1、1 大学自主招生数学讲义（上）大学自主招生数学讲义（上） 第一讲 函数的性质.3 一、知识要点.3 二、热身练习.6 三、真题讲解.7 四、强化训练.9 第二讲 导数. 14 一、知识方法拓展.14 二、热身练习.16 三、真题精讲.17 四、重点总结.19 五、强化训练.19 第三讲 微积分初步.30 一、知识方法拓展.30 二、热身练习.32 三、真题讲解.34 四、重点总结.37 五、强化训练.37 六、参考答案.41 第四讲 方程与根. 44 一、知识方法拓展.44 二、热身训练.46 三、真题精讲.48 四、重点总结.50 五、强化训练.50 第五讲 基本不等式及其应用.56 一、知
2、识方法拓展.56 二、热身练习：.57 三、精讲名题：.58 四、强化训练.60 第六讲 不等式的证明与应用.64 一、知识方法拓展.64 二、热身练习：.65 三、精解名题：.66 四、强化训练.69 第七讲 递推数列. 71 2 一、知识方法拓展.71 二、热身练习.73 三、真题精讲.74 四、重点总结.77 五、强化训练.78 第八讲 数列求和，极限和数学归纳法.82 一、知识方法拓展.82 二、热身练习.83 三、真题精讲.84 四、重点总结.88 五、强化训练.89 3 第一讲 函数的性质第一讲 函数的性质 一、知识要点一、知识要点 1、映射映射 对于任意两个集合,A B，依对应法
3、则f，若对A中的任意一个元素, x在B中都有唯一 一个元素与之对应，则称:fAB为一个映射映射，记作:,fAB其中b称为像像，a称为原 像。 原 像。 如 果:fAB是 一 个 映 射 且 对 任 意,x yA xy都 有 ,f xfy则 :fAB是A到B上称之为单射单射. 如 果:fAB是 映 射 且 对 任 意,yB都 有 一 个xA使 得 ,f xy则 称 :fAB是A到B上的满射满射. 如果:fAB既是单射又是满射，则:fAB是A到B上叫做一一映射一一映射. 如果:fAB是从集合A到集合B上的一一映射， 并且对于B中每一个元素b， 使b 在A中的原像a和它对应，这样所得的映射叫做:fA
4、B的逆映射逆映射，记作 1 :.fBA 2、函数方程问题函数方程问题 （1）代换法（或换元法）代换法（或换元法） 把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换 （代换时应注意使函数的定义域不会发 生变化） ，得到一个新的函数方程，然后设法求得位置函数 例.设 22 0,abab求 1 afxbfcx x 的解. （ 【解析】分别用 1, xxt t 带入） （2）待定系数法待定系数法 当函数方程中的未知数是多项式时，可待定系数而求解. 例.已知 1 fxf x是一次函数， 1nn fxffx 且 10 10241023fxx， 求 f x.（ 【解析】设 0f xaxb a求解） 3、函数对称性
5、以及周期性、函数对称性以及周期性 1）已知函数 yf x，若函数 yg x图像与 yf x图像关于： 4 直线xa对称，则 g x 2fax； 直线yb对称，则 2g xbf x； 点, a b对称，则 22g xbfax。 2）已知函数 yf x图像关于： 直线xa对称，则 f x 2fax； 点, a b对称，则 22f xbfax，即 22f xfaxb。 3）常用：若函数 yg x图像与 yf x图像关于： y轴对称，则 g x fx； x轴对称，则 g xf x ； 原点对称，则 g xfx 。 4）若f xaf bx，则 yf x图像关于直线 2 ab x 对称； 若f xaf b
6、xc，则 yf x图像关于点, 22 ab c 对称； 若yf xa与yf bx关于直线 2 ba x 对称； 5）若 f xTf x，则函数 yf x是以T为周期的函数。 6） 若 f xaf x ， 则 2fxafxafxfx ， 即2Ta； 若 1 f xa f x ，则 11 2 1 f xaf x f xa f x ，即2Ta； 若 1 f xa f x ， 则 11 2 1 f xaf x f xa f x ， 即2Ta。 7）若 f x关于直线xa和xbab对称，则 f x为以2 ba为周期的周期 函数； 若 f x关于点,0a和xbab对称，则 f x为以4 ba为周期的周期函
7、数； 5 若 f x关于点 0 , a y和 0 , b yab对称，则 f x为以2 ba为周期的周期函数。 4、抽象函数问题的解法、抽象函数问题的解法 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像， 只给出一些函数符号极其满足的条件 的函数，如给出定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等，它是高中函数 的难点，也是与高等数学函数部分的一个衔接点。 （1）函数性质法）函数性质法 函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性、周期性等）反映出来的，抽象函数也是 如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，才能够将抽象函数 问题化难为易。常用的方法有：利用奇偶性整体思考
8、；利用单调性等价转化；利用周 期性回归已知；利用对称性数形结合；借助特殊点列方程。 （2）特殊化方法）特殊化方法 在求解函数解析式或研究函数性质时， 一般用代换的方法， 将x换成x或将x换成 其他字母等； 在求函数值时，可用特殊值代入； 研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题、填空题，或通过具体模型函数为 解答综合题提供思路和方法。 5、函数的迭代、函数的迭代 一个函数的自复合，叫做迭代。我们用 k gx表示 g x的k次迭代函数。 即 0 1kk gxx gxg gx 如果 1,2,1 p k gxx gxx kp 不恒等于 则称 g x有迭代周期. p 迭代问题的解法通常是找它的迭代周
9、期。 一般来说， 若 yg x的图像关于直线yx 对称，则一定有 g g xx.它的迭代周期就是 2.下面是几个常见函数的迭代周期。 27 , 1 x g x x 迭代周期是 3； 1, 1 x g x x 迭代周期是 4； 6、凹凸函数、凹凸函数 设f为定义在区间I上的函数，若对I上任意两点 1 x、 2 x和实数0,1 ,总有 1212 11,fxxf xf x则称f为I上的凸函数（有时也称下凸函 数） 。 反之， 如果总有不等式 1212 11,fxxf xf x则称则称f为I 上的凹函数（有时也称上凸函数） 。 6 特 别 地 ， 1 2 时 ， 有 12 12 22 f xf xxx
10、 f （ 凸 函 数 ） 或 12 12 22 f xf xxx f （凹函数） 。 如何判断一个函数是凸函数（凹函数）？除了定义以外，还有下面的定理： 设f为I上二阶可导函数，则f为I上的凸（凹）函数的充要条件是 0fx 0 .fx 凸函数更一般的情形是下面的琴生不等式：若f为, a b上的凸函数，则对任意 ,01,2, ii xa bin，且 1 1, n i i 则 11 . nn iiii ii fxf x 二、热身练习二、热身练习 1、 （、 （2009 复旦）复旦）若要求关于x的函数 2 1 0.5 lglog2ax bx 的定义域是, 则a、b的取 值范围是（） A B0a 2
11、40C ba 0D ab 【解析】选 A.由 22 112 0.5 lglog2002110 axbxaxbx axbx 对 ,x 恒成立 2 0 40 a ba 这样的, a b不存在。 2、 （、 （2010 复旦）复旦）某校有一个班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号， 变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学某一门课程的考试成绩，则下列选项中正确 的是（） Ay是x的函数 Bz是y的函数 C w是z的函数 D w是x的函数 【解析】按照函数的定义，由于班上可能会有相同的姓名，故 A 不正确。而任意一个学生 的学号是唯一的，也对应了一个唯一的身高，故选项 B 正确；同理，
12、,C D均不正确。 3、 （、 （2007 复旦）复旦）设 f x是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数。已知当 2,3x时， ,f xx 则当2,0 x 时， f x的表达式为（） 7 A3 |1|x B2 |1|x C3 |1|x D2 |1|x 【解析】选 A可以考虑特殊值。 222,1133fffff ， 022ff 。符合条件的只有选项 A 了。 4、 （、 （2006 复旦）复旦）设有三个函数，第一个是 yf x，它的反函数就是第二个函数，而第三 个函数的图像与第二个函数的图像关于直线0 xy对称，则第三个函数是（） A yf x Byfx C 1 yfx D 1 yfx
13、 【解析】选B。第二个函数是 1 ,yfx 第三个函数为 1 xfy ，即yfx 三、真题讲解三、真题讲解 1、 （、 （2005 交大）交大）函数 2 2 8 1 axxb y x 的最大值为9,最小值为1,求实数a、b. 【解析】 22 8,yxyaxxb即 2 80ay xxby. 显然，这个关于x的方程必有实数根，从而有6440ayby 2 160yab yab。根据题意，19910yyy 2 1090,yy故 10 169 ab ab ，所以解得5ab. 2、 （、 （2006 复旦）复旦）设 12 ,0, 2 x x 且 12, xx下列不等式中成立的是（） 1 12 12 1 t
14、antantan; 22 xx xx 2 12 12 1 tantantan; 22 xx xx 3 12 12 1 sinsinsin; 22 xx xx 4 12 12 1 sinsinsin; 22 xx xx A B C D 8 【解析】选 B 这是一道和凸函数有关的问题，分别画出tanyx,sin ,0, 2 yx x 的 草图。由图像可知tanyx是下凸函数，sinyx是上凸函数，故选 B 3、 （、 （2009 清华）清华） * 0,0,1,ababnN求证： 22 21 1 . 2 nn n ab 【解析】本题考查的是前文中证明函数是凸函数的充要条件。首先构造函数 2* , n
15、 yxnN 先证明它是凸函数。事实上 2122 2,2210, nn ynxynnx 故 2* , n yxnN是 , 上的凸函数，从而 22 22 22 21 11 , 2222 nn nn nn n abab ab 证毕！ 4、 （、 （2007 交大）交大）已知函数 1 21, 1 x fx x 对于1,2,n 定义 11 , nn fxffx 若 355 ,fxfx则 28 fx _. 【解析】 1 . 1x 本题考查迭代周期问题。计算得 2 1,x fx x 3 2 , 21 x fx x 4 1 , 1 fx x 56 1 , 2 x fxfxx x 故 f x以 6 为周期.注：
16、条件 355 fxfx可以不用。 5、 （、 （2007 北大）北大） 22 53196 |53196|,f xxxxx求 1250 .fff 【解析】 22 53196 |53196|449|449 |,f xxxxxxxxx 故 4548490ffff，所以 50 1 123 i f ifff 50288 1889292660f. 6、 （、 （2002 交大）交大）函数 |lg |,f xx有0ab且 2. 2 ab f af bf 1求, a b满足的关系； 2证明：存在这样的, b使34.b 【解析】 1因为 |lg |,f xx有0ab且 2, 2 ab f af bf 所以1ab
17、 ， 9 且0,1 ,1,.ab 2 2 11 2 lg2 lglg 24 bb bb b （因为 1 2b b ） ， 故 2 2 1 42,bb b 即 432 4210,bbb 32 1310bbbb 令 32 31,g xxxx而 30,40,gg故 0g x 在3,4之间必有一解，所以 存在b，是的34.b 四、强化训练四、强化训练 （A 组）组） 1、 （、 （2004 复旦）复旦）若存在,M使对任意xD（D为函数 f x的定义域） ，都有 |,f xM则称函数 f x有界。问函数 11 sinfx xx 在 1 0, 2 x 上是否有界？ 【解析】令 1 , t x 则2,t，
18、11 sinsin .tt xx 若令2, 2 tkkZ 且1,k 则当k 时，sinsin 21 2 tk ，t ， 故 11 sinfx xx 在 1 0, 2 x 上无界.注：注：本题中的t有无穷多个赋值方式，如令 2,2, 35 tkk 事实上，只要使sin0t 均可。 2、 （、 （2007 复旦）复旦）若1,1ab且lglglg ,abab则lg1lg1ab lg2A 1B C不是与, a b无关的常数 0D 【解析】选 D. 由,abab得111 1.ababab 故lg1lg1ab lg10 3、 （、 （2005 复旦）复旦）定义在R上的函数 1f xx 满足 2002 24
19、015 1 x f xfx x ， 则2004_.f 10 【解析】2005.令 22220044013,xff令 2004200422xff 2011. 2220044013, 20042005. 2004222011 ff f ff 4、 设 |1|2|2013|1|2|2013|f xxxxxxxxR 且 2 321f aaf a，则a的值有（） 1A 个 2B个 3C个 D 无数个 【解析】因为 f xfx，故 f x为偶函数.在11x 时，有 |1|1|2|2|2013|2013|f xxxxxxx 2 1 220132013 2014.当 2 1321111aaa 且时， 恒有 2
20、 35 3212. 2 f aaf aa 故选D！ 5、 （、 （2000 交大）交大）求函数 3322 11fxxxxxxR的反函数 【解析】由 3322 11fxxxxx得 22 32222 33 2311311yxxxxxxxxx 3322 2311xxxxx 23xy 33 1 33 , 22 yyxx xfx 6、 （模拟题）、 （模拟题）求函数 432 2 41726106 27 xxxx f x xx 在区间1,1上的值域. 【解析】 2 2 64 271 27 fxxx xx ，值域为 2 15,15 3 7、 （模拟题）、 （模拟题）已知 f x是定义在R上的函数，且 211
21、fxfxfx （1）试证明 f x是周期函数； 11 （2）若 123,f试求2013f 【解析】 （1）又条件可知 11,f故 1 2. 1 f x f x f x 用2x换上式的x，得 1 1 1211 4 112 1 1 f x f xf x f x f xf xf x f x 所以 1 8 4 f xf x f x ，即 f x是以 8 为周期的周期函数。 （2） 1 20138 251 551 432 1 ffff f . 8、（模拟题）、（模拟题） 已知 1 fxf x是一次函数， 1nn fxffx 且 10 10241023fxx. 求 f x 【解析】设 f xaxb0a 则
22、有 2 2 1fxff xa axbba xb a 232 3 11fxfff xa a xb aba xb aa . 依此类推有： 10 109810 10 1 1=1 1 ba fxa xb aaaa xa a 时不成立 由题设可得： 10 10 1 1024=1023 1 ba a a 且，故解得2,12,3abab 或. 所以 21f xx或 23f xx. 9、 （模拟题）、 （模拟题）已知实数x满足 3 3 1 2 5,x x 求 2 2 1 x x . 【解析】记 2 2 1 1tx x 则 22 3222 322 111 20123xxxtt xxx 322 320025100
23、,2,tttttt故 2 2 1 3x x . 12 10、（、（2001 交大）交大） 已知函数 2 22,1f xxxxt t的最小值是 g t， 试着写出 g t 的解析表达式。 【解析】 2 11,fxx其对称轴为1.x 当1t 时， f x在,1t t 上单调递增，从而 2 22g tf ttt 当11t 即2t 时， f x在,1t t 上单调递减，从而 2 145g tf ttt 当21t 时， 11g tf 故 2 2 22,1, 1,2, 1 45, 2 ttt g tt ttt （B 组）组） 1、 （、 （2008 交大）交大）已知函数 2 0 ,f xaxbxc a且
24、f xx没有实数根.那么 ff xx是否有实数根？并证明你的结论. 【解析】法一：利用 0ff xx，得到0 ，故没有实数根（本方法计算量过大） 法二：若0,a 则 ,f xx对一切xR恒成立. 故有 ff xf xx； 同理0a 时,则 ,f xx对一切xR恒成立. 故有 ff xf xx；所以 ff xx没有实数根 2、 （模拟题）、 （模拟题）已知函数 2 24, ,0 .f xaxbxc a b cR a （1）函数 f x的图像与直线yx 均无公共点，求证: 2 4161bac （2）若0a 且1ab，又| 2x 时，恒有 | 2f x ，求 f x的解析式. 【解析】 （1）函数
25、f x与直线yx无公共点， 2 24axbxcx无实数解. 故 2 21160bac ，即 2 441 160bbac . 同理函数 f x与直线yx 无公共点，即有 2 441 160bbac . 13 两式相加得 2 82320,bac即 2 4161.bac （2）1ab，又| 2x 时，恒有 | 2f x 故有 204444424242fcabcabf 故42c . 1 2 C 又 | 2f x .故 20f xf 故 f x在0 x 处取得最小值而且02,2 从而0 x 是函数的对称轴. 故0,1ba。 2 2f xx 3、 （模拟题）、 （模拟题）已知 1 1 5 f且当1n 时有
26、 1211 12 f nnf n f nf n .求 f nnN 【解析】把已知条件中的等式进行整理，得到： 1211f nf nnf n f n 11 21 1 n f nf n 把n依次用2,3,n代换，得： 11 2 3 21ff 11 2 4 32ff 11 21 1 n f nf n 上述的1n个等式相加，可以得到： 11 2 34114 1 nnn f nf 所以 2 11 1431 1 nnnn f nf 故 2 1 31 f n nn 4、 （模拟题）、 （模拟题）已知 f x是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的, a bR，有 f abaf bbf a. （1）求 0
27、,1ff的值. （2）判断 f x的奇偶性，并证明你的结论. 14 （3）若 22f， 2 , n n f unN n 求数列 n u的前n项和 n S. 【解析】 （1）令0ab，则 00f；令1ab，则 111fff， 10f。 （2）令1,abx 则 1 ,fxf xxf 再令1,1,ab 则 11121010fffff 故 fxf x ，即 f x是奇函数。 （3）当0ab 时， f abf af b abab . 令 , f x g x x 则有 g abg ag b n g ang a 故 11nnnnnn f aa g ana g anaag anaf a ， 1 , n n f
28、 a af a n 故 1 2 11 . 22 n n n f uf n 又因为 1111 1222210, 2222 fffff 故 1 1111 2222 n n fu . 11 1 22 1 1 1 2 1 2 n n n S . 第二讲 导数第二讲 导数 一、知识方法拓展一、知识方法拓展 1、导数定义、导数定义： 函数( )yf x,如果自变量x在 0 x处有增量x，那么函数y相应地有增量 15 y 00 ()()f xxf x， 比值 x y 叫做函数( )yf x在 0 x到 0 xx之间的平均变化率， 即 x y = x xfxxf )()( 00 。如果当0 x时， x y 有
29、极限，我们就说函数( )yf x在 点 0 x处可导，并把这个极限叫做( )f x在点 0 x处的导数，记作 0 ()fx或 0 x x y . 即 0 ()f x= 0 lim x x y = 0 lim x x xfxxf )()( 00 . 求导步骤：求导步骤： 求函数的改变量y； 求平均变化率 x y ； 取极限，得导数 0 ()fx= x y x 0 lim. 2、导数的几何意义和物理意义、导数的几何意义和物理意义 函数( )yf x在点 0 x处的导数的几何意义是曲线( )yf x在点 00 (,)p xy处的切 线的斜率. 相应地，切线方程为 000 ()()yyfxxx. 如果
30、物体运动的规律是( )ss t， 在点 00 ( ,)p t s处导数的意义是 0 tt处的瞬时速度. 3、常见函数导数、常见函数导数 0C（C为常数） ； 1 ()() nn xnxnR ；(sin )cosxx ；(cos )sinxx ； 1 (ln ) x x ； 1 (log)log aa xe x ；() xx ee ； ()ln xx aaa . 4、导数的运算法则、导数的运算法则 导数的四则运算法则 ()uvuv；()uvu vuv； 2 ( )(0) uu vuv v vv 复合函数求导 ( ( )( )( ) x fxf ux 或 xux yyu 5、函数的单调性与最值、函
31、数的单调性与最值 （1）求函数)(xf的单调区间的一般步骤： 求出)(xf的导数( )fx； 求出方程( )0fx的根； ( )0fx的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；( )0fx的解集与定义域 的交集的对应区间为减区间； 注：注：若( )0fx，则( )f x为常值函数. （2）求函数( )yf x极值的步骤：(最好通过列表法) 求导数( )fx； 16 解方程( )0fx的根 0 x； 检查( )fx在方程( )0fx的根 0 x左、右两侧的符号，判断极值.“左正右 负”( )f x在 0 x处取极大值；“左负右正”( )f x在 0 x处取极小值. 注：注：若 0 x点是( )yf
32、 x的极值点，则 0 ()0fx，反之不一定成立；如函数( )f xx 在0 x 时没有导数，但是，在0 x 处，函数( )f xx有极小值. . （3）函数最值 定义：函数( )f x在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的 “最大值”；函数( )f x在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的 “最小值”。 求函数( )yf x在, a b上的最值的步骤： 求函数( )yf x在（, a b）内的极值； 将( )yf x的各极值与( )f a，( )f b比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个 为最小值. 二、热身练习二、热身练习 【例 1】 （20
33、07 武大）函数 3 31yxx 的极小值、极大值分别为（） A.极小值-3，极大值-1B.极小值-4，极大值 1 C.极小值-4，极大值 0D.极小值-3，极大值 1 分析：分析：对函数求导， 2 33yx ，令01,1yxx 是两个驻点。因为 (, 1)x 时，0y ；( 1,1)x 时，0y ；(1,)x时，0y ，所以1x 对 应极小值，1x 对应极大值。1x 时，3y ；1x 时，1y 答案：答案：D 【例 2】 （2007 武大）在曲线 3 1 1 3 yxx的所有切线中，斜率最小的切线方程为 （） A.0y B.1y C.10 xy D. 2 0 3 xy 分析：分析：对函数求导
34、， 2 1yx，所以过 00 (,)xy的切线斜率为 2 0 1x ，即所有曲线的 切线构成的直线系为 2 000 (1)()yyxxx。又 2 0 11x ，故 0 0 x 时斜率最小，此时 0 1y ，切线方程为1yx ，即10 xy 答案：答案：C 17 【例 3】 （2011 复旦）设a为正数， 322 ( )2f xxaxa，若( )f x在区间0,a上大 于 0，则a的取值范围是（） A.(0,1B.(0,1)C.(1,)D.1,) 分析：分析：对函数求导， 2 ( )34fxxax，则当(0, )xa时，( )0fx ，所以( )f x在 区间0,a上单调递减。若( )f x在区
35、间0,a上大于 0，当且仅当( )0f a ，即 332 220aaa，则01a 答案：答案：A 三、真题精讲三、真题精讲 【例 1】 （2010 五校联考） 32 cossincosyxxx的最大值为（） A. 28 27 B. 32 27 C. 4 3 D. 40 27 分析：分析：令costx，则 32 ( )1( 11)yg ttttt ， 2 ( )321(1)(31)yg ttttt ， 所以函数( )g t在 1 1, 3 上单调递增， 在 1 ,1 3 上单调递减。所以在 1 3 t 时取得最大值， max 132 () 327 yg 答案：答案：B 【例 2】 （2007 清
36、华）求 1 ( ) x f xe x 的单调区间及极值. 分 析：分 析： 对函 数求导 ， 2 ( ) xx exe fx x ，则( )01fxx，当0 x 时， ( )0( )fxf x单调递减；01x时，( )0( )fxf x单调递减；1x 时， ( )0( )fxf x单调递增。所以在1x 时( )f x取得最小值e。 答案：答案：( )f x在(,0)上单调递减， 在(0,1)上单调递减， 在1,)上单调递增。( )f x 有最小值e 【例 3】 （2010 五校联考）设( )(0) ax f xea，过点( ,0)P a且平行于 y 轴的直线与 18 曲线 C：( )yf x的
37、交点为 Q，曲线 C 过点 Q 的切线交x轴于点 R，则PQR的面积的最 小值是（） A. 1B. 2 2 e C. 2 e D. 2 4 e 分析：分析：对函数求导，( ) ax fxae，由导数的几何意义可知( )f x在 2 ( ,) a P a e处切线的 斜率为 2 a ae，故切线方程为 22 () aa yeaexa。令0y ，得 R 点坐标 1 (,0)a a 。所以 21 1 2 a PQR Se a ，则 222 22 111 (2)(2) 22 aaa PQR Sa ea eae a ，令 2 0 2 PQR Sa ，所以PQR面积最小值为 2 2 e 答案：答案：B 【
38、例 4】 （2011 华约）已知 32 21yxxx，过( 1,1)的直线与该函数图象相切， 且( 1,1)不是切点，求直线斜率。 分析：分析：设切点为 32 0000 (,21)x xxx。对函数求导， 2 ( )322fxxx，则 2 00 322kxx，又 32 000 0 (21) 1 ( 1) xxx k x ，联立之后可得 0 1x ，因为( 1,1)不是 切点，所以 0 1x ，1k 答案：答案：1k 【例 5】 （2010 武大）已知( )f x是定义在区间(0,)上的可导函数，满足( )0f x ， 且 ( )( )0f xfx （1）讨论函数( )( ) x F xe f
39、x的单调性 （2）设01x，比较函数( )xf x与 11 ( )f xx 的大小 分析：分析： （1）由于( )( )( )( ( )( )0 xxx F xe f xe fxef xfx，所以( )F x在 (0,)上单调递减 （2） 当01x时， 1 x x ， 由 （1） 得 1 1 ( )( ) x x e f xe f x ， 即 1 1 ( )( ) x x f xef x 。 19 令 1 ( )2ln ,01g xxxx x ，当01x时，有 2 22 12(1) ( )10 x g x xxx ， 所 以( )g x在(0,1)上 单 调 递 减 ， 故( )(1)0g x
40、g， 即 1 2 11 ( )2ln0 x x g xxxe xx ， 由此可得 1 2 11111 ( )( )( )( )( )( ) x x f xeff xfxf xf xxxxx 答案：答案： （1）( )F x在(0,)上单调递减 （2）当01x时， 11 ( )( )xf xf xx 四、重点总结四、重点总结 1、利用导数判定函数的单调性、极值点、最值 2、利用导数的几何意义解决曲线切线的斜率问题 五、强化训练五、强化训练 A 组 1. 函数 3 32yxx的极小值、极大值分别为（） A.极小值 0，极大值 4B.极小值-16，极大值 4 C.极小值-1，极大值 4D.极小值 0
41、，极大值 1 分析：分析：对函数求导， 2 33yx，令01,1yxx 是两个驻点。因为 (, 1)x 时，0y ；( 1,1)x 时，0y ；(1,)x时，0y ，所以 1x 对应极大值，1x 对应极小值。1x 时，4y ；1x 时，0y 答案：答案：A 2. 设 0 ()2fx，则 00 0 ()() lim h f xhf xh h （） A.2B.2C.4D.4 分析：分析：由导数定义可得 20 000000 0 000 ()()()()()() limlimlim2()4 hhh f xhf xhf xhf xf xf xh fx hhh 答案：答案：D 3. 函数( )ln(1)2
42、 x f xex的单调递减区间为_ 分析：分析：对函数求导， 1(1) 1 ( ) 11 x x ex fxe xx ，则0 x 时，( )0fx ；0 x 时，( )0fx ；0 x 时，( )0fx ，又函数的定义域为( 1,) ，所以( )f x 的单调递减区间为( 1,0 答案：答案：( 1,0 4. 若四次函数( )0F x 有四个根，则它的导函数有多少个根？ 分析：分析： 令( )0F x 的四个根为 1234 aaaa，且不妨设( )0F x 的最高次项系数 大于 0，则x 时( )0F x 。所以在 1 (,)a上( )0F x ，在 12 (,)a a上 ( )0F x ，在
43、 23 (,)a a上( )0F x ，在 34 (,)a a上( )0F x ，在 4 (,)a 上 ( )0F x 。所以( )F x的导函数有 3 个极值点，即有 3 个根 答案：答案： 至多 3 个根 5. 若方程 3 270 xxm有 3 个不同实根，求实数m的取值范围 分析：分析：记 3 ( )27f xxxm，( )0f x 有 3 个不同实根，则( )0fx 应该有 2 个 不同实根 12 ,x x。设 12 xx，令 2 12 ( )32703,3fxxxx ，则 3x 时，( )f x有极大值，所以 ( 3)054fm ；3x 时，( )f x有极小值，所以(3)054fm
44、。 所以5454m 答案：答案：5454m 6. 已知三次方程 322 3630(0)xa xaaa只有一个实根是正的，求a的取值范 围 分析：分析：令 322 ( )363f xxa xaa，则 22 ( )33fxxa 21 (1）( )0fx 恒成立0a与题设矛盾 （2）( )0fx 恒成立显然不可能 （3）( )0,fxxa xa ，因为0a ，所以( )f x在(,)a 上单调递 增，在(, )a a上 单调递减，在( ,)a 上单调递增，则 ()0 3333 ( )022 fa a f a 答案：答案： 3333 22 a 7. 已知函数 2 ( )(0,) a f xxxaR x
45、 （1）判断函数( )f x的奇偶性 （2）若( )f x在区间2,上是增函数，求实数a的取值范围 分析：分析： （1）对a进行讨论， 2 0( )af xx为偶函数 22 0( ),() aa af xxfxx xx ，则( )()f xfx，为非奇非偶函 数 （2）由题意，在2x 时， 3 3 min 22 2 ( )20(2)16 axa fxxax xx 所以16a 答案：答案： （1）0a 时为偶函数，0a 时为非奇非偶函数； （2）16a 8. 已知三次曲线 32 :C yxbxcxd的图象关于点(1,0)A中心对称 （1）求常数b （2）若曲线C与直线:412l yx相切，求曲线
46、C的方程 分析：分析： （1）由题意，若( , )t s在曲线上，则(2,)ts也在曲线上，即 22 32 2 32 (62 )(124 )84220 (2)(2)(2) stbtctd b tb tbcd stbtctd 由于恒成立，所以6203bb （2）由（1）知8422022bcdcddc 令( ,412)mm是C的切点C在该点的切线斜率为 4 由 2222 3243236436yxbxcmbmcmmccmm， 又 3232 41232(1)3410mmmcmcc mmmm ， 所以1m ， 5,7cd ，从而 32 357yxxx 答案：答案： （1）3b ； （2） 32 357y
47、xxx B 组 1. 一元三次函数( )f x的三次项系数为 3 a ，( )90fxx的解集为(1,2) （1）若( )70fxa有两个相等实根，求( )fx的解析式 （2）若( )f x在R上单调递减，求a的取值范围 分析：分析：设 32 ( ) 3 a f xxbxcxd，则 2 ( )2fxaxbxc， 2 ( )90(29)0fxxaxbxc。又因为( )90fxx的解集为 (1,2)，所以 (1)(2)0,0 xxa，对比系数可得239,2baca （1） 22 ( )70270(39)90fxaaxbxcaaxaxa ， 因为有两个相等 实根，所以 222 (39)3601( )
48、62aaafxxx （2） 2 ( )(39)2fxaxaxa，要使得( )f x在R上单调递减，只需 ( )0fx 在R上恒成 23 立即可。所以 22 0 27 18 227 18 2 (39)80 a a aa 答案：答案： （1） 2 ( )62fxxx ； （2）27 18 227 18 2a 2. 设三次函数 32 ( )()f xaxbxcxd abc，在1x 处取得极值，其图象在 xm处的切线的斜率为3a （1）求证：01 b a （2）若函数( )yf x在区间, s t上单调递增，求st的取值范围 分析：分析： （1） 2 ( )32fxaxbxc，由题意可得 2 (1)3
49、20 ( )323 fabc fmambmca 2 2 3220001 1 m cb abcbab mma （2）由（1）可知 2 ( )320fxaxbxc的 2 4120bac ，所以方程 ( )0fx 有两 个不同实根 12 ,x x。又 1221 2 (1)320110 3 b fabcxxxx a 。 所以，当 2 xx或 1 xx时，( )0fx ；当 21 xxx时，( )0fx 所以，( )yf x的单调递增区间是 1212 28 ,22, 33 b x xxx a ，即 8 2, 3 st 答案：答案： （1）略； （2） 8 2, 3 st 3. 已知定义在正实数集上的函数
50、 22 1 ( )2, ( )3ln 2 f xxax g xaxb，其中0a ， 设两曲线( )yf x，( )yg x有公共点，且在公共点处的切线相同 （1）若1a ，求b的值 （2）用a表示b，并求b的最大值 24 分析：分析： （1） 3 ( )2,( )fxxg x x ，设( )yf x与( )(0)yg x x在公共点 00 (,)xy 处的切线 相同，由题意可知 2 000 00 0 00 0 0 1 23ln ()() 25 1 3 ()()2 2 xxxb f xg x xb fxg x x x （2） 2 3 ( )2 ,( ) a fxxa g x x ，设( )yf
