因此AGD 为二面角 AGCD 的平面角， 在 RtADG 中，AD2，DG1，tanAGD AD DG 2， 所以二面角 AGCD 的正切值为 2 22 (本题 12 分)已知函数 2 ( )log (1)f xx. （1）求函数 ( )f x的定义域； （2）设( )( )g xf xa，若函数( )g x在(2,3)上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围； （3）设( )( ) ( ) m h xf x
29、 f x ，是否存在正实数m，使得函数( )yh x在3,9内的最小值为 4？若存在， 求出m的值；若不存在，请说明理由. 【分析】 （1）根据函数 2 ( )log (1)f xx有意义，列出不等式，即可求解函数的定义域； （2）由 2 log (1( ),(2,3)g xaxx，结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解； （3）设 ,3,9tf xx，则( ),1,3,0 m h tttm t ，结合“对勾函数”的性质，即可求解. 【答案】 （1）由题意，函数 2 ( )log (1)f xx有意义，则满足10 x ，解得1x ， 即函数 fx的定义域为 |1x x . （2）由( )(
30、 )g xf xa，且 2 ( )log (1)f xx， 可得 2 log (1( ),(2,3)g xaxx， 由对数函数的性质，可得 g x为单调递增函数，且函数( )g x在(2,3)上有且仅有一个零点， 所以 230gg，即(1)0aa，解得10a ， 所以实数a的取值范围是( 1,0). （3）由( )( ) ( ) m h xf x f x ，设 ,3,9tf xx，则( ),1,3,0 m h tttm t ， 当 1m 时，函数( )h t在1,3上为增函数，所以最小值为 114 1 m h ， 解得3m，不符合题意，舍去； 当 3m 时，函数( )h t在1,3上为减函数，所以最小值为 334 3 m h， 解得3m，不符合题意，舍去； 当1 3m 时，函数( )h t在1,m上是减函数，在,3m上为增函数， 所以最小值为24hmm，解得4m ，符合题意， 综上可得，存在4m 使得函数 yh x的最小值为 4.
